FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Aviso
Este documento é publicado sob as condições de uma Criação Conjunta http://en.wikipedia.org/wiki/Crative_Commons
Atribuição
http:creativecommons.org/licenses/by/2.5/License (abbreviated “cc-by”, Version2.5.
Índice
I. Física do Estado Sólido...8
II. Prerequisitos do curso ou conhecimento prévio...8
III. Tempo...8 IV. Materiais...8 V. Racionalidade do Módulo...8 VI. Conteúdos...10 6.1 Introdução...10 6.2 Sumário...10 6.3 Organização gráfica...12
VII. Objectivos Gerais...12
VIII. Objectivos específicos de aprendizagem (Objectivos instrucionais)...12
IX. Avaliação diagnóstica...13
X. Actividade de Ensino e Aprendizagem...19
Actividade 1: Introdução à Física do Estado Sólido...19
Lista dos Relevantes Links úteis...21
Actividade 1.1 Estrutura atómica...24
Actividade 1.1.1 Constante de Avogadro e mole...24
Actividade 1.1.2...25
Actividade 1.1.3 Constante de Avogadro e mole...25
Actividade 1.2 Ligações atómicas...25
Actividade 1.3 Sólidos Cristalinos, Policristalinos e Amorfos...26
Actividade 1.3.1 Sólidos Cristalinos...26
Actividade 1.3.2 Cristal...26
Actividade 1.3.3 Célula unidade e célula primitiva...29
Actividade 1.3.4 Sistemas de Cristais; Redes tri-dimensionais...30
Actividade 1.3.6 Linhas de Simetria...32
Actividade 1.3.7 Sistema de indíce para cristais planos (Indíces de miller) ...33
1.3.8 Fracção de empacotamento (densidade)...37
Actividade 1.3.10 Difracção e reflexão dos raios X...39
Actividade 1.3.11 Camara de Pó dos raios X...42
Actividade 1.3.12 Espaço da rede recíproco e Esfera de Ewald...42
Auto-avaliação 1...48
Actividade 2 Defeitos de Cristais e Propriedades Mecânicas...49
Leitura 1: Estrura cristalina...49
Lista dos Recursos MM Relevantes...50
Lista dos Relevantes Links úteis...51
Descrição detalhada da actividade...54
Actividade 2.1 Defeitos de Cristais...54
Actividade 2.1.3 Deslocações...55
Actividade 2.1.5 Deformação plástica...57
Actividade 2.2 Propriedades Mecânicas...58
Actividade 2.2.1 Ratio de Poison...58
Actividade 2.2.2 Propriedade Elásticas...58
Auto Avaliação 2...62
Actividade 3: Propriedades Térmicas e Eléctricas...63
Leitura 4: Capacidade de Calor...63
Leitura 5: Condutividade Eléctrica...64
Lista dos Recursos Multimédia Relevantes...64
Lista dos Links Úteis e Relevantes...65
Actividade 3.1 Capacidade de Calor...66
Actividade 3.1.1 Capacidade de calor a volume constante, CV, e capacidade de calor à pressão constante, CP...68
Actividade 3.1.2 Capacidade de calor específico...68
Actividade 3.1.3 Modelo teórico de Capacidade de calor...70
Actividade 3.1.4 Fase sólida: Modelo de Debye e Modelo de Einstein. . .73
Actividade 3.1.5 Condutividade Eléctrica...75
Actividade 3.1.6 Condutividade Térmica...76
Actividade 3.1.6 Teoria do electrão livre dos metais...78
Actividade 3.1.7 A lei de Wiedemann-Franz...79
Actividade de aprendizagem 4...81
Título da actividade de aprendizagem: Teoria de Banda e Propriedades Ópticas...81
Leitura 4: Capacidade de calor...81
Leitura 5: Condutividade Eléctrica...82
Lista dos Recursos Multimédia Relevantes...82
Lista dos Relevantes Links Úteis...82
Actividade 4.1 Estrutura da banda electrónica...83
Actividade 4.2 Propriedades ópticas...87
Auto-avaliação 4...91
XI. Glossário (Lista de todos os conceitos chaves)...92
XII. Lista das Leituras Obrigatórias...95
Leitura 1: Estrutura cristalina...95
Leitura 3: Estrutura dos materiais na escala atómica...96
Leitura 4: Capacidade de Calor...97
Leitura 5: Condutividade Eléctrica...97
XIII. Lista (Opcional) dos Recursos Multimédia...97
Recurso # 1...97
Recurso # 2...98
XIV. Lista dos Relevantes Links Úteis...98
Link útil # 1...99 Link útil # 2...100 Link útil # 3...101 Link útil # 4...102 Link útil # 5...103 Link útil # 6...104 Link útil # 7...105 Link útil # 8...106 Link útil # 9...107 Link útil # 10...108 Soluções de Auto-avaliação 1...109 Soluções de Auto-avaliação 2...112
Soluções de Auto Avaliação 3...113
Soluções para Auto-avaliação 4...116
XV. Síntese do Módulo...118
XVI. Avaliação Final...119
XVII Referências...122
XVIII. Autor Principal do Módulo...123
Prefácio
Este módulo tem quarto secções principais.
A primeira é a secção da Introdução, que consiste em cinco partes:
Título – O título do módulo está claramente descrito.
Conhecimentos prévios – Nesta secção recebe a informação exacta sobre os
pré-requisitos em termos de conhecimentos e habilidades de que necessita para iniciar o módulo. Preste atenção a estes requisitos, pois ajudá-lo ão a decidir se precisa ou não de fazer uma revisão.
Tempo necessário – Dá-lhe o tempo total (em horas) de que precisa para
concluir o módulo. Todos os testes de auto-avaliação, actividades e avaliações devem ser concluídos no tempo especificado.
Material necessário – Aqui encontrará a lista de material de que precisa para
concluir o módulo. Algum material é parte do pacote do curso que receberá em CD ou vai aceder através da internet. O Material recomendado para fazer experiências pode ser obtido na instituição em que está matriculado (que é membro de AVU) ou poderá adquiri-lo por outros meios.
Racionalidade do módulo – Nesta secção obterá as respostas para perguntas
como “Porque devo estudar este módulo estando num curso de formação de professores? Qual é a sua relevância na minha carreira?”
A segunda é a secção de Conteúdo, que consiste em três partes:
Resumo: O conteúdo do módulo é apresentado duma forma breve. Nesta
secção encontrará um ficheiro de vídeo (um filme de QuickTime) onde o autor deste módulo é entrevistado acerca do mesmo. O parágrafo resumo do módulo é seguido da listagem dos conteúdos, incluindo o tempo aproximado necessário para completar cada secção. Estes três elementos vão ajudá-lo a figurar como o conteúdo está organizado no módulo.
Objectivos Gerais – Objectivos claros, descritivos, são providenciados para
lhe dar a expectativa sobre que conhecimento, habilidade e atitudes adquirirá depois de estudar o módulo.
Objectivos Específicos de Aprendizagem (Objectivos Instrucionais): – O
específicos, dados nesta secção. As unidades, elementos e temas do módulo estão destinados a alcançar objectivos específicos e toda a avaliação visa os objectivos que se desejam alcançar. É recomendado a prestar a máxima atenção aos objectivos específicos, pois eles são vitais na organização do seu esforço no estudo deste módulo.
A terceira secção é a mais longa do módulo. É a secção onde vai despender mais tempo e é referenciada como Actividades de Ensino e Aprendizagem. A essência dos oito componentes está alistada abaixo:
Avaliação diagnóstica:Conjunto de questões, que vão avaliar
quantitativamente o seu nível de preparação para os objectivos específicos do módulo, são apresentados nesta secção. As questões de avaliação diagnóstica ajudam a identificar o que sabe e o que precisa de saber para que seja aumentado o seu nível de preocupação e possa julgar a sua aprendizagem. A chave das respostas é providenciada para o conjunto das questões e alguns comentários pedagógicos são apresentados no fim.
Actividade de Ensino e Aprendizagem: Este é o fulcro do módulo. Precisa
de seguir o guia de aprendizagem nesta secção. São providenciados vários tipos de actividades. Faça toda a actividade em sequência. Ocasionalmente poderá não necessitar de seguir a ordem em que as actividades são apresentadas. É muito importante notar que:
As avaliações formativas e sumativas são feitas sistematicamente. Deve fazer todos os recursos e leituras obrigatórios.
Consultar tantos links úteis possíveis.
Deve estabelecer o feedback e comunicação com o autor.
Lista compilada de todos os conceitos chave (Glossário): Esta secção
contém definições curtas e concisas dos termos usados no módulo. Isto ajuda-o com termos com os quais pode não estar familiarizado no módulo.
Lista compilada de leituras obrigatórias: Um mínimo de três materiais de
leitura é providenciado. É obrigatório ler os documentos.
Lista compilada de recursos multimédia (opcionais): É apresentada uma
lista completa de recursos multimédia referenciados e necessários para a compleição das actividades de aprendizagem, livres de direitos de autor para a utilização.
Lista compilada de links úteis: É apresentada uma lista de pelo menos 10
web sites que o ajudam a entender os tópicos. Cada link é acompanhado de uma referência completa (Título do site, URL), ecrã capturado de cada link, assim como 50 palavras para a descrição do link.
Síntese do Módulo: É providenciado um sumário do módulo.
Avaliação Sumativa: É apresentada uma avaliação no final do módulo.
I. Física do Estado Sólido
Por Sam Kinyera Obwoya Kyambogo, Universidade de Uganda
II. Pré-requisitos do curso ou conhecimentos prévios
O pré-requisito básico para este módulo é a física escolar que o estudante aprendeu. Em particular, é essencial o conhecimento dos conteúos que a seguir se enumeram para a compreensão e seguimento efectivo do módulo. Um dos conteúdos é o de electricidade e magnetismo. O conceito da lei e da força de Coulomb é essencial quando se aprende a estrutura atómica. Um conhecimento profundo sobre calor e termodinâmica. Precisa de fazer revisão sobre capacidade de calor ao volume constante e à pressão constante. Para além disto, precisa de rever tópicos como: entropia, entalpia, e funções termodinâmicas. Os cálculos em matemática são um requisito essencial para este módulo.III. Tempo
Este módulo pode ser estudado em 120h.
IV. Materiais
Os materiais necessários para o módulo incluem o acesso a um computador, mas o mais importante é que é necessária uma conexão estável da internet. A internet providenciará muitas das referências essenciais e recursos multimédia. Estes multimédia são importantes pois em alguns casos servem como docentes virtuais e fontes de equipamento a ser usado para fazer experiências virtuais. Não obstante, alguns CDs serão disponibilizados para suplementar o uso da internet. Outros materiais incluem leituras e recursos obrigatórios que podem estar disponíveis na escola ou livraria mais próxima.
V. Racionalidade do Módulo
Este módulo tenciona providenciar os fundamentos básicos de física para os estudantes. Isto vai habilitar os estudantes a apreender os conteúdos da matéria, tendo em vista explicar as propriedades térmicas, eléctricas e ópticas dos sólidos. O módulo está estruturado de tal sorte que o estudante deve fazer as actividades tal como prescritas para o máximo rendimento. O módulo em geral
vai providenciar os estudantes com ideias básicas sobre o que os sólidos são em termos de seu comportamento e por isso serão capazes de ensinar mais efectivamente a física escolar.
Outras formas de defeitos
(a) Nesta secção precisa de:
(i) Ler acerca de defeitos planares e defeitos maiores. http://en.wikipedia.org/wiki/crystallographic_defeitos#Point_defeitos
(ii) Fazer notas
(iii) Fazer a comparação com pontos de defeitos e deslocações (b) Usar as referências dadas e tomar notas sobre:
(i) Resistência dos materiais.
(ii) Discutir essa resistência em relação aos defeitos até agora identificados.
Actividade 2.2.2 Propriedades elásticas
Nesta actividade vai fazer experiências para verificar a lei de Hooke. E vai
usar o resultado dessa experiência para mostrar como o modelo de material de Young é obtido.
(a) Tensão, deformação e pressão
Use os resultados da experiência e escreva pequenas notas sobre:
(i) como é que a lei de Hooke para pequenas deformações é estabelecida (ii) como mostrar pequenas deformações, pressão,
(b) Tensão, deformação e pressão
VI. Conteúdos
6.1 Introdução
Este curso é direccionado para estudantes matriculados no curso de Licenciatura em Ensino de Física. A Física do Estado Sólido forma a espinha dorsal dos Físicos. Este módulo tem quatro unidades: Introdução à Física do Estado Sólido; Defeitos de Cristal e Propriedades mecânicas; Propriedades Térmicas e Propriedades Eléctricas; e teoria de Banda & propriedades Ópticas. Na primeira unidade ou actividade, isto é, introdução à física do estado sólido,
espera-se que o estudante explique a estrutura atómica, descreva as várias ligações atómicas, tais como as ligações iónicas e ligações covalentes. A aprendizagem exigirá também que o estudante distinga entre sólidos cristalinos e amorfos; sólidos policristalinos e amorfos, e explique a produção e o uso da difracção dos raios X. Na segunda unidade, isto é, defeitos de cristal e propriedades mecânicas, a aprendizagem inclui a distinção entre os diferentes tipos de defeitos de cristal: os pontos de defeitos (lacunas, intersticiais, e substitucionais) e deslocações (rotacionais e das pontas). Aqui, os estudantes aprendem que os pontos de defeitos estão bem localizados e são do tamanho atómico, enquanto a deslocação é uma desordem que se estende para além do volume de um ou dois átomos. Os efeitos dos defeitos nas propriedades mecânicas, e eléctricas integram as aprendizagens que vão ocorrer. Na unidade três os resultados de aprendizagem incluem a definição de capacidade de calor e explicações da variação de capacidade de calor com a temperatura, com base no modelo clássico, no modelo de Einstein e no modelo de Debye. Aos estudantes vai exigir-se o uso da teoria do electrão livre para explicar as altas condutividades térmicas e eléctricas dos metais. Também devem ser capazes de derivar e aplicar a lei de Wiedermann-Frantz. Finalmente, na actividade quatro, a esperada aprendizagem deve habilitar os estudantes a usar a teoria de banda para explicar a diferença entre condutores, semicondutores e isoladores; explicar a diferença entre semicondutores intrínsecos e extrínsecos em relação ao papel de doping. No fim de tudo os estudantes usam os conceitos de interacção de ondas electromagnéticas (luz) com materiais para explicar a absorção óptica, reflexividade e transmissibilidade.
6.2 Sumário
Este curso consiste em quatro actividades: introdução à Física do Estado Sólido; Defeitos dos cristais e propriedades mecânicas; Propriedades Térmicas e Eléctricas; e Teoria de banda & propriedades ópticas. As componentes de cada actividade estão alistados como segue:
Introdução à Física do Estado Sólido (40 horas)
Revisão da estrutura atómica cristalina Sólidos policristalinos e Amorfos
Difracção dos raios X, lei de Bragg e aplicações
Defeitos dos Cristais e Propriedades Mecânicas (20 horas)
Propriedades Mecânicas
Propriedades Térmicas e Eléctricas (40 horas)
Capacidade de calor: modelo clássico Modelo de Einstein e Modelo de Debye
Condutividade Eléctrica e condutividade térmica A teoria do electrão livre
Teoria de Banda & Propriedades Ópticas (20 horas)
Metais
Semicondutores (intrínsecos e extrínsecos) Isoladores Propriedades ópticas 6.3 Organização gráfica C. Propriedades térmicas e eléctricas A. Introdução à Física do Estado Sólido
Capacidade de calor: modelo clássico, modelo de Einstein e modelo de Debye
Condutividade eléctrica e condutividade térmica
Teoria de electrão livre
Revisão da estrutura atómica Sólidos cristalinos,
policristalinos e amorfos
Difracção dos raios X, lei de Bragg e aplicações
Física do Estado Sólido D. Teoria de Banda &
Propriedades Ópticas
B. Defeitos dos cristais e propriedades mecânicas
Metais, Semicondutores (intrínsecos e extrínsecos), Isoladores Absorção, Reflectividade e Transmissibilidade Vacâncias, Intersticiais e Deslocações Propriedades mecânicas
VII. Objectivos Gerais
Após completar este módulo será capaz de compreender, do ponto de vista fundamental, o comportamento mecânico, térmico, eléctrico e óptico dos sólidos.
VIII. Objectivos específicos de aprendizagem (Objectivos
instrucionais)
Conteúdos Objectivos de aprendizagem: Após a conclusão desta secção você será capaz de:
1. Introdução à Física do Estado Sólido (40 horas)
Revisão da estrutura atómica cristalina
Sólidos policristalinos e Amorfos
Difracção dos raios X, lei de Bragg e aplicações
Explicar a estrutura atómica; Descrever os vários tipos de ligações
Distinguir os sólidos
cristalinos, policristalinos e amorfos e como é regulada e usada a difracção dos raios X
2. Defeitos dos Cristais e
Propriedades Mecânicas (20 horas)
Lacunas, Intersticiais, Deslocações
Propriedades Mecânicas
Explicar o conceito de defeitos de cristais.
Relacionar os defeitos dos cristais a algumas propriedades mecânicas observáveis e outras propriedades.
3. Propriedades Térmicas e Eléctricas
(40 horas)
Capacidade de calor: modelo clássico
Modelo de Einstein e Modelo de Debye
Condutividade Eléctrica e condutividade térmica
A teoria do electrão livre
Definir capacidade de calor e explicar a variação da capacidade de calor com a temperatura baseando-se no modelo clássico, modelo de Einstein e modelo de Debye.
Usar a teoria do electrão livre para explicar a alta condutividade eléctrica e térmica dos metais. Derivar e aplicar a lei de Wiedermann-Frantz
4. Teoria de Banda & Propriedades Ópticas
(20 horas)
Metais
Descrever a teoria de banda Explicar a diferença entre semicondutores intrínsecos e
Semicondutores (intrínsecos e extrínsecos)
Isoladores
Propriedades ópticas
Explicar, baseado na interacção das ondas de
electromagnética (luz) com a matéria a absorção, a reflectividade e
transmissibilidade.
IX. Avaliação Diagnóstica
Está preparado para fazer este módulo?
Título da Avaliação Diagnóstica: Física do Estado Sólido
Racional: A avaliação diagnóstica aqui apresentada foi desenhada de modo a
determinar o quanto os estudantes sabem acerca da física do estado sólido. A avaliação diagnóstica ajuda a identificar claramente o que os estudantes sabem e o que precisam de saber, por isso serve para motivar os estudantes para estarem mais envolvidos e atentos à experiência de instrução e aprendizagem. As questões apresentadas têm também como objectivo alertar os estudantes acerca do que podem esperar alcançar, caso não consigam dar nenhuma resposta à questão. Isto vai elevar adequadamente o nível de preocupação dos estudantes por lhes indicar o que precisam de aprender.
Questões Auto Avaliação
1. Os lugares que são usualmente ocupados por um átomo mas que estão desocupados são chamados:
(A) lacunas (B) intersticiais (C) Substitucionais (D) deslocações 2. Uma deslocação causada pela terminação de um plano de átomos no meio do cristal é conhecida como:
(A) rotação (B) canto (C) sanduíche (D) inútil
3. Num espaço recíproco de lacuna, o vector a é dado por: (A) 2 ( ) bxc ax bxc a (B) 2 ( ) bxc ax axc a (C) 2 .( ) bxc a bxc a (D) 2 .( ) bxc b bxc a
4.
O diagrama acima representa a porção de lacuna 2D. Quais das representações não representa uma célula primitiva.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. Para a lacuna fcc com a base de um átomo, qual é o número de coordenação?
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 6. A projecção de raio X de comprimento de onda 0.25 nm incide num cristal interplano de separação 0.30 nm. Calcule o ângulo da primeira visão da primeira ordem de difracção.
(A) 24.6o (B) 36.0o (C) 56.4o (D) 54.8o
7. O parâmetro lacuna de uma lacuna cúbica é 2.4 nm. Encontre o espaçamento de lacuna para o plano (122)
(A) 0.8 (B) 0.48 (C) 7.2 (D) 1.25
8. Qual das frases que seguem é correcta? (A) A ligação metálica tem a característica não – direccional.
(B) A ligação metálica consiste de um mar de electrões livres que circundam o ião positivo.
(C) Uma das características que contribui para as propriedades do sólido metálico é possuir superfícies finas.
(D) A ligação metálica consiste de um electrão partilhado, o que ocorre entre dois ou mais átomos.
9. Qual dos seguintes não é o efeito de deslocação? (A) A presença de deslocamentos resulta em uma alteração de lacuna (distorção).
(B) A direcção e magnitude de tal distorção são exprimidas em termos de vector de sanduíche, b.
(C) Para qualquer tipo de canto, b é perpendicular à linha de deslocamento, enquanto no caso do tipo circular é paralelo.
(D) Em materiais metálicos, b está alinhado com o fechado pacote de direcções cristalográficos e a sua magnitude é equivalente ao espaçamento de dois interátomicos.
10. Uma força de 160N actua perpendicularmente a uma secção excitada de 0,002m2. Calcule o módulo de Young do material, se a
distorção produzida for 0,004.
(A) 1.28 x 10-7 (B) 5,0 x 10-6 (C) 2.107 (D) 8.0 x 10
11. Qual destes não está envolvido na difracção dos raios X através de um cristal?
(A) Transição de um electrão (B) Planos cristalográficos (C) Interacção Nuclear (D) Interferência construtiva
12. Um cristal tem uma lacuna primitiva com espaçamento entre (100) planos de 0.420 nm. Qual será o valor do ângulo de Bragg para a centésima reflexão dos raios X de comprimento de onda 0,154 nm?
(A) 5.3o (B) 10.6o (C) 21.2o (D) 42.6o
(A) O nível de Fermi é o topo da colecção dos níveis de energia do electrão à temperatura de zero absoluto.
(B) Dado que os electrões são fermiões e, pelo princípio da exclusão de Paul,i não podem existir em idênticos estados de energia, então a zero absoluto, eles vão para os níveis mais baixos de estados de energia disponíveis e constituem o “mar de Fermi” de estados de energia dos electrões.
(C) O nível de Fermi é a superfície desse mar ao zero absoluto onde electrões têm energia suficiente para irem acima da superfície. Por isso o nível de Fermi está localizado na banda de diferença.
(D) Num condutor, o nível de Fermi está dentro da banda de condução, de tal sorte que a banda está meio cheia com electrões. Neste caso, somente uma pequena porção de energia é necessária para os electrões se deslocarem a um outro estado livre e, deste modo, a corrente flui.
14. Em gases diatómicos a presença de graus internos de liberdade é aparente, isto é, em adição aos três graus de liberdade transicionais, existem os graus de liberdade rotacional e vibracional.
(i) Existem no total três graus de liberdade rotacional, correspondendo cada um a um dos eixos do espaço tridimensional.
(ii) Apenas dois graus de liberdade rotacional para moléculas lineares são considerados na prática, porque o momento de inércia em torno do eixo internuclear é desprezível em relação aos outros momentos de inércia na molécula.
(iii) O mecanicamente quantos, o intervalo entre sucessivas energias rotacionais, eigenstate, é directamente proporcional ao momento de inércia em torno desse eixo.
15. Indique a frase Falsa nas que se seguem:
(A) A condutividade eléctrica é mais ou menos fortemente dependente da temperatura.
(B) Nos metais a condutividade eléctrica diminui com o aumento da temperatura.
(C) Em semicondutores, a condutividade eléctrica aumenta com o aumento da temperatura.
(D) Em vasta escala de variação de temperatura, a condutividade eléctrica pode aproximadamente ser considerada como sendo directamente proporcional à temperatura.
16. Qual das expressões que se seguem é correcta? (A) V V T S C (B) V V T Q T C (C) P P T H C (D) P P T S C Onde:
CV e CP são capacidades de calor ao volume constante e à pressão constante,
respectivamente. Q
- é a quantidade infinitesimal de calor adicionado.
T
- é a subsequente variação da temperatura. U
- é a mudança na energia interna. H
- é a mudança na entalpia.
17. Indique a afirmação falsa em relação às características dos materiais:
(A) Em sólidos cristalinos átomos interagem com a vizinhança, e os níveis de energia de electrões em átomos isolados tornam-se bandas.
(B) Electrões num sólido preenchem a energia das bandas até um certo nível, chamado energia de Fermi.
(C) Bandas que estão completamente cheios de electrões podem conduzir electricidade porque não existe um estado vizinho de energia para o qual podem saltar.
(D) Em alguns casos, contudo, a teoria de banda não funciona e materiais previstos como condutores pela teoria de banda tornam-se em isoladores. Os Isoladores Mott e isoladores de transferência de carga são as tais duas classes de isoladores.
18. Indique a afirmação Falsa
(B) A condutividade térmica do material depende da temperatura.
(C) As substâncias cristalinas puras exibem uma condutividade térmica altamente variável ao longo dos diferentes eixos do cristal, devido à diferença na combinação em fonões ao longo de uma dada dimensão do cristal.
(D) O ar e outros gases são geralmente bons isoladores, mesmo na presença de convenção.
Chave das Respostas
1. A 2. B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8. B 9.D 10. C 11.C 12.B 13.C 14.D 15.D 16.C 17.C 18.D
Comentário Pedagógico para o estudante
Não desespere se o seu resultado não for bom na avaliação diagnóstica. O que o resultado da avaliação diagnóstica lhe diz é que precisa de trabalhar e concentra-se mais durante a aprendizagem do módulo. Como notou, muitas das questões são de tópicos que normalmente não são leccionados na escola. No início do módulo vai aprender acerca das estruturas atómicas com a expectativa de obter fundamentos para o estudo deste módulo. Isto, em última análise, levá-lo-á à aprendizagem de linhas de simetria, índices de Miller que são usados para a identificação dos planos, lei de Bragg e finalmente a construção da esfera de Edwald, o que ajuda na determinação de planos responsáveis pela difracção dos raios X. Chama-se a atenção do estudante para fazer cada secção da actividade na ordem cronológica. Onde um conhecimento prévio é requerido, o estudante é aconselhado a rever os tais tópicos, como electricidade e magnetismo, antes de avançar no módulo.
Inúmeras referências são inclusas nas actividades. O estudante precisa de ter acesso a elas. Muitas delas estão on - line. Nos lugares onde o estudante não tem acesso permanente à internet, é aconselhado a fazer os download das tais referências e imprimi-los. Vários recursos multimédia estão também inclusos. Estes são muito úteis pois podem actuar como docentes virtuais ou como fonte de laboratório virtual. Recomenda-se o uso dos recursos multimédia todo o tempo.
X. Actividade de Ensino e Aprendizagem
Actividade 1: Introdução à Física do Estado Sólido
Precisará de 40 horas para realizar esta actividade. Assegure-se de que segue sistematicamente as actividades programadas. Em alguns casos precisará de rever certos conteúdos antes de fazer as actividades deste módulo.
Objectivos específicos de ensino e aprendizagem: Explicar a estrutura atómica
Descrever as várias ligações atómicas
Distinguir entre sólidos cristalinos e amorfos; sólidos policristalinos e amorfos e explicar a ocorrência e uso da difracção dos raios X
Resumo da actividade de aprendizagem
Os resultados de aprendizagem incluem saber que um átomo é o resultado da combinação de três tipos de partículas: electrões, protões e neutrões, e que a constante de Avogadro é a quantidade que contém 6,02.1023 partículas por
mole. A discussão e aprendizagem também incluem similaridades e diferenças dos quatro tipos de ligação. Esta actividade também inclui a aprendizagem sobre a estrutura dos cristais policristalinos e sólidos amorfos, para os quais a maior parte é dedicada à identificação de planos usando os índices de Miller. O progresso na aprendizagem inclui como a densidade de empacotamento é calculada, como é derivada a lei de Bragg e o subsequente uso da construção da esfera de Ewald para determinar planos responsáveis pela difracção dos raios X.
Lista das leituras obrigatórias Leitura 1: Estrutura cristalina Referência completa
De: Wikipedia
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal _structure Consultado em 20 de Abril de 2007
Resumo: Este material de leitura descreve sumariamente a unidade célula,
classificação dos cristais pela simetria, propriedades físicas do cristal e links para vários sites são providenciados dentro de wikipedia e outros sites.
Racional: Este material providencia uma discussão elaborada dos conteúdos
da primeira actividade do módulo.
Referência completa De: Universidade de Exeter
URL: http://newton.ex.ac.uk/teaching/resources/rjh/phy2009/ Consultado em 20 de Abril de 2007
Resumo: Neste artigo, a estrutura cristalina é descrita com diagramas bem
ilustrados. Os exercícios no artigo ajudam o leitor a consolidar os tópicos aprendidos.
Racional: Este artigo dá uma outra forma de olhar para as estruturas de cristal.
Mais ainda, o teste de amostra e exercícios dados no fim providenciam boa oportunidade para exercitar teorias e princípios de diferentes perspectivas.
Lista dos Relevantes Recursos Multimédia Recurso # 1
Título: A estrutura cristalina respeitante a Cu-Zn
URL: http://video.google.com/videoplay? docid=5897475989157955721&q=crystal+structure&hl=en
Descrição: São providenciadas explicações e ilustrações adequadas. Data de consulta: 20/05/2007
Recurso # 2
Título: As esferas do vidro
URL: http://video.google.com/videoplay? docid=2134572208219565504&q=polycrystaline+solid&hl=en
Descrição: Providencia um bom recurso de aprendizagem. Data de consulta: 20/05/2007
Recurso # 3
Título: Rede Bidimensional: Real e Recíproca
URL: http://solidstate.physics.sunysb.edu/teach/intlearn/lattice/lattice.html
Data de consulta: 16/11/2007 Recurso # 4
Título: Explorando material de engenharia
URL: http://www.engr.sjsu.edu/WofMatE/Structure.htm
Descrição: Este site providencia material de aprendizagem e animação sobre a
estrutura atómica BCC, FCC.
Data de consulta: 19/11/2007
Lista dos Relevantes Links úteis
Link útil # 1
Título: Estrutura cristalina
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure
Descrição: A estrutura cristalina do material é muitas vezes discutida em
termos da sua unidade célula. A unidade célula é um arranjo espacial dos átomos, titulada no espaço tridimensional: espaço para descrever o cristal. A unidade célula é dada pelos seus parâmetros de rede, o comprimento da célula do canto e dos ângulos entre eles, enquanto a posição dos átomos dentro da unidade célula é descrita por um conjunto de posições atómicas (x,y,z) medida desde a ponta da rede. A página da wikipedia tem uma boa descrição disto, como está ilustrado no ecrã capturado acima.
Data de consulta: 29/11/2006 Link útil # 2
Título: Estrutura atómica
URL: http://web.jjay.cuny.edu/~acarpi/NSC/3~atom
Descrição: Este site é uma jornada sobre as preocupações da ciência natural.
Usa a animação e a interacção para dar ênfase à ciência; permite ao usuário explorar conceitos na ciência básica incluindo o método científico; a natureza da matéria; estrutura atómica; ligação química; DNA; astronomia; estrutura celular e muito mais. O site foi organizado para NSC107: Uma introdução para a Ciência na Sociedade no Colégio John Jay na cidade Universitária de Nova York. Não obstante, as lições foram desenhadas para o uso geral e todos os visitantes são bem-vindos. Use a barra de menu à esquerda para navegar através dos conteúdos do curso. Por favor faça e-mail dos teus comentários e sugestões para melhorar o site.
Racional: Este site providencia bom material de aprendizagem para o curso. Descrição detalhada da actividade (Principais elementos teóricos)
Nesta secção é misturada a teoria com as instruções daquilo que o estudante deve fazer enquanto aprende o módulo. Recomenda-se que complete cada
secção do módulo antes de avançar para a secção seguinte da actividade. Para cada secção recomenda-se a consulta das referências recomendadas. Isto é importante porque as instruções e actividades estão descritas sumariamente.
Actividade 1.1 Estrutura atómica
Nesta actividade vai explicar a estrutura atómica. Para fazer isto, vai precisar do conhecimento de física escolar.
Na escola, aprendeu que os átomos são partículas de elementos ou substâncias que não podem ser subdivididos. Mas, na examinação da estrutura atómica, ressalta que temos de clarificar aquela afirmação. Um átomo não pode ser subdividido sem que se altere a natureza química da substância. Por exemplo, se tem 1 quilograma, 1 grama ou 1 átomo de nitrogénio, todas estas unidades têm as mesmas propriedades. Podemos subdividir o átomo de nitrogénio em partículas ainda pequenas; mas, quando fazemos isso, o átomo perde as suas propriedades químicas. Aqui aprendemos que: cada átomo é o resultado da combinação de três tipos de partículas: electrões, protões e neutrões.
(i) Use as referências incluindo os recursos multimédia e:
Prepare um pequeno ensaio que detalhe a diferença das propriedades destes três elementos.
Descreva como a existência de moléculas/átomos pode ser demonstrada pela experiência do movimento browniano. Use as referências providenciadas para fazer isto.
Actividade 1.1.1 Constante de Avogadro e mole
Esta actividade é apresentada em duas partes, isto é, sob gases.
(a) Faça um pequeno ensaio sobre as massas atómicas e moleculares e descreva como são medidas.
(b) Enfatize que, na escala do carbono, a massa atómica do carbono-12 é tomada como 12, fazendo a do hidrogénio 1.008 e a do oxigénio 16.
Devia ser capaz de concluir que:
Em geral 1g de hidrogénio contém o mesmo número de átomos como 12g de carbono. Isto é, a massa atómica de qualquer elemento, expresso em gramas, contém o mesmo número de átomos como 12 g de carbono. Este número é por definição uma constante. É chamado constante de Avogadro e seu valor é 6.02.1023
A quantidade que contém 6.02.1023 de partículas é chamada de mole.
Podemos ter um mole de átomos, um mole de moléculas, um mole de iões, um mole de electrões – todos contêm 6.02.1023 partículas. Por isso a constante de
Avogadro NA = 6.02.1023 partículas por mole.
Actividade 1.1.2
Esta actividade é apresentada em duas partes, isto é, sob gases.
Vamos usar um átomo de oxigénio como exemplo para ilustrar algumas propriedades. Um átomo de oxigénio tem 8 electrões, 8 protões e 8 neutrões. Isto implica que, no total, um átomo de oxigénio tem 8 cargas negativas transportadas por 8 electrões; 8 cargas positivas transportadas por 8 protões. Os neutrões não transportam nenhuma carga eléctrica.
Actividade 1.1.3 Constante de Avogadro e mole
Repita o mesmo exercício com outros átomos até sentir-se suficientemente confiante.
Actividade 1.2 Ligações atómicas
Use as referências providenciadas e quaisquer outros a que tenha acesso para levar a cabo as seguintes actividades:
(i) Explique como os átomos são íntegros pelas forças de atracção.
(ii) Escreva breves ensaios incluindo algumas ilustrações dos diferentes tipos de ligação: ligação iónica, ligação covalente, ligação metálica e ligação Van der Waals. Uma ilustração de uma ligação covalente é dada como se segue: Numa ligação covalente, a partilha de um electrão ocorre entre dois ou mais átomos. Por exemplo, cada átomo de carbono (C), Fig. 1.1, tem quatro electrões na última camada e, todos eles podem ser partilhados com outros quatro átomos de carbono para fazer quatro ligações, consistindo cada na junção de dois nuvens de electrões.
Figura 1.1 – Átomo de Carbono com as suas quatro ligações
Note que as ligações covalentes são também fortes e muitos compostos têm propriedades mecânicas similares às dos compostos iónicos. Mas contrariamente há ligações iónicas que não conduzem electricidade quando se fundem.
(iii) Mostre que a força electrostática entre duas cargas opostas pontuais é dada pela equação 1.1 2 0 2 4 r q F
(1.1) Sugestão: use a lei de Coulomb.
(iv) Mostre também que o trabalho feito quando os iões são separados pelo raio r a partir do infinito é dado pela equação 1.2
r q Fdr W r 0 2 4
(1.2)(v) Nas suas notas, compare os tipos de ligação.
Actividade 1.3 Sólidos Cristalinos, policristalinos e Amorfos Actividade 1.3.1 Sólidos Cristalinos
(a) Use as referências e escreva as definições de sólido cristalino, policristalino e amorfo.
(b) Faça a lista de exemplos de cada tipo como parte das suas notas.
Actividade 1.3.2 Cristal
Cenário
Na cristalografia a estrutura cristalina é o único arranjo de átomos em cristal. A estrutura cristalina é composta pela unidade célula, um conjunto de átomos arranjado de modo particular; repetido periodicamente em três dimensões numa rede. O espaço entre células em várias direcções é chamado parâmetro da rede. As propriedades de simetria do cristal estão incorporadas no seu grupo de espaço. A estrutura do cristal e a simetria jogam um papel na determinação de muitas das suas propriedades, tais como divisão, estrutura da banda electrónica e propriedades ópticas.
(a) Para compreender alguns destes conceitos precisamos de saber o significado de rede.
(b) A rede é uma simplificação geométrica dum cristal no qual os átomos são retirados deixando apenas o esqueleto matemático de pontos onde cada ponto representa qualquer coisa a partir de um até várias centenas de átomos originais. Cada grupo destes átomos é chamado de base.
(c) Em duas dimensões, existem apenas cinco redes: quadrada, rectangular, rectangular no centro, oblíqua e hexagonal. Estas são geralmente conhecidas como as redes de Bravias.
(d) Considere o exemplo dado na Figura 1.2 de como a rede é construída a partir da estrutura cristalina.
Uma rede oblíqua obtida da estrutura cristalina. Cada ponto da rede Uma estrutura cristalina consistindo de
átomos grandes e pequenos representa um par deátomos na estrutura Figura 1.2 – Uma rede construída a partir de uma rede cristalina
Note que os pontos danificados da rede devem conformar: Com um infinito padrão de pontos;
Com todos os pontos, tendo a mesma vizinhança na mesma orientação (e) A diferença fundamental entre um simples cristal, sólido policristalino e amorfo é o comprimento da escala sobre a qual os átomos estão relacionados uns com outros pela simetria translacional (‘periodicidade’ ou ‘ordem no comprimento’). Os cristais simples têm uma periodicidade infinita; os policristais, uma periodicidade local, e os sólidos amorfos ( e líquidos) não têm a periodicidade do comprimento.
Um cristal ideal simples tem uma estrutura atómica que se repete periodicamente ao longo de todo o seu volume. Mesmo numa escala de comprimento infinito, cada átomo está relacionado com outro átomo equivalente na estrutura pela simetria translacional.
Um sólido policristalino ou policristal é composto por muitos grãos ou cristais. Cada grão pode ser imaginado como um simples cristal dentro do qual a estrutura atómica tem uma periodicidade de comprimento. Num sólido cristalino isotrópico não há relacionamento entre os grãos vizinhos. Por isso, num comprimento suficiente de escala, não há periodicidade ao longo do policristalino.
Os materiais amorfos, tal como os vidros das janelas, têm uma ordem num pequeno comprimento, por isso não têm uma simetria translacional.
Exemplo
Para identificar o número de átomos que em cada ponto podem ser construídos a partir de uma dada estrutura cristal, na Fig. 1.3
Figura 1.3 Estrutura Cristalina
A rede desta estrutura cristalina é rectangular, com dois átomos por cada ponto da rede.
Actividade 1.3.3 Célula unidade e célula primitiva
(a) (i) Use as referências (Steadman R, 1982, Cristalografia, Van Nostrand Reinhold (UK) Co. Ltd, Norfolk), ou outros quaisquer e defina a célula unidade e a célula primitiva. Assinale a diferença entre as duas.
(ii) A unidade célula é definida em termos de seis elementos ou parâmetros: a, b, c, os comprimentos laterais da célula (tomados como eixos); α, β, e γ, os ângulos entre as direcções axiais, como mostrado na Fig 1.4.
Figura 1.4: Os seis elementos da célula unidade.
(b) Os padrões dados na Fig 1.5 são exemplos de células unidades construídos a partir de uma dada rede.
Figura 1.5: Exemplos de células unidades construídos a partir de uma dada
rede.
(c) Siga as construções abaixo e construa a célula de Wigner-Seitz, que é um exemplo da célula primitiva. Veja Fig. 1.6
1. Trace linhas para conectar um dado ponto de uma rede como todos os pontos vizinhos.
2. Trace novas linhas ou planos nos pontos médios e a normal a essas linhas. A mínima porção do volume coberto deste modo é a célula primitiva de Wigner-Seitz.
Figura 1.6: Construção da célula primitiva de Wigner-Seitz
(d) Leia mais acerca disto a partir de http://newton.ex.ac.uk/teaching /resources/rjh/phy2009/
Actividade 1.3.4 Sistemas de Cristais; Redes tridimensionais
(a) A rede tridimensional é caracterizada por reconhecer primeiro os sete sistemas de eixos que dão sete células unidades chamadas sistemas de cristais. Estes são os eixos dados acima sob a célula unidade. A magnitude dos vectores
a, b, e c são a, b, e c respectivamente. Estes são os parâmetros da célula
unidade.
(b) Use as referências (http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure) e descreva os sete sistemas de cristais (redes): cúbica, tetragonal, orthorhombic (rhombohedral), monoclínico, triclínico, trigonal e hexagonal em termos de parâmetros da rede: a, b, c e α, β, e γ os ângulos entre as direcções axiais.
Actividade 1.3.5 Classificação dos cristais pela simetria
A propriedade característica do cristal é a sua inerente simetria, pela qual nos indica que, sob certas operações, o cristal se mantém inalterado quando visto sob uma dada direcção. Por exemplo, girando o cristal em 180 graus em torno de um certo eixo, pode resultar numa configuração atómica idêntica à configuração original. O cristal é considerado então como tendo uma dupla simetria rotacional em torno do eixo. Em adição há simetrias rotacionais como esta: um cristal pode ter simetrias na forma de espelhos planos e simetrias translacionais, e também a chamada simetria composta, que é a combinação das simetrias de translação e rotação/espelho.
A classificação completa do cristal é alcançada quando todas estas simetrias inerentes do cristal estão identificadas.
(a) Leia acerca disto e resolva quantos problemas forem possíveis. Use as referências providenciadas. Determine o número de simetrias rotacionais para a rede rectangular, circular, equilateral e hexagonal.
(b) Quando a rede quadrada (mostrada na Fig. 1.7) é girada em torno do eixo que passa pelo seu centro, vai aparecer exactamente como se tivesse sido girado quatro vezes num ângulo de 360º. Por isso uma rede quadrada tem uma simetria dupla - quadrada. Em cada dupla, a rede é girada 90º ou π/2.
Figura 1.7: Uma rede quadrada
(i) Note que as possíveis simetrias de rotação são: rotações duplas de eixo uma vez, duas vezes, três vezes, quatro vezes, e seis vezes, que levam as redes às suas correspondências para 2π/1, 2π/2, 2π/3, 2π/4, 2π/6. Relacione estes valores com as redes dadas na actividade 1.3.5 (a) acima.
LEIA MAIS SOBRE ISTO!! (Blakemore J.S. 1974, Solid State Physics 2nd
ed., Cambridge University Press, Cambridge).
(c) Leia e faça notas acerca de redes Bravais (Introduction to solid state physics by C Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th Ed., New York:
Wiley, 1976) incluindo os websites;
http://pages.physics.cornell.edu/sss/bravais/bravais.html: (Simulação de redes bravais)
Exemplos do sistema cúbico
Existem três redes no sistema cúbico: o cúbico simples (sc); o corpo - centrado cúbico (bcc); o cúbico de face centrada (fcc) (siglas em inglês). Mostrados na Fig. 1.8
Figura 1.8: As três redes no sistema cúbico
(ii) Procure outras referências para a comparação ( pode obter isto de qualquer referência).
Actividade 1.3.6 Linhas de Simetria
A expressão geral para a rotação permitida numa rede periódica é obtida como se segue.
Considere a rede de parâmetros de rede como mostrado na Fig. 1.9
Figura 1.9: Rotação permitida numa rede periódica
Ao longo da linha A os átomos 1 e m estão separados pela distância (m-1)a. Deixe que a rotação α seja permitida nesta rede. A rotação em torno do átomo 2 movimenta 1 para a posição originalmente ocupada por alguns átomos 1’. De modo similar, a rotação no sentido de relógio de m em torno de m-1 move m para m’. Ambos 1’ e m’ estão agora na linha B. A separação X é o múltiplo de a se α for a rotação permitida.
Seja X = pa p é desconhecido.
A diferença entre os dígitos m e p pode ser descrita em termos de α como X = pa = (m-3)a + 2acosα
2 3
cos pm
As soluções mostram que as tentativas para encher qualquer área com polígonos regulares de qualquer simetria rotacional conduzem ao agrupamento ou perda de espaços.
Solução da equação 1.3
Tabela 1.1: Soluções para equação 1.3.
p-m Cosα Α Ordem de rotaçãoi -1 1 0 1 vez – dupla -2 ½ Π/3 6 vez – dupla -3 0 Π/2 4 vez – dupla -4 -1/2 2Π/3 3 vez – dupla -5 -1 Π 2 vez – dupla
(iii) Verifique se a informação na tabela é correcta.
Actividade 1.3.7 Sistema de índice para cristais planos (Índices de miller)
Nesta actividade vai aprender como definir posições, direcções e planos em cristais; a distância em que o conjunto de estruturas é formado e os dois tipos distintos.
(a) Posições e direcções:
(i) A posição de qualquer rede é dada por r = ua + vb + wc, onde u, v, e w são dígitos.
(ii) A posição de qualquer ponto é r = ua + vb + wc, mas neste caso u, v, e w não precisam de ser dígitos.
(iii) As direcções são também definidas em termos de r a partir da origem. A direcção é indicada como [uvw],
(b) Para ilustrar os dois conceitos: a posição do centro do bcc tem coordenadas fraccionárias (1/2, ½, ½), enquanto a direcção deste ponto a partir da origem é [1/2 ½ ½]
Os índices de Miller são úteis para definir um conjunto de planos em cristais. É muito útil especificar a orientação do plano pelos índices determinados pelas seguintes regras:
(i) Encontre as intercessões nos eixos em termos de parâmetros da rede, a, b, e
c. No caso da rede cúbica, a = b = c. Deixe que essas intercessões sejam 3a,
2b, 3c, Fig 1.10
Figura 1.10: Plano usado para derivar os índices de Miller
(ii) Tome os recíprocos destes números.
(iii) Reduza os recíprocos para três dígitos com os mesmos ratios, em geral os menores três dígitos h, k, l. Isto é feito multiplicando os recíprocos com os seus LCM.
(iv) Feche os três dígitos em parênteses como (hkl). Não devem existir vírgulas entre os índices. (hkl) é chamado o índice do plano ou índice de Miller para o plano.
Ilustrações dos procedimentos acima
1. Os valores de intercessão nos eixos de x, y, e z são 3a, 2b e 3c respectivamente.
2. Os recíprocos das intercessões são a 3 1 , b 2 1 , c 3 1 = 3 1 , 2 1 , 3 1 dado que a,
3. Reduzindo os recíprocos i.é. multiplicando pelo LCM. Neste caso o LCM é 6. Os recíprocos reduzem-se para 2, 3, 2 respectivamente.
4. Os índices de Miller para o plano são por isso (232).
Se o plano se dividir em eixos no lado negativo da origem, o índex correspondente é negativo e é indicado pelo sinal menos, escrito como travessão, p.e.
hkl
o índice ké lido como ‘k barra’.Note que no caso da rede cúbica todas as faces são idênticas. Por esta matéria estes planos são equivalentes por simetria. Planos equivalentes por simetria são denotados por parênteses curvos em torno dos índices.
LEIA MAIS SOBRE ISTO E TOME NOTAS(Steadman R, 1982,
Cristalografia, Van Nostrand Reinhold (UK) Co. Ltd, Norfolk).
Exemplo
Para uma rede cúbica, um plano com índices de Miller
123
é dado como sesegue:
Figura 1.11: Esboçando um plano numa rede cúbica
Note que a escolha da origem é muito importante no esboço do plano. No exemplo da Fig. 1.11, a origem está no canto superior direito. Note também o modo como os cantos são subdivididos de acordo com os índices correspondentes antes do esboço do plano.
(d) Uma estrutura simples - fechada
Em qualquer plano fechado, um conjunto de esferas, cada esfera (representando um átomo) tem de ter seis vizinhos em contacto para um sólido monoatómico ser considerado incompreensível. Tais planos em simetria
hexagonal podem ser colocados juntos para fazer um sólido em dois modos simples. Em ambos os arranjos, cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos – 6 no plano, e três no plano acima e três no plano abaixo. Veja a Figura 1.12
Sequência de empacotamento
Figura 1.12: Sequência de empacotamento em uma estrutura simples fechada
As esferas são arranjadas numa linha da estrutura simples fechada. Um meio de colocar cada esfera em contacto com os outros seis. Esta linha pode servir quer como o plano base duma estrutura hcp quer do plano (111) para a estrutura fcc. Uma segunda e idêntica linha de esferas pode ser colocada em cima e paralelamente à primeira desenhada com centros acima dos pontos marcados B. Existem duas possibilidades para a terceira linha. Pode ser colocada sobre A ou sobre C. Se for colocada acima de A, a sequência é ABABAB ... e a estrutura é empacotada - fechada hexagonal. Se a terceira linha for colocada acima de C, a sequência é ABCABCABC ... e a estrutura é face - centrada cúbica.
Para apreciar o que foi descrito acerca do empacotamento em sequência, obtenha modelos esféricos e tente arranjá-los como descrito.
1.3.8 Fracção de empacotamento (densidade)
Nesta actividade vai ser capaz de calcular a fracção de empacotamento/ densidade dos diferentes cristais.
(a) Leia a teoria e o exemplo providenciado acerca da fracção do empacotamento (densidade de empacotamento). Use outras referências para suplementar o que abaixo está providenciado.
(b) A fracção de empacotamento é definida como a máxima proporção do volume disponível que pode ser preenchido com esferas maciças.
(c) Escreva a expressão matemática para a afirmação em (b).
(d) Um exemplo de como calcular o empacotamento de fracção. Considere uma rede cúbica simples (sc) mostrada na Fig 1.13.
Para determinar a fracção de empacotamento, encontre o primeiro número de pontos de rede numa dada célula.
(i) O ponto de rede neste caso refere-se ao número completo de átomos que a unidade célula contém.
(ii) Num sc os átomos estão em contacto uns com os outros apenas ao longo dos cantos das células mostradas na Fig 1.13.
Figura 1.13: Uma rede cúbica simples mostrando relativas posições dos
átomos numa face.
(iv) Cada átomo no canto é partilhado por 8 células. Por isso cada átomo contribui
8 1
da unidade célula. Dado que existem 8 átomos nos cantos; os pontos de rede em sc são 8 1
8 1
x .
Isto significa que a unidade célula num sistema sc tem um átomo para si mesma. Por isso, o volume V ocupado pelo átomo é:
, 2 3 4 3 4 3 3 r a V 2 a
r (raio do átomo em termos dos parâmetros da rede)
52
%
6
)2/
(
3/4
cot
cot
3
3
a
a
amento
empa
de
Fraccao
unidade
celula
pela
ocupado
Volume
rede
de
pontos
pelos
ocupado
volume
amento
empa
de
Fraccao
Isto significa que 48% do volume dum sc é vazio, enquanto 52% está preenchido de átomos.
Actividade 1.3.10 Difracção e reflexão dos raios X
(a) Nesta actividade olhamos para a distribuição elástica das ondas em estruturas periódicas. Isto inclui a derivação simples das condições de Bragg. Veja a referência para a animação da difracção cristalina. http:www2.wwnorton.com/college/chemistry/gilbert/tutorials/ch10.html
(b) Quando um foco de raios X paralelos de comprimento de onda, λ, é incidente nos planos de um cristal, como mostrado na Fig 1.14, a reflexão dos raios X pelos planos num cristal tem lugar somente quando 2d(hkl)sinθ = nλ, n
= 1,2,3 .... (1.4)
A equação (1.4) é conhecida como lei de Bragg, d é o espaçamento entre planos num cristal. Em geral as reflexões de Bragg podem somente ocorrer para o comprimento λ ≤ 2d. Isto explica porque a luz visível não é usada. A luz visível tem comprimentos de onda muito mais visíveis.
Figura1.14: Reflexão dos raios X pelos planos de um cristal
Um conjunto de linhas do cristal apenas se reflecte num certo ângulo e no ângulo θ, isto é, o ângulo entre o foco e os planos aumenta à medida que os espaçamentos diminuem. θ é o ângulo de visão.
(c) Em livros avançados pode ser mostrado que o plano de separação, d, parâmetro da rede, a, e os índices de Miller (hkl) têm a relação dada pela equação 1.4 2 2 2 k l h a dhkl (1.4)
Se a célula unidade cúbica tem o parâmetro da rede a = 1.20 nm, então d221=
0,4nm, d224 = 0,2nm
(d) Mostre que os valores acima de d em 1.3.10 (c) são correctos.
Figura 1.15: raios – X reflectidos a partir dos planos do cristal
Na figura 1.15 a diferença geral do caminho é 2x, onde x = XY = YZ. Mas sin sin x d d x
diferença de caminho é por isso = 2d(hkl)sinθ. A
interferência ocorre quando a diferença de caminho é um múltiplo integral de λ. i.e. quando 2d(hkl)sinθ = nλ, n = 1,2,3 ....
Exemplo
Mostre que a separação interplanar, d, parâmetro da rede, a e índices de Miller h, k, l é dado por 2 2 2 k l h a d Solução
Figura 1.16: plano usado para a derivação da expressão da separação
interplanar.
Usemos a Fig 1.16 para derivar a expressão da separação interplanar, d. Do triângulo OAB temos que
2 2 2 k a h a g (1)
Também temos que
2 2 2 2 . / / sin h a k a g e h a e g k a (2) Do triângulo OCE 2 2 2 f e I a (3) Também 2 2 2 2 ) / .( / sin I a d e f I a d f e
A partir das equações (2), (3) e (4) pode ser mostrado que 2 2 2
2 2 I k h a d
Actividade 1.3.11 Câmara de Pó dos raios X
Nesta actividade vai ler e descobrir como a câmara de pó dos raios X é usada no estudo da estrutura do cristal, em particular, para a identificação dos planos num cristal e consequentemente providenciar um meio apropriado de determinar o ângulo de visão. (Steadman, R, 1982 é particularmente muito bom para o efeito)
(a) Use as referências providenciadas para anotar o uso da câmara de pó dos raios X.
(b) Na sua tomada de notas considere os cristais cúbico simples (sc), cúbico face - centrado (fcc) e cúbico corpo - centrado.
Actividade 1.3.12 Espaço da rede recíproco e Esfera de Ewald
Nesta actividade vamos determinar os planos num cristal, os quais são responsáveis pela difracção dos raios X.
(a) Note que é difícil imaginar como o foco dos raios X entrando num cristal pode comportar-se, com tantos planos colocados em todos os ângulos do foco e todos com diferente d - spacing. Qual deles irá (se por ventura existir) satisfazer a lei de Bragg e reflectir o foco? O uso da rede recíproca para compreender a difracção foi demonstrado em 1913 por P.P. Ewald. Os pontos da rede recíproca representam os planos da rede recta (i.e. real) que formam. A rede recta determina (através de relações definidas) os vectores da rede recíproca, os espaçamentos entre os pontos da rede e as direcções recíprocas associadas.
Considere a rede recta bi - dimensional mostrada na Fig. 1.17. Está definida pelos vectores reais a e b, e o ângulo γ. São os espaçamentos dos planos (100) e (010) (i.e. d100 e d010). Uma rede recta tridimensional poderia introduzir o
Figura 1.17: Uma rede recta bidimensional
A rede recíproca vai ter vectores recíprocos a* e b*, separados pelos ângulos γ*.
a* será perpendicular ao plano (100) e igual em magnitude ao inverso de d
100.
De modo similar, b* será perpendicular ao plano (010) e igual em magnitude
ao inverso de d010. Por isso ângulos γ e γ* vão somar 180º.
Estude cuidadosamente abaixo como é feita a construção do espaço recíproco a partir do espaço real.
Sejam a* , b* e c* e b* os vectores recíprocos da rede.
a* é perpendicular ao plano de (100) b* é perpendicular ao plano de (010) c* é perpendicular ao plano de (001) O comprimento de a* é 100 1 d , b* é 010 1 d e c* é 001 1 d .
Figura 1.18: Construção do espaço recíproco a partir do espaço real
Note que os vectores a* e b* são desenhados perpendicularmente aos planos
(100) e (010) respectivamente.
Pontos importantes para anotar acerca da construção da esfera de Ewald
(i) Na construção da rede recíproca, começa-se por estabelecer a origem 000 e depois os eixos. Esta origem é fixa e é central para a rede no seu todo e é o ponto em relação ao qual os índices de todos os outros pontos estão relacionados. A rede real, de outro lado, não têm uma tal origem fixa e todos os seus pontos são idênticos.
(ii) A rede recíproca difere de modo fundamental da real rede pelo facto de ela não ser repetitiva (retirando o facto de ter o mesmo espaçamento entre pontos). A sua origem permanece e os pontos 001 e 002, por exemplo, têm as suas identidades e não podem ser trocados como acontece na rede real. Estes pontos representam planos, o que não acontece no caso do espaço real, onde os pontos representam átomos.
A rede recíproca e a lei de Bragg
A rede recíproca dá um simples e elegante modo de representar a reflexão dos raios X pelos planos do cristal. Isto é obtido pela construção da esfera de Edwald.
Passos essenciais a seguir na construção da esfera de Ewald
Use os parâmetros da rede dada para determinar o comprimento dos vectores no espaço recíproco i.e. O comprimento de a* é
100 1 d , b* é 010 1 d e c* é 001 1 d . Seja a = 0.3nm; b = 0.5nm; λ = 0.25nm se n = 1 então o 5 . 14 5 . 0 25 . 0 sin .
1. Construa o espaço recíproco a partir do espaço real como na Fig. 1.19. 2. Escolha um dos pontos na rede recíproca para 000.
3. Nomeie todos os outros pontos que neste caso representam planos.
4. Use a equação de Bragg e calcule o ângulo de visão usando as variáveis providenciadas. Suponha que a instrução é que a reflexão ocorra a partir de (010), a separação interplanar d é igual ao valor do parâmetro da rede b. Se a reflexão é a partir do plano (100), então o valor de d é igual ao valor do parâmetro da rede a.
5. Usando um dos eixos, meça o ângulo θ a partir dele. Desenhe uma linha marcando este ângulo, de tal modo que esta linha passe pela origem 000. Esta linha representa a direcção dos raios X.
6 . Calcule o recíproco de λ, o comprimento de onda dos raios X que estão a ser usados na difracção. O recíproco de λ é igual ao raio r, da esfera de Ewald, i.e. r 1
7. Começando por 000, meça r ao longo da linha que marca o ângulo de visão. O fim de r neste caso representa o centro da esfera de Ewald onde se assume que o cristal está alocado. Chame a este ponto P.
8. Desenhe a esfera de raio r em torno de P. Esta esfera forma a esfera de Ewald. Naturalmente que em duas dimensões é um círculo.
9. Na construção da esfera, identifique os pontos que estão na esfera. Os pontos que estão na esfera, p.e. o ponto Q, representam os planos responsáveis pela reflexão dos raio X, enquanto os pontos, p.e. S, que apenas tocam a esfera somente reflectem parcialmente os raios X. Se n é um, então estes planos são responsáveis pela primeira ordem de difracção.
Ordens superiores de difracções
Existem dois modos de fazer isto, o primeiro dos quais consiste em seguir os procedimentos alistados acima, mas na determinação de θ usando a equação de Bragg, n deve ser tomado como 2, para a segunda ordem de difracção, e tomado como 3 para a terceira ordem de difracção, etc.
No segundo modo, os planos responsáveis para as difracções de ordem superior são obtidos como se segue:
1. Use a esfera de Ewald para determinar planos responsáveis pela primeira ordem de difracção.
2. Com a ajuda do tracing paper, trace o esquema da esfera no papel. 3. Fixe o esquema usando os alfinetes ou canetas em torno de 000.
4. Gire o esquema em torno de 000 no sentido horário, até que um novo conjunto de pontos se encontre na esfera. Estes pontos vão corresponder aos planos responsáveis para a segunda ordem de difracção.
5. Para a obtenção de planos responsáveis de 3ª, 4ª ordem, etc., continue a girar o outline no sentido horário, enquanto localiza quaisquer outros novos planos que vão estar na esfera.
Uma aproximação geral à Rede recíproca
Distribuição da Amplitude da Onda
Figure 1.20: Distribuição da Amplitude da Onda
O diagrama na Fig 1.20 mostra uma onda que se espalha a partir da origem O e a partir do ponto r.
(a) Use algumas referências (http://en.wikipedia .org/wiki/Crystal_structure) providenciadas e mostre que, a condição para todos os vectores R, a interferência construtiva numa rede recíproca é k.RG.R 2n (1.5)
k é o vector de onda dado por k = (2π)/λ.
