Equações governantes

Unificando o modelo de transporte da carga de leito em condições de não equilíbrio de Philips e Sutherland (1989), o modelo de transporte da carga em suspensão de Han (1980), e o modelo de transporte da carga total de Armanini e di Silvio (1988), Wu et al. (2004) estabeleceram a seguinte equação de continuidade que governa o transporte de sedimentos não-uniformes em condições de não-equilíbrio:

(69) em que é a concentração média de sedimentos da seção; é a vazão de sedimentos total; é a capacidade de transporte de sedimento ou a vazão em condição de equilíbrio; é a vazão de sedimentos lateral, de entrada ou saída, por unidade de comprimento do canal, proveniente das margens ou de rios tributários; e, é a distância de adaptação para o transporte de sedimento em condições de não-equilíbrio. Na Equação (69) e nas demais equações deste capítulo, o subscrito indica que a variável é definida para cada classe de tamanho de partículas .

O primeiro termo do lado esquerdo da Equação (69) representa o efeito do armazenamento, enquanto que o último termo do lado esquerdo representa

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a troca entre o sedimento em movimento e o material do leito, com e representando a deposição e a erosão, respectivamente.

A Equação (69) é uma equação generalizada, que pode ser aplicada para a carga de leito, para a carga em suspensão ou para a carga de lavagem separadamente, ou aplicada para a carga total, dependendo de como a vazão de sedimentos e a distância de adaptação são definidas. Nesse trabalho, não será feita distinção entre carga de leito e carga em suspensão, sendo que ambas serão tratadas em conjunto como carga de material de leito. Portanto, a Equação (69) é aplicada para a carga de material de leito e para a carga de lavagem. Para a carga de material de leito, a vazão de sedimentos é igual à soma das vazões da carga de leito e da carga em suspensão. Para a carga de lavagem, a distância de adaptação é considerada infinitamente grande, o que torna o termo de troca no lado esquerdo da equação igual a zero.

A capacidade de transporte de sedimentos pode ser escrita, de uma forma geral, como:

(70) em que é o fator de disponibilidade de sedimento, ou seja, a graduação do material do leito; é a capacidade de transporte potencial da carga de material de leito, que pode ser determinada por diversas fórmulas existentes (ver seção 4.6.2).

A deformação do leito é determinada pela equação:

(71) em que é a porosidade do material do leito; e, é a taxa de deformação do leito.

Cabe destacar que combinando as Equações (69) e (71) obtém-se a equação de continuidade do sedimento, dada por:

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que também pode ser usada para calcular a deformação do leito. É importante notar que a equação de continuidade de sedimento tem mais derivadas que a equação de continuidade que governa o transporte de sedimentos em condições de não-equilíbrio, Equação (69), e, portanto, precisa de mais nós computacionais na discretização numérica (WU et al., 2004).

O material do leito é dividido em várias camadas, o que permite calcular as mudanças na granulometria do material do leito devido à erosão ou à deposição, conforme ilustrado na Figura 11. De acordo com o balanço de massa, Wu (1991) derivou a seguinte equação para a variação da graduação do material do leito na camada de mistura (camada de superfície)

(73) em que é a área de material do leito na camada de mistura de uma seção transversal; é a taxa de deformação total do leito; e, é dada pela seguinte regra:

Caso ocorra deposição, tem-se que e a camada de mistura cede material para a camada de sub-superfície. Assim, é igual graduação do material da camada de mistura ( );

Caso ocorra erosão, tem-se que e a camada de mistura recebe material da camada de sub-superfície. Assim, é igual graduação do material da camada de sub-superfície ( ).

O último termo do lado direito da Equação (73) representa a troca entre a camada de mistura e a camada de sub-superfície.

Figura 11 – Modelo de múltiplas camadas para a gradação do material do leito. Fonte: Wu et al. (2004).

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A taxa de deformação total do leito é escrita como:

(74)

em que é o número total de classes de tamanho de partículas de sedimento.

4.2. Discretização das equações governantes

A concentração média de sedimentos numa seção pode ser expressa por: (75) na qual é a velocidade média do sedimento, sendo aproximada pela velocidade média do escoamento, ; e é um coeficiente que corrige a diferença entre as velocidades do escoamento e do sedimento, aproximado por 1 neste trabalho. Substituindo a Equação (75) na Equação (69), obtém-se a seguinte equação de transporte de sedimentos:

(76) Discretizando a Equação (76) com o esquema de Preissmann, obtém-se:

53 A Equação (77) pode ser escrita como:

(78) em que (79) (80) (81) (82) (83)

A Equação (76) pode ser resolvida por vários esquemas numéricos encontrados na literatura. Alguns esquemas são mais eficientes que outros, sendo que o esquema implícito de Preissmann é um dos mais simples e eficientes (WU et al., 2004).

Como o cálculo do transporte de sedimentos é feito do nó de montante para o nó de jusante , apenas e são incógnitas na Equação (78), que pode ser reescrita como:

(84) em que

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(85)

(86) incluem todos o parâmetros conhecidos.

A deformação do leito pode ser descrita pela Equação (71) ou (72). Quando a Equação (72) é usada, a continuidade do sedimento pode ser facilmente satisfeita nos cálculos, mas a Equação (72) é mais complexa e sua discretização pode necessitar um volume de controle diferente (WU e VIEIRA, 2002). Portanto, a Equação (71) é usada para calcular a deformação do leito e é discretizada como:

(87)

Ou ainda, numa forma compacta:

(88) em que

(89)

(90) A Equação (70) será tratada com um esquema implícito, pelo qual:

(91) A equação para a gradação do material do leito na camada de mistura, Equação (73), é discretizada como:

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em que é a deformação do leito correspondente à classe de tamanho num intervalo de tempo , e é a deformação total do leito, expresso por:

(93)

O parâmetro é igual à porcentagem do material do leito na

camada de mistura ( ) se , ou é a

porcentagem do material do leito na camada de sub-superfície se .

A porcentagem do material do leito na camada de sub-superfície ( ) é obtida a partir do princípio da conservação da massa, pelo qual:

(94)

em que é a área total de material de leito da classe de tamanho ; e, é a área total de material do leito.