Equa¸c˜ao de indu¸c˜ao em coordenadas esf´ericas

Como foi dito acima, o problema do d´ınamo solar consiste em encontrar o conjunto apropriado de elementos indutivos e difusivos que levem a uma solu¸c˜ao peri´odica do campo magn´etico apresentando as caracter´ısticas do ciclo solar descritas em §2.1. Para esse fim, as observa¸c˜oes sugerem que s˜ao necess´arios dois processos principais: a transforma¸c˜ao de um campo poloidal inicial em um campo toroidal, seguida pela reconstru¸c˜ao do campo poloidal de polaridade oposta ao inicial. Para entender melhor a natureza destes processos criadores de campo magn´etico ´e interessante escrever a equa¸c˜ao de indu¸c˜ao de campo m´edio usando coordenadas esf´ericas para reproduzir as camadas pertencentes `a zona de convec¸c˜ao e uma parte da camada radiativa, como caro¸cos esf´ericos, em um ou dois hemisf´erios.

Se¸c˜ao 3.6. Equa¸c˜ao de indu¸c˜ao em coordenadas esf´ericas 59

ponentes m´edias dos campos de velocidade e magn´etico nas suas componentes poloidal e toroidal:

U = (Ωr sin θ)ˆeφ+ up (3.30)

B = Bˆeφ+ ∇ × (Aˆeφ) ,

onde B ´e o campo magn´etico toroidal, A ´e um potencial vetorial, tal que o seu rotacional d´a o campo magn´etico poloidal Bp=∇×(Aˆeφ), Ω ´e a velocidade angular e up ´e a velocidade

na dire¸c˜ao meridional (ou poloidal). Ent˜ao, podemos substituir essas vari´aveis na eq. (3.29) para obter: ∂B ∂t = − 1 r  ∂ ∂r[r(ur+ γr)B] + ∂ ∂θ[(uθ+ γθ)B]  + r sin θ(Bp· ∇)Ω (3.31) − [∇ηT × (∇ × Bˆeφ)]_φ+ ηT  ∇2− _s12  B + [∇ × (αDB)]φ , ∂A ∂t = − 1 s[(up+ γp) · ∇](sA) + ηT  ∇2− _s12  A + (αDB)φ , (3.32)

onde, γp=γr+ γθ ´e a componente poloidal do vetor de bombeamento magn´etico γ, αD

corresponde `as componentes diagonais do tensor αij, e ηT=η+β. O sistema de equa¸c˜oes

(3.31) e (3.32) ser´a o foco central deste trabalho j´a que a maior parte das simula¸c˜oes que apresentaremos nos cap´ıtulos seguintes envolvem a sua solu¸c˜ao. Por esse motivo, a seguir descreveremos em detalhe cada uma das suas componentes.

O primeiro grupo entre colchetes do lado direito da eq. (3.31) possui termos advecti- vos e compressivos que transportam e organizam o fluxo do campo magn´etico toroidal na dire¸c˜ao meridional (r e θ) a uma taxa dada pelas velocidades de circula¸c˜ao meridional e de bombeamento magn´etico. O segundo termo no lado direito da eq. (3.31) ´e a contribui¸c˜ao indutiva do campo de velocidades, a qual depende do gradiente da velocidade angular, ou rota¸c˜ao diferencial, operando sobre a componente poloidal do campo magn´etico. A a¸c˜ao indutiva deste termo ´e conhecida como efeito Ω. O terceiro termo transporta campo magn´etico toroidal nas regi˜oes onde existe um gradiente da difusividade magn´etica total; o quarto termo corresponde ao decaimento resistivo do campo magn´etico toroidal, e final- mente o ´ultimo termo ´e uma fonte de campo toroidal devido `as contribui¸c˜oes da pequena escala, esse efeito indutivo ´e conhecido como efeito α, e em conjunto com o termo de Ω formam a base do processo de d´ınamo. Os termos do lado direito da eq. (3.32) s˜ao termos

advectivo, difusivo e indutivo, respectivamente. ´E importante notar que a ´unica fonte de campo poloidal vem do efeito α.

A importˆancia dos termos de cisalhamento e α relativa ao termo difusivo e dado pelos seguintes n´umeros adimensionais:

CΩ = Ω0R2⊙ η0 , Cα = α0R⊙ η0 . (3.33)

onde Ω0, α0e η0s˜ao valores caracter´ısticos destas quantidades. A contribui¸c˜ao de cada uma

destas quantidades pode determinar-se pela raz˜ao CΩ/Cα. Da mesma forma, a importˆancia

da advec¸c˜ao relativa `a difus˜ao ´e dada por:

CU =

U0R⊙

η0

, (3.34)

onde U0´e um valor caracter´ıstico da velocidade na dire¸c˜ao meridional (note que esse n´umero

´e o n´umero de Reynolds magn´etico correspondente `a velocidade na dire¸c˜ao meridional em grande escala). Finalmente, esses n´umeros adimensionais s˜ao complementados com uma unidade de tempo caracter´ıstica dada pelo tempo de difus˜ao: t′

=R2 ⊙/η0.

Figura 3.3: Regenera¸c˜ao m´utua dos campos toroidal e poloidal no caso de um d´ınamo αΩ. (Figura extra´ıda de Brandenburg e Subramanian, 2005).

No caso mais geral das eqs. (3.31) e (3.32), o efeito α aparece como fonte das duas componentes do campo magn´etico, por essa raz˜ao um modelo de d´ınamo funcionando dessa forma ´e conhecido como d´ınamo α2_{Ω. No entanto, ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes}

da equa¸c˜ao de indu¸c˜ao para sistemas onde n˜ao existe uma componente de rota¸c˜ao dife- rencial (cisalhamento) em grande escala e o d´ınamo funciona exclusivamente devido aos coeficientes turbulentos. Esse tipo de modelo ´e conhecido como d´ınamo α2_{. Acredita-se}

Se¸c˜ao 3.6. Equa¸c˜ao de indu¸c˜ao em coordenadas esf´ericas 61

onde o cisalhamento em grande escala tem valores consider´aveis, tal que CΩ >> Cα (como

acontece na zona de convec¸c˜ao solar), o termo α na eq. (3.31) pode ser desprezado e as solu¸c˜oes resultantes s˜ao conhecidas como d´ınamo αΩ (veja um esquema deste processo na Fig. 3.3). Neste ´ultimo caso as equa¸c˜oes de indu¸c˜ao reduzem-se a:

∂B ∂t = − 1 r  ∂ ∂r[rurB] + ∂ ∂θ[uθB]  + r sin θ(Bp· ∇)Ω (3.35) − [∇ηT × (∇ × Bˆeφ)]_φ+ ηT  ∇2− _s1₂  B , ∂A ∂t = − 1 s[uP· ∇](sA) + ηT  ∇2− _s1₂  A + αφφB , (3.36)

onde, para simplificar, desprezamos tamb´em os termos de bombeamento magn´etico (esses termos ser˜ao considerados novamente no Cap´ıtulo 6).

O objetivo final ao se resolverem as equa¸c˜oes do d´ınamo acima ´e encontrar solu¸c˜oes peri´odicas das mesmas uma vez que os elementos do d´ınamo (discutidos abaixo) s˜ao con- siderados como conhecidos. Isto pode ser feito admintindo-se solu¸c˜oes da forma:

B(r, θ, t) = fB(r, θ) exp(λt) (3.37)

A(r, θ, t) = fA(r, θ) exp(λt) (3.38)

onde fB e fA s˜ao auto-fun¸c˜oes associadas aos auto-valores λ. A parte real das solu¸c˜oes,

σ=Re(λ), corresponde a uma taxa de crescimento exponencial, e a parte imagin´aria, ω=Im(λ), corresponde a uma freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao. As solu¸c˜oes onde σ ´e menor, igual o maior que 0 s˜ao conhecidas como sub-cr´ıticas, cr´ıticas e super-cr´ıticas, respectivamente. O valor de σ depende do valor do produto CΩCα, conhecido como eficiˆencia do d´ınamo

(Brandenburg e Subramanian, 2005). ´

E tamb´em importante notar que as solu¸c˜oes do d´ınamo tipo αΩ s˜ao ondulat´orias, e que o sinal do produto α∇Ω d´a a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda. Este comportamento foi inicialmente estudado por Parker (1955) e Yoshimura (1975), raz˜ao pela qual ´e conhecido como a regra do sinal de Parker-Yoshimura (PY). Tal regra manifesta que a onda d´ınamo se propaga atrav´es de superf´ıcies de iso-rota¸c˜ao. Em sistemas onde o termo de cisalhamento tem componentes em mais de uma dire¸c˜ao (como no caso da rota¸c˜ao diferencial do Sol) a sua forma geral pode ser escrita como:

Na tabela 3.2 foram resumidas as dire¸c˜oes de propaga¸c˜ao da onda d´ınamo para diferen- tes configura¸c˜oes dos termos α e ∇Ω em uma geometria esf´erica segundo a regra do sinal de PY.

α ∂rΩ Propaga¸c˜ao da onda α ∂θΩ Propaga¸c˜ao da onda

+ + Polar + + Ascendente

+ ₋ Equatorial + ₋ Descendente

− + Equatorial ₋ + Descendente

− − Polar _{− −} Ascendente

Tabela 3.2 -Dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda d´ınamo para diferentes configura¸c˜oes de α e ∇Ω segundo a regra do sinal de Parker-Yoshimura.

Acredita-se que a migra¸c˜ao na dire¸c˜ao equatorial das manchas solares observada nos diagramas de borboleta encontra-se relacionada `a viagem de uma onda d´ınamo (Parker, 1955; Stix, 1976), ao mesmo tempo que a diferen¸ca de fase observada nas freq¨uˆencias dos campos toroidal e poloidal ´e devida `a diferen¸ca de fase das componentes das suas respectivas ondas. No entanto, o padr˜ao de migra¸c˜ao pode ser consideravelmente mais complexo quando s˜ao considerados perfis realistas da velocidade angular solar e do efeito α, como ser´a visto nos Cap´ıtulos 5, 6 e 7.