Definição 2.5.1. Seja 𝑋 um espaço normado. Diremos que 𝑋 é fracamente Lindelöf se cada
cobertura aberta de 𝑋 na topologia 𝜎 (𝑋, 𝑋′) admite uma subcobertura enumerável.
Definição 2.5.2. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Diremos que 𝑋 é fracamente compactamente
gerado se existe um subconjunto 𝐾 fracamente compacto em 𝑋 tal que [𝐾] = 𝑋.
Exemplo 2.5.3. Cada espaço reflexivo é fracamente compactamente gerado. De fato, como 𝑋 é
reflexivo segue do teorema 1.5.6 que 𝐵𝑋 é fracamente compacta, além disso, é claro que
[︁
𝐵𝑋
]︁
= 𝑋.
Exemplo 2.5.4. Cada espaço de Banach separável 𝑋 é fracamente compactamente gerado. De
fato, seja 𝐷 = {𝑥𝑛}
∞
𝑛=1 um subconjunto denso em 𝑆𝑋 então 𝐾 =
{︁ 1 𝑛𝑥𝑛 }︁∞ 𝑛=1∪ {0} é fracamente compacto e 𝑋 = [𝐾].
Teorema 2.5.5. Seja 𝑋 um espaço de Banach fracamente compactamente gerado então 𝑋 é
fracamente Lindelöf.
Demonstração. Veja [5, página 405]
O conceito de espaços com a propriedade (𝐶) foi introduzido por H.H. Corson no artigo The Weak Topology of a Banach Space.
Esta seção foi baseada no artigo [12].
Definição 2.5.6. Seja 𝑋 um espaço normado. Um subconjunto convexo 𝑀 de 𝑋 é dito ter a
propriedade (𝐶) se para cada família 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ de subconjuntos convexos fechados de 𝑀 com
⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾 = ∅, existe uma subfamília enumerável 𝐿 ⊂ Γ com
⋂︁
𝛾∈𝐿
Proposição 2.5.7. Seja 𝑋 um normado. Se 𝑋 é fracamente Lindelöf então 𝑋 tem a propriedade
(𝐶) .
Demonstração. Seja 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ uma família de subconjuntos convexos fechados de 𝑋 tais que
⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾 = ∅. Então 𝒜 = {𝑋∖𝐶𝛾}𝛾∈Γ é uma cobertura de 𝑋, além disso, 𝐶𝛾 é fechado na topologia
𝜎(𝑋, 𝑋′) (veja Proposição 1.4.10), logo 𝒜 é uma cobertura fracamente aberta em X. Como 𝑋 é fracamente Lindelöf existe um conjunto enumerável 𝐿 ⊂ Γ tal que 𝑋 = ⋃︁
𝛾∈𝐿
(𝑋∖𝐶𝛾) , consequente-
mente ⋂︁
𝛾∈𝐿
𝐶𝛾 = ∅
Exemplo 2.5.8. Cada espaço reflexivo e cada espaço de Banach separável tem a propriedade (𝐶) . Observação 2.5.9. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑀 um subconjunto convexo de 𝑋 com a
propriedade (𝐶). Então, 𝑥 + 𝑀 tem a propriedade (𝐶) para cada 𝑥 ∈ 𝑋. De fato, seja 𝒞 = (𝐶𝛾)𝛾∈Γ
uma família em 𝑀 de subconjuntos convexos fechados com ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾 = ∅. Em seguida, observamos
que ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾 = ∅ se, e somente se,
⋂︁
𝛾∈Γ
(𝑥 + 𝐶𝛾) = ∅ para cada 𝑥 ∈ 𝑋. Então 𝒞0 = (−𝑥 + 𝐶𝛾)𝛾∈Γ
é uma família em 𝑥 + 𝑀 de subconjuntos convexos fechados com ⋂︁
𝛾∈Γ
(−𝑥 + 𝐶𝛾) = ∅, como 𝑀
tem a propriedade (𝐶) existe um subconjunto enumerável 𝐿 ⊂ Γ tal que ⋂︁
𝛾∈𝐿
(−𝑥 + 𝐶𝛾) = ∅.
Consequentemente ⋂︁
𝛾∈𝐿
𝐶𝛾 = ∅.
Definição 2.5.10. Sejam 𝑋 um conjunto e 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ uma família de subconjuntos de 𝑋.
Diremos que 𝒞 é fechada por interseções enumeráveis se dado um subconjunto enumerável 𝐿 de Γ então ⋂︁
𝛾∈𝐿
𝐶𝛾 ∈ 𝒞.
Observação 2.5.11. A seguinte condição é necessária e suficiente para que um espaço normado
𝑋 tenha a propriedade (𝐶) : se 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ é uma família de subconjuntos de 𝑋 não-vazios,
convexos, fechados e fechada por interseções enumeráveis então ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾 ̸= ∅.
Lema 2.5.12. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Se para cada família 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ de subconjuntos
de 𝑋 não-vazios, convexos, fechados e fechada sob interseções enumeráveis e para cada 𝛿 > 0 existe 𝑥 ∈ 𝑋 com dist(𝑥, 𝐶𝛾) < 𝛿 qualquer que seja 𝛾 ∈ Γ então 𝑋 tem a propriedade (𝐶).
Demonstração. Seja 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ uma família de subconjuntos não-vazios, convexos fechados e
suficiente provarmos que ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾 ̸= ∅ (veja Observação 2.5.11).
Para este fim exibiremos uma sequência (𝑥𝑛)
∞
𝑛=0 em 𝑋 e para cada 𝐶𝛾 ∈ 𝒞 exibiremos subcon-
juntos 𝐶𝑛
𝛾 não-vazios, fechados e convexos, tais que
(𝑎) 𝐶𝛾 = 𝐶𝛾0 ⊇ 𝐶𝛾1 ⊇ . . .; com diam(𝐶𝛾𝑛+1) ≤ 2−𝑛.
(𝑏) Toda coleção 𝒞𝑛={︁𝐶𝑛 𝛾
}︁
𝛾∈Γ é fechada sob interseções enumeráveis.
(𝑐) dist(𝑥𝑛, 𝐶𝛾𝑛) < 2
−𝑛−1 para cada 𝑛 ∈ {0} ∪ N.
A construção da sequência (𝑥𝑛)∞𝑛=0 e dos conjuntos 𝐶𝛾𝑛 será feita indutivamente.
Seja 𝛿 = 2−1 então pela hipótese existe 𝑥
0 ∈ 𝑋 tal que dist(𝑥0, 𝐶𝛾) < 2−1 para cada 𝛾 ∈ Γ.
Então 𝑥0 e a família 𝒞 satisfazem (𝑎), (𝑏) e (𝑐). Seja 𝐶𝛾 ∈ 𝒞. Suponhamos que 𝑥𝑛 e 𝐶𝛾𝑛 tenham
sido escolhidos para 𝑛 = 0, 1, . . . , 𝑘 de modo que (𝑎), (𝑏) e (𝑐) sejam satisfeitas. Então para cada 𝐶𝛾 ∈ 𝒞 colocamos
𝐶𝑘+1
𝛾 = 𝐶𝛾𝑘∩(𝑥𝑘+ 2−𝑘−1𝐵𝑋).
É claro que 𝐶𝑘+1
𝛾 são convexos e fechados. Observamos ainda que 𝐶𝛾𝑘+1 ̸= ∅ para cada 𝛾 ∈ Γ.
De fato se 𝐶𝑘+1
𝛾 = ∅ para algum 𝛾 ∈ Γ então
dist(︁
𝑥𝑘, 𝐶𝛾𝑘
)︁
≥2−𝑘−1,
entretanto, isto contradiz a escolha de 𝑥𝑘 e do conjunto 𝐶𝛾𝑘,visto que dist
(︁
𝑥𝑘, 𝐶𝛾𝑘
)︁
<2−𝑘−1. Em seguida observamos que para cada 𝐶𝛾 ∈ 𝒞 os conjuntos não-vazios, convexos e fechados
𝐶𝑛
𝛾, 𝑛 = 1, . . . , 𝑘 + 1 satisfazem a condição (𝑎). Com efeito pela hipótese de indução temos que
𝐶𝛾 = 𝐶𝛾0 ⊇ 𝐶𝛾1 ⊇ . . . 𝐶𝛾𝑘 e diam(𝐶𝛾𝑛+1) ≤ 2 −𝑛 para 𝑛 = 1, . . . 𝑘 − 1 portanto 𝐶𝛾 = 𝐶𝛾0 ⊇ 𝐶𝛾1 ⊇ . . . 𝐶𝛾𝑘 ⊇ 𝐶𝛾𝑘∩ (︁ 𝑥𝑘+ 2−𝑘−1𝐵𝑋 )︁ = 𝐶𝑘+1 𝛾 e diam(︁ 𝐶𝛾𝑘+1)︁≤diam(︁2−𝑘−1𝐵 𝑋 )︁ ≤2−𝑘.
Além disso, afirmamos que 𝒞𝑛 satisfaz a condição (𝑏) para cada 𝑛 = 1, . . . , 𝑘 + 1. De fato, segue
da hipótese de indução que 𝒞1, 𝒞2, . . . , 𝒞𝑘 são fechados sob interseções enumeráveis, portanto é
suficiente verificarmos que 𝒞𝑘+1 satisfaz (𝑏) . Seja 𝐿 um subconjunto enumerável de Γ então
⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝐶𝛾𝑘+1 = ⋂︁ 𝛾∈𝐿 (︁ 𝐶𝛾𝑘⋂︁ (︁𝑥𝑘+ 2−𝑘𝐵𝑋 )︁)︁ = ⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝐶𝛾𝑘⋂︁ (︁𝑥𝑘+ 2−𝑘𝐵𝑋 )︁ ∈ 𝒞𝑘+1
pois ⋂︁
𝛾∈𝐿
𝐶𝛾𝑘 ∈ 𝒞𝑘.Isto prova que 𝒞𝑘+1 é fechado sob interseções enumeráveis.
Por fim aplicamos a hipótese do lema à família 𝒞𝑘+1 com 𝛿 = 2−𝑘−2 e concluímos que existe
𝑥𝑘+1 ∈ 𝑋 tal que
dist(𝑥𝑘+1, 𝐶𝛾𝑘+1) < 2−𝑘−2, qualquer que seja 𝛾 ∈ Γ.
Prosseguindo o processo encontramos para cada 𝛾 ∈ Γ uma sequência de subconjuntos não- vazios, convexos e fechados(︁
𝐶𝑛 𝛾 )︁∞ 𝑛=0 e uma sequência (𝑥𝑛) ∞ 𝑛=0 em 𝑋 satisfazendo (𝑎) , (𝑏) e (𝑐) .
Além disso, a sequência (𝑥𝑛)∞𝑛=0 é de Cauchy 𝑋, visto que
‖𝑥𝑛− 𝑥𝑛+1‖ ≤ dist(𝑥𝑛, 𝐶𝛾𝑛) + diam(𝐶𝛾𝑛) + dist(𝑥𝑛+1, 𝐶𝛾𝑛+1)
< 2−𝑛−1+ 2−𝑛+1+ 2−𝑛−2 < 3 · 2−𝑛+1,
portanto, para cada 𝑘 ∈ N temos
‖𝑥𝑛− 𝑥𝑛+𝑘‖ ≤ ‖𝑥𝑛− 𝑥𝑛+1‖+ ‖𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛+2‖+ . . . + ‖𝑥𝑛+𝑘−1− 𝑥𝑛+𝑘‖ ≤ 3 · 2−𝑛+1+ 3 · 2−(𝑛+1)+1+ . . . + 3 · 2−(𝑛+𝑘−1)+1 = 3 · 2−𝑛+1 [︃ 1 − 2−𝑘+1 1/2 ]︃ ≤ 6 · 2−𝑛+1
Como 𝑋 é um espaço de Banach existe 𝑥 ∈ 𝑋 limite da sequência (𝑥𝑛)
∞
𝑛=0.Por fim, afirma-
mos que
dist(𝑥, 𝐶𝛾) = 0, qualquer 𝛾 ∈ Γ.
De fato, sejam 𝐶𝛾∈ 𝒞 e 𝜀 > 0. Por (𝑐) existe 𝑛1 ∈ N tal que
dist(︁ 𝑥𝑛1, 𝐶 𝑛1 𝛾 )︁ <2−𝑛1−1 < 𝜀 4. Por outro lado, (𝑥𝑛)
∞
𝑛=1 converge a 𝑥, portanto existe 𝑛2 ∈ N tal que
‖𝑥𝑛− 𝑥‖ <
𝜀
2 sempre que 𝑛 ≥ 𝑛2.
Seja 𝑛0 = max {𝑛1, 𝑛2} . Então
‖𝑥𝑛0 − 𝑥‖ <
𝜀
2 (2.5.1)
pois 𝑛0 ≥ 𝑛2. Além disso, existe 𝑐𝑛𝛾0 ∈ 𝐶𝛾𝑛0 tal que
⃦ ⃦ ⃦𝑥𝑛0 − 𝑐 𝑛0 𝛾 ⃦ ⃦ ⃦<dist (︁ 𝑥𝑛0, 𝐶 𝑛0 𝛾 )︁ +4𝜀 <2−𝑛0−1+ 𝜀 4 ≤2−𝑛1−1+ 𝜀 4 < 𝜀 4 + 𝜀 4 = 𝜀 2. (2.5.2)
Observando que 𝐶𝑛0
𝛾 ⊂ 𝐶𝛾, e das desigualdades 2.5.1 e 2.5.2 segue que
dist (𝑥, 𝐶𝛾) ≤ ⃦ ⃦ ⃦𝑥 − 𝑐 𝑛0 𝛾 ⃦ ⃦ ⃦≤ ‖𝑥 − 𝑥𝑛0‖+ ⃦ ⃦ ⃦𝑥𝑛0 − 𝑐 𝑛0 𝛾 ⃦ ⃦ ⃦< 𝜀 2+ 𝜀 2 = 𝜀, (2.5.3)
fazendo 𝜀 −→ 0 na desigualdade 2.5.3 obtemos dist (𝑥, 𝐶𝛾) = 0 para cada 𝛾 ∈ Γ.
Como 𝐶𝛾 é fechado concluímos que 𝑥 ∈
⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾.
Lema 2.5.13. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Se 𝑋 não tem a propriedade (𝐶), então existem
𝜀 >0 e uma família 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ de subconjuntos não-vazios, convexos e fechados de 𝐵𝑋,fechada
sob interseções enumeráveis e tal que para cada subconjunto convexo fechado 𝑀 de 𝑋 com a propriedade (𝐶) existe um 𝐶𝑀 ∈ 𝒞 com dist(𝑀, 𝐶𝑀) ≥ 𝜀.
Demonstração. Pelo lema 2.5.12 existem 𝛿 > 0 e uma família 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ de subconjuntos não-
vazios, convexos, fechados e fechada por interseções enumeráveis tais que para cada 𝑥 ∈ 𝑋 existe 𝐶𝑥∈ 𝒞 com dist(𝑥, 𝐶𝑥) ≥ 𝛿. Nestas condições afirmamos que existe 𝑛 ∈ N tal que
𝐶𝛾∩ 𝑛𝐵𝑋 ̸= ∅, para cada 𝛾 ∈ Γ.
De fato, suponhamos o contrário, isto é, que para cada 𝑛 ∈ N existe 𝐶𝑛 ∈ 𝒞 tal que 𝐶𝑛∩ 𝑛𝐵𝑋 = ∅.
Então ∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 = (︃∞ ⋃︁ 𝑘=1 𝑘𝐵𝑋 )︃ ⋂︁ (︃ ∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 )︃ = ⋃︁∞ 𝑘=1 (︃ 𝑘𝐵𝑋 ⋂︁ (︃∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 )︃)︃ ⊆ ∞ ⋃︁ 𝑘=1 (︁ 𝑘𝐵𝑋 ⋂︁ 𝐶𝑘 )︁ = ∅
entretando, isto contradiz o fato de 𝒞 ser fechado sob interseções enumeráveis. Em seguida, para cada 𝛾 ∈ Γ definamos
𝐶𝛾* = 1 𝑛 (︁ 𝐶𝛾∩ 𝑛𝐵𝑋 )︁ . Seja 𝜀 = 2𝑛𝛿 .
É fácil ver que 𝒞* = {︁
𝐶𝛾*}︁
𝛾∈Γ é uma família de subconjuntos de 𝐵𝑋 não-vazios, fechados,
convexos e fechada por interseções enumeráveis. Além disso, dados 𝑥 ∈ 𝑋 existe 𝐶𝑛𝑥 ∈ 𝒞 tal que
𝑛dist (︂ 𝑥, 1 𝑛𝐶𝑛𝑥 )︂ = dist (𝑛𝑥, 𝐶𝑛𝑥) ≥ 𝛿,
consequentemente, dist (𝑥, 𝐶* 𝑛𝑥) ≥ dist (︂ 𝑥,1 𝑛𝐶𝑛𝑥 )︂ ≥ 𝛿 𝑛 > 𝜀. (2.5.4)
Afirmamos que a família 𝒞* e 𝜀 satisfazem as propriedades enunciadas no lema. Com efeito,
seja 𝑀 um subconjunto convexo fechado de 𝑋 com a propriedade (𝐶) e suponhamos por absurdo que para cada 𝛾 ∈ Γ
dist(𝑀, 𝐶*
𝛾) < 𝜀, (2.5.5)
Então para cada 𝛾 ∈ Γ definamos
𝐶𝛾**=(︁𝐶* 𝛾+ 𝜀𝐵𝑋 )︁ ∩ 𝑀, então os membros de 𝒞**={︁𝐶** 𝛾 }︁
𝛾∈Γsão convexos e fechados em 𝑀. Além disso,
(︁
𝐶𝛾*+ 𝜀𝐵𝑋
)︁
∩ 𝑀 são não-vazios. De fato, se (︁
𝐶𝛾*+ 𝜀𝐵𝑋
)︁
∩ 𝑀 é vazio para algum 𝛾 ∈ Γ, ou seja
⎛ ⎝ ⋃︁ 𝑎∈𝐶* 𝜆 𝐵𝑋[𝑎; 𝜀] ⎞ ⎠ ⋂︀ 𝑀 =(︁𝐶𝜆*+ 𝜀𝐵𝑋 )︁ = ∅ logo ‖𝑚 − 𝑎‖ > 𝜀 para cada 𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑎 ∈ 𝐶*
𝛾, consequentemente dist(𝑀, 𝐶
*
𝛾) ≥ 𝜀, entretanto isto
contradiz 2.5.5.
Portanto a família 𝒞** é constítuida por subconjuntos de 𝑀 não-vazios, fechados e convexos.
Assim, se
⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾**= ∅,
existe uma subfamília enumerável 𝐿 ⊆ Γ (a existência da subfamília é garantida pela propriedade (𝐶) de 𝑀) tal que
⋂︁
𝛾∈𝐿
𝐶𝛾** = ∅. (2.5.6)
Como 𝒞* é fechada por interseções enumeráveis, segue que ⋂︁
𝛾∈𝐿 𝐶𝛾* ∈ 𝒞*, portanto ⎛ ⎝ ⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝐶𝛾*+ 𝜀𝐵𝑋 ⎞ ⎠∩ 𝑀 ̸= ∅. (2.5.7) Entretanto por 2.5.6 e 2.5.7 ∅ ̸= ⎛ ⎝ ⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝐶𝛾*+ 𝜀𝐵𝑋 ⎞ ⎠∩ 𝑀 ⊂ ⋂︁ 𝛾∈𝐿 (︁(︁ 𝐶𝛾*+ 𝜀𝐵𝑋 )︁ ∩ 𝑀)︁⊂ ⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝐶𝛾**= ∅. (2.5.8)
Por 2.5.8 concluímos que ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾**̸= ∅. Seja 𝑥 ∈ ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝛾** então dist(𝑥, 𝐶𝛾*) ≤ 𝜀 para cada 𝐶𝛾*. Entretanto por 2.5.4 existe 𝐶𝑛𝑥* ∈ 𝒞* tal
que 𝜀 < dist(𝑥, 𝐶*
𝑛𝑥), consequentemente
𝜀 <dist(𝑥, 𝐶𝑛𝑥* ) ≤ 𝜀
Este absurdo prova que a afirmação 2.5.5 não pode ser verdadeira.
Proposição 2.5.14. Sejam 𝑋 um espaço de Banach e (𝑀𝑛)
∞
𝑛=1 uma sequência de subconjuntos
convexos de 𝑋 com a propriedade (𝐶) . Se
∞
⋃︁
𝑖=1
𝑀𝑖 é denso 𝑋 então 𝑋 tem a propriedade (𝐶) .
Demonstração. Suponhamos por absurdo que 𝑋 não tem a propriedade (𝐶) . Então podemos encontrar 𝜀 > 0 e uma família 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ como no Lema 2.5.13. Então para cada 𝑛 ∈ N existe
𝐶𝑛∈ 𝒞 tal que dist (𝑀𝑛, 𝐶𝑛) ≥ 𝜀, consequentemente
dist (︃ ∞ ⋃︁ 𝑛=1 𝑀𝑛, ∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 )︃ ≥ 𝜀. (2.5.9)
Como a família 𝒞 é fechada sob interseções enumeráveis segue que
∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 ̸= ∅. Além disso, ∞ ⋃︁ 𝑛=1
𝑀𝑛 é denso em 𝑋, logo dado 𝑐 ∈
∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 existe 𝑚 ∈ ∞ ⋃︁ 𝑛=1
𝑀𝑛 tal que ‖𝑚 − 𝑐‖ < 𝜀2. Portanto por
2.5.9 concluímos que dist (︃∞ ⋃︁ 𝑛=1 𝑀𝑛, ∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 )︃ ≥ 𝜀 > 𝜀 2 > ‖𝑚 − 𝑐‖ ≥dist (︃∞ ⋃︁ 𝑛=1 𝑀𝑛, ∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑛 )︃
Este absurdo prova que 𝑋 tem a propriedade (𝐶) .
Lema 2.5.15. Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços de Banach, e 𝑇 ∈ ℒ (𝑋; 𝑍) um operador sobrejetivo. Então
dada uma sequência (𝑧𝑛)
∞
𝑛=1 que converge a zero em 𝑍 existe uma sequência (𝑥𝑛)
∞
𝑛=1 que converge
a zero em 𝑋, tal que 𝑇 (𝑥𝑛) = 𝑧𝑛 para cada 𝑛 ∈ N.
Demonstração. Seja 𝐶 > 0 tal que ‖𝑧𝑛‖ ≤ 𝐶 para cada 𝑛 ∈ N. Além disso, 𝑇 é um operador
sobrejetivo entre espaços de Banach, então pelo Teorema da Aplicação Aberta existe 𝛿 > 0 tal que 𝑇 (𝐵𝑋) ⊃ 𝛿𝐵𝑍. Definamos 𝑢𝑛 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0, se 𝑧𝑛= 0 𝛿 2𝐶𝑧𝑛, se 𝑧𝑛̸= 0
Então 𝑢𝑛 ∈ 𝛿𝐵𝑍 para cada 𝑛 ∈ N. Logo, existe 𝑤𝑛 ∈ 𝐵𝑋 tal que 𝑇 (𝑤𝑛) = 𝑢𝑛.Portanto, a sequên- cia (𝑥𝑛) ∞ 𝑛=1 definida por 𝑥𝑛 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0, se 𝑧𝑛= 0 2𝐶 𝛿 𝑤𝑛, se 𝑧𝑛̸= 0 converge a zero e 𝑇 (𝑥𝑛) = 𝑧𝑛 para cada 𝑛 ∈ N.
Proposição 2.5.16. Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços de Banach, e 𝑇 ∈ ℒ (𝑋; 𝑍) um operador sobrejetivo.
Se 𝐾𝑒𝑟 (𝑇 ) e 𝑍 tem a propriedade (𝐶) então 𝑋 também tem a propriedade (𝐶).
Demonstração. Suponhamos por absurdo que 𝑋 não tem a propriedade (𝐶) então podemos en- contrar 𝜀 > 0 e uma família 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ como no Lema 2.5.13.
Em seguida, observemos que 𝑇−1(𝑧) é convexo e fechado para cada 𝑧 ∈ 𝑍. Além disso, 𝑇−1(𝑧)
tem a propriedade (𝐶) pois é o transladado de 𝐾𝑒𝑟 (𝑇 ) (veja observação 2.5.9). Portanto para cada 𝑧 ∈ 𝑍 existe 𝐶𝑧 ∈ 𝒞 tal que
dist(︁
𝑇−1(𝑧) , 𝐶𝑧
)︁
≥ 𝜀. (2.5.10)
Afirmamos que 𝑧 /∈ 𝑇 (𝐶𝑧) qualquer que seja 𝑧 ∈ 𝑍. De fato, suponhamos o contrário, isto é,
que existe 𝑧 ∈ 𝑇 (𝐶𝑧). Então existe uma sequência (𝑢𝑛)
∞
𝑛=1 em 𝐶𝑧 tal que (𝑇 (𝑢𝑛) − 𝑧)
∞
𝑛=1 converge
a zero. Pelo Lema 2.5.15 existe uma sequência (𝑥𝑛)
∞
𝑛=1 em 𝑋 tal que (𝑥𝑛)
∞
𝑛=1 converge a zero e
𝑇 (𝑥𝑛) = 𝑇 (𝑢𝑛) − 𝑧. Em seguida, observamos que 𝑢𝑛− 𝑥𝑛 ∈ 𝑇−1(𝑧) para cada 𝑛 ∈ N. Logo
0 < 𝜀 ≤ dist (𝑇−1(𝑧) , 𝐶
𝑧) ≤ ‖(𝑢𝑛− 𝑥𝑛) − 𝑢𝑛‖= ‖𝑥𝑛‖ −→0
esse absurdo prova que 𝑧 /∈ 𝑇 (𝐶𝑧) qualquer que seja 𝑧 ∈ 𝑍.
Seja 𝒞0 =
{︁
𝑇 (𝐶𝑧)
}︁
𝑧∈𝑍.Então 𝒞0 é uma família em 𝑍 de subconjuntos convexos e fechados, com
⋂︁
𝑧∈𝑍
𝑇 (𝐶𝑧) = ∅.
Em seguida, notamos que para cada sequência {𝑧𝑛}
∞ 𝑛=1 em 𝑍 temos ∅ ̸= ∞ ⋂︁ 𝑛=1
𝐶𝑧𝑛 ∈ 𝒞 (pois 𝒞 é fechada por interseções enumeráveis). Portanto ∅ ̸= 𝑇 (︃∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝐶𝑧𝑛 )︃ ⊆ ∞ ⋂︁ 𝑛=1 𝑇(𝐶𝑧𝑛), contradição com a propriedade (𝐶) de 𝑍.
Teorema 2.5.17. Sejam 𝑋 um espaço de Banach e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋.
(𝑎) Se 𝑋 tem a propriedade (𝐶) então 𝑌 e 𝑋/𝑌 tem a propriedade (𝐶).
(𝑏) Se 𝑌 e 𝑋/𝑌 tem a propriedade (𝐶) então 𝑋 tem a propriedade (𝐶) (A propriedade (𝐶) é uma propriedade 3𝑆𝑃 ).
Demonstração. (𝑎) Suponhamos que 𝑋 tenha a propriedade (𝐶). Seja 𝒞 = {𝐶𝛾}𝛾∈Γ uma famí-
lia de subconjuntos convexos fechados de 𝑋/𝑌, tais que ⋂︁
𝛾∈Γ
𝐶𝜆 = ∅. Não é díficil provar que a
imagem inversa de cada subconjunto convexo por uma aplicação linear também é convexo, por- tanto a família 𝜋−1(𝒞) = {𝜋−1(𝐶
𝛾)}𝛾∈Γ é uma família de conjuntos convexos fechados em 𝑋, com
⋂︁
𝛾∈Γ
𝜋−1(𝐶𝛾) = ∅. Como 𝑋 tem a propriedade (𝐶) podemos extrair um subconjunto enumerável 𝐿
de Γ tal que ⋂︁
𝛾∈𝐿
𝜋−1(𝐶𝛾) = ∅. Sendo 𝜋 sobrejetora, segue que
⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝐶𝛾 = ⋂︁ 𝛾∈𝐿 𝜋(𝜋−1(𝐶𝛾)) = ∅. É claro
que subespaços fechados de 𝑋 herdam a propriedade (𝐶).
(𝑏) Suponhamos que 𝑌 e 𝑋/𝑌 tem a propriedade (𝐶). Em seguida, observamos que 𝜋 é um operador sobrejetivo entre espaços de Banach e 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = 𝑌, então pela proposição 2.5.16 segue que 𝑋 tem a propriedade (𝐶).