ESTUDO NUME RICO DE ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR FIXO. Rachel Viana Khalil

(1)

ESTUDO NUM´ERICO DE ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR FIXO

Rachel Viana Khalil

Projeto de Gradua¸cão apresentado ao Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Engenheiro.

Orientadores: Paulo de Tarso Themistocles Esperan¸ca

Marcelo de Araujo Vitola

Rio de Janeiro Setembro de 2016

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Rachel Viana Khalil

PROJETO DE GRADUAÇ ÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCE ÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL.

Aprovada por:

Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperan¸ca, D.Sc.

Marcelo de Araujo Vitola, D.Sc.

Prof. Sergio Hamilton Sphaier, D.Ing.

Prof. Claudio Alexis Rodr´ıguez Castillo, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL SETEMBRO DE 2016

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Khalil, Rachel Viana

Estudo Num´erico de Escoamento ao Redor de um Cilindro Circular Fixo/ Rachel Viana Khalil. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Polit´ecnica/ 2016.

XIV, 52 p. 29, 7cm.

Orientadores: Paulo de Tarso Themistocles Esperan¸ca Marcelo de Araujo Vitola

Projeto de Gradua¸cão – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2016.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 50 – 51.

1. Cilindro Circular. 2. Simula¸cões Numéricas. 3. CFD. I. Esperan¸ca, Paulo de Tarso Themistocles et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. T´ıtulo.

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Aos meus pais, Glória Viana Rosa e Jorge Ibrahim Khalil, que sempre me apoiaram e me motivaram a atingir meus ob-jetivos com excelência e deter-mina¸cão. Agrade¸co imensamente o apoio incondicional, carinho e dedica¸cão, vocês são e sempre serão meus heróis. Amo vocês.

(5)

Agradecimentos

Aos meus pais, Gl´oria Viana e Jorge Khalil, e ao meu irm˜ao, Raphael Khalil, por serem meu exemplo de vida e por me apoiarem em todos os momentos.

Ao meu namorado Nikolas Kronemberger que sempre de forma carinhosa me d´a for¸ca e coragem, me apoiando nos momentos de dificuldades e realizando meus momentos mais felizes.

Aos professores Paulo de Tarso e Sergio Sphaier pelo sabedoria, orienta¸c˜ao e incentivo por toda gradua¸c˜ao.

Aos pesquisadores Marcelo Vitola e Mônica Campos pela imensa paciência, sa-bedoria e orienta¸cão neste trabalho.

Aos navais André Georges, Bianca Mendes, Bernardo Kahn, Daniel Costa, Di-ana Moreira, Joice Carrara, Jonas Haddad, Lucas Motta e Tiago Siesler por serem responsáveis pelos melhores e estarem presentes nos piores momentos da gradua¸cão. Aos amigos Ana Carolina Caiban, Ana Carolina Pettersen, Beatriz Logar, Clara Zimbarra, Gabriel Sab, Ivan Silveira, Maria Thereza Fernandez, Julia Marques, Mônica Nobrega, Rodrigo Corbelli e Thais Monteiro, por todos os momentos hilários e pelo apoio por tantos anos.

Aos professores e funcionários do departamento de Engenharia Naval e Oceânica da UFRJ por toda dedica¸cão e sabedoria.

Agrade¸co à Agência Nacional do Petróleo, Gás e Biocombust´ıveis pelo suporte financeiro.

(6)

Resumo do Projeto de Gradua¸cão apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Engenheiro Naval.

Rachel Viana Khalil

Setembro/2016

Orientadores: Paulo de Tarso Themistocles Esperan¸ca Marcelo de Araujo Vitola

Curso: Engenharia Naval e Oceˆanica

Na indústria naval e offshore, estruturas cil´ındricas, tais como, risers, pipelines e linhas de amarra¸cão são constantemente utilizadas e submetidas a condi¸cões ambi-entais diversas. Pode-se destacar as correntes mar´ıtimas como causas de falhas em risers.

A for¸ca sobre estruturas cil´ındricas devidas ao escoamento pode ser determinada através de experimentos em laboratórios e/ou simula¸cões numéricas. E para a de-termina¸cão do efeito do escoamento uniforme em estruturas cil´ındricas submersas deve-se calcular de forma adequada os valores dos coeficientes hidrodinâmicos.

O objetivo deste estudo é de analisar o problema de escoamento uniforme ao redor de um cilindro circular fixo profundamente submerso, através de um modelo numérico viscoso implementado no software StarCCM+. Foi investigado o caso particular de escoamento uniforme com número de Reynolds de 100 a 1000.

Neste estudo, obteve-se resultados numéricos dos coeficientes de arrasto, de sus-tenta¸cão e do número de Strouhal para a faixa de número de Reynolds estudada e também a incerteza numérica.

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Abstract of Undergraduated Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

NUMERICAL STUDY OF FLOW AROUND A FIXED CIRCULAR CYLINDER

Rachel Viana Khalil

September/2016

Advisors: Paulo de Tarso Themistocles Esperan¸ca Marcelo de Araujo Vitola

Course: Naval and Ocean Engineering

In the marine and offshore industry, cylindrical structures, such as risers, pipelines and mooring lines, are constantly used and subjected to different envi-ronmental conditions. Ocean currents can be highlighted as the main causes of failures in risers.

The strength on cylindrical structures due to the flow can be determined by laboratory experiments and / or numerical simulations. And, for determining the effect of the uniform flow in submerged cylindrical structures the values of the hy-drodynamic coefficients must be calculate accurately.

The aim of this study is to analyze the steady flow around a fixed circular deeply submerged cylinder using a viscous numerical model implemented in the software StarCCM+. The particular case of uniform flow with Reynolds number from 100 to 1000 was investigated in this work.

In this study, numerical results of the drag coefficients, the lift coefficients and the Strouhal number, as well as the numerical uncertainty, were obtained to the Reynolds number range studied.

(8)

Sum´

ario

Lista de Tabelas xiii

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Revis˜ao Bibliogr´afica 4

2.1 Revis˜ao te´orica . . . 4

2.1.1 N´umero de Reynolds . . . 4

2.1.2 N´umero de Strouhal . . . 4

2.1.3 Regimes de Escoamento ao Redor de um Cilindro . . . 5

2.1.4 Desprendimento de v´ortices . . . 7

2.1.5 For¸cas de Arrasto e de Sustenta¸c˜ao . . . 7

2.2 Trabalhos Anteriores . . . 11

3 Metodologia Num´erica 14 3.1 Equa¸c˜oes Governantes . . . 14

3.2 Dom´ınio Computacional . . . 15

3.3 Malha . . . 17

3.4 Condi¸c˜oes Iniciais e de Contorno . . . 19

3.4.1 Condi¸c˜oes de Contorno . . . 19

3.4.2 Condi¸c˜ao Inicial . . . 20

3.5 Estimativa da Incerteza dos Resultados Num´ericos . . . 21

3.6 Simula¸c˜oes . . . 23

4 Resultados e Discuss˜oes 26 4.1 Verifica¸c˜ao dos resultados dos testes com Re=100 . . . 26

(9)

4.1.2 Erro de discretiza¸c˜ao . . . 36

4.2 Verifica¸c˜ao dos resultados dos testes com Re=300 e 1000 . . . 36

4.2.1 Erro iterativo . . . 36

4.2.2 Erro de discretiza¸c˜ao . . . 41

4.3 Valida¸c˜ao dos resultados dos testes com Re=100 a 1000 . . . 43

5 Conclus˜oes 48

(10)

Lista de Figuras

1.1 (a) Riser (retirada de [1]) , (b) Sistema de risers (retirada de [2]) . . 2

1.2 Ruptura da armadura de tra¸c˜ao do risers (retirada de [3]) . . . 2

2.1 Regimes de Escoamento ao redor de um cilindro circular (Adaptado de Sumer e Fredsoe [4]. . . 6

2.2 Representa¸cão da pressão normal e tensão cisalhante sobre a su-perf´ıcie do cilindro. . . 7

2.3 Componentes da for¸ca resultante: for¸ca de arrasto e de sustenta¸c˜ao. . 8

2.4 For¸ca de sustenta¸c˜ao sobre um cilindro sujeito a escoamento uniforme ao longo do tempo. . . 9

2.5 Frequˆencia da for¸ca de arrasto e de sustenta¸c˜ao. . . 10

2.6 Coeficiente de arrasto em fun¸c˜ao do n´umero de Reynolds, retirado de Sumer [4]. . . 11

3.1 Dimens˜oes do dom´ınio computacional. . . 16

3.2 Cotas do dom´ınio computacional. . . 17

3.3 Blocos de refinamento da malha computacional. . . 18

3.4 Fronteiras do dom´ınio computacional . . . 21

4.1 Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7). . . 28

4.2 Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 2 (Casos 5, 6, 7 e 8 da Tabela 3.7). . . 28 4.3 CD em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes

(11)

4.4 CD em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerância e a malha 4 (Casos 13, 14, 15 e 16 da Tabela 3.7). 29 4.5 Coeficiente de Arrasto médio dos últimos 20 ciclos em fun¸cão da razão

de refinamento simultâneo de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerância. . . 30 4.6 Coeficiente de Sustenta¸cão em fun¸cão do tempo para os últimos 10

ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7). . . 31 4.7 Coeficiente de Sustenta¸cão em fun¸cão do tempo para os últimos 10

ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 4 (Casos 13, 14, 15 e 16 da Tabela 3.7). . . 33 4.10 Coeficiente de sustenta¸cão RMS dos últimos 10 ciclos em fun¸cão da

razão de refinamento simultâneo de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerância. . . 33 4.11 Número de Strouhal médio dos últimos 10 ciclos da série temporal de

CL em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de malha e tempo

(1, √2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerância. . . 34 4.12 Re = 300 - Coeficiente de sustenta¸cão em fun¸cão do tempo para os

´

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 4 (Casos 17, 18, 19 e 20 da Tabela 3.7). . . 37 4.13 Re = 300 - Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos

20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 4 (Casos 17, 18, 19 e 20 da Tabela 3.7). . . 38 4.14 Re1000 - Coeficiente de sustenta¸cão em fun¸cão do tempo para os

´

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 4 (Casos 24, 25, 26 e 27 da Tabela 3.7). . . 38

(12)

4.15 Re = 1000 - Coeficiente de arrasto em fun¸c˜ao do tempo para os ´

ultimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 4 (Casos 24, 25, 26 e 27 da Tabela 3.7). . . 39 4.16 Re = 300 - Coeficiente de arrasto médio dos últimos 20 ciclos da série

temporal de CD em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de

malha e tempo (1, √2, 2, 2√2). . . 40 4.17 Re = 300 - Coeficiente de sustenta¸c˜ao RMS dos ´ultimos 10 ciclos da

série temporal de CL em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo

de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2). . . 41 4.18 Re = 1000 - Número de Strouhal médio dos últimos 10 ciclos da série

temporal de CL em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de

malha e tempo (1, √2, 2, 2√2). . . 41 4.19 Re = 1000 - Coeficiente de arrasto m´edio dos ´ultimos 20 ciclos da

série temporal de CD em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo

de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2). . . 42 4.20 Re = 1000 - Coeficiente de sustenta¸c˜ao RMS dos ´ultimos 10 ciclos da

série temporal de CL em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo

de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2). . . 42 4.21 Re = 1000 - Número de Strouhal médio dos últimos 10 ciclos da série

temporal de CL em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de

malha e tempo (1, √2, 2, 2√2). . . 43 4.22 Valida¸c˜ao do coeficiente de arrasto m´edio dos casos 13, 17 e 24 com

dados experimentais. . . 44 4.23 Valida¸c˜ao do coeficiente de sustenta¸c˜ao RMS dos casos 13, 17 e 24

com dados numéricos da literatura. . . 45 4.24 Valida¸cão do número de Strouhal médio dos casos 13, 17 e 24 com

(13)

Lista de Tabelas

2.1 Trabalhos anteriores . . . 13

3.1 Cotas do dom´ınio computacional. . . 16

3.2 Tamanho dos blocos de refinamento de malha computacional. . . 18

3.3 Refinamento da malha computacional. . . 19

3.4 Propriedades do fluido. . . 20

3.5 Velocidades do escoamento. . . 20

3.6 Crit´erio de parada das simula¸c˜oes. . . 23

3.7 Lista de simula¸c˜oes para N´umero de Reynolds = 100. . . 24

4.1 Testes com Re = 100: Número de Itera¸cões médio por passo de tempo (nit) dos últimos 10 ciclos para diferentes malhas e tolerâncias. . . 27

4.2 Resultados dos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão e do número de Strouhal para número de Reynolds igual a 100 e varia¸cões de refina-mento de malha e critérios de parada. . . 35

4.3 Resultados da análise de incerteza numérica do caso 13: Re = 100 malha mais refinada e critério de parada sendo igual a 50 itera¸cões por passo de tempo. . . 36

4.4 Número de Itera¸cões médio por passo de tempo dos últimos 10 ciclos de CL para a malha mais refinada e diferentes tolerâncias. . . 37

4.5 Resultados dos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão e do número de Strouhal para os números de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando diferentes refinamentos de malha e critério de parada fixo igual a 50 itera¸cões por passo de tempo. . . 39

(14)

4.6 Resultados dos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão e do número de Strouhal para os números de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando diferentes refinamentos de malha e critério de parada fixo igual a 50 itera¸cões por passo de tempo. . . 40 4.7 Resultados da análise de incerteza numérica dos casos 17 e 24: Re

= 300 e Re = 1000, malha mais refinada e critério de parada sendo igual a 50 itera¸cões por passo de tempo. . . 43 4.8 Compara¸cão de resultados do coeficiente de arrasto com dados

expe-rimentais. . . 44 4.9 Compara¸c˜ao de resultados do coeficiente de sustenta¸c˜ao com dados

da literatura. . . 45 4.10 Compara¸c˜ao de resultados do n´umero de Strouhal com dados

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Com a descoberta do Pré-sal em 2006, há um grande potencial de crescimento das reservas brasileiras e, consequentemente, desafios tecnológicos para explora¸cão de petróleo nesta área geológica. Na indústria Naval e Offshore, a busca por petróleo em águas profundas e ultra profundas vem aumentando a necessidade de projetos ca-pazes de operar nestes ambientes. Portanto, deve-se ser capaz de projetar estruturas como risers, pipe lines e linhas de amarra¸cão que são constantemente submetidas a condi¸cões ambientais de correntes e ondas, tensões devidas a sua conexão com a plataforma, for¸cas devidas ao seu próprio peso, entre outros fatores, capazes de operar em águas profundas.

No caso de risers por ser uma estrutura tubular longa, Figura 1.1 - (a), que conecta a plataforma ao leito marinho, condi¸cões ambientais como ondas e correnteza podem influenciar seu projeto. A varia¸cão temporal e ao longo da profundidade de correntes pode exercer for¸cas hidrodinâmicas significantes no riser e em seu sistema, principalmente em suas conexões. Além disso, a incidência do escoamento pode levar ao descolamento da camada limite sobre a estrutura cil´ındrica e, consequentemente, ao desprendimento de vórtices, que por sua vez pode induzir vibra¸cões na estrutura. Estas vibra¸cões induzidas por vórtices (VIV) podem levar ao acumulo de fadiga e, consequentemente, à perda da integridade estrutural, Figura 1.2. As vibra¸cões induzidas por vórtices podem vir a danificar estruturas oceânicas e causar grande preju´ızo à indústria naval e ao meio ambiente marinho.

A for¸ca hidrodinâmica sobre estruturas cil´ındricas devidas ao escoamento pode ser determinada através de experimentos em laboratórios e/ou simula¸cões numéricas.

(16)

(a) (b)

Figura 1.1: (a) Riser (retirada de [1]) , (b) Sistema de risers (retirada de [2])

Figura 1.2: Ruptura da armadura de tra¸c˜ao do risers (retirada de [3])

Portanto, para a determina¸cão do efeito do escoamento em estruturas cil´ındricas submersas, deve-se calcular de forma adequada os valores dos coeficientes hidro-dinâmicos, como os coeficientes de inércia e de arrasto.

As normas utilizadas na indústria Naval e Offshore, como por exemplo, a DNV-RP-C205 [5], sugerem a utiliza¸cão de valores médios constantes para o coeficiente de arrasto na estimativa das for¸cas atuantes ao longo de todo o comprimento da estrutura devidas ao ambiente externo.

A for¸ca hidrodinâmica em um corpo submerso é calculada pela soma das for¸cas atuantes nas diferentes se¸cões do corpo, e a intensidade da corrente varia com a profundidade do fluido. Ao longo de todo o seu comprimento, estas estruturas sub-mersas podem estar submetidas a diversas condi¸cões de opera¸cão como correntes

(17)

cont´ınuas ou oscilatórias de diversas velocidades e frequências. Um estudo abran-gendo todas as condi¸cões ambientais desde o topo até o leito marinho aos quais o riser está submetido, consiste na cobertura de toda a faixa de número de Reynolds (equa¸cão 2.1) desde o escoamento laminar, com número de Reynolds variando de 40 a 1000, até escoamento turbulento com número de Reynolds mais elevados.

Desta forma, o objetivo do presente projeto de gradua¸cão é estudar o problema de escoamento uniforme ao redor de um cilindro circular fixo profundamente submerso através de um modelo numérico viscoso implementado no software StarCCM+. Neste trabalho, será estudado o caso particular de escoamento uniforme com número de Reynolds de 100 a 1000. Devido ao elevado custo computacional, optou-se por realizar simula¸cões bidimensionais.

Resultados numéricos do coeficiente de arrasto, de sustenta¸cão e número de Strouhal são apresentados. A incerteza numérica dos resultados foi estimada através do estudo de convergência de malha e da metodologia proposta por E¸ca e Hoekstra [6]. Os resultados também foram validados com os dados experimentais apresentados na literatura.

Este trabalho est´a subdivido da seguinte forma:

• o cap´ıtulo 2 apresenta uma revis˜ao da teoria e dos estudos de escoamento uniforme ao redor de um cilindro circular fixo presentes na literatura.

• o cap´ıtulo 3 apresenta a metodologia numérica utilizada com a descri¸cão do modelo numérico, do dom´ınio e malha computacional, das condi¸cões inicial e de contorno utilizados.

• no cap´ıtulo 4 são apresentados os resultados e discussões. Este cap´ıtulo foi subdividido nas seguintes se¸cões: Verifica¸cão dos resultados do teste com Re = 100; Verifica¸cão dos Resultados dos Testes com número de Reynolds de 300 a 1000; e Valida¸cão dos resultados dos testes com número de Reynolds de 100 a 1000. Nas duas primeiras se¸cões, a incerteza numérica dos resultados é estimada, enquanto na última se¸cão, os resultados são comparados com dados experimentais presentes na literatura.

(18)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

2.1 Revis˜

ao te´

orica

No problema de escoamento uniforme ao redor de um cilindro circular fixo profun-damente submerso, ou seja, sem efeito da superf´ıcie livre, os principais números adimensionais envolvidos são o número de Reynolds e o número de Strouhal.

2.1.1 N´

umero de Reynolds

O n´umero de Reynolds (Re) relaciona as for¸cas inerciais com as for¸cas viscosas e ´e dado por:

Re = ρDU

µ (2.1)

sendo ρ a massa espec´ıfica do fluido, D o comprimento caracter´ıstico do corpo, U a velocidade do escoamento e µ a viscosidade dinˆamica do fluido.

2.1.2 N´

umero de Strouhal

O número de Strouhal (St) representa a frequência de desprendimento de vórtices normalizada com a velocidade do fluido e o comprimento caracter´ıstico do corpo, sendo definido por:

St = f D

(19)

sendo f a frequˆencia de desprendimento de v´ortices, D o comprimento caracter´ıstico do corpo e U a velocidade do escoamento.

2.1.3 Regimes de Escoamento ao Redor de um Cilindro

Os diferentes regimes de escoamento ao redor de um cilindro são caracterizados pelo número de Reynolds. Assim sendo, para baixos números de Reynolds, as for¸cas viscosas do escoamento prevalecem sobre as inerciais. Neste caso, o escoamento é laminar. Conforme o número de Reynolds aumenta, as for¸cas viscosas diminuem e as for¸cas inerciais prevalecem, e o escoamento torna-se turbulento.

De acordo com Sumer e Fredsoe [4], o escoamento ao redor de um cilindro pode ser classificado em cinco regimes denominados: Laminar, subcr´ıtico, cr´ıtico, de transi¸c˜ao e transcr´ıtico, segundo o n´umero de Reynolds, conforme mostra a Figura 2.1.

Para número de Reynolds menor que 5 (Figura 2.1 - a), o escoamento não apre-senta separa¸cão, assim, as linhas de corrente próximas ao cilindro contornam o corpo, e retornam a sua dire¸cão inicial.

Para números de Reynolds variando de 5 a 40 (Figura 2.1 - b), um par de vórtices simétricos é gerado à jusante do cilindro sem se desprender do corpo. O comprimento destes vórtices aumenta conforme o aumento do número de Reynolds.

Para número de Reynolds variando de 40 a 200 (Figura 2.1 - c), a camada limite sobre a superf´ıcie do cilindro se torna instável e os vórtices a jusante do cilindro se desprendem alternadamente. Neste caso, a esteira é laminar.

Entre os valores 200 e 300 do número de Reynolds (Figura 2.1 - d), conforme o número de Reynolds aumenta, a esteira come¸ca a mudar para o regime turbulento. Para número de Reynolds entre 300 e 3 × 105 _{(Figura 2.1 - e), denominado}

regime subcr´ıtico, a esteira é completamente turbulenta, e os vórtices formados são turbulentos. Porém, a camada limite sobre o cilindro permanece laminar.

Na faixa de n´umero de Reynolds entre 3 × 105 _{e 3, 5 × 10}5 _{(Figura 2.1 - f),}

denominado regime cr´ıtico ou limite inferior do regime de transi¸cão, a camada limite sobre o cilindro apresenta ambos os regimes, laminar e turbulento. A transi¸cão da camada limite laminar para turbulenta sobre o cilindro se aproxima do ponto de estagna¸cão à montante do cilindro, conforme o número de Reynolds aumenta. Neste

(20)

Figura 2.1: Regimes de Escoamento ao redor de um cilindro circular (Adaptado de Sumer e Fredsoe [4].

regime, a camada limite ´e turbulenta em um dos pontos de separa¸c˜ao do escoamento no cilindro e laminar no outro.

Para n´umero de Reynolds entre 3, 5×105 _{e 1, 5×10}6 _{(Figura 2.1 - g), denominado}

regime supercr´ıtico, os pontos de separa¸cão do escoamento sobre o cilindro são tur-bulentos, porém, a camada limite é parcialmente laminar, parcialmente turbulenta. Na faixa de Reynolds entre 1, 5 × 106 e 4 × 106 (Figura 2.1 - h), conhecido por limite superior do regime de transi¸cão, no qual a camada limite é completamente turbulenta em um lado do cilindro e parcialmente laminar e parcialmente turbulento

(21)

no outro lado.

Para n´umeros de Reynolds maiores que 4 × 106 _{(Figura 2.1 - i), denominado}

regime transcr´ıtico, a camada limite ´e completamente turbulenta em ambos os lados do cilindro.

2.1.4 Desprendimento de v´

ortices

O fenômeno de desprendimento de vórtices também é de extrema importância no estudo de escoamento ao redor do cilindro, pois influencia a dire¸cão das for¸cas de arrasto e de sustenta¸cão e pode gerar vibra¸cões induzidas por vórtices. Portanto, este fenômeno deve ser bem estudado. O desprendimento de vórtices é encontrado em escoamentos com número de Reynolds acima de 40 (Figura 2.1 - c até i).

2.1.5 For¸

cas de Arrasto e de Sustenta¸

c˜

ao

O escoamento ao redor do cilindro exerce uma for¸ca resultante sobre o corpo (F) que deriva de duas componentes principais: uma devida à pressão normal (P ) e outra devida à tensão cisalhante (τ ) sobre a superf´ıcie do cilindro, conforme mostrado na Figura 2.2.

θ

x

Normal (P)

Cisalhante (τ)

Velocidade do escoamento (U)

Figura 2.2: Representa¸cão da pressão normal e tensão cisalhante sobre a superf´ıcie do cilindro.

A componente na dire¸cão paralela ao escoamento, também conhecida como dire¸cão in line, da for¸ca por unidade de comprimento devida à pressão normal e

(22)

`

a tensão cisalhante é chamada de for¸ca de arrasto (FD, ver Figura 2.3), e é dada

pela equa¸c˜ao 2.3.

FD =

Z 2π

0

(P cosθ + τ senθ)r dθ. (2.3)

sendo P e τ respetivamente a pressão normal e a tensão cisalhante sobre o cilindro no ponto de ângulo θ medido no sentido horário a partir do ponto à montante do cilindro, como visto na Figura 2.2.

A componente na dire¸cão perpendicular ao escoamento, também conhecida como dire¸cão cross flow, de for¸ca por unidade de comprimento devida à pressão normal e tensão cisalhante é chamada de for¸ca de sustenta¸cão (FL, ver Figura 2.3), e é dada

pela equa¸c˜ao 2.4.

FL=

Z 2π

0

(P senθ + τ cosθ)r dθ. (2.4)

sendo P e τ respetivamente a pressão normal e a tensão cisalhante sobre o cilindro no ponto de ângulo θ medido no sentido horário a partir do ponto à montante do cilindro, como visto na Figura 2.2.

Fx

Fy

_F

θ

y x Velocidade do escoamento (U) (Força de Arrasto) (Força Resultante) (Força de Sustentação)

Figura 2.3: Componentes da for¸ca resultante: for¸ca de arrasto e de sustenta¸c˜ao.

Um fato importante no comportamento da for¸ca de sustenta¸cão sobre um cilindro circular fixo profundamente submerso é que, mesmo quando há desprendimento de vórtices, esta for¸ca possui média temporal zero devida à simetria do corpo. Porém, a for¸ca de sustenta¸cão instantânea é diferente de zero, pois a integral das for¸cas

(23)

na dire¸cão cross flow, em um dado instante, não se anula por causa da diferen¸ca de velocidade do fluido passando por cima e por baixo do corpo provocada pelo desprendimento de vórtices. O comportamento da for¸ca de sustenta¸cão ao longo do tempo pode ser visto na Figura 2.4.

Esta diferen¸ca de velocidades ocasiona uma diferen¸ca de pressão entre os bordos do corpo, que resulta em uma for¸ca para cima ou para baixo, dependendo do bordo em que o vórtice se desprende. Deste modo, pode-se concluir que a frequência de troca de sinal da for¸ca de sustenta¸cão é igual à frequência de desprendimento de vórtices, com per´ıodo TCl. Enquanto a for¸ca de arrasto varia de sentido com o

dobro da frequˆencia de desprendimento de v´ortices, com per´ıodo TCd, conforme a

Figura 2.5 mostra.

Figura 2.4: For¸ca de sustenta¸c˜ao sobre um cilindro sujeito a escoamento uniforme ao longo do tempo.

Pode-se notar que o valor da for¸ca de sustenta¸cão oscila em torno de zero ao longo do tempo atingindo valores máximo e m´ınimo. O espalhamento dos dados ao redor da média é medido pelo desvio padrão (σ) da série temporal de for¸ca, representado pela equa¸cão 2.5.

σ =

q_X

(24)

Figura 2.5: Frequˆencia da for¸ca de arrasto e de sustenta¸c˜ao.

sendo Xi o elemento i e i um ´ındice que varia de zero a N , X e N a m´edia e o

n´umero de elementos da amostra, respetivamente.

Como a média da for¸ca de sustenta¸cão é nula, o valor quadrático médio da for¸ca, em inglês Root Mean Square (RMS), é o igual ao desvio padrão. Portanto, para representar a varia¸cão da for¸ca de sustenta¸cão ao longo do tempo, calcula-se o RMS da for¸ca.

De acordo com Sumer e Fredsoe, [4], para valores de Reynolds maiores que 104_{, geralmente encontrados na engenharia pr´}_{atica, a contribui¸c˜}_{ao da componente}

de tensão cisalhante (τ ) no cálculo das for¸cas de arrasto (FD, ver equa¸cão 2.3) e

sustenta¸cão (FL ver equa¸cão 2.4) é muito menor do que a componente normal (N),

de forma que a parcela da for¸ca relativa à friçcão pode ser omitida e considera-se apenas a componente normal no cálculo das for¸cas.

As for¸cas de arrasto e sustenta¸cão podem ser adimensionalizadas resultando nos coeficientes de arrasto e de sustenta¸cão dados, respectivamente, pelas equa¸cões 2.6 e 2.7 : CD = FD 1/2ρU2_A (2.6) e CL= FL 1/2ρU2_A (2.7)

(25)

sendo respectivamente, FLe FD, a for¸ca de sustenta¸c˜ao e de arrasto, ρ e v, a massa

espec´ıfica e a velocidade do fluido e A a ´area transversal do cilindro.

O coeficiente de arrasto (Cd) varia com o número de Reynolds (Re) conforme mostrado na Figura 2.4. O valor de Cd diminui com o aumento de Reynolds até aproximadamente 103 (regime sub cr´ıtico). Entre números de Reynolds de 103 a 2 × 105 _{o valor de Cd permanece aproximadamente constante e igual a 1, 2. Este}

coeficiente sofre uma queda abrupta, denominada crise do arrasto, e assume um valor de aproximadamente 0, 25 para n´umero de Reynolds igual a 3 × 105_{, permanecendo}

neste valor em todo regime super cr´ıtico.

Figura 2.6: Coeficiente de arrasto em fun¸c˜ao do n´umero de Reynolds, retirado de Sumer [4].

2.2 Trabalhos Anteriores

O escoamento ao redor de um cilindro circular fixo vem sendo estudado, ao longo das ´

ultimas décadas, por vários pesquisadores. Extensas revisões sobre estes trabalhos podem ser encontradas em Zdravkovich, [7], e Sumer, [4].

A Tabela 2.1 apresenta alguns trabalhos encontrados na literatura que apresen-taram o estudo de escoamento ao redor de um cilindro para n´umeros de Reynolds

(26)

100, 300 e 1000.

Rajani et al [8] analisaram escoamentos bidimensionais e tridimensionais ao redor de um cilindro circular fixo no regime laminar, com n´umero de Reynolds variando de 0,1 a 400 utilizando dinˆamica de fluidos computacional.

Norberg [9] estudou a flutua¸cão da for¸ca de sustenta¸cão devida ao escoamento ao redor de um cilindro circular fixo na faixa de número de Reynolds de 47 a 2, 2 × 105_.

Esta faixa inclui o come¸co do desprendimento de v´ortices no escoamento at´e o regime super cr´ıtico, antes da crise do arrasto.

Wieselsberger [10] realizou uma s´erie de experimentos com cilindros circulares fixos para avaliar a for¸ca de arrasto devida ao escoamento uniforme.

Mittal e Raghuvanshi [11] estudaram, utilizando CFD, o desprendimento de vórtices a jusante de cilindros para uma faixa de número de Reynolds de 60 a 100. O efeito da inser¸cão de outro cilindro menor sobre este desprendimento de vórtices também foi estudado.

Baranyi and Lakatos [12] estudou o escoamento 2D estacionário e oscilatório de corrente uniforme com números de Reynolds de 10 até 190.

Mittal e Balachandar [13] estudou escoamento uniforme tridimensional e bidi-mensional com n´umero de Reynolds 300 ao redor de um cilindro circular fixo utili-zando CFD.

(27)

Tabela 2.1: Trabalhos anteriores

Reynolds Autor CL CD St M´etodo

100 Rajani et al (2D) [8] 0,1792 1,3353 0,1569 Num´erico

100 Baranyi e Lakatos [12] 0,228 - - Num´erico

100 Mittal and Raghuvanshi [11] - - 0,168 Num´erico

100 Baranyi and Lakatos 0,228 - - Num´erico

100 Wieselsberger [10] - 1,49 - Experimental

100 Roshko [14] - - 0,168 Experimental

100 Roshko [14] 0,228 - 0,168 Experimental

300 Mittal and Balachandar (3D) [13] 0,38 1,26 0,203 Num´erico

300 Mittal and Balachandar (2D) [13] 0,65 1,38 0,213 Num´erico

300 Norberg [9] 0,435 - 0,203 Num´erico

300 Wieselsberger [10] - 1,31 - Experimental

300 Roshko [14] - - 0,203 Experimental

1000 Patel [15] - 1,1499 0,21 Num´erico

1000 Patel [15] - 0,9891 0,21 Num´erico

1000 Wieselsberg [10] - 0,98 - Experimental

(28)

Cap´ıtulo 3

Metodologia Num´

erica

Neste estudo, o escoamento de fluido incompress´ıvel ao redor de um cilindro total-mente submerso foi simulado por um modelo numérico, implementado no software StarCCM+ versão 9.02.007. Este modelo utiliza o método de volumes finitos, no qual o dom´ınio computacional é dividido em pequenos volumes de controle os quais formam a malha computacional. A equa¸cão discreta das equa¸cões governantes é aplicada a cada volume de controle.

3.1 Equa¸

c˜

oes Governantes

A mecânica dos fluidos é baseada em três princ´ıpios f´ısicos: Conserva¸cão da massa, conserva¸cão da energia e conserva¸cão da quantidade de movimento linear. Estes princ´ıpios são descritos pelas equa¸cões de transporte: equa¸cão da conserva¸cão de energia, equa¸cão da continuidade, 3.1 e equa¸cão da conserva¸cão da quantidade de movimento linear 3.2, retiradas do manual do programa StarCCM+ [16]. Neste trabalho, foi utilizado o modelo que resolve as equa¸cões da continuidade e da con-serva¸cão da quantidade de movimento, portanto, a equa¸cão da conserva¸cão da ener-gia não foi resolvida.

1 ρ Dρ Dt + ∇.v = 0 (3.1) ρg − ∇p + ∇ · τij = ρ( ∂V ∂t + u ∂V ∂x + v ∂V ∂y + w ∂V ∂z) (3.2)

(29)

sendo a equa¸cão da forma vetorial e g a acelera¸cão da gravidade, V o vetor velocidade (u, v, w), τij o tensor de tensões viscosas agindo no elemento, ρ a massa espec´ıfica

do fluido e ∇p o gradiente do campo de press˜ao.

Assumindo a hipótese que o fluido é incompress´ıvel e admitindo que as for¸cas de corpo derivam de um potencial gravitacional, a equa¸cão da quantidade de movimento pode ser escrita na forma da equa¸cão de Navier-Stokes 3.3.

D

Dtv + gk + ∇p

ρ − ν.∇

2_{v = 0} _(3.3)

Como os casos estudados neste trabalho tratam de escoamentos com baixo número de Reynolds (Re ≤ 1000), o modelo viscoso para escoamento laminar foi adotado para representa¸cão da f´ısica do fenômeno, ou seja, não foi utilizado um modelo de turbulência.

Outro parâmetro importante para a análise numérica é a ordem do esquema de discretiza¸cão do modelo. Para obter melhores resultados, foram utilizados esquemas de segunda ordem para as discretiza¸cões espacial e temporal. Outras informa¸cões a respeito do modelo numérico podem ser encontradas no Manual do usuário do programa StarCCM+ [17].

3.2 Dom´ınio Computacional

Para representa¸cão simplificada de risers, a modelagem do escoamento ao redor de um cilindro circular fixo foi realizada. O dom´ınio computacional utilizado no pre-sente trabalho é semelhante ao adotado por E¸ca [18]. Testes preliminares indicaram que a for¸ca sobre o cilindro é influenciada pela distância do cilindro ao contorno de entrada do escoamento, assim sendo, para que a geometria do dom´ınio não influen-ciasse o escoamento ao redor do corpo, algumas modifica¸cões foram feitas a partir da geometria de referência. Para minimizar os efeitos dos contornos do dom´ınio, o cilindro foi posicionado a 10 diâmetros do contorno de entrada no dom´ınio.

A espessura do dom´ınio foi definida como o menor elemento da malha computa-cional de maneira que a malha não fosse afetada por esta medida do dom´ınio. Após testes de cria¸cão de malha, percebeu-se que o refinamento ao redor do cilindro só não era afetado quando a espessura do dom´ınio era um múltiplo do menor elemento

(30)

de malha. Portanto, como deseja-se realizar simula¸cões bidimensionais, a espessura do dom´ınio foi adotada com o menor tamanho poss´ıvel que não afetava a gera¸cão da malha, ou seja, o tamanho do menor elemento de malha.

O dom´ınio computacional do presente trabalho possui 30 diâmetros de compri-mento, 20 diâmetros de altura e espessura que varia com a malha correspondente a 3, 125% do tamanho base da malha computacional (BS/32), o eixo de referência (x,y,z) foi posicionado no eixo do cilindro e na face Back Face, como ilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: Dimens˜oes do dom´ınio computacional.

As cotas do dom´ınio foram referenciadas a partir do diâmetro do cilindro e estão representadas pela Figura 3.2 e pela Tabela 3.1. Assim, o cilindro foi posicio-nado a 10 diâmetros (10D) do contorno de entrada de fluido no dom´ınio (Inlet ), 20 diâmetros (20D) do contorno de sa´ıda de fluido do dom´ınio (Outlet ) e 10 diâmetros dos contornos superior (Upface) e inferior (Down Face), conforme Figura 3.2 e 3.1.

Tabela 3.1: Cotas do dom´ınio computacional.

Cota H h1 h2 L x1 x2

(31)

Figura 3.2: Cotas do dom´ınio computacional.

3.3 Malha

O dom´ınio computacional foi discretizado em uma malha computacional do tipo Trimer que consiste em elementos de malha predominantemente hexagonais. Para melhor representa¸cão do escoamento, blocos de refinamento de malha foram criados em locais estratégicos ao redor, à montante e à jusante do cilindro. Estes blocos visam representar a chegada do fluido, o comportamento do escoamento ao redor do cilindro, a separa¸cão da camada limite e a esteira à jusante do cilindro.

Um estudo do tamanho dos blocos de refinamento foi feito para analisar a dis-posi¸cão que melhor representasse o escoamento e possu´ısse menor esfor¸co compu-tacional, ou seja, menor tamanho de blocos de refinamento. Pois uma malha mais refinada apresenta maior gasto de tempo de simula¸cão. Para isso, cada bloco foi inserido separada e ordenadamente come¸cando pelo bloco mais próximo ao cilindro seguido para os mais externos. O tamanho de cada bloco foi variado separadamente e verificou-se se os valores do coeficiente de arrasto e número de Strouhal sofreram varia¸cões significativas com a diminui¸cão dos blocos.

Desta forma, cinco blocos de refinamento de malha foram criados conforme a disposi¸cão mostrada na Figura 3.3. A parametriza¸cão do tamanho dos blocos foi feita a partir do diâmetro do cilindro (D), como mostrado na Tabela 3.2. E a parametriza¸cão do tamanho dos elementos de malha de cada bloco foi definida a

(32)

partir do maior elemento da malha computacional (elemento de base da malha ou Base Size - BS), conforme apresentado na Tabela 3.2.

Figura 3.3: Blocos de refinamento da malha computacional.

Tabela 3.2: Tamanho dos blocos de refinamento de malha computacional.

Bloco

Bloco 0

Bloco 1

Bloco 2

Bloco 3

Bloco 4

Comprimento (Lb)

-

14D

4D

3D

Altura (Hb)

-

10D

14D

18D

20D

Diˆ

ametro (Db)

D

-

-Tamanho do BS

BS/32

BS/16

BS/8

BS/4

BS/2

A Tabela 3.3 apresenta as principais caracter´ısticas das quatro malhas geradas. Foi adotada uma raz˜ao de refinamento de √2 entre malhas consecutivas.

(33)

Tabela 3.3: Refinamento da malha computacional.

Malha Base Size Base Size (m) DeltaX DeltaX (m) Passo de Tempo Elementos de Malha 1 BS 7, 80 × 10−₃ _D/41 _{2, 44 × 10}−₄ _{6, 10 × 10}−₄ ₉₅₉₈₄

2 BS/√2 5, 52 × 10−₃ _D/41√₂ _{1, 72 × 10}−₄ _{4, 31 × 10}−₄ ₂₃₀₄₁₄

3 BS/2 3, 90 × 10−3 D/82 1, 22 × 10−4 3, 05 × 10−4 455154 4 BS/2√2 2, 76 × 10−3 D/82√2 8, 62 × 10−5 2, 16 × 10−4 899798

3.4 Condi¸

c˜

oes Iniciais e de Contorno

As condi¸cões de contorno são conjunturas definidas nas fronteiras do dom´ınio com-putacional que estabelecem restri¸cões ao modelo numérico, que por sua vez, são fundamentais para a representa¸cão do modelo f´ısico.

3.4.1 Condi¸

c˜

oes de Contorno

Os contornos do dom´ınio computacional s˜ao representados na Figura 3.4. Velocidade de entrada (Velocity Inlet)

No contorno de entrada do dom´ınio computacional (Inlet ), foi imposta como condi¸cão de contorno velocidade constante, uniforme e normal à superf´ıcie da fron-teira. Esta velocidade foi calculada a partir do número de Reynolds (Re = U D/ν) desejado e das caracter´ısticas do fluido adotado, mostradas na Tabela 3.4. A Tabela 3.5 apresenta as velocidades impostas do escoamento de acordo com o número de Reynolds.

Sa´ıda de Press˜ao Conhecida (Pressure Outlet)

No contorno de sa´ıda do fluido (Outlet ), a condi¸cão imposta é de pressão cons-tante e de valor nulo e velocidade normal à face Outlet com valor calculado a partir de um gradiente e das células de malha anteriores às células pertencentes a esta fronteira.

Paredes (Walls)

Nos contornos de topo (Up Face) e de fundo (Down Face) foi imposta a condi¸cão de contorno de paredes de deslizamento e a velocidade do fluido tangente a estas fronteiras possui valor igual à velocidade de entrada no Inlet. Na superf´ıcie do cilin-dro, foi imposta a condi¸cão de contorno de impenetrabilidade e não deslizamento, ou seja, velocidade na parede igual a zero.

(34)

Plano de Simetria (Symmmetry Plan)

Nos contornos frontal Front Face e traseiro Back Face foi adotado o plano de simetria, o que significa que o mesmo dom´ınio computacional se encontra espelhado por estes contornos possibilitando que eles não interfiram no comportamento do fluido. Os valores obtidos nos elementos de malha pertencentes ao plano de simetria são espelhados pelo plano. A tensão cisalhante é zero no plano de simetria.

Uma condi¸cão de contorno de plano de simetria representa um plano imaginário na simula¸cão, onde as solu¸cões obtidas para os elementos pertencentes a esse plano são espelhadas para a outra face do plano. Matematicamente o plano de simetria busca representar a continuidade do dom´ınio. Para isso os termos que afetam o resultado nesse contorno serão tratados da seguinte forma. A tensão de cisalhamento no plano de simetria é zero. Então o valor da velocidade na face do plano será calculado a partir da extrapola¸cão do componente de velocidade na célula adjacente. Bem como a velocidade, o campo de pressão na face do contorno será obtido através da extrapola¸cão da célula adjacente.

Tabela 3.4: Propriedades do fluido.

Propriedade Valor Unidade

Massa espec´ıfica (ρ) 1,0 Kg/m3

Viscosidade Dinˆamica (µ) 2 × 10−5 P a.s

Viscosidade Cinem´atica (ν) 2 × 10−5 m2/s

Tabela 3.5: Velocidades do escoamento.

N´umero de Reynolds Velocidade do escoamento (m/s)

100 0,2

300 0,6

1000 2,0

3.4.2 Condi¸

c˜

ao Inicial

A condi¸cão inicial adotada foi de pressão igual a zero e velocidade uniforme igual a velocidade do Inlet em todo os dom´ınio computacional. Esta condi¸cão foi escolhida com o objetivo de diminuir o tempo de simula¸cão computacional.

(35)

Inlet Outlet

Back Face Front Face

Down Face Up Face

Figura 3.4: Fronteiras do dom´ınio computacional

3.5 Estimativa

da

Incerteza

dos

Resultados

Num´

ericos

De acordo com Roache [19], verifica¸cão é um exerc´ıcio puramente matemático que tem o objetivo de mostrar que se está resolvendo corretamente as equa¸cões e va-lida¸cão é uma atividade puramente cient´ıfica que tem o objetivo de mostrar que se está usando as corretas equa¸cões matemáticas para representa¸cão do modelo.

Para E¸ca e Hoekstra [20], é aceitável que erros numéricos em simula¸cões de fluidodinâmica computacional sejam compostos por três componentes: Erro de ar-redondamento, erro iterativo e erro de discretiza¸cão. O erro de arredondamento é originado pela precisão finita dos computadores, este erro relaciona o valor exato e a aproxima¸cão feita pelo computador. Ele depende da capacidade de precisão numérica da máquina utilizada na simula¸cão e tende a aumentar com o refinamento da malha. O erro iterativo é causado devido à não linearidade das equa¸cões ma-temáticas aplicadas. Enquanto o erro de discretiza¸cão é originado das aproxima¸cões

(36)

feitas pelo método dos volumes finitos para transformar as equa¸cões diferenciais parciais da formula¸cão cont´ınua em um sistema de equa¸cões algébricas. O erro de discretiza¸cão diminui com o refinamento da malha.

E¸ca e Hoekstra [20] propuseram um procedimento para estimar a incerteza numérica do estudo de refinamento de malha, que considera o erro de discretiza¸cão sendo o dominante, considerando o erro de arredondamento desprez´ıvel em rela¸cão ao erro de discretiza¸cão. O procedimento proposto calcula o erro de discretiza¸cão e sua respectiva incerteza a partir dos resultados de simula¸cões. Para a aplica¸cão do procedimento, são necessárias pelo menos 4 malhas geometricamente similares e com mesma razão de refinamento. A estimativa do erro é feita por expansão em série de potências, o primeiro passo é verificar a influência do refinamento da malha nos valores das variáveis encontradas (no caso deste trabalho, CD, CL e St) em seguida

pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados o erro ´e calculado. Para maiores detalhes sobre o procedimento deve-se consultar o artigo [20].

No presente trabalho, o erro de arredodamento foi considerado desprez´ıvel pois as simula¸cões foram rodadas em precisão dupla. E o erro de discretiza¸cão e conse-quentemente a incerteza numérica foram estimados pelo método proposto por E¸ca e Hoekstra [20]. O erro iterativo foi investigado através da análise da influência de diferentes critérios de convergência sobre os resultados analisados.

Segundo E¸ca et al. [21], a convergência iterativa de cada passo de tempo da simula¸cão é controlada pelo máximo res´ıduo normalizado de todas as equa¸cões que se está resolvendo. Assim, para estudo do erro iterativo foram utilizados 4 diferentes critérios de parada, Tabela 3.6. O primeiro limitado pelo número de itera¸cões por passo de tempo igual a 50, este valor foi escolhido por ser considerado suficientemente alto para que não alterasse os resultados da simula¸cão. Para números menores de itera¸cão por passo de tempo, os resultados não convergiriam para o mesmo valor. O segundo critério usado foi de tolerância numérica para as equa¸cões de continuidade, conserva¸cão da quantidade de movimento em X e em Y igual a 1×10−11, 1×10−13 e 1×10−15, respectivamente. Os três ultimos critérios de parada foram escolhidos após análise dos resultados das simula¸cões do primeiro critério de parada. Os diferentes critérios de parada de simula¸cão estão apresentados na Tabela 3.6.

(37)

Tabela 3.6: Crit´erio de parada das simula¸c˜oes.

Critério de Parada Número de Itera¸cões por passo de tempo Tolerância das equa¸cões (Tol)

1 50 Vari´avel

2 Vari´avel 1 × 10−11

3 Vari´avel 1 × 10−13

4 Vari´avel 1 × 10−15

realizou-se a simula¸cão com 50 itera¸cões, que seguiu de dado de entrada para a simula¸cão com tolerância igual a 1 × 10−11, cujo resultado foi utilizado para inicia-lizar a simula¸cão com tolerância 1 × 10−13 e da mesma forma foi feita a simula¸cão com tolerância 1 × 10−15 a partir da anterior.

3.6 Simula¸

c˜

oes

Neste trabalho, buscou-se realizar o estudo de Verifica¸cão e Valida¸cão de simula¸cões numéricas de escoamento uniforme constante ao redor de um cilindro circular fixo com números de Reynolds variando de 100 a 1000. Desta forma, optou-se por realizar simula¸cões para três diferentes números de Reynolds. Os valores escolhidos foram 100, 300 e 1000.

Para cada valor de Reynolds, quatro malhas foram geradas de acordo com o item 3.3 com diferentes tamanhos de elementos. As malhas menos refinadas de cada valor foram geradas de forma que o menor elemento, ou seja, o elemento mais pr´oximo ao cilindro, fosse igual ao diˆametro dividido por 41.

Para número de Reynolds igual a 100, foram realizadas simula¸cões com as quatro malhas e para cada uma das malhas os quatro critérios de parada foram utilizados. Para número de Reynolds 300 e 1000, foram realizadas simula¸cões com as 4 malhas e critério de parada sendo 50 itera¸cões por passo de tempo. Apenas com a malha mais refinada foi realizada a varia¸cão do critério de parada como nos casos do número de Reynolds igual a 100. Assim, a lista de simula¸cões realizadas com suas principais caracter´ısticas para cada número de Reynolds está organizada nas Tabelas 3.7, 3.8 e 3.9. As caracter´ısticas das malhas podem ser encontradas na Tabela 3.3, sendo a malha 1 a malha mais grosseira e a malha 4 a mais refinada. O passo de tempo (4t)

(38)

foi escolhido de forma que o valor do CFL fosse 0, 5, conforme mostra a Equa¸c˜ao.

4t = CF L. 4 x

v (3.4)

sendo CF L o n´umero de Courrant, 4x o tamanho do menor elemento da malha, 4t o passo de tempo e v a velocidade do escoamento.

Tabela 3.7: Lista de simula¸c˜oes para N´umero de Reynolds = 100.

Simula¸cão Número de Reynolds Malha Base Size (m) Passo de Tempo (s) Critério de Parada 1 100 1 7, 80 × 10−3 _{6, 10 × 10}−4 ₁ 2 100 1 7, 80 × 10−3 _{6, 10 × 10}−4 ₂ 3 100 1 7, 80 × 10−3 6, 10 × 10−4 3 4 100 1 7, 80 × 10−3 _{6, 10 × 10}−4 ₄ 5 100 2 5, 52 × 10−3 _{4, 31 × 10}−4 ₁ 6 100 2 5, 52 × 10−3 _{4, 31 × 10}−4 ₂ 7 100 2 5, 52 × 10−3 4, 31 × 10−4 3 8 100 2 5, 52 × 10−3 _{4, 31 × 10}−4 ₄ 9 100 3 3, 90 × 10−3 _{3, 05 × 10}−4 ₁ 10 100 3 3, 90 × 10−3 _{3, 05 × 10}−4 ₂ 11 100 3 3, 90 × 10−3 3, 05 × 10−4 3 12 100 3 3, 90 × 10−3 _{3, 05 × 10}−4 ₄ 13 100 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₁ 14 100 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₂ 15 100 4 2, 76 × 10−3 2, 16 × 10−4 3 16 100 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₄

Simula¸cão Número de Reynolds Malha Base Size (m) Passo de Tempo (s) Critério de Parada 17 300 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₁ 18 300 4 2, 76 × 10−3 2, 16 × 10−4 2 19 300 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₃ 20 300 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₄ 21 300 1 7, 80 × 10−3 _{6, 10 × 10}−4 ₁ 22 300 2 5, 52 × 10−3 4, 31 × 10−4 1 23 300 3 3, 90 × 10−3 _{3, 05 × 10}−4 ₁

(39)

Simula¸cão Número de Reynolds Malha Base Size Passo de Tempo Critério de Parada 24 1000 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₁ 25 1000 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₂ 26 1000 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₃ 27 1000 4 2, 76 × 10−3 _{2, 16 × 10}−4 ₄ 28 1000 1 7, 80 × 10−3 6, 10 × 10−4 1 29 1000 2 5, 52 × 10−3 4, 31 × 10−4 1 30 1000 3 3, 90 × 10−3 3, 05 × 10−4 1

(40)

Cap´ıtulo 4

Resultados e Discuss˜

oes

Neste cap´ıtulo serão apresentados os principais resultados obtidos sobre o estudo de escoamento ao redor de um cilindro circular fixo para os números de Reynolds 100, 300 e 1000. Este cap´ıtulo está subdividido em três se¸cões, nas duas primeiras (se¸cões 4.1 e 4.2), é realizada a verifica¸cão dos resultados numéricos, na qual os erros iterativos e de discretiza¸cão são investigados. Nestas se¸cões, a incerteza numérica do coeficiente de arrasto médio (CD), do RMS do coeficiente de sustenta¸cão (CL)

e do número de Strouhal médio (St) dos resultados com a malha mais refinada são apresentados. Na última se¸cão, 4.3, os resultados numéricos são comparados aos dados experimentais presentes na literatura.

4.1 Verifica¸

c˜

ao dos resultados dos testes com

Re=100

4.1.1 Erro iterativo

A Tabela 4.1 apresenta para casos com número de Reynolds igual a 100, o número de itera¸cões médio por passo de tempo (nit) dos últimos 10 ciclos do coeficiente de

sustenta¸cão para os casos 1 a 16 (ver Tabela 3.7), adotando diferentes refinamentos de malha, mostrados na Tabela 3.3, e diferentes valores de tolerância ou critério de parada para a convergência iterativa por passo de tempo, como mostrado na Tabela 3.6.

(41)

Tabela 4.1: Testes com Re = 100: Número de Itera¸cões médio por passo de tempo (nit) dos últimos 10 ciclos para diferentes malhas e tolerâncias.

Malha | Tolerˆ

ancia

1 × 10

−11

1 × 10

−13

1 × 10

−15

1

3

15

47

2

3

11

40

3

2

6

32

4

2

5

24

(nit) para os testes com a mesma malha, resultando em maior o esfor¸co

computacio-nal. Desta forma, é viável que se procure realizar simula¸cões com a maior tolerância poss´ıvel que não interferira nos resultados da simula¸cão.

Verifica-se também que para um mesmo critério de parada o número de itera¸cões diminui conforme a malha é refinada. Isto indica que os resultados convergem mais rapidamente para malhas mais refinadas, esta tendência também foi observada no estudo de E¸ca et al. [21].

As Figuras 4.1 a 4.4 apresentam os coeficientes de arrasto em fun¸cão do tempo e as Figuras 4.5 a 4.9 apresentam os coeficientes de sustenta¸cão em fun¸cão do tempo. Para que os gráficos ficassem superpostos, diminuiu-se o tempo inicial de cada to-lerância de cada série temporal (t = ti− t0, sendo t0 o tempo inicial da tolerância

utilizada) obtidos para os casos 1 a 16, com as malhas 1, 2, 3 e 4 usando-se diferentes valores de tolerˆancia, conforme Tabela 3.7.

Pode-se verificar nas Figuras 4.1 a 4.4 que para valores de tolerância 1 × 10−11 (critério de parada 2), a série temporal do coeficiente de arrasto se distancia dos outros resultados, possuindo menores valores máximo e m´ınimo do coeficiente e também frequência menor. A utiliza¸cão deste valor de tolerância na simula¸cão não representa bem o fenômeno f´ısico pois o baixo número de itera¸cões necessário para atingir este valor da tolerância não é suficiente para que a solu¸cão das equa¸cões convirjam para o valor correto.

A rela¸cão entre as malhas e a tolerância utilizada também destaca-se nas Figuras 4.1 a 4.4, uma vez que para malhas mais refinadas as curvas de CD com critério de

parada 1, 3 e 4 possuem per´ıodo e amplitude muito menores que a curva de crit´erio 2 quando comparados com as curvas da malha 1.

(42)

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cd 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 1 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.1: Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cd 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 2 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.2: Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 2 (Casos 5, 6, 7 e 8 da Tabela 3.7).

(43)

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cd 1.37 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 3 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.3: CD em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerˆancia e a malha 3 (Casos 9, 10, 11 e 12 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cd 1.365 1.37 1.375 1.38 1.385 1.39 1.395 1.4 Re = 100 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.4: CD em fun¸c˜ao do tempo para os ´ultimos 20 ciclos usando diferentes

(44)

A Figura 4.5 mostra os valores do coeficiente de arrasto m´edio (CD) dos casos

plotados nas Figuras 4.1 e 4.2. Como já visto anteriormente, observando diferentes valores de tolerância, considerando a mesma malha, o valor do coeficiente de arrasto obtido com a tolerância 1 × 10−11 se distancia dos demais. Além disso, mesmo para as outras tolerâncias (1 × 10−13 e 1 × 10−15) os valores mostraram-se diferentes para a malha mais refinada, na qual foi necessário um menor número de itera¸cões para se obter a tolerância desejada.

Figura 4.5: Coeficiente de Arrasto médio dos últimos 20 ciclos em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de malha e tempo (1, √2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerância.

Os gráficos 4.5 a 4.9 apresentam a série temporal do coeficiente de sustenta¸cão dos casos 1 a 12. Como o per´ıodo da série do coeficiente de sustenta¸cão é o dobro do per´ıodo do coeficiente de arrasto, apenas dez per´ıodos foram considerados neste coeficiente enquanto vinte eram observados nos gráficos de CD.

A Figura 4.10 mostra os valores do coeficiente de sustenta¸c˜ao RMS (CL) dos casos

plotados nas Figuras 4.5 a 4.9. Para os diferentes valores de tolerância, considerando a mesma malha, assim como o coeficiente de arrasto, verificamos que o valor do coeficiente de sustenta¸cão obtido com a tolerância 1 × 10−11se distancia dos demais, porém, diferentemente dos valores de coeficiente de arrasto, Figura 4.5, os casos com as duas menores tolerâncias (1 × 10−13 e 1 × 10−15) apresentam valores diferentes de coeficientes de sustenta¸cão, apesar de apresentarem a mesma tendência com o refinamento da malha.

(45)

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 1 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.6: Coeficiente de Sustenta¸cão em fun¸cão do tempo para os últimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7).

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 2 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

(46)

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 3 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Um fato curioso da Figura 4.10 foi a aproxima¸c˜ao dos valores de CL nos casos

4, 8, 12 e 16, que apresentam malha mais refinada. Este fato pode ser causado pela influência do refinamento da malha sobre o coeficiente de sustenta¸cão, pois quanto mais elementos de malha ao redor do cilindro, melhor é representado o ponto de separa¸cão do escoamento na camada limite de sua parede. A melhor representa¸cão da separa¸cão do escoamento é fundamental para a representa¸cão do desprendimento de vórtices do escoamento ao redor do cilindro, já que se o ponto desprender mais a jusante do cilindro a interferência entre os vórtices sendo formados acima e a baixo do cilindro será intensificada pela proximidade entre eles, o que ocasionaria aumento da frequência de desprendimento de vórtices alterando tanto o valor do coeficiente de sustenta¸cão quanto o número de Strouhal da simula¸cão.

A Figura 4.11 mostra os valores do número de Strouhal médio (St) dos casos 1 a 16, plotados nas Figuras 4.1 a 4.9. Para a tolerância os diferentes valores de tolerância 1 × 10−11, verificamos que o valor número de Strouhal obtido não

(47)

Tempo (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Cl -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re = 100 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.10: Coeficiente de sustenta¸cão RMS dos últimos 10 ciclos em fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de malha e tempo (1,√2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerância.

(48)

se aproxima dos demais casos com tolerâncias menores e do caso de 50 itera¸cões por passo de tempo. Para este valor de tolerância, os valores encontrados para o número de Strouhal médio variam com o refinamento da malha. Já os demais critérios de parada (1, 3 e 4) apresentam valores do número de Strouhal variando pouco em rela¸cão ao refinamento da malha e os valores de Strouhal para os critérios de parada 1 e 4 coincidem e são praticamente lineares em rela¸cão ao refinamento da malha. Esta tendência mostra que o critério de parada é um grande influenciador no resultado do número de Strouhal.

Diferentemente da tendência mostrada nos valores do coeficiente de sustenta¸cão para os casos de malha mais refinada (casos 4, 8, 12 e 16) o número de Strouhal destes casos não se aproximam. Para a malha mais refinada (malha 4, ou seja, razão de refinamento √2) e diferentes critérios de parada, o número de Strouhal dos critérios de parada 1 e 4 continuam iguais e os critérios 2 e 3 se distanciam do valor destes. Entretanto, a distância é um valor relativamente pequeno: o número de Strouhal médios dos casos 8 e 12 distam, respectivamente, 0, 0065 e 0, 0406 do número de Strouhal dos casos 4 e 16.

Figura 4.11: Número de Strouhal médio dos últimos 10 ciclos da série temporal de CLem fun¸cão da razão de refinamento simultâneo de malha e tempo (1,

√

2, 2, 2√2) usando diferentes valores de tolerˆancia.

Assim sendo, pode-se concluir que apesar de o custo computacional de tolerâncias maiores ser menor, nem sempre elas representam adequadamente o fenômeno f´ısico que se deseja estudar. Sendo preciso, então, de um estudo de erro iterativo para se

(49)

estimar a tolerˆancia mais adequada para simula¸c˜ao dos casos.

A tabela 4.2 apresenta o CD médio, CLRMS e o número de Strouhal médio

cal-culados a partir da série temporal dos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão, Figuras 4.1 a 4.9, casos 1 a 16. O número de Strouhal foi calculado a partir do per´ıodo médio do coeficiente de sustenta¸cão.

Tabela 4.2: Resultados dos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão e do número de Strouhal para número de Reynolds igual a 100 e varia¸cões de refinamento de malha e critérios de parada.

Caso Malha Tolerância Itera¸cões por Passo de Tempo Cd médio Cl St

1 1 Sem restri¸cão 50 1,3892 0,2426 0,1699 2 1 1 × 10−11 ₃ _1,3878 _0,2391 _0,1598 3 1 1 × 10−13 15 1,3891 0,2423 0,1699 4 1 1 × 10−15 47 1,3892 0,2426 0,1699 5 2 Sem restri¸cão 50 1,3875 0,2413 0,1701 6 2 1 × 10−11 3 1,3886 0,2378 0,1564 7 2 1 × 10−13 ₁₁ _1,3874 _0,2408 _0,1701 8 2 1 × 10−15 40 1,3875 0,2413 0,1701 9 3 Sem restri¸cão 50 1,3862 0,2406 0,1701 10 3 1 × 10−11 2 1,3839 0,2377 0,1348 11 3 1 × 10−13 6 1,3863 0,2394 0,1682 12 3 1 × 10−15 ₃₂ _1,3862 _0,2406 _0,1701 13 4 Sem restri¸cão 50 1,3857 0,2403 0,1701 14 4 1 × 10−11 ₂ _1,3842 _0,2397 _0,1295 15 4 1 × 10−13 5 1,3866 0,2393 0,1636 16 4 1 × 10−15 24 1,3857 0,2403 0,1701

Na Tabela 4.2, verificamos que os valores do coeficiente de arrasto médio variam com o refinamento da malha, para as diferentes tolerâncias. As malhas mais refi-nadas, malha 3 e 4, apresentaram valores mais próximos de coeficiente de arrasto médio do que as outras malhas. Já os valores do número de Strouhal, para as quatro razões de refinamento de malha houve convergência de valores para o menor valor da tolerância. Como era de se esperar, os valores ficaram mais próximos com a tolerância menor e se afastaram com seu aumento. Além disso, as malhas mais re-finadas obtiveram valores mais próximos e menos variáveis em fun¸cão da tolerância

(50)

do que malhas mais grosseiras.

4.1.2 Erro de discretiza¸

c˜

ao

Para o cálculo do erro de discretiza¸cão, optou-se por analisar o caso 13 que é o caso com número de Reynolds igual a 100 com a malha mais refinada (Malha 4) e critério de parada igual a 50 itera¸cões por passo de tempo, conforme Tabela 3.7. A Tabela 4.3 apresenta o resultado da análise de incerteza numérica realizada pelo método proposto por E¸ca e Hoekstra [20] do caso 13.

Tabela 4.3: Resultados da análise de incerteza numérica do caso 13: Re = 100 malha mais refinada e critério de parada sendo igual a 50 itera¸cões por passo de tempo.

Caso Re Malha Cd m´edio ± U Cl ± U St ± U 100.U/CD 100.U/CL 100.U/St

13 100 4 1, 3857 ± 0, 002 0, 2403 ± 0, 001 0, 1701 ± 0, 001 0,144% 0,416% 0,588%

4.2 Verifica¸

c˜

ao dos resultados dos testes com

Re=300 e 1000

4.2.1 Erro iterativo

Assim como para o número de Reynolds igual a 100, o erro iterativo foi verificado para o coeficiente de arrasto médio e para o coeficiente de sustenta¸cão para número de Reynolds igual a 300 e 1000. A Tabela 4.4 apresenta o número de itera¸cões médio por passo de tempo de ambos os números de Reynolds apenas para a malha mais refinada (malha 4).

Optou-se por realizar a verifica¸cão do erro iterativo apenas para a malha mais refinada uma vez que foi verificado para número de Reynolds igual a 100 que a malha mais refinada apresenta maior erro iterativo que as outras malhas e desejava-se reduzir o número de casos a serem testados.

Na Tabela 4.4, verificamos que para o mesmo número de Reynolds, o número de itera¸cões médio por passo de tempo aumenta com o aumento da tolerância, assim como observado na Tabela 4.1 para o caso de número de Reynolds 100.

Um fato peculiar para a simula¸cão de número de Reynolds 1000 foi que para tolerâncias menores que 1 × 10−13 os números de itera¸cões por passo de tempo

(51)

Tabela 4.4: Número de Itera¸cões médio por passo de tempo dos últimos 10 ciclos de CL para a malha mais refinada e diferentes tolerâncias.

Reynolds Malha | Tolerˆancia 1 × 10−11 1 × 10−13 1 × 10−15

300 4 9 35 50

1000 4 23 50 50

necessários para que as equa¸cões atinjam o valor desejado da tolerância é maior que 50. Dessa forma, diferentemente do caso de número de Reynolds 100, mais de 50 itera¸cões são necessárias para convergência das equa¸cões governantes no resultado esperado. Como restringiu-se o número máximo de itera¸cões em 50 para que o tempo de simula¸cão não fosse muito longo, os casos 26 e 27 (casos com critérios de parada 3 e 4) tiveram número de itera¸cões médio por passo de tempo igual a 50.

Tempo (s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Cl -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re = 300 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.12: Re = 300 - Coeficiente de sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo para os ´

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 4 (Casos 17, 18, 19 e 20 da Tabela 3.7).

As Figuras 4.16, 4.17 e 4.18 apresentam, respectivamente, a varia¸cão do coefici-ente de arrasto, coeficicoefici-ente de sustenta¸cão e número de Strouhal com o refinamento da malha para número de Reynolds 300, casos 17, 18, 19 e 20, conforme Tabela 3.8. As Figuras 4.19, 4.20 e 4.21 apresentam, respectivamente, a varia¸cão do coefici-ente de arrasto, coeficicoefici-ente de sustenta¸cão e número de Strouhal com o refinamento

(52)

Tempo (s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Cd 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5 1.52 Re = 300 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.13: Re = 300 - Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 4 (Casos 17, 18, 19 e 20 da Tabela 3.7). Tempo (s) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Cl -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Re = 1000 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n it = 50

Figura 4.14: Re1000 - Coeficiente de sustenta¸c˜ao em fun¸c˜ao do tempo para os ´

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerˆancia e a malha 4 (Casos 24, 25, 26 e 27 da Tabela 3.7).

(53)

Tempo (s) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Cd 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 Re = 1000 - Malha 4 Tol = 1e-11 Tol = 1e-13 Tol = 1e-15 n_it = 50

Figura 4.15: Re = 1000 - Coeficiente de arrasto em fun¸cão do tempo para os últimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerância e a malha 4 (Casos 24, 25, 26 e 27 da Tabela 3.7).

Tabela 4.5: Resultados dos coeficientes de arrasto e sustenta¸cão e do número de Strouhal para os números de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando diferentes refinamentos de malha e critério de parada fixo igual a 50 itera¸cões por passo de tempo.

Caso Reynolds Malha Cd m´edio Cl St

17 300 4 1,4149 0,6730 0,2146 18 300 4 1,4136 0,669 0,2142 19 300 4 1,4146 0,6745 0,2145 20 300 4 1,4149 0,6730 0,2146 24 1000 4 1,5636 1,0852 0,2397 25 1000 4 1,5861 1,0638 0,2396 26 1000 4 1,5836 1,0852 0,2397 27 1000 4 1,5836 1,0852 0,2397

da malha para n´umero de Reynolds 1000, casos 24, 25, 26 e 27, conforme Tabela 3.9.