Erro iterativo

A Tabela 4.1 apresenta para casos com n´umero de Reynolds igual a 100, o n´umero de itera¸c˜oes m´edio por passo de tempo (nit) dos ´ultimos 10 ciclos do coeficiente de

sustenta¸c˜ao para os casos 1 a 16 (ver Tabela 3.7), adotando diferentes refinamentos de malha, mostrados na Tabela 3.3, e diferentes valores de tolerˆancia ou crit´erio de parada para a convergˆencia iterativa por passo de tempo, como mostrado na Tabela 3.6.

Tabela 4.1: Testes com Re = 100: N´umero de Itera¸c˜oes m´edio por passo de tempo (nit) dos ´ultimos 10 ciclos para diferentes malhas e tolerˆancias.

Malha | Tolerˆancia

1 × 10

1 × 10

1 × 10

1

3

15

47

2

3

11

40

3

2

6

32

4

2

5

24

(nit) para os testes com a mesma malha, resultando em maior o esfor¸co computacio-

nal. Desta forma, ´e vi´avel que se procure realizar simula¸c˜oes com a maior tolerˆancia poss´ıvel que n˜ao interferira nos resultados da simula¸c˜ao.

Verifica-se tamb´em que para um mesmo crit´erio de parada o n´umero de itera¸c˜oes diminui conforme a malha ´e refinada. Isto indica que os resultados convergem mais rapidamente para malhas mais refinadas, esta tendˆencia tamb´em foi observada no estudo de E¸ca et al. [21].

As Figuras 4.1 a 4.4 apresentam os coeficientes de arrasto em fun¸c˜ao do tempo e as Figuras 4.5 a 4.9 apresentam os coeficientes de sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo. Para que os gr´aficos ficassem superpostos, diminuiu-se o tempo inicial de cada to- lerˆancia de cada s´erie temporal (t = ti− t0, sendo t0 o tempo inicial da tolerˆancia

utilizada) obtidos para os casos 1 a 16, com as malhas 1, 2, 3 e 4 usando-se diferentes valores de tolerˆancia, conforme Tabela 3.7.

Pode-se verificar nas Figuras 4.1 a 4.4 que para valores de tolerˆancia 1 × 10−11 (crit´erio de parada 2), a s´erie temporal do coeficiente de arrasto se distancia dos outros resultados, possuindo menores valores m´aximo e m´ınimo do coeficiente e tamb´em frequˆencia menor. A utiliza¸c˜ao deste valor de tolerˆancia na simula¸c˜ao n˜ao representa bem o fenˆomeno f´ısico pois o baixo n´umero de itera¸c˜oes necess´ario para atingir este valor da tolerˆancia n˜ao ´e suficiente para que a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes convirjam para o valor correto.

A rela¸c˜ao entre as malhas e a tolerˆancia utilizada tamb´em destaca-se nas Figuras 4.1 a 4.4, uma vez que para malhas mais refinadas as curvas de CD com crit´erio de

parada 1, 3 e 4 possuem per´ıodo e amplitude muito menores que a curva de crit´erio 2 quando comparados com as curvas da malha 1.

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cd 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 1 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.1: Coeficiente de arrasto em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cd 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 2 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.2: Coeficiente de arrasto em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 2 (Casos 5, 6, 7 e 8 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cd 1.37 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 3 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.3: CD em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerˆancia e a malha 3 (Casos 9, 10, 11 e 12 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cd 1.365 1.37 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.4: CD em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes

A Figura 4.5 mostra os valores do coeficiente de arrasto m´edio (CD) dos casos

plotados nas Figuras 4.1 e 4.2. Como j´a visto anteriormente, observando diferentes valores de tolerˆancia, considerando a mesma malha, o valor do coeficiente de arrasto obtido com a tolerˆancia 1 × 10−11 se distancia dos demais. Al´em disso, mesmo para as outras tolerˆancias (1 × 10−13 e 1 × 10−15) os valores mostraram-se diferentes para a malha mais refinada, na qual foi necess´ario um menor n´umero de itera¸c˜oes para se obter a tolerˆancia desejada.

Figura 4.5: Coeficiente de Arrasto m´edio dos ´ultimos 20 ciclos em fun¸c˜ao da raz˜ao de refinamento simultˆaneo de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerˆancia.

Os gr´aficos 4.5 a 4.9 apresentam a s´erie temporal do coeficiente de sustenta¸c˜ao dos casos 1 a 12. Como o per´ıodo da s´erie do coeficiente de sustenta¸c˜ao ´e o dobro do per´ıodo do coeficiente de arrasto, apenas dez per´ıodos foram considerados neste coeficiente enquanto vinte eram observados nos gr´aficos de CD.

A Figura 4.10 mostra os valores do coeficiente de sustenta¸c˜ao RMS (CL) dos casos

plotados nas Figuras 4.5 a 4.9. Para os diferentes valores de tolerˆancia, considerando a mesma malha, assim como o coeficiente de arrasto, verificamos que o valor do coeficiente de sustenta¸c˜ao obtido com a tolerˆancia 1 × 10−11se distancia dos demais, por´em, diferentemente dos valores de coeficiente de arrasto, Figura 4.5, os casos com as duas menores tolerˆancias (1 × 10−13 e 1 × 10−15) apresentam valores diferentes de coeficientes de sustenta¸c˜ao, apesar de apresentarem a mesma tendˆencia com o refinamento da malha.

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 1 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.6: Coeficiente de Sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 2 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.7: Coeficiente de Sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 2 (Casos 5, 6, 7 e 8 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 3 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.8: Coeficiente de Sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 3 (Casos 9, 10, 11 e 12 da Tabela 3.7).

Um fato curioso da Figura 4.10 foi a aproxima¸c˜ao dos valores de CL nos casos

4, 8, 12 e 16, que apresentam malha mais refinada. Este fato pode ser causado pela influˆencia do refinamento da malha sobre o coeficiente de sustenta¸c˜ao, pois quanto mais elementos de malha ao redor do cilindro, melhor ´e representado o ponto de separa¸c˜ao do escoamento na camada limite de sua parede. A melhor representa¸c˜ao da separa¸c˜ao do escoamento ´e fundamental para a representa¸c˜ao do desprendimento de v´ortices do escoamento ao redor do cilindro, j´a que se o ponto desprender mais a jusante do cilindro a interferˆencia entre os v´ortices sendo formados acima e a baixo do cilindro ser´a intensificada pela proximidade entre eles, o que ocasionaria aumento da frequˆencia de desprendimento de v´ortices alterando tanto o valor do coeficiente de sustenta¸c˜ao quanto o n´umero de Strouhal da simula¸c˜ao.

A Figura 4.11 mostra os valores do n´umero de Strouhal m´edio (St) dos casos 1 a 16, plotados nas Figuras 4.1 a 4.9. Para a tolerˆancia os diferentes valores de tolerˆancia 1 × 10−11, verificamos que o valor n´umero de Strouhal obtido n˜ao

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.9: Coeficiente de Sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 4 (Casos 13, 14, 15 e 16 da Tabela 3.7).

Figura 4.10: Coeficiente de sustenta¸c˜ao RMS dos ´ultimos 10 ciclos em fun¸c˜ao da raz˜ao de refinamento simultˆaneo de malha e tempo (1,√2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerˆancia.

se aproxima dos demais casos com tolerˆancias menores e do caso de 50 itera¸c˜oes por passo de tempo. Para este valor de tolerˆancia, os valores encontrados para o n´umero de Strouhal m´edio variam com o refinamento da malha. J´a os demais crit´erios de parada (1, 3 e 4) apresentam valores do n´umero de Strouhal variando pouco em rela¸c˜ao ao refinamento da malha e os valores de Strouhal para os crit´erios de parada 1 e 4 coincidem e s˜ao praticamente lineares em rela¸c˜ao ao refinamento da malha. Esta tendˆencia mostra que o crit´erio de parada ´e um grande influenciador no resultado do n´umero de Strouhal.

Diferentemente da tendˆencia mostrada nos valores do coeficiente de sustenta¸c˜ao para os casos de malha mais refinada (casos 4, 8, 12 e 16) o n´umero de Strouhal destes casos n˜ao se aproximam. Para a malha mais refinada (malha 4, ou seja, raz˜ao de refinamento √2) e diferentes crit´erios de parada, o n´umero de Strouhal dos crit´erios de parada 1 e 4 continuam iguais e os crit´erios 2 e 3 se distanciam do valor destes. Entretanto, a distˆancia ´e um valor relativamente pequeno: o n´umero de Strouhal m´edios dos casos 8 e 12 distam, respectivamente, 0, 0065 e 0, 0406 do n´umero de Strouhal dos casos 4 e 16.

Figura 4.11: N´umero de Strouhal m´edio dos ´ultimos 10 ciclos da s´erie temporal de CLem fun¸c˜ao da raz˜ao de refinamento simultˆaneo de malha e tempo (1,

√

2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerˆancia.

Assim sendo, pode-se concluir que apesar de o custo computacional de tolerˆancias maiores ser menor, nem sempre elas representam adequadamente o fenˆomeno f´ısico que se deseja estudar. Sendo preciso, ent˜ao, de um estudo de erro iterativo para se

estimar a tolerˆancia mais adequada para simula¸c˜ao dos casos.

A tabela 4.2 apresenta o CD m´edio, CLRMS e o n´umero de Strouhal m´edio cal-

culados a partir da s´erie temporal dos coeficientes de arrasto e sustenta¸c˜ao, Figuras 4.1 a 4.9, casos 1 a 16. O n´umero de Strouhal foi calculado a partir do per´ıodo m´edio do coeficiente de sustenta¸c˜ao.

Tabela 4.2: Resultados dos coeficientes de arrasto e sustenta¸c˜ao e do n´umero de Strouhal para n´umero de Reynolds igual a 100 e varia¸c˜oes de refinamento de malha e crit´erios de parada.

Caso Malha Tolerˆancia Itera¸c˜oes por Passo de Tempo Cd m´edio Cl St

1 1 Sem restri¸c˜ao 50 1,3892 0,2426 0,1699 2 1 1 × 10−11 _{3 1,3878 0,2391 0,1598} 3 1 1 × 10−13 15 1,3891 0,2423 0,1699 4 1 1 × 10−15 47 1,3892 0,2426 0,1699 5 2 Sem restri¸c˜ao 50 1,3875 0,2413 0,1701 6 2 1 × 10−11 3 1,3886 0,2378 0,1564 7 2 1 × 10−13 _{11 1,3874 0,2408 0,1701} 8 2 1 × 10−15 40 1,3875 0,2413 0,1701 9 3 Sem restri¸c˜ao 50 1,3862 0,2406 0,1701 10 3 1 × 10−11 2 1,3839 0,2377 0,1348 11 3 1 × 10−13 6 1,3863 0,2394 0,1682 12 3 1 × 10−15 _{32 1,3862 0,2406 0,1701} 13 4 Sem restri¸c˜ao 50 1,3857 0,2403 0,1701 14 4 1 × 10−11 _{2 1,3842 0,2397 0,1295} 15 4 1 × 10−13 5 1,3866 0,2393 0,1636 16 4 1 × 10−15 24 1,3857 0,2403 0,1701

Na Tabela 4.2, verificamos que os valores do coeficiente de arrasto m´edio variam com o refinamento da malha, para as diferentes tolerˆancias. As malhas mais refi- nadas, malha 3 e 4, apresentaram valores mais pr´oximos de coeficiente de arrasto m´edio do que as outras malhas. J´a os valores do n´umero de Strouhal, para as quatro raz˜oes de refinamento de malha houve convergˆencia de valores para o menor valor da tolerˆancia. Como era de se esperar, os valores ficaram mais pr´oximos com a tolerˆancia menor e se afastaram com seu aumento. Al´em disso, as malhas mais re- finadas obtiveram valores mais pr´oximos e menos vari´aveis em fun¸c˜ao da tolerˆancia

do que malhas mais grosseiras.