2.6 Interferômetro de Michelson
4.0.4 Erro de cosseno
O erro de cosseno tem como natureza o desalinhamento angular do espelho de medição em relação ao seu eixo de deslocamento. O valor da distância medida será menor proporcio- nalmente ao cosseno do ângulo β formado pelo eixo verdadeiro e o eixo tido como referência para o deslocamento do espelho de medição. A figura23ilustra o erro de cosseno causado pelo desalinhamento do espelho em um único plano, embora o erro possa ocorrer em qualquer direção do espaço.
D
β
Eixo referencial Eixo de deslocamentoD
mFigura 23 – Representação do desalinhamento do espelho móvel considerando um único plano de deslocamento
Considerando Dma distância medida ao longo do eixo de deslocamento, o comprimento
corrigido para o eixo de referência é calculado de acordo com a equação4.11 (HARDING,
2013).
D= Dmcosβ (4.11)
O erro de cosseno εcos= Dm(cos β − 1) é diretamente proporcional ao ângulo β e ao
valor do deslocamento do espelho.
4.0.5
Erro de Abbe
O físico alemão Ernst Abbe em 1890 enunciou pela primeira vez o princípio da com- paração ou atualmente denominado erro de Abbe. O princípio estabelece que o alinhamento do espelho de varredura de um interferômetro deve coincidir com a linha ao longo do eixo de referência de deslocamento do espelho. O erro é causado pelo movimento angular do espelho móvel como representado pela figura24.
O espelho representado pela figura24forma o ângulo de rotação com o eixo de referência determinado pelo valor θ . O erro de Abbe, εAbbe, o desvio DH entre a linha de medição e
Figura 24 – Representação do erro de Abbe
(HARDING,2013).
εAbbe= DHtan θ (4.12)
De outro modo, o erro de Abbe ocorre quando o ponto de medição do espelho móvel está localizado fora da escala de referência devido a rotação do espelho levando a uma indicação maior ou menor em relação ao valor do deslocamento verdadeiro.
4.0.6
Influência térmica
O erro na medida do deslocamento ou offset devido as variações de temperatura dos elementos ópticos do interferômetro durante uma medição podem surgir de duas formas:
∙ Os componentes ópticos do interferômetro como espelhos, divisores de feixes, lentes, além dos suportes de fixação podem sofrer expansão térmica ou contração em função da temperatura do espectrômetro. Tipicamente os espelhos do FTIR são construídos a partir de um substrato de Alumínio 6061-T6, vidro Borossilicato ou Silício recoberto por uma superfície protetora de Alumínio ou Ouro. O erro considerando a dilatação linear é calculado de acordo com a equação4.13(WEIS; EWING,1998).
εL= L0αL∆T (4.13)
Onde L0é a espessura do espelho a 20∘C, αLé o coeficiente de dilatação do material e ∆T
a variação da temperatura. Considerando, por exemplo, somente um espelho de Alumínio 6061-T6 com L0= 4 mm e αL= 26, 6 µmm·∘C, o erro de medição será de 56, 2 nm para
uma variação de temperatura equivalente a 1∘C.
∙ O erro térmico também ocorrer no interferômetro de feixe único quando a luz é transmitida ou refletida por diferentes quantidades de elementos ópticos entre o caminho de referência e medição, ou em virtude do uso de elementos ópticos produzidos com materiais de
diferentes coeficientes de dilatação. Ocorre também o desequilíbrio do índice de refração entre os braços do interferômetro devido as mudanças de temperatura dos elementos que transmitem o feixe de luz tais como lentes, lâminas de retardo e beamsplitter.
A deriva térmica pode ser reduzida com a adoção de um mesmo número de elementos em ambos os percursos ópticos do interferômetro e por meio da medição da temperatura. Entretanto, mesmo após a compensação do erro térmico, haverá uma incerteza associada às dimensões físicas dos elementos ópticos e mecânicos, além das incertezas associadas ao sensor empregado na determinação da temperatura.
4.0.7
Fase relativa
O valor da retardação está diretamente relacionado com a estimativa do deslocamento da fase e com incertezas associadas às técnicas empregadas pra a medição da diferença de fase, ∆Φ. As variações da fase tem como origem a detecção incorreta de feixes dispersos ou refletidos; não-linearidades ópticas dos detectores, divisores de feixes, polarizadores e lâminas de retardo; além da imperfeita separação entre os componentes horizontal e vertical da polarização do feixe do laser pelo QPSI.
INTERFEROMETRIA
Neste capitulo serão apresentados os processos necessários para a conversão das variações de intensidade luminosa do feixe de luz que atingem os fotodetectores em sinal elétrico. Uma vez que o uso de computadores auxilia nos cálculos matemáticos e no processamento dos sinais elétricos, é preciso que as grandezas de natureza física e logo analógica, sejam corretamente convertidas para o domínio discreto e transferidas para os sistemas computacionais. Serão também abordados os procedimentos e algoritmos aplicados na extração das informações contidas nas franjas de interferência.
5.1
Sistema de aquisição do HQLI
5.1.1
Sistema eletrônico
Um sistema eletrônico como esquematicamente é mostrado pela figura25é utilizado para converter (A1), amplificar (A2 e A3) e filtrar o sinal de cada fotodetector PD1 e PD2
do QPSI. O primeiro estágio (A1) refere-se ao conversor responsável por converter pequenas variações da fotocorrente em variações de tensão (conversor corrente-tensão ou transimpedância) proporcionalmente à energia luminosa que incide na janela do dispositivo. O segundo estágio de ganho, A2, eleva o valor da amplitude do sinal para algumas dezenas de mV, ambos formam o conjunto de pré-amplificação do DMI. Os estágios seguintes, compõem de um terceiro estágio de amplificação (A3) e filtro antialiasing (FPB). Cada saída do condicionador de sinais é conectada a um canal analógico da placa de aquisição NI6251.
Uma vez que a intensidade luminosa está diretamente relacionada com a amplitude do campo elétrico da luz através da equação2.17, é possível medir o resultado da interação entre duas ondas luminosas observando os padrões de claros e escuros na saída do interferômetro por
I
V AD
A1 A2 A3 FPF National Daq NI6251
PD1
I
V AD
Pré-amplificador PD2
Figura 25 – Sistema desenvolvido neste trabalho para a medição dos sinais dos fotodetectores do DMI do PerkinEl- mer 1710
meio de um fotodetector. As variações da intensidade de luz que ocorrem devido ao movimento do espelho de referência é uma grandeza essencialmente analógica ou no domínio do tempo contínuo.
Um sinal de tempo contínuo x(t) pode ser completamente representado através de suas amostras x[n]. O processo de conversão para tempo discreto é chamado de amostragem ou discretização. A reconstrução do sinal, por sua vez, a partir das suas amostras, desde que obedecidos alguns requisitos, permite a completa recuperação do sinal original.
A amostragem consiste na multiplicação do sinal contínuo por um trem de impul- sos periódico. Na prática, um discretizador ideal é comumente substituído por um conversor Analógico-digital (A/D) neste caso, o sinal amostrado é obtido através de um retentor de ordem zero, Zero Order Hold (ZOH). A saída do ZOH naturalmente é a reprodução do sinal original, a interpolação ou recuperação do sinal a partir dos valores amostrados pode ser feita através de um filtro passa-baixas, interpolação linear ou mesmo processado sem nenhum tipo de suavização.
A figura26apresenta o diagrama em blocos de um sistema de digitalização.
Figura 26 – Sistema de digitalização
No processo de digitalização o período do amostrador, 1/ fs, está diretamente relacionado
amostragem fs. A figura27mostra no domínio da frequência a relação existente entre o sinal de
entrada com banda limitada em fce a frequência fs. Uma vez que a frequência do amostrador
seja suficiente para não haver sobreposição entre as réplicas de xc(t), toda informação contida
no sinal poderá ser recuperada sem perdas.
Figura 27 – Sistema de digitalização
A forma de evitar a sobreposição entre as réplicas, é restringir a banda espectral do sinal de entrada aos componentes de frequência de interesse. O filtro denominado antialiasing é responsável por remover os sinais indesejados, e assim, evitar qualquer "imagem"de um componente de sinal ou ruído que possa distorcer os sinais de interesse. Primeiramente, o filtro antialiasing analógico ou digital deve ser especificado com base na banda de frequências de interesse, bem como as características do sinal a ser amostrado.
A intensidade da luz incidente nos fotodiodos descreve um comportamento oscilatório dado pela equação2.17. A frequência do sinal é determinada pela velocidade óptica do interferô- metro. No interferômetro de Michelson a velocidade óptica é duas vezes maior se comparada a velocidade do espelho de medição (V = 2V′), em que, V′= δ
t. A frequência do interferograma
nos detectores é relacionada com as grandezas ópticas através da equação 5.1(GRIFFITHS;
HASETH,2007).
F =δ
tv˜0 (5.1)
O valor da frequência do sinal, pode ser estimada a partir da retardação máxima do interferômetro calculada com base na resolução do FTIR, onde ∆ ˜vmax = δmax (GRIFFITHS;
HASETH,2007). A resolução espectral máxima do PerkinElmer 1710 é 1 cm-1. O tempo que o espelho leva para percorrer toda a faixa de medição do instrumento é aproximadamente 2 s, equivalente a δmax = 1 cm em 2 s. Substituindo as grandezas da equação5.1, onde ˜v0= 15 803
cm-1, δ = 1 cm e t = 2 s, tem-se F = 2· 0, 5· 15 803 = 15 803 Hz. Desta forma, pelo critério de Nyquist todas os componentes de frequência acima de 2F = 31 644 Hz, deverão ser eliminadas na entrada do conversor A/D.
5.1.2
Projeto do filtro-antialiasing
De modo geral, os filtros permitem a passagem de alguns componentes de frequências de um sinal e interrompem a passagem de outros (WINDER,2002). O Filtro Passa-Baixas (FPB) permite que as componentes de sinais a partir de 0 Hz até o limite de fHsejam transmitidos à
saída. A resposta em frequência ideal para o FPB é apresentada pela figura28.
|H(jω)| F[Hz] fH 0 FPB A Banda de passagem Banda de atenuação
Figura 28 – Resposta em frequência FPB e FBF ideal, "brick wall" ou retangular
Para cada fotodetector do QPSI, foi utilizado um filtro antialiasing passa-baixas antes da digitalização do sinal, essa escolha em comparação a filtros passa-faixas possibilita, por exemplo, reduzir a velocidade de varredura do instrumento sem a necessidade de alteração da faixa de passagem dos filtros analógicos, além de reduzir a complexidade do projeto dos circuitos do filtro.
Entretanto, na prática um filtro com resposta igual a mostrada pela figura 28 não é realizável. Antes de atingir a banda de atenuação, os componentes de frequência através filtro são atenuados gradualmente, essa faixa entre a banda de passagem e atenuação é chamada de banda de transição, e o seu comportamento é determinado pela escolha do polinômio de aproximação do filtro (Buttwerorth, ChebyShev I, ChebyShev II, Bessel, Elíptico). Além do polinômio de aproximação, a taxa de atenuação depende da ordem ou número de polos da resposta em frequência do filtro.
Para o projeto do filtro antialiasing deve-se considerar a relação sinal ruído do conversor analógico digital. Qualquer componente de sinal que estiver abaixo da signal-to-noise ratio (SNR) não poderá ser diferenciado do ruído gerado pelo próprio conversor, essa consideração
Figura 29 – Faixa de passagem sem alias
Os filtros eletrônicos analógicos são constituídos a partir de dispositivos reativos e resistivos, se for aplicado à entrada de um filtro uma fonte alternada, a tensão e corrente nos ramos dos circuitos eletrônicos não estarão em fase. Consequentemente, existirá defasamento na saída em relação a entrada do filtro. Idealmente para o sistema QPSI de medição onde as informações estão contidas na fase do sinal, o desejável é que os sistemas eletrônicos utilizados no condicionamento dos sinais não interfiram significativamente na fase do sinal. Assim como a amplitude do filtro, a resposta da fase irá depender do polinômio de aproximação e ordem do filtro. A aproximação de Bessel é adequada para o projeto do filtro antialiasing deste sistema uma vez que a resposta da fase de Bessel é linear na faixa de passagem, além de apresentar um atraso de grupo constante nessa mesma região.
5.1.3
Cálculo dos polinômios do filtro
A resposta de um filtro pode ser matematicamente representada por uma razão de polinômios ou função de transferência com termos dependentes da frequência do sinal. A partir dessa função é possível extrair todas as características do filtro, como a resposta da amplitude e fase, atraso de grupo, frequência de corte e as bandas de passagem e atenuação. Após a especificação das características do filtro, a etapa seguinte, consiste na determinação dos coeficientes dos polinômios da função de transferência. Todos os filtros são projetados a partir de um modelo normalizado de um filtro-passa baixas denominado filtro protótipo (WINDER, 2002). A função de transferência é escolhida para a frequência de passagem ωc= 1 rad/s em
seguida o modelo é transformado para a frequência de corte desejada.
A faixa dinâmica pode ser calculada através do ruído equivalente do sistema de digi- talização, além do ruído de quantização, o ruído total inclui outras fontes de incertezas como não-linearidades, erros de calibração e perda de bits.
O conversor A/D da placa de aquisição NI6251 tem 16 bits de resolução(CORPORATION., 2015), no entanto, somente 10 bits foram necessários para reproduzir os sinais obtidos pelos fotodetectores. Desta forma, o cálculo do SNR devido a outras fontes de incertezas além do próprio ruído de quantização tornaram-se desprezíveis
O cálculo do SNR devido ao ruído de quantização dentro da faixa de Nyquist (fs
2) é dado
pela equação5.2(KESTER,2015), onde N é o número de bits do conversor.
SNR= 6, 02N + 1, 76 (5.2)
Substituindo os termos, tem-se:
SNR= 6, 02(10) + 1, 76 = 61, 96 dB
A figura30mostra a resposta em frequência do filtro Bessel, onde N é o número de polos da função de transferência ou ordem do filtro.
Figura 30 – Resposta em frequência FPB Bessel, primeira a quinta ordem
A partir do gráfico dos gráficos da figura30, considerando o SNR de 62 dB para N = 1, a frequência (fs
2) encontrada é de 1 200 rad/s, isso significa que a frequência de amostragem
fsdeverá ser 2 400 vezes superior à frequência do sinal para evitar o efeito de aliasing. Com o aumento da ordem do filtro a frequência (fs
2) é reduzida, entretanto, a complexidade na
realização dos filtros aumenta. Considerando N = 4, em que a frequência fs
2 = 8, 92 rad/s para
a SNR especificada, e assim, ( fs) = 282 kHz, adequado ao sistema proposto. Determinada a
ordem do filtro, os polos da função de transferência são obtidos através da tabela normalizada de Bessel (ZUMBAHLEN et al.,2011). O filtro N = 4, é formado por duas funções de segunda ordem dada pelas equações5.3e5.4em que, H( jω) = H1( jω)H2( jω).
H1( jω) = 2, 0142
s2+ 2, 7192s + 2, 0142 (5.3)
H2( jω) =
2, 5321
H1( jω) =
s2+ (2, 70)5s+ (1, 99)10 (5.6)
H2( jω) =
(2, 50)10
s2+ (1, 96)5s+ (2, 50)10 (5.7)
A figura31mostra o diagrama de Bode referente a resposta em frequência e fase do filtro projetado. O atraso de grupo que está relacionado com a taxa de variação do deslocamento da fase do sinal é mostrado pela figura32.
Figura 31 – Resposta do FPB Bessel projetado
5.1.4
Realização do filtro
Filtros analógicos podem ser construídos a partir de resistores, indutores e capacitores (passivos) ou utilizando amplificadores operacionais combinados com resistores e capacitores (ativos). Os circuitos eletrônicos necessários para realização dos filtros ativos analógicos são mais compactos e dispensam o uso de indutores. Outra grande vantagem em comparação aos filtros passivos, o uso dos amplificadores possibilita multiplicar o sinal de entrada por um fator constante (ganho) e assim elevar o nível do sinal na saída.
Figura 32 – Atraso de grupo
Para realização do filtro antialiasing foram utilizados dois filtros de variável de estado (State-Variable) ou Kerwin, Huelsman e Newcomb (KHN) de segunda ordem em cascata como apresentado pela figura33. O filtro KHN comparado com as outras topologias, possui os seus parâmetros (fator de qualidade e frequência de corte) menos sensível às varições dos componentes
do circuito devido a mudança de temperatura ou envelhecimento dos componentes (FRANCO;
FRANCO,2002).
Figura 33 – Ligação de filtros N=2 em cascata para obtenção de um filtro de quarta ordem
A figura34mostra a topologia do filtro State-Variable de segunda ordem. Os valores dos componentes foram determinados através da comparação das equações5.6e5.7com a equação
5.5. R7 Entrada C2 C1 R2 R6 R4 R5 R1 R3 - + +- - + FPB FPA FPF Saídas Figura 34 – Filtro KHN universal
A= R1 RG (5.8) Q= v u u t 1 + R4 RQ 1 1 R1+ 1 R2+ 1 RG ! RF1C1 R1R2RF2C2 (5.9) ωc= r R2 R1RF1RF2C1C2 (5.10) Considerando a tensão de 10 mVP (valor de pico) medida na saída do circuito pré-
amplificador, foi determinado o ganho do filtro para que o valor máximo da tensão na saída seja 2 Vp, desta forma, A=2V/20mV = 100.
Tendo em vista que R1= 50 kΩ e o ganho total A = A1= A2= 10, tem-se:
RG= R1 A = 50000Ω 10 = 5 kΩ ∙ Sistema H1
Escolhendo o valor de RF2= 62 kΩ e a partir da equação5.10, RF1pode ser determinado
para ωc12 = 1, 99x1010.
Considerando C = 1 nF, RF1é calculado por:
RF1= R
ωc12RRF2C2
= 810 Ω
A partir das transformações dada pelas equações5.5e5.6, O fator de qualidade é calculado através da equação:
Q1=
ωc1
2, 7192ωc
= 0, 52 RQ1é encontrado através da relação:
RQ1= R
Q1
K1K2− 1
= 929 Ω onde:
K1= 1 1 R+ 1 R+ 1 RG e K2= r RF2C R2RF2C ∙ Sistema H2
Os componentes do sistema H2foram determinados pelo mesmo método de H1.
Considerando RF4= 62 kΩ e ωc22 = 2, 50x1010. RF3= R ωc22RRF2C2 = 399 Ω Q2= ωc2 1, 9754ωc = 0, 81 RQ2= Q R 1 K1K2− 1 = 533 Ω
A figura35apresenta o diagrama de Bode do filtro projetado. Os valores dos resistores foram ajustados para os valores comerciais mais próximos. O diagrama completo do projeto pode ser consultado no apêndiceA.
Figura 35 – Diagrama de Bode para o filtro projetado
5.1.5
Processo de digitalização
A redução da ordem do filtro antialiasing analógico é possível em virtude do aumento da taxa de amostragem do conversor analógico-digital. Desta maneira pode-se garantir que não haverá falseamento dos sinais de interesse dentro da faixa dinâmica do filtro.
Um dos grandes problemas da sobreamostragem (upsampling) é o aumento do número dados gerados pelo sistema de digitalização. O excesso de dados produzidos pelo conversor A/D de forma desnecessária, irá aumentar a carga computacional requerida para processar as operações matemáticas. Uma forma simples de resolver este problema, é reduzir a frequência de amostragem (downsampling) após o processamento da fase por um fator M inteiro, retornando a frequência de amostragem especificada inicialmente. Para melhor representação do sinal na saída foi adotada uma frequência 9 vezes maior que a do amostrador.
A última etapa do processo de digitalização é a reconstrução das amostras. Esse pro- cedimento pode ser realizado por interpolação linear entre os valores discretizados, também
Figura 36 – Sistema de digitalização com filtro, conversor AD, decimador e reconstrução linear segmentada
5.2
Medição do defasamento temporal
Foi introduzido no capítulo3 os conceitos básicos de um HQLI e como as franjas de interferência são formadas, resultando no sinal mostrado pela figura 11. Nesse tópico serão abordadas as principais técnicas e algoritmos utilizados para processar os sinais obtidos em um QPSI para determinar corretamente o deslocamento do espelho de medição.
5.2.1
Decodificação da fase
Existem diferentes maneiras para extrair as informações contidas nos padrões gerados pelas franjas de interferências em um interferômetro. Uma das formas mais simples e intuitiva, é a análise por meio da contagem de franjas, que pode ser usada em sistemas unidimensionais (1D) ou bidimensionais (2D). O procedimento consiste em contar picos e vales do sinal ao longo do perfil das franjas de interferência. A desvantagem dessa técnica é que ela possui baixa resolução e precisão além de ser sensível as variações da amplitude do sinal, no entanto, permite ser usada em sistemas ópticos com apenas um fotodetector (HARDING,2013).
Para melhorar a qualidade das medidas interferométricas, a fase óptica pode ser avaliada através de um método denominado phase-shifting interferometer. Em um sistema bidimensional, por exemplo, pode-se posicionar uma câmera Charge-Coupled Device (CCD) na saída do interferômetro, as imagens formadas pelas franjas são capturas, e então, o deslocamento da fase óptica pode ser calculado por meio da sobreposição entre quadros fornecendo as informações acerca da grandeza medida. A desvantagem do uso de CCDs, é a necessidade do processamento digital da imagem dos quadros capturados e o alto custo computacional que ele acarreta, além
deste, a resolução da câmera está diretamente relacionada com o erro gerado pelo processo. Na medição da fase em quadratura (QPSI), o arranjo óptico determina a relação das fases ópticas entre os sinais de dois ou mais fotodetectores. Primeiramente, a intensidade de luz convertida em sinal de tensão é processada computacionalmente através de um algoritmo denominado wrapping-phase, entretanto, o cálculo realizado pelo algorítimo resulta em valores para o ângulo de fase no intervalo entre −π/2 e π/2. Os valores calculados pelo algoritmo de wrapping-phase, portanto, devem ser mapeados para o domínio [0, 2π], através de um segundo procedimento denominado phase-unwrapping.
A partir da tensão em cada fotodetector, dado pelas equações5.11e5.12, pode-se obter o valor da fase relativa entre os dois sinais em função da retardação do espelho. Para sintetizar todas as informações em uma única representação as funções temporais das tensões são transformadas para o eixo de coordenadas polares e representadas pela figura37.
VPD1 = x0+ Ax sin (φ ) (5.11) VPD2 = y0+ Ay cos (φ + εφ) (5.12) VPD1 VPD2 Vmax Vmax Vmax Vmax εp Ø Δr
Figura 37 – Representação dos sinais no domínio do tempo em coordenadas polares através da figura de Lissajous
Onde ε é o erro de ortogonalidade devido ao desalinhamento entre feixes dos braços do interferômetro, vibrações mecânica e a incompleta separação das duas componentes de polarização do laser. O raio, r, da figura5.13é função da amplitude de ambos os sinais VPD1
e VPD2 limitado a −Vmax< r < Vmax. A amplitude da tensão medida pode variar devido a não