O domínio (2b) caracteriza-se peça deformação de 10 % no aço tracionado
e a deformação de compressão no concreto variando de
a
. Sendo o diagrama
de deformação e o posicionamento da linha neutra expressos na Figura 5.4.
Figura 5.4: Diagrama de deformação da peça de concreto armado no domínio (2b)
O equacionamento do funcionamento estrutural no domínio (2b) ocorrerá
para duas configurações da armadura de aço, sendo a primeira para duas camadas
e a segunda para três camadas. Estas duas configurações conforme as Figuras 4.2
e 4.3. A profundidade relativa da linha neutra
ℎserá adotada por simplificação igual
ao limite
57
5.2.1. EQUAÇÕES PARA A CONFIGURAÇÃO DE 2 CAMADAS DE
ARMADURA
Para o domínio em questão tem-se a armadura
′comprimida e a
armadura
tracionada. No centro de gravidade o esforço normal resistente de
cálculo tracionando a seção e o momento fletor resistente tracionando a face sob
armadura
′, conforme Figura 5.5.
Figura 5.5: Forças e Esforços resistentes no domínio (2b) para 2 camadas de armadura
Considerando-se as resistência nas armaduras e a resistência à compressão
no concreto. Os esforços solicitantes nas armaduras e na zona comprimida de
concreto são definidos por:
=
.
′
= �
′.
′= � .
.
.
. . −
Aplicando as condições de equilíbrio na seção de concreto armado da Figura
5.5, obtem-se as equações em esforço normal e momento fletor expressas por:
=
′− +
58
Baseado na seção apresentada na Figura 5.5 é notório que
−
′=
. , . ℎ −
′, dividindo-se a equação (5.15 b) pela altura da seção ℎ e considerar
uma relação entre a altura e a distância entre a face esterna e o centro de
gravidade da armadura comprimida
′, conforme:
ℎ −
. = . . − . .ℎ −
′
ℎ .
Onde:
=
, . ℎ −ℎ
′Dividindo-se a equação (5.16) por
. ℎ. � .
e considerando os esforços
normal e momento fletor adimensionais, tem-se:
− . =
. ℎ. � ..
. −
. ℎ. � .
. .ℎ −
ℎ .
′Onde:
=
. ℎ . � .
=
. ℎ. � .
Aplicando-se as equações (5.14 a – c) em (5.17) e utilizando a simetria nas
armaduras e uma taxa de armadura total, tem-se a equação governante da referida
taxa de armadura para toda a seção em função dos esforços solicitantes
adimensionais e .
� =
− .
+ [( . ℎ ). .ℎ −
ℎ ] .
′Onde:
� =
+
′. � .
59
A posição da linha neutra
relativa a altura útil , conforme apresentado
na Figura 5.4, será expressa através de semelhança de triângulos relacionando a
deformação do concreto
e a deformação do aço
=
% :
=
+ % .
Relevante se faz observar a equivalência:
ℎ −
′= ℎ .
−
ℎ
′.
Aplicando na equação (5.18 a) a equivalência da equação (5.18 b) e a
propriedade geométrica
= ℎ −
′, obtem-se a posição da linha neutra
em
relação a altura total da seção.
ℎ =
−
′
ℎ .
+ % .
Sendo ressaltante que na retangularização do diagrama de tensão no
concreto, a profundidade de atuação da compressão valerá em função da
profundidade da linha neutra
= .
, logo a posição relativa a altura total da
seção vale:
ℎ = . ℎ = .
−
′
ℎ .
+ % .
Para análise do esforço normal adimensional limite será considerada a
resistência do concreto. Dividindo-se a equação (5.15 a) por
. ℎ.
e
desprezando-se a parcela da contribuição da armadura, uma vez que a
caracterização do domínio (2b) é a ocorrência da deformação máxima no concreto
de
. Substituindo-se também a equação (5.14 c), tem-se o limite máximo de
variação do esforço adimensional para o domínio em análise. Observando-se que o
limite mínimo será o limite máximo do domínio (2a), apresentado no Quadro 5.1.
. ℎ .
Para as variadas classe de resistência do concreto em função das relações
=
ℎ′os valores máximos para o esforço adimensional no domínio (2b) são
60
informados no Quadro 5.2. Sendo os valores de
e apresentados nas equações
(2.1 c) e (2.1 a), respectivamente.
Quadro 5.2: Valores máximos de em relação a classe do concreto e a relação para o
domínio (2b)
= ,
= ,
= ,
= ,
−
0,196
0,187
0,176
0,165
−
0,178
0,169
0,159
0,149
−
0,164
0,155
0,147
0,138
−
0,148
0,140
0,132
0,125
−
0,143
0,135
0,128
0,121
−
0,137
0,129
0,122
0,116
Na equação (5.18) a taxa de armadura � é apresentada como uma função
dos esforços adimensionais ( e ), isto além da posição relativa da linha neutra
ℎ
e a profundidade minorada
ℎ. A problemática consiste em variar a seção no
intervalo do domínio (2b), para tanto se faz necessário obter a função que
correlacione a profundidade relativa
ℎ
com o esforço adimensional .
Para determinar a função
ℎ
deve se recorrer a Figura 5.4 e considerar
que para a profundidade
=
, no início do domínio, equivale a
ℎ=
ℎapresentado na equação (5.5 c) e conseguinte
=
apresentado na equação
(5.6). Para o limite do domínio (2b) a profundidade relativa é apresentada na
equação (5.18 c) e na equação (5.19). Impondo uma função linear, obtem-se:
ℎ
= .
Aplicando as equações (5.20) e (5.18 d) na equação (5.18) é obtida a taxa
de armadura � em função dos esforços adimensionais ( e ). Impondo ainda que
=
ℎ′.
61
5.2.2. EQUAÇÕES PARA A CONFIGURAÇÃO DE 3 CAMADAS DE
ARMADURA
Para o domínio de deformação em análise tem-se a armadura
′comprimida e a armadura
tracionada. No centro de gravidade o esforço normal
resistente de cálculo tracionando a seção e o momento fletor resistente tracionando
a face sob armadura
′, conforme Figura 5.6.
Figura 5.6: Forças e Esforços resistentes no domínio (2b) para 3 camadas de armadura
Considerando-se as resistência nas armaduras e a resistência à compressão
no concreto. Os esforços solicitantes nas armaduras e na zona comprimida de
concreto são definidos por:
=
.
′
= �
′.
′= � .
= � .
.
.
. . −
Aplicando as condições de equilíbrio na seção de concreto armado da Figura
5.6, obtem-se as equações em esforço normal e momento fletor expressas como:
=
′− −
+
62
Baseado na seção apresentada na Figura 5.6 é notório que
−
′=
. , . ℎ −
′, dividindo-se a equação (5.23 b) pela altura da seção ℎ e considerar
uma relação entre a altura e a distância entre a face esterna e o centro de
gravidade da armadura comprimida
′, conforme:
ℎ −
. = . . +
. − . .ℎ −
′