Mais Algumas Poucas Coisas Sobre os Primos

7.2.5.1 Conjectura forte de Goldbach (1742)

Sempre se pode exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos. 4_{Este teorema foi descoberto por Gauss, quando tinha apenas 15 anos.}

7.2.5.2 Conjectura fraca de Goldbach (de 1742 e 1746)

Sempre se pode exprimir os números ímpares, maiores que 5, como a soma de três números primos. (obviamente, a conjectura forte implica a fraca: para representar um número ímpar como uma soma de três números primos é suficiente subtrair 3 dele e aplicar a versão forte para o número par resultante.) (267 anos depois, em 2013, o peruano Harald Andrés Helfgott, do Centro Nacional para a Pesquisa Científica, na França, finalmente provou esta conjectura, que antes somente tinha sido testada até números da ordem de 4 × 1014).

7.2.5.3 Outra conjectura (verificada, mas não provada)

Os primos estão uniformemente distribuídos quanto seus últimos algarismos. Isto é, dos infinitos primos, 1/4 termina com o algarismo 1, 1/4 com o 3, 1/4 com o 7, 1/4 com o 9.

7.2.5.4 Conjectura de Polignac (1849)

Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3; 5), (71; 73) ou (1000000007; 1000000009) — 164 anos depois, em 2013, Yitang Zhang provou esta conjectura.

7.2.5.5 Outra conjectura

Há infinitos pares de primos sexy (do Latim sex, significando 6), isto é, que diferem por 6 um do outro: (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), etc. O maior que já foi descoberto (em 2009) tem 11593 dígitos. Os primos são (p, p + 6) e p = (117924851 × 587502 × 9001# × (587502 × 9001# + 1) + 210) × (587502 × 9001# − 1)/35 + 5, onde 9001# é um é um pri- morial, isto é, o produto de primos menores ou iguais a 9001, i.e., 9001# = 2 × 3 × 5 × · · · × 9001.

• Há infinitas triplas {p, p + 6, p + 12} de primos sexy, onde (p − 6) e (p + 18) não são primos. • Há infinitas quádruplas de primos sexy.

• Há somente 1 quíntupla de primos sexy: 5, 11, 17, 23, 29. Em qualquer outra quíntupla {p, p + 6, p + 12, p + 18, p + 24, p + 30} (onde p > 5), para todos os pares serem relativamente primos, um dos números tem que ser divisível por 5 (se um terminar em 1, o seguinte terminará com 7, o próximo com 3, o próximo com 9, o próximo com 5) e não será primo.

7.2.5.6 Espiral de Ulam

Quando arranjamos os naturais em uma espiral (chamada de Espiral de Ulam) e destacamos os núme- ros primos, observamos um intrigante e não totalmente explicado padrão, com os primos se alinhando num surpreendente padrão de segmentos de retas, em diagonal. Veja emhttp://mathworld.wolfram.com/- PrimeSpiral.htmle emhttp://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spirale leia as conjecturas lá citadas

7.2.5.7 O maior número primo conhecido

Até 17/6/201, o maior número primo encontrado é 257.885.161− 1, um número com 17.425.170 dígitos, descoberto pelo projeto GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search), que é um projeto de computação distribuída pela Internet que usa o tempo ocioso de computadores pessoais, na procura por números primos específicos, os chamados primos de Mersenne. Um primo de Mersenne é um número primo do tipo Mn= 2n− 1, onde n é um natural. Atualmente, só descobrimos 48 deles: 3, 7, 31, 127, . . ..

Dica

Este projeto está sempre buscando primos maiores, possivelmente já encontram um outro maior após a impressão deste livro. Você pode encontrá-lo no seguinte link: http://primes.utm.edu/largest.html.

7.2.5.8 Mais fatos interessantes sobre os primos

Em 1995

Um estudante na École Polytechnique relatou que havia “quebrado” uma mensagem de de- safio criptografada publicada na Web pela Netscape. A mensagem, uma transação eletrô- nica, tinha sido criptografada usando um algoritmo com uma variável (chave) de encriptação de 40 bits. O que o aluno fez foi particionar o espaço da variável (chave) de encriptação (240≈ 1012 = 1 trilhão de chaves possíveis) através de um número de computadores aos quais lhe foi dado acesso, e colocá-los procurando a chave correta. Em outras palavras, ele executou um ataque de força bruta, teve sucesso, e achou a variável (chave) de encripta- ção usada na mensagem. Seu ataque durou cerca de 6 dias e processou cerca de 800.000 chaves por segundo (portanto, experimentou cerca de 417 bilhões de chaves possíveis). En- quanto a maioria dos analistas não acreditava que uma variável (chave) de encriptação de 40 bits estava imune a um ataque de força bruta, o sucesso do aluno causou uma grande celeuma na imprensa. Além disso, o estudante postou seu programa em um site para que qualquer um pudesse copiar o programa e executar o ataque. Veja os atuais desafios e prêmios em aberto, emhttp://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge.

Nota

Na RSA a Data Security Conference, Janeiro de 1997, foi anunciado que um estudante de Berkeley, usando o tempo ocioso de uma rede de 250 computadores, foi capaz de quebrar a mensagem criptografada de desafio da RSA, que usava uma chave de 40 bits, em (apenas) 3 horas e meia.

a_{RSA é um algoritmo de criptografia de dados, que deve o seu nome a três professores do MIT (Massachu-}

setts Institute of Technology), fundadores da atual empresa RSA Data Security, Inc., Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, que inventaram este algoritmo — até a data (2008), a mais bem sucedida implementação de sistemas de chaves assimétricas, e fundamenta-se em teorias clássicas dos números. É considerado dos mais seguros, . . . . Foi também o primeiro algoritmo a possibilitar criptografia e assinatura digital, e uma das grandes inovações em criptografia de chave pública.

Em 1997

Um ataque de força bruta foi completado contra uma mensagem (desafio] na página web do DES (Data Encryption Standard). Citamos (parte de) o comunicado de imprensa da equipe do Desafio DES (encontrado na http://www.frii.com/~rtv/despr4.htm): LOVELAND, COLO- RADO (18 de junho de 1997). Dezenas de milhares de computadores, através de todo os EUA e Canadá, ligaram-se entre si através da Internet, em um sem precedentes esforço de supercomputação cooperativa para decifrar uma mensagem codificada com o Data En- cryption Standard (DES), endossado pelo governo (dos EUA). Respondendo a um desafio, incluindo um prêmio de 10.000 dólares, oferecidos pela RSA Data Security, Inc., o esforço DESCHALL obteve êxito em decodificar a mensagem secreta da RSA. De acordo com Rocke Verser, um programador contratado (por outra empresa, claro) e consultor, que desenvolveu o software especializado em seu tempo livre, “Dezenas de milhares de computadores traba- lharam cooperativamente para vencer o desafio”. É melhor você ver em http://gilchrist.ca/- jeff/distrib-des.html