A figura 3.8 mostra uma representação esquemática do escoamento em desenvolvimento no interior de um conduta circular.
Figura 3.8 - Esquema do desenvolvimento do escoamento no interior de uma conduta circular, adaptado de [40].
27 A camada limite desenvolve-se ao longo das paredes da conduta com o aumento da distância x e termina quando atinge o eixo da conduta. A partir deste ponto o perfil de velocidade não se altera mais com x, sendo o escoamento denominado de completamente desenvolvido. A superfície do tubo exerce uma força de corte que retarda o escoamento, consequentemente a velocidade do fluido nas proximidades da parede é reduzida. O efeito da superfície da parede da conduta é sentido cada vez mais para dentro do escoamento. Suficientemente longe da entrada do tubo a camada limite em desenvolvimento atinge o eixo central da conduta e o escoamento torna-se inteiramente viscoso. A partir deste ponto a forma do perfil de velocidades não se altera mais com o avanço do escoamento, ou seja o escoamento encontra-se completamente desenvolvido. O comprimento entre a entrada e o local onde o escoamento se torna completamente desenvolvido é chamado de comprimento de entrada hidrodinâmico e é dado por:
0, 06
des
L Re d, (3.1)
onde d e Re são diâmetro do tubo e número de Reynolds, respectivamente [36, 40]. Para este estudo do escoamento em desenvolvimento numa conduta 3D foram utlizadas quatro malhas não estruturadas, com o número de nós indicados na tabela 3.1. Com este estudo pretendemos validar o método numérico usado no estudo da hemodinâmica na artéria Aorta Abdominal, bem como avaliar o erro geral nos resultados apresentados.
Tabela 3.1 - Número de nós das malhas não estruturadas.
Nós Malha 1 114724 Malha 2 240864 Malha 3 345204 Malha 4 458590
Nas figuras seguintes apresentam-se os resultados obtidos, nas simulações numéricas, do modelo da conduta 3D. Os resultados mostram, para as quatro malhas diferentes, a comparação entre o perfil teórico da velocidade dado pela equação (2.10) e os perfis das velocidades em quatro posições diferentes ao longo de um tubo de 4 m de
28 comprimento e 22 mm de diâmetro, isto é a 1, 2, 3 e 4 metros da entrada da conduta, que correspondem à linha 1, linha 2, linha 3 e linha 4, respetivamente. A velocidade de entrada é de 0,3288 m/s, o que corresponde à velocidade média utilizada no estudo da hemodinâmica da Aorta Abdominal. Da comparação dos perfis das velocidades nas diferentes posições, em cada uma das malhas, infere-se que na posição 3 m (linha 3) o perfil da velocidade já se encontra completamente desenvolvido confirmando o esperado de acordo com a equação 3.1,ver figuras 3.9. Neste caso a diferença entre o valor teórico da velocidade máxima (dada pela equação 3.1) e os valores das velocidades máximas numéricas obtidos com as malhas 3 e 4 é de 3,62% e 3,49%, respetivamente. Daqui conclui-se que a malha 3 já apresenta uma resolução suficiente para garantir a independência dos resultados para malhas com resolução superior.
Figura 3.9 - Comparação entre os perfis das velocidades para as quatro malhas estudadas e o perfil teórico, em quatro posições do escoamento em desenvolvido ao longo do tubo: a) 1 m, b) 2 m, c) 3 m e d) 4 m.
29 Na Figura 3.9 a) e b) os perfis das velocidades ainda não estão completamente desenvolvidos, o que explica o afastamento das soluções numéricas, para as quatro malhas, relativamente ao perfil teórico do escoamento completamente desenvolvido. As linhas colocadas a 3 m (linha 3) e 4 m (linha 4) da entrada do tubo estão na região do escoamento completamente desenvolvido, e verifica-se que as diferenças entre as soluções numéricas e a solução teórica dos perfis das velocidades, para as malhas 3 e 4, são sempre menores do que 4%
Da comparação de todos os resultados numéricos da velocidade máxima, para os perfis em cada uma das posições, com o valor teórico dado pela equação (2.10), verifica-se que as diferenças relativas percentuais relativamente ao valores teóricos são sempre menores do que 15,9% (caso malha 1 e linha 1), ver tabela 3.2. Para a posição 3 m (perfil completamente desenvolvido) as diferenças diminuem para 6,84% e 3,62% para as malhas 1 e 3, respectivamente. As diferenças são mostradas na tabela 3.2 e são calculadas de acordo com a seguinte equação:
𝜀 =|𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜| 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
× 100 (3.2)
Tabela 3.2 - Diferença relativa percentual para as velocidades máximas dos quatro perfis analisados, em função da resolução das malhas.
Posição das linhas
4 m 3 m 2 m 1 m
Malha 1 6,26 6,84 8,76 15,85
Malha 2 3,75 4,35 6,18 13,09
Malha 3 3,03 3,62 5,45 12,45
Malha 4 2,85 3,49 5,26 12,02
A figura 3.10 mostra a evolução do fator de atrito ao longo da parede da conduta para cada uma das malhas. Da análise desta figura verifica-se que a partir dos 3 m até ao final da tubagem o fator de atrito permanece praticamente constante, indicando que o escoamento já se encontra completamente desenvolvido.
30 Figura 3.10 - Resultados do fator de atrito médio ao longo da parede da conduta.
A Tabela 3.3 compara os valores do fator de atrito médio nas paredes, f , da conduta para as quatro malhas, na região com o escoamento completamente desenvolvido (3-4m), e o valor teórico dado pela equação (2.15). As diferenças relativas percentuais entre o valor médio teórico e valores numéricos para as malhas 3 e 4 são menores do que 1%.
Tabela 3.3 - Fator de atrito médio, na região completamente desenvolvida (3-4 m), em função da resolução da malha. f 3-4 m Malha 1 0,00703 Malha 2 0,00711 Malha 3 0,00714 Malha 4 0,00713 Eq.(2.15) 0,00720
Este estudo para o escoamento em desenvolvimento no interior da conduta permitiu validar o método numérico por comparação com o esperado experimentalmente, figura 3.8. Este estudo, também, permite concluir que a malha 3 já possui uma resolução
31 suficiente para garantir a independência dos resultados com malhas de resolução superior. Os parâmetros usados para construir esta malha foram adaptados para a construção das malhas nos modelos geométricos da artéria Aorta, o que garante a construção de malhas com resoluções semelhantes. Da análise geral deste estudo, podemos a firmar que os resultados apresentados nesta tese para os modelos geométricos da artéria Aorta Abdominal apresentam, em geral, um erro de 3-4%.
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4 Resultados e discussão
Os resultados apresentados neste capítulo mostram a influência da localização de um aneurisma na hemodinâmica da artéria Aorta Abdominal. Para este fim analisaram- se as distribuições das velocidades, das taxas de deformação, das pressões, do fator de atrito e das tensões de corte nas paredes da artéria para um escoamento sanguíneo laminar e estacionário, caraterizado por um número de Reynolds de 2222,5.
As simulações em dinâmica de fluidos computacional permitem revelar o comportamento da hemodinâmica dos escoamentos da artéria Aorta Abdominal, bem como, o efeito na hemodinâmica das diferentes localizações dos aneurismas na artéria. Deste modo foram obtidas as soluções numéricas com o software Fluent para os escoamentos laminares em vários modelos geométricos simplificados da artéria com um aneurisma, localizado em diferentes posições ao longo da artéria. Isto é, nos diferentes modelos geométricos da artéria Aorta Abdominal com aneurisma representados nas Figuras 3.3-3.7.
É de salientar que os escoamentos em toda a artéria são caracterizados por um número de Reynolds inferior a 2300 (valor a partir do qual é esperado que o escoamento deixe de ser laminar)