Nesta actividade vamos determinar os planos num cristal, os quais são responsáveis pela difracção dos raios X.
(a) Note que é difícil imaginar como o foco dos raios X entrando num cristal pode comportar-se, com tantos planos colocados em todos os ângulos do foco e todos com diferente d - spacing. Qual deles irá (se por ventura existir) satisfazer a lei de Bragg e reflectir o foco? O uso da rede recíproca para compreender a difracção foi demonstrado em 1913 por P.P. Ewald. Os pontos da rede recíproca representam os planos da rede recta (i.e. real) que formam. A rede recta determina (através de relações definidas) os vectores da rede recíproca, os espaçamentos entre os pontos da rede e as direcções recíprocas associadas.
Considere a rede recta bi - dimensional mostrada na Fig. 1.17. Está definida pelos vectores reais a e b, e o ângulo γ. São os espaçamentos dos planos (100) e (010) (i.e. d100 e d010). Uma rede recta tridimensional poderia introduzir o
Figura 1.17: Uma rede recta bidimensional
A rede recíproca vai ter vectores recíprocos a* e b*, separados pelos ângulos γ*.
a* será perpendicular ao plano (100) e igual em magnitude ao inverso de d
100.
De modo similar, b* será perpendicular ao plano (010) e igual em magnitude
ao inverso de d010. Por isso ângulos γ e γ* vão somar 180º.
Estude cuidadosamente abaixo como é feita a construção do espaço recíproco a partir do espaço real.
Sejam a* , b* e c* e b* os vectores recíprocos da rede.
a* é perpendicular ao plano de (100) b* é perpendicular ao plano de (010) c* é perpendicular ao plano de (001) O comprimento de a* é 100 1 d , b* é 010 1 d e c* é 001 1 d .
Figura 1.18: Construção do espaço recíproco a partir do espaço real
Note que os vectores a* e b* são desenhados perpendicularmente aos planos
(100) e (010) respectivamente.
Pontos importantes para anotar acerca da construção da esfera de Ewald
(i) Na construção da rede recíproca, começa-se por estabelecer a origem 000 e depois os eixos. Esta origem é fixa e é central para a rede no seu todo e é o ponto em relação ao qual os índices de todos os outros pontos estão relacionados. A rede real, de outro lado, não têm uma tal origem fixa e todos os seus pontos são idênticos.
(ii) A rede recíproca difere de modo fundamental da real rede pelo facto de ela não ser repetitiva (retirando o facto de ter o mesmo espaçamento entre pontos). A sua origem permanece e os pontos 001 e 002, por exemplo, têm as suas identidades e não podem ser trocados como acontece na rede real. Estes pontos representam planos, o que não acontece no caso do espaço real, onde os pontos representam átomos.
A rede recíproca e a lei de Bragg
A rede recíproca dá um simples e elegante modo de representar a reflexão dos raios X pelos planos do cristal. Isto é obtido pela construção da esfera de Edwald.
Passos essenciais a seguir na construção da esfera de Ewald
Use os parâmetros da rede dada para determinar o comprimento dos vectores no espaço recíproco i.e. O comprimento de a* é
100 1 d , b* é 010 1 d e c* é 001 1 d . Seja a = 0.3nm; b = 0.5nm; λ = 0.25nm se n = 1 então o 5 . 14 5 . 0 25 . 0 sin .
1. Construa o espaço recíproco a partir do espaço real como na Fig. 1.19. 2. Escolha um dos pontos na rede recíproca para 000.
3. Nomeie todos os outros pontos que neste caso representam planos.
4. Use a equação de Bragg e calcule o ângulo de visão usando as variáveis providenciadas. Suponha que a instrução é que a reflexão ocorra a partir de (010), a separação interplanar d é igual ao valor do parâmetro da rede b. Se a reflexão é a partir do plano (100), então o valor de d é igual ao valor do parâmetro da rede a.
5. Usando um dos eixos, meça o ângulo θ a partir dele. Desenhe uma linha marcando este ângulo, de tal modo que esta linha passe pela origem 000. Esta linha representa a direcção dos raios X.
6 . Calcule o recíproco de λ, o comprimento de onda dos raios X que estão a ser usados na difracção. O recíproco de λ é igual ao raio r, da esfera de Ewald, i.e. r 1
7. Começando por 000, meça r ao longo da linha que marca o ângulo de visão. O fim de r neste caso representa o centro da esfera de Ewald onde se assume que o cristal está alocado. Chame a este ponto P.
8. Desenhe a esfera de raio r em torno de P. Esta esfera forma a esfera de Ewald. Naturalmente que em duas dimensões é um círculo.
9. Na construção da esfera, identifique os pontos que estão na esfera. Os pontos que estão na esfera, p.e. o ponto Q, representam os planos responsáveis pela reflexão dos raio X, enquanto os pontos, p.e. S, que apenas tocam a esfera somente reflectem parcialmente os raios X. Se n é um, então estes planos são responsáveis pela primeira ordem de difracção.
Ordens superiores de difracções
Existem dois modos de fazer isto, o primeiro dos quais consiste em seguir os procedimentos alistados acima, mas na determinação de θ usando a equação de Bragg, n deve ser tomado como 2, para a segunda ordem de difracção, e tomado como 3 para a terceira ordem de difracção, etc.
No segundo modo, os planos responsáveis para as difracções de ordem superior são obtidos como se segue:
1. Use a esfera de Ewald para determinar planos responsáveis pela primeira ordem de difracção.
2. Com a ajuda do tracing paper, trace o esquema da esfera no papel. 3. Fixe o esquema usando os alfinetes ou canetas em torno de 000.
4. Gire o esquema em torno de 000 no sentido horário, até que um novo conjunto de pontos se encontre na esfera. Estes pontos vão corresponder aos planos responsáveis para a segunda ordem de difracção.
5. Para a obtenção de planos responsáveis de 3ª, 4ª ordem, etc., continue a girar o outline no sentido horário, enquanto localiza quaisquer outros novos planos que vão estar na esfera.
Uma aproximação geral à Rede recíproca
Distribuição da Amplitude da Onda
Figure 1.20: Distribuição da Amplitude da Onda
O diagrama na Fig 1.20 mostra uma onda que se espalha a partir da origem O e a partir do ponto r.
(a) Use algumas referências (http://en.wikipedia .org/wiki/Crystal_structure) providenciadas e mostre que, a condição para todos os vectores R, a interferência construtiva numa rede recíproca é k.RG.R 2n (1.5)
k é o vector de onda dado por k = (2π)/λ.
(b) Determine as propriedades da onda exp(iG.r) que satisfaçam a condição G.R = 2nπ
(c) Condição de Laue para difracção
Um meio alternativo para afirmar a condição de que k.RG.R 2n e que R = ua + vb + wc é dizer que
G.a = 2πh. G.b = 2πk. G.c = 2πI.
h, k, e I são dígitos
Estas condições são satisfeitas se definirmos Ghkl = ha* + kb* + Ic* com
a*.a = 2π, a*.b = 0. a*.c = 0
b*.b = 2π, b*.a = 0. b*.c = 0
c*.c = 2π, c*.b = 0. c*.a = 0
As afirmações acima significam que a* é perpendicular ao vector primitivo b e
c = 0 da rede recta (real).
(e) Use as condições de Laue para difracções e mostre que: (i) * 2 .( ) bxc a bxc a (ii) ) .( 2 * bxc a cxa b (iii) ) .( 2 * bxc a axb c Auto-avaliação 1
1. Discuta as características dum composto iónico na temperatura da sala. 2. Identifique a rede dada na
Fig 1.21 e diga o número de átomos por cada ponto da rede.
Figura 1.21: Estrutura de Cristal
(i) uma rede rectangular (ii) um cristal equilateral
4. Porque todos os processos de redes têm simetria translacional?
5. Explique porque as ordem de rotação correspondendo a 5 vezes – dupla ou 7 vezes – dupla não existem.
6. Cubra o plano (100), o plano (001) e um plano (111). 7. Mostre que a fracção de empacotamento num
(i) cúbico cristal corpo - centrado é 68% (ii) cúbico cristal face - centrada é 74%
8. Explique como ocorre a difracção dos raios X.