Equilíbrio da estratégia dominante

Para esclarecimento do equilíbrio da estratégia dominante, pode-se citar como exemplo o clássico Dilema do Prisioneiro de Albert W. Tucker (1953). Nesse dilema, apresenta-se a seguinte situação: dois ladrões, Al e Bob, são capturados e acusados de um mesmo crime. Presos em selas separadas, sem poderem se comunicar entre si e sabendo que eles não são colaborativos entre si, ou seja, não têm intenção de ajudar mutuamente, o delegado faz a seguinte proposta: cada um pode escolher entre confessar ou negar o crime. Se nenhum deles confessar, ambos serão submetidos a uma pena de 1 ano. Se os dois confessarem, então ambos terão pena de 5 anos. Mas, se um confessar e o outro negar, então o que confessou será libertado e o outro será condenado a 10 anos de prisão. Nesse contexto, tem-se a seguinte matriz de

payoffs:

Bob

Confessar Negar

Negar -10, 0 -1, -1

Recompensas: (Al, Bob)

Devido à interdependência entre os dois ladrões, Al e Bob estão jogando um jogo não cooperativo, no qual cada um tem que tomar uma decisão entre Confessar ou Negar o crime sem saber qual será a decisão do rival e em que ambos estão interessados somente nas consequências imediatas de suas decisões conjuntas. Esses dois aspectos - a ausência de qualquer informação sobre a escolha do oponente e a falta de interesse em futuras interações - tornam esse jogo um jogo estático, ou seja, sem consequências futuras. Segundo Bierman (2010), um jogo estático pode ser descrito usando a sua representação na forma estratégica, que consiste em uma série de listas.

A primeira lista é a de jogadores, que são simplesmente as pessoas que tomam decisões. A segunda lista é a de estratégias puras disponíveis para cada jogador. Uma estratégia pura é um plano completo e não aleatório para se jogar um jogo. Entende-se por completo todas as possíveis contingências, ainda que improváveis. Portanto, uma estratégia pura é um plano completo com todas as possíveis ações que o jogador pode tomar. No Jogo Dilema do Prisioneiro, ambos os jogadores têm as mesmas duas estratégias: Confessar ou Negar. Logo, eles têm quatro perfis de estratégias distintas: {Confessar, Confessar}, {Negar, Confessar}, {Confessar, Negar} e {Negar, Negar}, nos quais a primeira estratégia em cada par é a estratégia de Al, e a segunda é a de Bob.

E por fim, todo perfil de estratégias leva a um resultado (payoff) para o jogo e produz uma lista de recompensas para cada jogador. É importante destacar que segundo Bierman (2010), as recompensas representam as mudanças no bem-estar dos jogadores no final do jogo e são a base sobre a qual eles escolhem as suas estratégias. Dessa forma, conforme Von-

Neumann e Morgenstern (1944) para cada jogador existe uma função utilidade que associa o ganho (payoff) do jogador a cada perfil de estratégia pura. Portanto, o jogador estabelece a sua função utilidade ou preferência para estabelecer a sua estratégia de jogo na busca da melhor recompensa dada a sua função utilidade.

No Jogo Dilema do Prisioneiro, as recompensas são os anos de prisão. Por exemplo, se ambos os jogadores escolherem a estratégia - Confessar, então eles terão como recompensa 5 anos de prisão. Portanto, o perfil de estratégias {Confessar, Confessar} resulta nas recompensas de (-5, -5). Já para o perfil de estratégias {Negar, Confessar} a recompensa é (-10, 0) e para o perfil {Confessar, Negar} a recompensa é (0, -10) e {Negar, Negar} a recompensa é (-1, -1).

Diante dos comentários apresentados, Al poderia pensar basicamente em dois acontecimentos, quais sejam, Bob pode confessar ou negar o crime. Se Bob confessar, então o melhor para Al é confessar também, pois se negar, Bob estará livre e Al terá 10 anos de prisão. Contudo, se Al confessar e Bob negar, Al estará livre e Bob pegará 10 anos de prisão. Mas, se Al confessar e Bob também confessar ambos terão 5 anos de prisão. Portanto, do ponto de vista de Al e tendo em vista a não cooperação entre Al e Bob, isto é, não existe a chance de Al e Bob firmarem um acordo para ambos negarem e receberem uma punição de 1 ano apenas de prisão, em qualquer uma das situações é melhor confessar e ficar preso por 5 anos.

Diante dessa conclusão, Bierman (2010) esclarece que os dois jogadores possuem uma estratégia dominante, ou seja, uma estratégia única que sobrepõe qualquer outra. Nesse caso, a estratégia dominante é confessar. Dessa forma, de acordo com a Teoria dos Jogos há no jogo do Dilema do Prisioneiro um equilíbrio de estratégia dominante, isto é, uma estratégia única que sobrepõe a qualquer outra. Formalmente, Bierman (2010, p. 9) esclarece que uma estratégia dominante ocorre quando:

A estratégia S1 domina estritamente a estratégia S2 de um jogo se, dada qualquer coleção de estratégias que poderiam ser adotadas pelos demais jogadores, adotar S1 resultar em uma recompensa estritamente mais alta para esse jogador do que adotar S2. Diz-se também que a estratégia S2 é estritamente dominada por S1. Um jogador racional nunca adotará uma estratégia estritamente dominada nem esperará que um oponente racional a adote.

É a partir desse conceito que a Teoria dos Jogos propõe a primeira etapa para a solução de qualquer jogo estático: determinar e eliminar de considerações posteriores todas as estratégias estritamente dominadas de cada jogador. Feito isso, a única estratégia que restará será estratégia dominante. Dessa forma, quando se elimina as estratégias dominadas no Jogo do Dilema do Prisioneiro, somente resta a estratégia {Confessar, Confessar}, cuja recompensa é (-5, -5). Portanto, ainda que não se saiba de antemão o que Bob fará, nesse jogo simples pode- se prever a estratégia que Al adotará: Confessar, pois essa é a melhor escolha para ele já que: (i) ou ele estará livre se Bob negar ou (ii) pegará 5 anos de prisão se Bob confessar. Em ambas as posições Al estará melhor do que negar e pegar 10 anos de prisão. Portanto, de acordo com a Teoria dos Jogos, um jogador racional adotará uma estratégia estritamente dominante sempre que ela existir (Bierman, 2010, p. 9):

O perfil de estratégias {S1, S2,..., SN} é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante se, para qualquer jogador i, Si for uma estratégia estritamente dominante.

Logo, no Jogo do Dilema do Prisioneiro a única resposta possível de acordo com a Teoria dos Jogos é Confessar, pois essa é uma estratégia estritamente dominante e um jogador

racional sempre adotará uma estratégia estritamente dominante em um jogo estático. Já para jogos dinâmicos que possuem mais de uma rodada, a Teoria dos Jogos propõe para identificação da solução ótima do jogo, o equilíbrio da estratégia dominante iterada que será detalhada no próximo tópico.