2.6 Interferômetro de Michelson
3.5.2 Testes de aleatoriedade
A qualidade do gerador de números aleatórios pode ser avaliada através de dois tipos de testes:
∙ Teórico: Avalia as características do algoritmo gerador por meio da análise das proprieda- des matemáticas que formam as sequências numéricas aleatórias.
∙ Empírico: O teste é executado no modelo "caixa preta"pois avalia estatisticamente a sequência numérica produzida pelo algoritmo. O método empírico é empregado quando o algoritmo possui uma grande complexidade envolvida na sua construção.
Um teste teórico pode ser inicialmente realizado na triagem do algoritmo que potencial- mente não é capaz de atender aos requisitos do método de Monte Carlo. Em seguida, uma bateria de testes é realizada para identificar dependência e uniformidade entre os valores gerados. No en- tanto, a bateria de testes é um recurso que efetivamente não é capaz de concluir certamente sobre qualquer característica de uma sequência aleatória, os testes promovem evidências estatísticas que levam a concluir com certo grau de confiança, que uma sequência tende a se comportar com determinada propriedade.
O tipo de teste utilizado na avaliação das sequências aleatórias irá depender da aplicação do gerador. As baterias são reunidas em pacotes computacionais com os principais testes estatísticos para geradores aleatórios. Muito referenciado na literatura o TestU01 implementado em linguagem C pela Universidade de Montréal possui mais de 60 testes agrupados em três baterias: small crush, crush e o big crush.
∙ Small Crush: Consiste em uma bateria de execução rápida com 10 testes estatísticos recomendados para as primeiras avaliações das sequências numéricas;
∙ Crush: Se o Small Crush não for rejeitado, a sequência numérica deverá ser submetida ao Crushque reúne 96 testes, entretanto, demanda um maior tempo de execução;
∙ Big Crush: Executado quando o Crush não for rejeitado. Consiste em 104 testes estatísticos e é o ciclo de avaliação mais completo de todos. Consequentemente, requer o maior tempo de execução em comparação com as duas últimas baterias.
A não rejeição de um teste implica no indício que uma dada característica estatística é atendida. A não rejeição ao Big Crush pode levar a conclusão (com certo grau de confiança), que a sequência produzida pelo gerador é estatisticamente aleatória. As baterias do pacote TestU01 incluem os principais tipos de testes estatísticos relacionados por (KNUTH,1981) para verificar as propriedades estatísticas de uma sequência numérica:
∙ Poker test: Verifica a formação de padrões de sequências com cinco valores e avalia se as ocorrências estão dentro dos parâmetros estatísticos adequados.
∙ Coupon collecto’s test: Permite conferir a distribuição de frequências e a ocorrência dos possíveis valores dentro de um intervalo.
∙ Teste de permutações: Separa a sequência de entrada em vários grupos. A alteração da ordem relativa entre os elementos de cada grupo, permite uma certa quantidade de combinações (permuta), o número de vezes que cada ordem aparece é contada. Nesse teste, a coerência de todas as possíveis ordenações é verificada.
∙ Run test: Classifica e separa as sequências entre crescentes e decrescentes. O objetivo deste teste é avaliar o comprimento monotônico das subsequências em comparação com a sequência original.
∙ Maximum-of-t test: Verifica o maior valor entre os números de uma sequência finita e aplica posteriormente o teste de Kolmogorov-Smirnov nos valores máximos encontrados. ∙ Teste de colisões: Verifica probabilisticamente a coincidência entre valores em uma mesma
dimensão espacial.
∙ Correlação serial: Determina o coeficiente de correlação entre dois números consecutivos da sequência aleatória.
∙ Teste em subsequências: É o teste que verifica a consistência do gerador quando várias bateladas são geradas pelo algoritmo.
Os resultados das baterias de testes para vários tipos de geradores de números aleatórios são apresentados no trabalho de L’Ecuyer e Simard (L’ECUYER; SIMARD,2007). Para cada tipo de algoritmo os resultados são organizados em comprimento periódico, tempo de execução necessário para gerar 108números aleatórios na arquitetura computacional de 32bits e 64bits
com dada configuração de hardware e software, além do número de testes para o qual o valor p 2 Testa a hipótese de que os dados seguem uma dada distribuição por meio da comparação entre a CDF da suposta
se encontra fora do intervalo [10-10,1-10-10], representando o número de incidências de falhas
em cada bateria.
Apesar do gerador de Wichmann e Hill não ter sido rejeitado no BigCrush, e embora o algoritmo possibilite produzir longas sequências aleatórias - 2120 - com reduzido tempo
de execução comparativamente a outros algoritmos geradores (WICHMANN; HILL,2006);
neste trabalho o gerador de números aleatórios adotado na implementação da propagação das distribuições via método de Monte Carlo é o Mersenne Twister nativo do pacote Statistics and
Machine Learning Toolbox do MATLAB○R a partir das versões de 2006 (R14). O trabalho
de L’Ecuyer e Simard (L’ECUYER; SIMARD,2007) concluiu que os parâmetros estatísticos testados do gerador do MATLAB○R
, não foram rejeitados ao SmallCrush, contudo, o algoritmo sofreu rejeição a 5 testes do Crush e a 8 do BigCrush3.
3.5.3
Método da transformação inversa
O objetivo agora é estender as sequências aleatórias a outros modelos probabilísticos uma vez que as grandezas de entrada envolvidas no MMC podem assumir qualquer distribuição de probabilidades. Existem dois métodos que são amplamente utilizados na transformação de uma sequência numérica com distribuição uniforme entre [0,1] em distribuições de probabilidades definidas por outros modelos matemáticos: método da transformação inversa e o método da aceitação/rejeição.
O método da aceitação/rejeição pode ser aplicado em modelos com uma ou mais di- mensões e em variáveis aleatórias discretas ou contínuas. Nesse método, os valores aleatórios que seguem uma distribuição uniforme e gerados pelo primeiro algoritmo devem assumir o mesmo conjunto de valores das grandezas de entrada. Uma condição é previamente estabelecida para aceitar ou recusar um valor que é selecionado a partir da sequência uniforme. Caso o valor satisfaça essa condição, ele será aceito para determinada variável; caso contrário ele será descartado; e em seguida, um novo número é selecionado da sequência e novamente testado
(KROESE; TAIMRE; BOTEV,2011).
A grande desvantagem do método da aceitação ou rejeição é o volume excessivo de números que são gerados e logo descartados pelo algoritmo, elevando desta forma a carga computacional e consequentemente o tempo de execução do método.
O segundo método apresentado é conhecido como método da inversão ou método da transformação inversa. A variável aleatória produzida a partir desse método pode descrever qualquer distribuição de probabilidades tendo como origem sequências aleatórias uniformemente distribuídas no intervalo [0,1]. Cada valor produzido pelo gerador uniforme é mapeado no 3 O JCGM101 faz menção somente ao sucesso do algoritmo de Wichmann e Hill ao BigCrush não detalhando os seus resultados. A versão aprimorada do algoritmo de Wichmann e Hill não foi tratada no trabalho de L’Ecuyer e Simard (L’ECUYER; SIMARD,2007)
A inversão da equação3.13resulta na equação3.14.
x= G−1X (x) (3.14)
Onde X é uma variável aleatória U(0,1). De forma generalizada os valores da distribuição transformada podem ser obtido através da equação3.15.
x= G−1(U ) (3.15)
Para ilustrar a compreensão do método, considere, por exemplo,a geração de valores aleatórios que descrevam uma PDF dada pela equação3.16.
gX(x) = (
x, se0 ≤ x ≤ 1
0, caso contrário. (3.16)
A CDF da equação3.16é determinada através da equação3.17.
GX(x) = Z x 0 ydy=x 2 2 (3.17)
A inversa da equação3.17é dada pela equação3.18.
x=p2GX(x) (3.18)
Substituindo GX(x) ∼ U (0, 1), tem-se, x =
√
2U . A figura18mostra a frequência ab- soluta no eixo das ordenadas para valores aleatórios gerados conforme a PDF da equação
3.16.
O método da transformada inversa foi aplicado na geração das distribuições trapezoidais atribuídas à algumas grandezas do modelo de medição semelhantemente ao exemplo exposto para uma distribuição linear.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 X Frequência absoluta
Distribuição gerada pelo método da transformação inversa
Figura 18 – Frequência absoluta dos valores gerados pelo método da transformação inversa para uma variável X obedecendo a PDF linear no intervalo [0,1] a partir dos valores gerados da variável U que obedece a PDF uniforme U(0,1)
3.5.4
Representação da saída do modelo
O histograma da distribuição de frequências da variável de saída do modelo pode oferecer uma representação aproximada da PDF de Y quando o intervalo de classes do histograma é adequadamente selecionado. Devido a sensibilidade dos resultados estatísticos ao intervalo de classe do histograma de Y , os cálculos da média, desvio-padrão e intervalo de abrangência são obtidos em termos da representação discreta da distribuição cumulada da grandeza de saída. Deve-se enfatizar que os histogramas apresentados ao longo deste trabalho constituem apenas
como um recurso visual para compreender o comportamento da PDF de uma grandeza (COX;
HARRIS,2006).
Além da representação gráfica por distribuição de frequências, a normalização do his- tograma de Y permite inclusive obter uma aproximação contínua da PDF dessa variável. O procedimento de normalização consiste em dividir a altura (ou frequência absoluta) pela área de cada intervalo considerado. Outro recurso que permite obter informações sobre o comportamento de uma variável aleatória é a função de distribuição acumulada definida pela equação3.13.
3.5.4.1 Intervalo de abrangência
O intervalo de abrangência pode ser obtido a partir da CDF da grandeza de saída do modelo de medição, o intervalo de abrangência é definido pelo limite inferior yl e limite superior
yhe contém o conjunto de valores verdadeiros de um mensurando, com uma probabilidade p, previamente determinada (INMETRO,2012). Quando a distribuição do mensurando é simétrica em relação a média do vetor Gy(η) o intervalo de abrangência é obtido a partir dos valores
ordenados da saída do modelo para os limites inferior e superior respectivamente iguais a M(1 − p) e M p. Considerando, por exemplo, M = 105, os limites do intervalo de abrangência simétrico são obtidos pelos valores dos elementos 2 500 e 97 500 do vetor ordenado Gy(η)
(COX; HARRIS,2006). Muitas vezes o limite inferior, yle o limite superior yhde um intervalo de
abrangência compreendem entre dois pontos da representação discreta de Gy(η) do mensurando,
neste caso, a estimativa dos limites são obtidas por meio da interpolação linear de yl com
probabilidade α = 1 − p, definido pelos limites y(r) e y(r+1) com probabilidades pr e pr+1
η
y(r) yl y(r+1) pr+1 pr α y(s+1) y(s) yh pFigura 19 – Obtenção dos limites do intervalo de abrangência simétrico a partir da distribuição cumulada do mensurando
Os pontos na curva da figura19são determinado através da semelhança entre os triângu- los formados pelas retas perpendiculares e adjacentes do eixo coordenado próximas aos pontos de interesse. O limite inferior pode ser encontrado a partir da equação3.19.
α − pr
pr+1 =
yl− y(r)
y(r+1)− y(r) (3.19)
Explicitando o yl, tem-se o limite inferior do intervalo de abrangência dado pela equação
3.20.
yl= α − pr pr+1− pr
y(r+1)− y(r) + y(r) (3.20)
O valor do limite superior, portanto, é dado pela equação3.21.
yh= α − ps ps+1− ps
y(s+1)− y(s) + y(s) (3.21)
Quando a distribuição de probabilidades do mensurando não é simétrica em relação a média o procedimento adotado para estimar o intervalo de abrangência deve seguir o método proposto no (BIPM et al.,2008). Considerando 0 ≤ α ≤ (1 − p), e α = (1 − p), onde p é a
probabilidade de abrangência requerida, os limites estimados do intervalo podem ser definidos de acordo com as equações3.22e3.23.
yl= G−1(α) (3.22)
yh= G−1(p + α) (3.23)
Onde yl e yhsão respectivamente o limite inferior e o limite superior do intervalo de
abrangência e G−1é a inversa da função de probabilidade acumulada do mensurando calculada para o valor de α e p + α. O menor intervalo de abrangência pode ser encontrado para o valor de α que minimize a relação |G−1(p + α) − G−1(α)| para 0 ≤ α ≤ (1 − p) (BIPM et al.,2008). O valor de α que minimiza a equação é encontrado numericamente para vários valores de α entre 0 e (1 − p), a partir do gráfico determina-se o menor intervalo |yh− yl| em torno da média de Y e
INTERFERÔMETRO
Nessa seção serão apresentados as principais fontes de incertezas que foram consideradas na avaliação do resultado da medição do interferômetro de Michelson.
4.0.1
Comprimento de onda do Laser
O laser é uma fonte de radiação eletromagnética coerente de alta diretividade capaz de emitir feixes de luz com alta intensidade dentro de uma banda espectral muito estreita. O valor do comprimento de onda do laser é usado como referência na medição precisa do deslocamento do espelho móvel no interferômetro. O interferograma do laser permite relacionar a diferença do caminho óptico com a intensidade do sinal medido pelo detector infravermelho.
Essencialmente um laser é composto por um meio ativo, uma cavidade óptica e uma fonte de bombeamento, mostrado esquematicamente pela figura20. O meio ativo é constituído por algum elemento químico com características atômicas específicas. Os átomos desse elemento quando no seu estado fundamental, podem absorver energia e sofrer transições à níveis energéti- cos maiores. Naturalmente os elétrons que foram promovidos tendem a retornar ao seus estado fundamental (relaxação) liberando energia na forma de onda eletromagnética, esse processo é denominado de emissão espontânea. Um átomo excitado também pode absorver fótons fazendo com que o elétron promovido retorne ao estado fundamental emitindo o fóton correspondente a emissão espontânea e um outro relativo ao fóton incidente (emissão estimulada).
Para existir a ação laser, as transições de emissão estimulada devem ser predominantes no meio ativo em comparação às transições de absorção e o estado mais energético deve possuir grande parte da população de elétrons se comparado ao seu estado fundamental. Entretanto, a inversão da população só é possível quando o tempo de vida do elétron no estado mais energético ou metaestável for longo o suficiente para que a fonte de bombeamento seja capaz de promover
um grande número de elétrons.
A emissão estimulada ocorre devido a constante interação entre os fótons e os átomos do estado metaestável obtida pelo confinamento da luz no interior da cavidade óptica ou ressonador óptico. São posicionados em cada uma das extremidades da cavidade um espelho totalmente refletor e um espelho semitransparente, parte da radiação amplificada dentro da cavidade é transmitida à saída através do espelho semitransparente na forma de luz. Fundamentalmente o ressonador é um interferômetro de Fabry-Pérot ou etalon1, e a condição para que a interferência construtiva seja máxima entre os espelhos é dada pela equação4.1(WEIS; EWING,1998).
λ0=
2L
m (4.1)
A equação4.1mostra a relação existente entre o comprimento de onda da luz do laser, a separação L entre os espelhos e o valor m que representa o múltiplo inteiro da metade de comprimentos de onda que podem ocupar a cavidade ressonante.
Figura 20 – Laser constituído por fonte de bombeamento, cavidade ressonante e espelhos
O PerkinElmer 1710 possui um laser contínuo no qual o meio ativo é preenchido por uma mistura de gás Hélio e Neônio sob baixa pressão. Uma fonte externa produz energia por meio descargas elétricas que é transferida ao meio ativo e essa energia é absorvida pelo gás Hélio. Por sua vez, o Hélio no estado excitado transfere energia ao Neônio através de colisões entre os átomos dos dois elementos. Os átomos de Neônio são promovidos e em conjunto com o Hélio formam o estado metaestável. A emissão estimulada e espontânea de um grande número de elétrons da população invertida entre os dois estados resulta na emissão de luz no comprimento de onda de 632,8 nm juntamente com a emissão de outros valores comprimentos de onda.
Mesmo que a cavidade óptica seja projetada para amplificar um único comprimento de onda, outras frequências ( f = c/λ ) são permitidas e amplificadas pelo ressonador. Cada valor associado ao comprimento de onda da luz reforçado na saída da cavidade é denominado modo longitudinal do laser. Os modos são representados por curvas verticais equidistantes com largura 1 O etalon é um filtro óptico de alta seletividade composto por dois espelhos esféricos em paralelo
Figura 21 – Curva de ganho da cavidade do laser HeNe
Um laser HeNe tipicamente utilizado em aplicações FTIR não é monocromático e tão pouco as frequências emitidas são estáveis o tempo todo. O feixe é sensível às variações da distância entre os espelhos devido a elevação ou redução da temperatura na cavidade óptica. A variação do comprimento de onda em função da temperatura do meio é dado pela equação4.2
(WEIS; EWING,1998).
∆λT[nm] =
2L0
m (αL∆T ) (4.2)
Considerando o laser HeNe modelo LH321H-PC da Melles Griot de 633 nm (compri- mento de onda no vácuo) a 25 ∘C, espaçamento longitudinal ∆ f = 438 MHz, distância entre os espelhos calculada L0= 34, 22 cm e modo m = 1 081 201 (633 nm), o erro do comprimento
de onda do laser devido a uma variação ∆T = 1∘C é aproximadamente ∆λ T = 32 × 10−6 nm ou ∆vT˜ = 0, 079 cm-1 em unidades de energia. Considerando αL= 50 nm/∘C o valor típico do
coeficiente linear de expansão do vidro que envolve a cavidade ressonante (WEIS; EWING,
1998).
O valor do comprimento de onda do laser considerando somente a dilatação da cavidade ressonante é definido como λop= λ0+ ∆λT dado em nanômetros ou ˜vop= ˜v0+ ∆vT˜ em cm-1. O
erro de medição provocado por um efeito sistemático do comprimento de onda da referência do FTIR é relacionado com a radiação IV conforme a equação4.3(WEIS; EWING,1998). Onde
˜
vé o valor do número de onda da radiação no IV em qualquer ponto da faixa de operação do FTIR, ˜v0é o número de onda do laser usado como referência (15 797,79 cm-1) e ∆vT˜ é o erro do
valor do comprimento de onda considerando a expansão da cavidade óptica.
2 c = 299 792 458 m/s é o valor da velocidade de propagação da luz no vácuo recomendado pela segunda resolução da 15∘conferência do CGPM em 1975.
Considerando a referência igual a ˜v0= 15 797,79 cm-1e número de onda no espectro
infravermelho de ˜v= 1000, o erro calculado é de 0,005 cm-1devido a somente uma variação de 1∘C na cavidade óptica do laser.
εvT˜ =
˜ v∆vT˜
˜
v0 (4.3)
O feixe de luz de referência compartilha o mesmo caminho óptico percorrido pela radiação IV no interferômetro, o interferograma do laser permite correlacionar a amplitude do sinal medido pelo detector infravermelho com a diferença do caminho óptico. Desde que a banda de frequências ópticas da cavidade ressonante seja muito estreita (≈ 1 kHz) a luz emitida pelo laser pode ser considerada monocromática. O interferograma do laser de referência é um sinal puramente senoidal. A cada passagem pelo zero o amostrador do conversor analógico digital utilizado para discretizar o sinal medido pelo detector infravermelho é disparado periodicamente por um período menor ou igual a 1/ ˜v0= 0, 00633 cm-1.
O intervalo entre os pontos de um interferograma no espectro infravermelho é definido pelo período de amostragem do FTIR, a distância entre os pontos vizinhos é determinada pela resolução do DMI dado por 1/ ˜v0e está diretamente relacionada com grau de exatidão dos valores
indicados no eixo das abcissas (número de onda) de um espectrograma medido pelo FTIR. O intervalo de amostragem determina a menor variação entre dois pontos adjacentes do perfil de um espectrograma que o instrumento é capaz de distinguir. A exatidão do FTIR está relacionada com a configuração óptica do interferômetro, do comprimento de onda da radiação de referência, com a técnica empregada para medir a diferença do caminho óptico bem como as incertezas instrumentais avaliadas.
4.0.2
Índice de refração do ar
O índice de refração do meio é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo, c, e a velocidade da luz no meio de propagação, s, de acordo com a equação4.4.
n= c
s (4.4)
O índice de refração depende da composição do meio no qual a luz se propaga e é significativamente afetado pela mistura dos gases que estão dispersos na atmosfera, vapores, temperatura e pela variação da pressão do meio.
Quando a luz é transmitida do meio incidente (cavidade óptica) para um meio mais refringente (ar), ela perde velocidade e consequentemente o seu comprimento de onda é reduzido. Os fenômenos físicos que são observados quando um raio de luz monocromático atravessa dois meios com índices de refração diferentes (cavidade óptica/ar) e as relações matemáticas que os regem, são estabelecidas pela Lei de Snell. O comprimento de onda do laser no ar, λar,
relativa do ar. Até a década de 1960 a correção aplicada ao índice de refração foi definida em termos de condições padronizadas pelos laboratórios de metrologia e espectroscopia. O índice de refração "padrão"do ar foi considerado como referência primária para a correção do comprimento de onda da luz sob condições ambientais médias encontradas nos laboratórios dessa época.
O valor da refratividade do ar foi adotado a partir de 1953 com base nas medições de Barrell e Sear (EDLÉN,1966) considerando as condições padronizadas de temperatura (15∘C), pressão (101 325 Pa) e considerando o ar seco com certa concentração de Nitrogênio, Oxigênio, Argônio e Dióxido de Carbono. Mesmo que tenha sido aceita e amplamente empregada nos laboratórios de espectroscopia, a fórmula de dispersão de Barrell e Sear ainda não foi satisfatória em razão das divergências identificadas entre os valores medidos e calculados. Em 1965 a refratividade absoluta do ar foi definida em termos da temperatura e pressão em meio atmosférico contendo vapor de água e Dióxido de Carbono pelo físico sueco Bengt Edlén (EDLÉN,1966). Através do modelo matemático de Edlén o índice de refração do ar pode ser bem caracterizado, permitindo compensar comprimentos de onda na região do espectro visível e infravermelho com incertezas na ordem de ±0, 01 ppm, além das incertezas inerentes aos instrumentos utilizados para a medição das grandezas do modelo matemático do cálculo da dispersão.
Em 1993 a formulação original de Edlén sofreu modificações e revisões fundamentadas no trabalho de Birch e Downs (BIRCH; DOWNS,1993). Na atualização, as grandezas do modelo original foram adaptadas para seguir o Sistema Internacional de unidades (SI), os resultados originais foram confrontados com medições utilizando um refractômetro e novas revisões foram