Ponte, Branco e Matos (2008) fazem uma síntese dos erros e dificuldades de estudantes na resolução de equações destacados em várias pesquisas e que podem, em alguns casos, ser estendidos para manipulações de expressões algé- bricas. Os autores se referem a problemas que podem ocorrer na aprendizagem deste tema, relativos à utilização de símbolos, em especial nas expressões algé- bricas presentes no trabalho com equações e funções. Segundo as perspectivas dos autores, o raciocínio em álgebra requer a compreensão da linguagem algé- brica, sendo por isso de grande importância compreender a natureza e origem das dificuldades dos estudantes. A partir dessa perspectiva os autores propõem a seguinte síntese a seguir.
ERROS S/ DIFICULDADES EXEMPLO AUTOR
Adição de termos que não são semelhantes e interpretação dos sinais “+” e “=” como indicadores de uma ação. 3 + 4n = 7n 2a + 5b = 7ab Booth, 1984, 1988 Kieran, 1981, 1982 Kuchemann, 1981 Mac Gregor e Stacey, 1997 Interpretação incorreta de
monômios do 1º grau Interpretação de 4y como:• quatro “y s”;
• um número com quatro
dezenas e e um número desconhecido de unidades.
• 4 + y por analogia com
3 1
2 = 3 + 12
Booth, 1984
Uso de parênteses 3 (x + 2) = 7x ↔ 3 x + 2 = 7x Kieran, 1992
Socas, Machado, Plarea e Hernandez, 1996 Não saber como começar a
resolver uma equação Kieran, 1985
Não respeita a convenção de que várias ocorrências da mesma incógnita representam o mesmo número.
Kieran, 1985
Adição incorreta de termos
Adição incorreta de termos
não semelhantes. 2x + 5 = x + 8 ↔ -7x = 9 Kieran, 1985
Transposição incorreta de termos. 16x - 215 = 265 ↔ 16x = 265 - 215 30 = x + 7 ↔ 30 + 7 = x 3x + 5 = 2x ↔ 3x = 2x + 5 7x = x + 8 ↔ 7 - 8 = x + x Kieran, 1885. 1992
Redistribuição (Redistributon) - 2x + 5 = 8 ↔ 2x + 5 - 5 = 8 + 5 Kieran, 1992
Eliminação 3x - 3 = 2x - 4 ↔ x = 2x - 4 Kieran, 1992
Fonte: Ponte, Branco e Matos (2008)
Em relação à síntese apresentada pelos autores sobre os erros e dificulda- des mais frequentes na resolução de equações, é possível não só verificarmos que tais erros e dificuldades apresentam um padrão de ocorrência, uma vez que estão presentes em diversas pesquisas, mas que também frequentemente podemos en- contrar diversos deles em nossas aulas e nas produções de nossos estudantes.
Com base nessa síntese de Ponte, Branco e Matos (2008), com o objetivo de elucidar algumas situações elencadas por eles, apresentamos alguns registros que retiramos da pesquisa de Siebra12 (2009), que trabalhou os erros de estudan-
tes de 7° ano (8ª série antiga) em questões que envolvem Álgebra.
Na questão 6, apresentada na sequência da atividade proposta por Siebra (2009) em sua pesquisa, todos os estudantes que erraram assinalaram a alternati- va b, que corresponde a 4xy.
6ª questão A expressão (3x - 2) 4y é equivalente a: a) 12xy - 2 b) 4xy c) 12xy - 8y d) 3xy - 8y Fonte: Siebra, 2009, p.69-70
A pesquisadora verificou três tipos de erros distintos: a maioria dos estu- dantes subtraiu 3x de -2, o que resulta em x, e multiplica por 4y. Não observaram o fato de não poderem operar termos que não são semelhantes. Esta constatação fica clara nos protocolos seguintes.
Mostre como você chegou a sua resposta.
Fonte: SIEBRA, 2009, p.76
Figura 20 – Protocolo de estudante
Este erro é apontado por vários autores que consideram que os estudantes que cometem esse tipo de erro desconhecem a natureza e o significado das letras.
No próximo exemplo, apesar de o estudante multiplicar os números adequa- damente quando usou a propriedade distributiva, ao que parece não atribui signi- ficado às letras, usando x e y de forma inadequada, talvez pelo que Booth (1984) relaciona com os significados diferenciados de uma letra na aritmética e na álgebra.
Mostre como você chegou a sua resposta.
Fonte: SIEBRA, 2009, p.77
Figura 21 – Protocolo de estudante
No próximo protocolo é possível observar que o estudante também desen- volve a propriedade distributiva de maneira correta, porém apresenta erro quando faz a subtração 12xy – 8y. Quando ele faz 12xy – 8y = 4xy, comete o erro denomi- nado por Kieran (2008) de operação inadequada com termos não semelhantes, ou o que Booth (1995) associa a natureza das respostas, ou seja, a não aceitação de uma expressão como resposta. Esse erro pode ter origem na aritmética, pois nela a resposta é um número e não uma expressão.
Uma das questões que apresentou menor índice de acertos na pesquisa de Siebra (2009) foi a questão abaixo, que envolvia a fatoração de um polinômio por agrupamento.
Dentre os polinômios abaixo, o único equivalente a xy - z2 + xz - yz é: a) (x - z) (y + z) b) x(x - y) + z(x - y) c) x(y - z) - z(z - y) d) xy - z(z + x - z) Fonte: SIEBRA, 2009, p.70
Para esta questão, podemos encontrar um caso de adição de termos que não são semelhantes, que estão dentro dos estudos de Booth (1995), Kieran (1992), em que o estudante se apropria do sinal de igual para indicar uma ação, como no protocolo apresentado na figura 22.
Mostre como você chegou a sua resposta.
Fonte: SIEBRA, 2009, p.78
Figura 22 – Protocolo de estudante
Também para esta questão é possível observar que os estudantes usa- ram o procedimento inverso, resolvendo cada produto apresentado como al- ternativa, dando indicadores de que não conseguem fatorar. No entanto parece que eles identificam que a fatoração de um polinômio é equivalente a um pro- duto, como indicado nos protocolos a seguir, em que testaram a alternativa a e encontraram a resposta.
Mostre como você chegou a sua resposta.
Fonte: SIEBRA, 2009, p.85
Figura 23 – Protocolo de estudante
Foram observados por Siebra (2009) erros na multiplicação de números po- sitivos por negativos, embora o uso da propriedade distributiva estivesse correto.
Mostre como você chegou a sua resposta.
Fonte: SIEBRA, 2009, p.85
Figura 24 – Protocolo de estudante
O protocolo a seguir mostra que o estudante manipulou todas as alter- nativas, mas não conseguiu chegar à resposta correta. O que para Siebra (2009) significa que ele não identifica que é xy + xz – zy – z² é igual a xy – z² + xz – yz.
Mostre como você chegou a sua resposta.
Fonte: SIEBRA, 2009, p.86
Figura 24 – Protocolo de estudante
Estes são alguns exemplos de erros cometidos no estudo de Álgebra, que se encontramcategorizados em algumas pesquisas e têm sido motivo de estudo para pesquisadores e educadores com o objetivo de entender e melhorar os processos de ensino e aprendizagem em se tratando da álgebra ensinada na educação básica.
Ao longo deste texto, apresentamos, de forma sintética, questões relaciona- das à construção do pensamento algébrico, bem como reflexões sobre o conceito de variável e o papel que elas desempenham nas diferentes concepções que a Álge- bra pode apresentar.
Certamente, há de se considerar que estas indagações relacionadas às ques- tões da construção do pensamento algébrico, assim como um trabalho efetivo em termos de variáveis, exige de nós, professores, maior entendimento sobre todo um contexto em que se dá o estudo da álgebra.