Nota
Para mais detalhes, ver os interessantes artigos http://goo.gl/ef8u18, http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/commerrs/,http://goo.gl/muAb07
1. Argumentar a partir de exemplos: Veja esta “prova” incorreta do teorema do Exemplo6.6 [138], acima: “Se m = 14 e n = 6 então m + n = 20 que é par, e m − n = 8 que também é par.” Esta “prova” merece nota zero. É verdade que 1 contra-exemplo destrói uma conjectura de afirmativa universal, mas 1000 exemplos não a provam, pois poderia falhar no teste 1001. 2. Usar a mesma letra para representar duas coisas diferentes: Além da confusão que isto
provavelmente causará no leitor, pode fazer com que você chegue a uma falsa conclusão. 3. Pular “ilicitamente” para uma conclusão: Alegar a verdade de alguma coisa sem dar uma
razão adequada. Veja esta “prova” incorreta do teorema do Exemplo6.6[138], acima: “Supo- nha que m e n sejam inteiros e que m + n é par. Pela definição de par, m + n = 2k para algum inteiro k. Então m = 2k − n e, assim, m − n é par.” É verdade que m − n é par, mas não pelo raciocínio apresentado. O passo “e, assim, m − n é par” não é sustentado pela regras de lógica. Poderia ter pulado para uma conclusão falsa. Nada foi realmente provado, esta “prova” merece nota zero.
4. Usar a questão a ser provada: Assumir como verdadeiro o que deve ser provado - variação de pular para uma conclusão. Exemplo de “prova” do teorema “o produto de dois ímpares é um ímpar”: ``Suponha que m, n são números ímpares. Se mn é ímpar, então mn = 2k + 1 para algum inteiro k. Também pela definição de ímpar, (m = 2a + 1) e (n = 2b + 1) são verdadeiros para inteiros a, b. Então mn = (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1, que é ímpar por definição.
5. Uso incorreto do vocábulo SE: Às vezes, escrevemos “se” no sentido de “uma vez que” ou “em consequência de”, não no sentido de condicional
Exemplo: “Se eu sou seu pai, então você deve me tratar com mais respeito.” (Este “se” não exprime nenhuma dúvida geral.)
Exemplo: Suponha que p é um número primo. Se p é primo, então p não pode ser escrito como o produto de dois números menores que são inteiro. (O vocábulo SE, nesta última sentença, coloca em dúvida se de fato p é primo ou não.)
6.9
Vídeos
Pressupondo que você, por favor, já tenha lido pelo menos toda esta Unidade IV, talvez minhas vide- oaulas de exercícios lhe ajudem a se preparar para eles:
Tabela 6.1: Videoaulas sobre Provas
http://youtu.be/xWdH1Ez-sPE Desemaranhando as Definições
http://youtu.be/KBPrHy3vcrM Se-Então, Provas Diretas
http://youtu.be/yk-S7o530Pg Se-Então, Provas por Divisão em Casos
Página
http://youtu.be/I0Pgtkl3F40 Provas por Exaustão
Tabela 6.1: (continued)
http://youtu.be/OFRB-D1uIYg Generalização de Elemento Aleatório
http://youtu.be/sAsmERWhROQ Disprovando Por Contra-Exemplo
http://youtu.be/TZYKOaiXBNA
Prova por Contradição ou por Redução ao Absurdo
http://youtu.be/rba2FSQ-irg Provas por Contrapositivo
http://youtu.be/PqbnXDuv3dE Provas Se-E-Somente-Se
Tabela 6.2: Videoaulas sobre Prova de Existência
http://youtu.be/9g6Dmc7pmCs Prova de Existência - Achando um Exemplo
Tabela 6.2: (continued)
http://youtu.be/iLjh85lcPqA Prova de Existência - Provas Construtivas
http://youtu.be/Kem9WWQibXA Prova de Existência - Prova Não Construtiva
http://youtu.be/Xo156mhmyxY Prova de Existência - Por Contradição Ou Por
Redução Ao Absurdo
http://youtu.be/qAiVsJSr6Cc Prova de Existência - Casa de Pombos Ou
Gavetas de Dirichlet
Tabela 6.3: Videoaulas sobre outros métodos de Provas
http://youtu.be/Gdb7zocliRM
Prova da irracionalidade da raiz quadrada de 2
http://youtu.be/hWeVttOXBWA Aula 07 Métodos de demonstração
http://youtu.be/Lv2hivRYCGc Números irracionais
http://youtu.be/o2S8AXGP7wo Média - Demonstração por Contradição
Tabela 6.3: (continued)
http://youtu.be/rxgr2PxHa0M (KhanAcademyEspanol) Examen CA
Geometría: prueba por contradicción
http://youtu.be/QP7sQopFcls (Leonardo Martinez) Contradicción y
potencias de un irracional
6.10
Recapitulando
Parabéns, você concluiu mais um capítulo. Persevere esforçando-se cada vez mais para vencer com honestidade, garra e competência. Se você foi disciplinado e realmente estudou com todo afinco 4 a 8 h/semana, deve estar dominando os principais métodos de prova dedutiva formal: provas simples a partir somente das definições; provar/ disprovar afirmações universais “se-então” (diretamente, ou por divisão em casos, ou por exaustão, ou por generalização de um elemento específico escolhido arbitrariamente); fazer provas indiretas, por contra-exemplo, contradição, redução ao absurdo, e uso do contrapositivo; fazer provas “se-e-somente-se” e provas (construtivas e não construtivas) de exis- tência; prova de uma função ser bem construída; provas pelo princípio das casas de pombos.
Para você treinar ainda melhor, recomendamos a Lista de Exercícios sobre Métodos de Prova, Prof. Loureiro,http://goo.gl/xDi8mN, com soluções emhttp://goo.gl/M171UH.
No próximo (e último!) capítulo, você será introduzido à Teoria dos Números, um assunto teorica- mente fascinante e desafiador, e também de importantíssimas aplicações práticas, por exemplo, na área de encriptação e segurança. Estudará propriedades dos números inteiros, particularmente as im- plicações em testar se um inteiro gigantesco é primo; divisibilidade, fatoração em primos; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; aritmética modular, classes de equivalência, e congruên- cias; exponenciação rápida; etc. Você vai gostar, e terá terminado de dominar esta disciplina!
Capítulo 7
Introdução à Teoria dos Números
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de (entre outras coisas):
• Usar o Crivo de Eratóstenes para determinar todos os primos desde 2 até um qualquer inteiro, n;
• Testar, de forma exata (mas ineficiente), se um inteiro é ou não primo (isto não precisa ser pelo algoritmo exato menos ineficiente, o AKS);
• Usar o Algoritmo de Euclides para determinar o Máximo Divisor Comum de dois nú- meros. E usá-lo para, indiretamente, determinar o Mínimo Divisor Comum de dois números;
• Usar a Aritmética Modular (ou Operações Sobre Congruências) para resolver proble- mas com grande eficiência.
Nota
Perguntas para despertar e aguçar sua curiosidade e interesse:
1. Há algum inteiro n> 2 tal que an+ bn = cn, onde a, b, c são naturais? Faça umas tentativas.
2. Ao usarmos o Crivo de Eratóstenes, a cada vez mais naturais cortados vão ficando vizinhos em sequências enormes, e os primos ficando mais extremamente raros e espaçados. Você acha que existe um natural a partir do qual não há mais nenhum primo maior que ele (todos os naturais maiores que eles formam uma sequência de vizinhos crivados), de modo que o número de primos é finito? Por que sim ou por que não?
3. Você acha que determinar, com absoluta certeza, se um natural de 1000 dígitos é primo leva quanto tempo no mais rápido computador da loja da esquina? Horas? Anos? Milênios?
4. Você sabe uma maneira eficiente de calcular ab mod m (todas as variáveis sendo naturais), quando a representação decimal de apode ter até 10.000 dígitos, baté 8 dígitos,maté 4 dígitos?
Nosso objetivo, neste capítulo, é que, ao final dela, você domine as mais básicas noções e proprie- dades dos números inteiros, podendo responder às questões acima e outras, particularmente sabendo: como testar se um inteiro é primo ou não; de forma muito eficiente achar o máximo divisor comum (e o mínimo múltiplo comum) e onde podem ser usados em outros problemas; aritmética modular e congruências.
Sempre vamos repetir
Estamos torcendo por você. O fórum de alunos, os tutores, e eu (o professor) queremos e vamos ajudá-lo (nessa ordem), mas você tem que ser determinado e disciplinado, cada semana dedicando 4 a 8 horas para estudar este livro.
Nota
Embora os conteúdos tenham sido aprofundados usando outras fontes, os tópicos foram “pin- çados” a partir do Cap. 7 “_Number Theory_” do livro “_Programming Challenges_” de Ste- ven S. Skiena e Miguel A. Revilla (download gratuito de http://acm.cs.buap.mx/downloads/- Programming_Challenges.pdf). Portanto, provavelmente só cobrimos os cerca de 30% mais fáceis da Teoria dos Números, mas que têm mais aplicação prática nas competições de programação. Uma referência mais abrangente e profunda éhttp://mathworld.wolfram.com/- topics/NumberTheory.html, com centenas de artigos em dezenas de assuntos. Mas qualquer dos livros textos da disciplina cobre todas os seus 7 capítulos.