O teorema da utilidade esperada de Von Neumann e Morgenstern (1944)

A hipótese da utilidade esperada implica que a ordenação de preferências de loterias do tomador de decisões é completa e transitiva. Uma ordenação de preferências de um conjunto de resultados é completa se, para quaisquer dois resultados, T1 e T2, ou T1 é preferido a T2, ou

T2 é preferido a T1. Se T1 é preferido a T2 e T2 é preferido a T1, então o tomador de decisões é

indiferente entre eles. A ordenação de preferências é transitiva se, dados quaisquer resultados, T1, T2 e T3, se T1 é preferido a T2 e T2 é preferido a T3, então T1 é preferido a T3. Portanto, essas

duas propriedades devem ser satisfeitas para que a hipótese da utilidade esperada seja válida. Este é o primeiro axioma de Von Neumann-Morgenstern (1944) (Bierman, 2010, p. 205):

Axioma 1 (Consistência): Há uma ordenação de preferências completa e transitiva dos elementos do conjunto L de loterias construídas com os elementos do conjunto finito de resultados X.

Conforme Bierman (2010) o axioma da consistência implica que é possível ordenar os elementos do conjunto X do pior para o melhor. Isso, porque todo resultado em X, diga-se, T, pode ser identificado com uma probabilidade de 100% de ocorrência, ou seja, LT = (T:1) cujo resultado T ocorre com certeza. O resultado é que qualquer ordenação de preferências de loterias implica a ordenação de preferências óbvias dos elementos de X: o resultado T é preferido ao T´ se, e somente se, a loteria LT é preferida à LT´. Portanto, se a ordenação de preferências de loterias é completa e transitiva, a ordenação de preferências implícitas dos resultados de X também é. Visto que X é finito, existe um resultado melhor e outro pior em X.

Exemplificando, entre 4 resultados possíveis: (i) não ser fiscalizado e obter um lucro de R$ 2.5 milhões; (ii) ser fiscalizado e autuado, mas ter o auto cancelado, gerando um lucro de R$ 1.8 milhão; (iii) ser fiscalizado, autuado e o pagamento ocorrer em um parcelamento especial, proporcionando um lucro de R$ 200 mil; (iv) ser fiscalizado, autuado e pagar à vista, gerando um prejuízo de R$ 4 milhões. Diante desses resultados, fica evidente do ponto de vista econômico, que a primeira opção – não ser fiscalizado e obter um lucro de R$ 2.5 milhões – é melhor que a última opção, cujo prejuízo será de R$ 4 milhões. Ou seja, considerando-se o axioma da consistência é possível ordenar os elementos de um conjunto de resultados do pior para o melhor.

O segundo axioma é o de monotonicidade, que em matemática significa que uma função entre dois conjuntos ordenados é monótona quando ela preserva (ou inverte) a relação de ordem. Ou seja, quando um conjunto aumenta o outro diminui, logo a função pode ser crescente ou decrescente. Exemplificando, considere-se uma loteria especial L(u) = (TB:u, TW:1 − u) na qual somente os piores ou os melhores resultados são selecionados com probabilidade u e 1 − u, respectivamente. Logo, como a função L(u) é monótona, à medida que se aumenta u de 0 a 1, a probabilidade de ocorrer TB fica cada vez maior e a de ocorrer TW, cada vez menor. Diante disso, à medida que u cresce, a loteria L(u) torna-se mais desejável. Além disso, Se T é qualquer outro resultado no conjunto X, por hipótese, a loteria trivial (TB:1, TW:0) = L(1) é preferida a T,

e T é, por sua vez, preferida à loteria trivial (TB:0, TW:1) = L(0). Portanto, a monotonicidade

implica que, à medida que u aumenta, L(u) torna-se cada vez mais preferida (Bierman, 2010, p. 205):

Axioma 2 (Monotonicidade): L(u) é preferida à L(v) se, e somente se, u > v.

O terceiro axioma de Von Neumann-Morgenstern é que, à medida que u aumenta, a certa altura atinge-se um ponto no qual o tomador de decisões é exatamente indiferente entre a loteria L(u) e qualquer resultado de T dado, pois, caso contrário, existiria uma descontinuidade na ordenação de preferências (Bierman, 2010, p. 206):

Axioma 3 (Continuidade): Para todo resultado T em X, existe um único número U(T), denominado a utilidade normalizada de Von Neumann-Morgenstern de T, tal que o tomador de decisões é indiferente entre o resultado (certo) T e a loteria L(U(T)).

Para ver o que o axioma da continuidade implica, sejam T1, T2, T3, T4 os lucros

(prejuízos) de R$1,5 milhão, R$1 milhão, −R$ 4 milhões e −R$ 7 milhões. Os resultados T1 e

T4 são, respectivamente, o melhor e o pior. Portanto, atribuímos a T1 a utilidade normalizada

de Von Neumann-Morgenstern de 1 e a T4 uma utilidade normalizada de Von Neumann-

loteria (T4:30%, T1 :70%), ou seja, 30% de chance de ter um prejuízo de R$7 milhões e 70%

de chance de ter um lucro de R$1,5 milhão, então T2 tem uma utilidade normalizada de Von

Neumann-Morgenstern de 0,70, pois o indivíduo é indiferente aos dois resultados. De maneira semelhante, se o indivíduo é indiferente a T3 e à loteria (T4:70%, T1:30%), a utilidade

normalizada de Von Neumann-Morgenstern de T3 é igual a 0,30 (Bierman, 2010).

Os dois últimos axiomas de Von Neumann-Morgenstern referem-se a mudanças ‘inconsequentes’ em uma loteria. Isso significa não alteração da atratividade relativa da loteria, ou seja, feita a escolha não há motivos para mudá-la. Portanto, o quarto axioma trata da substituição de um resultado em uma loteria por outro que o tomador de decisões considera igualmente atraente (Bierman, 2010, p. 206):

Axioma 4 (Substituição): Suponha que o tomador de decisões seja indiferente entre o

resultado certo T e a loteria L e a única diferença entre as duas loterias L1 e L2 seja a

de que, no lugar em que T aparece em uma delas, L aparece na outra. Então o tomador

de decisões também será indiferente entre L1 e L2.

Já o quinto axioma envolve a substituição de uma loteria composta por outra simples. Logo, o quinto axioma implica duas coisas: (1) o tomador de decisões está interessado somente na probabilidade da ocorrência de cada resultado, e não nos aspectos específicos do mecanismo pelo qual os resultados finais são selecionados; e (2) o tomador de decisões acredita que as seleções aleatórias que ocorrem em cada estágio de uma loteria composta são eventos independentes (Bierman, 2010, p. 207):

Axioma 5 (Simplificação): Suponha que L seja a loteria composta (L1:q1, L2:q2,...,

LM:qM), na qual cada uma das loterias Li é simples e Li = (T1:pi1, T2:pi2,..., Tk:pk), i =

1,..., M. Então o tomador de decisões é indiferente entre L e a loteria simples (T1:r1,

T2:r2, ...TK:r K), onde rj = ∑ipij ⋅qi.

Os cinco axiomas vistos têm a finalidade de demonstrar que a utilidade esperada somente será válida se, e somente se, os cinco axiomas de Von Neumann-Morgenstern forem satisfeitos. Isso significa que a função utilidade normalizada de Von Neumann-Morgenstern é uma representação da utilidade de Von Neumann-Morgenstern das preferências do tomador de decisões em relação a loterias. Isto é, na perspectiva da hipótese da utilidade esperada, o valor subjetivo que cada pessoa atribui a uma aposta, sendo que tal valor é a representação da sua expectativa de utilidade daquela escolha.

A desobediência tributária envolve incertezas e riscos de perdas, principalmente, monetárias. Logo, no próximo tópico serão abordadas as atitudes de um indivíduo em relação ao risco de perda monetária.