Os corpos rombudos, quando submetidos a um escoamento incidente, podem levar ao desprendimento de v´ortices e `a forma¸c˜ao de uma esteira pulsante na regi˜ao `a jusante. O desprendimento peri´odico de v´ortices imp˜oe uma distribui¸c˜ao de press˜ao instantˆanea sobre a superf´ıcie do corpo que pode levar a vibra¸c˜oes da estrutura, fenˆomeno conhecido como Vibra¸c˜ao Induzida por V´ortices. A rela¸c˜ao da frequˆencia natural de oscila¸c˜ao do corpo com a frequˆencia de desprendimento de pares de v´ortices contrarrotativos (n´umero de Strouhal) tem sido objeto de estudos durante os anos e a sua importˆancia reside, principalmente, na sua associa¸c˜ao com falhas de estruturas por fadiga (fenˆomeno da ressonˆancia).
As Vibra¸c˜oes Induzidas por V´ortices s˜ao intera¸c˜oes n˜ao lineares entre o corpo e a esteira de v´ortices. Este fenˆomeno pode ser estudado de duas maneiras distintas: vibra¸c˜ao livre e vibra¸c˜ao for¸cada. A vibra¸c˜ao livre caracteriza-se por ocorrer naturalmente, sem a interferˆencia externa, e a frequˆencia de desprendimento de v´ortices e a frequˆencia natural de oscila¸c˜ao do corpo s˜ao as mesmas. J´a na vibra¸c˜ao for¸cada, a amplitude e a frequˆencia de oscila¸c˜ao s˜ao determinadas previamente e independem da velocidade do escoamento; ´e
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comum denominar este tipo de situa¸c˜ao por V´ortice Induzido por Vibra¸c˜ao.
Bishop e Hassan (1964) analisaram os efeitos da vibra¸c˜ao for¸cada no desprendi- mento de v´ortices. O trabalho destes autores, um dos precursores nesta ´area, consistiu na investiga¸c˜ao das for¸cas que atuam em um cilindro que oscila for¸cadamente e transversal- mente ao escoamento incidente. Os autores foram respons´aveis por investigar o fenˆomeno de lock-in, que ocorre quando a frequˆencia de oscila¸c˜ao do coeficiente de sustenta¸c˜ao sincroniza-se com a frequˆencia de oscila¸c˜ao do cilindro; em outras palavras, a frequˆencia de desprendimento de v´ortices ´e igualada `a frequˆencia de oscila¸c˜ao for¸cada do cilindro. A oscila¸c˜ao for¸cada do corpo era da forma harmˆonica e senoidal, dada pela equa¸c˜ao:
Yosc = Aysen(2πfyt) (2.5)
onde Yosc ´e a coordenada do centro do cilindro, Ay ´e a amplitude e fy ´e a frequˆencia de
oscila¸c˜ao.
A s´erie temporal da for¸ca de sustenta¸c˜ao obtida por Bishop e Hassan(1964), est´a explicitada na Figura 2.9. Para as regi˜oes fora da sincroniza¸c˜ao ´e poss´ıvel constatar batimentos, t´ıpicos de osciladores n˜ao-lineares for¸cados a oscilar. Na regi˜ao em que a frequˆencia de oscila¸c˜ao do cilindro varia em torno da frequˆencia de emiss˜ao dos v´ortices os autores indicaram uma varia¸c˜ao brusca do ˆangulo de fase entre o coeficiente de sustenta¸c˜ao e a oscila¸c˜ao do corpo. Ao mesmo tempo em que isto ocorre, a amplitude do coeficiente de sustenta¸c˜ao sofre um aumento repentino.
Em outro trabalho cl´assico, Koopmann (1967) teve como interesse determinar as regi˜oes onde era poss´ıvel atestar sincroniza¸c˜ao. Em seu trabalho, o autor mostrou que lock-in s´o ocorria acima de uma valor limite de amplitude de oscila¸c˜ao e que este valor ´e muito mais dependente da amplitude de oscila¸c˜ao do cilindro do que do n´umero de Reynolds do escoamento.
Feng(1968) realizou uma s´erie de experimentos em t´uneis de vento para um cilindro com vibra¸c˜ao livre, atrav´es de um sistema de molas fixando o cilindro a parede. Por´em, como frequˆencia de desprendimento dos v´ortices induz a oscila¸c˜ao do corpo e essa oscila¸c˜ao pode influenciar na pr´opria frequˆencia de desprendimento dos v´ortices, a interpreta¸c˜ao dos resultados e a an´alise dos efeitos na resposta de vibra¸c˜ao foram confusas. A vibra¸c˜ao for¸cada permite fixar um parˆametro, usualmente a frequˆencia de oscila¸c˜ao do cilindro, atrav´es de um moto acoplado, para analisar o efeito de outro (por exemplo, o efeito da
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oscila¸c˜ao no desprendimento de v´ortices).
Williamson e Roshko (1988) publicaram um dos mais importantes artigos de
vibra¸c˜ao for¸cada transversal em um cilindro. O artigo foi resultado de uma s´erie de experimentos realizados pelos autores com o objetivo de mapear os modos de sincroniza¸c˜ao (ou lock-in). Os parˆametros utilizados para a realiza¸c˜ao dos experimentos foram: intervalo de Reynolds 300− 1000, amplitude de oscila¸c˜ao (A/D) na faixa 0.5 − 5 e frequˆencia de oscila¸c˜ao (fosc/fs) na faixa 1/3− 5. Outro parˆametro utilizado no trabalho citado, e em
diversos trabalhos que estudam V.I.V, ´e a velocidade reduzida (VR), definida por:
VR=
U∞ foscD
(2.6)
onde fosc ´e a frequˆencia de oscila¸c˜ao for¸cada do corpo, U∞ ´e a velocidade do escoamento incidente e D ´e o diˆametro do cilindro.
Williamson e Roshko (1988) classificaram os diferentes modos de sincroniza¸c˜ao encontrados baseados nos tipos de desprendimento de v´ortices a cada ciclo. A Figura 2.10
mostra o mapa dos modos de sincroniza¸c˜ao obtido pelos autores; a nomenclatura utilizada foi designada baseada na combina¸c˜ao de P (par de v´ortices) e S (v´ortice singular). J´a a Figura 2.11mostra em detalhes a forma adquirida pela esteira de v´ortices seguindo a nomenclatura S e P . O modo 2S ´e caracterizado pelo desprendimento de dois v´ortices de circula¸c˜ao oposta a cada ciclo (este foi o modo escolhido para os estudos de V.I.V. for¸cada nesta Disserta¸c˜ao de Mestrado), o modo 2P ´e observado quando dois pares de v´ortices s˜ao desprendidos a cada ciclo e o modo S + P ocorre quando um v´ortice e um par de v´ortices de circula¸c˜oes opostas s˜ao desprendidos a cada ciclo. O modo 2S ´e, tamb´em, conhecido como esteira de von K´arman.
Dahl (2008) estudou o caso do cilindro oscilando na dire¸c˜ao do escoamento e descreveu lock-in como o equil´ıbrio dinˆamico final alcan¸cado pela intera¸c˜ao fluido-estrutura. A forma¸c˜ao de v´ortices ´e causada pela instabilidade da esteira do escoamento na regi˜ao `a montante do cilindro. Se os v´ortices s˜ao provocados por perturba¸c˜oes no escoamento, o desprendimento de v´ortices e a excita¸c˜ao da estrutura s˜ao inevit´aveis. As for¸cas induzidas por v´ortices podem levar a uma mudan¸ca na massa adicional hidrodinˆamica efetiva4 e aproximar ainda mais a frequˆencia natural do corpo da frequˆencia de desprendimento de
4Massa adicional hidrodinˆamica est´a relacionada `a for¸ca que deve ser acrescentada `a um sistema devido
`
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pares de estruturas vorticosas contrarrotativas.
Figura 2.9: Perfil de velocidade, da sua primeira e segunda derivada em rela¸c˜ao a y, para o caso de um gradiente desfavor´avel de press˜ao. Reproduzido de Schlichting (1979)
Figura 2.10: Mapa dos modos de sincroniza¸c˜ao para um cilindro oscilando for¸cadamente transversalmente. Reproduzido deWilliamson e Roshko (1988)
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Figura 2.11: Ilustra¸c˜ao dos diferentes modos de desprendimento de v´ortices analisados por
Williamson e Roshko. Reproduzido de Williamson e Roshko (1988)
for¸cadamente e transversalmente ao escoamento. O estudo apresentou o coeficiente de massa adicional hidrodinˆamica para diferentes valores de Ay/D no intervalo 6× 103 <
Re < 3, 5×104. Os dados obtidos experimentalmente foram utilizados em equa¸c˜oes lineares de movimento para predi¸c˜ao das amplitudes em cilindros oscilando em base el´astica.
Klamo et al. (2005) investigaram a amplitude m´axima para um cilindro oscilando livremente transversalmente ao escoamento. Para estes testes, um canal de recircula¸c˜ao de ´
agua foi utilizado e o n´umero de Reynolds variou entre 525 e 2600. O objetivo principal do estudo era caracterizar a amplitude m´axima para diferentes velocidades de escoamento. Os autores conseguiram mostrar que a amplitude m´axima ´e influenciada pelo n´umero de Reynolds, diferentemente do que se acreditava anteriormente.
Carberry et al.(2017) estudaram dois modos de desprendimento de v´ortices (2P e 2S) e a transi¸c˜ao entre eles. O estudo foi realizado atrav´es de experimentos com n´umero de Reynolds de 2, 3× 103 e intervalo de raz˜ao entre a frequˆencia de oscila¸c˜ao (fosc) e
a frequˆencia de desprendimento de v´ortices (fs) de 0, 5 ≤ fosc/fs ≤ 1, 4. Os autores
constaram que, quando fosc/fs aumenta e atinge 0.81, h´a uma abrupta queda no ˆangulo
de fase da for¸ca de sustenta¸c˜ao e um aumento do CL. Este fenˆomeno indica mudan¸cas
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2S. Os autores denominam esta caracter´ıstica de estado de transi¸c˜ao entre baixa frequˆencia e alta frequˆencia.
Chizfahm et al. (2017) utilizaram M´etodo de Elementos Finitos para simular
numericamente a Vibra¸c˜ao Induzida por V´ortices em um modelo de turbina e´olica. Para a simula¸c˜ao, a turbina foi modelada simplificadamente como um cilindro e os teste foram realizados para duas se¸c˜oes transversais diferentes: circular e cˆonica. O efeito da velocidade do vento no coeficiente de sustenta¸c˜ao, a deflex˜ao da turbina e a potˆencia gerada foram investigados. O trabalho verificou que a amplitude de oscila¸c˜ao aumenta significantemente quando em lock-in e que, em regi˜oes de baixa velocidade, o cilindro de se¸c˜ao circular tem maior desempenho.