Propriedades dos três espaços na teoria de espaços de Banach

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Osmar Rogerio Reis Severiano

Propriedades dos três espaços na teoria de espaços de

Banach

CAMPINAS 2015

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Severiano, Osmar Rogerio Reis,

Se83p SevPropriedades dos três espaços na teoria de espaços de Banach / Osmar Rogerio Reis Severiano. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

SevOrientador: Jorge Tulio Mujica Ascui.

SevDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Sev1. Análise funcional. 2. Banach, Espaços de. I. Mujica Ascui, Jorge Tulio,1946-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Three space property in the theory of Banach spaces Palavras-chave em inglês:

Functional analysis Banach spaces

Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:

Jorge Tulio Mujica Ascui [Orientador] Ary Orozimbo Chiacchio

Ariosvaldo Marques Jatobá

Data de defesa: 26-02-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática

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Abstract

Let 𝑌 a closed subspace of 𝑋 Banach space. One classic result states that if 𝑌 and 𝑋/𝑌 are separable then 𝑋 is separable. Another classic result states that 𝑋 is reflexive whenever 𝑌 and 𝑋/𝑌 are.

Motivated by these results we will say that a property 𝒫 is a three-space property if 𝑋 has property 𝒫 whenever 𝑌 and 𝑋/𝑌 has property 𝒫. Thereby separability and reflexivity are three-space properties.

The aim of this project is the study of various three-space property.

Keywords: Banach space, three-space property.

Resumo

Seja 𝑌 um subespaço fechado de um espaço de Banach 𝑋. Um resultado clássico afirma que se 𝑌 e 𝑋/𝑌 são separáveis então 𝑋 é separável. Outro resultado clássico afirma que 𝑋 é reflexivo sempre que 𝑌 e 𝑋/𝑌 o são.

Motivados por estes resultados diremos que uma propriedade 𝒫 é uma propriedade dos três espaços se 𝑋 tem a propriedade 𝒫 sempre que 𝑌 e 𝑋/𝑌 tem a propriedade 𝒫. Assim separabilidade e reflexividade são propriedades dos três espaços.

O objetivo deste projeto é o estudo de diversas propriedades dos três espaços.

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Sumário

Agradecimentos xi

Introdução 1

1 Preliminares 3

1.1 Notações e terminologia . . . 3

1.2 Espaços normados e operadores lineares . . . 4

1.3 Espaços quocientes . . . 8

1.4 Topologia fraca . . . 9

1.5 Topologia fraca-estrela . . . 11

1.6 Espaços duais . . . 13

1.7 Bases de Schauder . . . 14

2 Propriedades dos Três Espaços 21 2.1 Espaços separáveis . . . 21

2.2 Espaços completos . . . 23

2.3 Espaços reflexivos . . . 24

2.4 Espaços B-convexos . . . 26

2.5 Espaços com a propriedade (C) . . . 37

2.6 Espaços fracamente sequencialmente completos . . . 45

2.7 Espaços contidos em ℓ∞ . . . 53

2.8 Espaços contidos em 𝑐0 . . . 56

2.9 Espaços que não contém ℓ1 . . . 58

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Agradecimentos

Começo agradecendo a Deus, por toda oportunidade e pessoa que ele tem colocado em minha vida.

À meus pais, pela compreensão e incentivo, principalmente ao meu pai, por entender a minha ausência.

Aos meus professores de graduação que tanto me motivaram a estudar, em especial agradeço ao professor Fernando Pereira de Souza pela preciosa orientação e amizade.

Agradeço meu orientador, Jorge Mujica, por toda paciência, grande disponibilidade, por ser um grande exemplo pessoal e profissional.

Expresso ainda meus agradecimetos aos meus amigos e companheiros: Valter, Mateus, Miquéias, Ramon, Leonardo, Rafael, Mateus Henrique, Blas, Leandro e em especial a minha amiga Glads.

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Introdução

Está dissertação é dedicada ao estudo das propriedades dos três espaços na teoria dos espaços de Banach, cujo problema consiste em saber se: dados um espaço de Banach 𝑋 e um subespaço fechado 𝑌 de 𝑋 tal que 𝑌 e 𝑋/𝑌 tem uma certa propriedade 𝒫, então 𝑋 também tem a proprie-dade 𝒫? Quando a resposta para esta pergunta for positiva diz-se que 𝒫 é uma proprieproprie-dade dos três espaços, ou abreviadamente uma propriedde 3𝑆𝑃.

A origem dos problemas dos três espaços pode ser traçada até um problema atribuído a Palais: se 𝑌 e 𝑋/𝑌 são isomorfos a um espaço de Hilbert então 𝑋 também é isomorfo a um espaço de Hilbert? Em 1975, Enflo, Lindenstrauss e Pisier apresentaram uma resposta negativa para esta pergunta, veja [4].

Cronologicamente os resultados dos problemas 3𝑆𝑃 apareceram formalmente em meados dos anos setenta, apesar de Krein e Smullian provarem em 1940, que reflexividade é uma propriedade dos três espaços.

Apesar de existirem vários resultados negativos de problemas dos três espaços na teoria dos espaços de Banach optamos em estudar somente alguns resultados cuja resposta é positiva. O tra-balho está dividido em dois capítulos. O capítulo 1 é constituído por resultados preliminares, onde relembramos fatos relacionados aos espaços normados, operadores, espaços quociente, topologia fraca, topologia fraca-estrela, espaços duais e base de Schauder.

Enfatizamos que ao considerarmos o espaço quociente 𝑋/𝑌 estaremos munindo 𝑋/𝑌 com a norma natural herdada de 𝑋, isto é

‖𝑥+ 𝑌 ‖ = inf

𝑦∈𝑌‖𝑥 − 𝑦‖= dist (𝑥, 𝑌 ) .

Mais precisamente, tanto 𝑌 quanto 𝑋/𝑌 serão considerados com suas normas naturais induzidas por 𝑋.

Na seção 1.2 apresentamos uma variante das formas geométricas do Teorema de Hahn : sejam 𝐴 e 𝐵 dois subconjuntos convexos em 𝑋, não-vazios e 𝐵 equilibrado. Então existe um funcional 𝜙 ∈ 𝑋′ tal que

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sup

𝑏∈𝐵

|𝜙(𝑏)| < inf

𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)|

se, e somente se, zero não pertence ao fecho de 𝐵 − 𝐴. Este resultado será a ferramenta principal para provarmos o Lema 2.6.10, o interesse neste lema consiste em provarmos que ser fracamente sequencialmete completo é uma propriedade dos três espaços.

Ainda no capítulo 1 apresentamos uma seção sobre base de Schauder, onde todos os resultados são apresentados com suas respectivas provas, exceto o teorema ℓ1 de Rosenthal, cuja

demonstra-ção foi omitida para não estender demasiadamente o trabalho. Entretanto, o principal objetivo desta seção é exibir uma prova para o lema de Lohman: sejam 𝑋 um espaço de Banach e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋 tal que ℓ1 ̸⊂ 𝑌.Então cada sequência fracamente de Cauchy em 𝑋/𝑌 tem

uma subsequência que é imagem de uma sequência fracamente de Cauchy em 𝑋 sob a aplicação quociente 𝜋. Esta prova é baseada no artigo [8]. Veremos na seção 2.9 que não conter ℓ1 é uma

propriedade dos três espaços, este fato será consequência imediata do teorema ℓ1 de Rosenthal e

do lema de Lohman.

No capítulo 2 concentra-se a parte principal deste trabalho. Essencialmente apresentamos nove propriedades relacionadas aos problemas 3𝑆𝑃, os três primeiros resultados são referentes a propri-edades clássicas; separabilidade, completude e reflexividade. Em seguida, baseados no artigo [6] estudamos as propriedades dos espaços 𝐵-convexos, provamos que 𝐵-convexidade é uma proprie-dade 3𝑆𝑃, além disso, concluimos que entre os espaços de Banach ser 𝐵-conxevo é equivalente à ser : super-reflexivo, admitir uma norma equivalente uniformemente convexa, admitir uma norma equivalente Fréchet difereciável ou admitir uma norma equivalente que é uniformemente convexa e uniformemente Fréchet diferenciável.

Completamos o capítulo 2 estudando os espaços que: tem a propriedade (𝐶) ; os resultados sobre os espaços com a propriedade (𝐶) foram obtidos de [12], são fracamente sequencialmente completo, estão contidos em ℓ∞, estão contidos em 𝑐0 e que não contém ℓ1.

Uma extensa lista de propriedades dos três espaços pode ser encontrada no livro [3]. Mas este livro não contém demonstrações detalhadas. Ele contém esboços de demonstrações ou referências aos artigos originais.

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Capítulo 1

Preliminares

1.1 Notações e terminologia

Nesta dissertação usaremos as letras 𝑋, 𝑌, 𝑍, . . . para denotar K-espaços vetoriais, onde K indicará indistamente o corpo R dos números reais ou o corpo C dos números complexos. Se 𝑋, 𝑍 são espaços normados e 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋 usaremos as seguintes notações:

• 𝐵𝑋: Bola unitária aberta de 𝑋.

• 𝐵𝑋: Bola unitária fechada de 𝑋.

• 𝑆𝑋: Esfera unitária de 𝑋.

• 𝑋′_{: Dual topológico de 𝑋.}

• ℒ(𝑋; 𝑍) : Espaço das aplicações lineares contínuas de 𝑋 em 𝑍. • dist(𝐴, 𝐵): Distância entre 𝐴 e 𝐵.

• diam(𝐴): Diâmetro de 𝐴. • [𝐴]: Espaço gerado por 𝐴.

Adotaremos também as notações clássicas: • ℓ𝑝(1 ≤ 𝑝 < ∞) : Espaço das sequências (𝑥𝑛)

∞ 𝑛=1 em K tais que ∞ ∑︁ 𝑛=1 |𝑥𝑛| 𝑝 < ∞. • ℓ∞: Espaço das sequências limitadas.

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• 𝑐0: Espaço das sequências que convergem a zero.

• 𝑐00: Espaço das sequências que são eventualmente nulas.

• 𝐿1[0, 1]: Espaço de todas as funções mensuráveis de [0, 1] em K tais que

∫︁ 1

0

|𝑓 | 𝑑𝑡 < ∞ Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços normados. Diremos que 𝑋 e 𝑍 são topologicamente isomorfos se existe um operador bijetor 𝑇 ∈ ℒ (𝑋; 𝑍) tal que 𝑇−1 _{∈ ℒ}_{(𝑍; 𝑋) . Usaremos o símbolo ≈ para indicar}

que 𝑋 e 𝑍 são topologicamente isomorfos.

Diremos que um operador linear 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑍 é uma isometria se ‖𝑇 (𝑥)‖ = ‖𝑥‖ para cada 𝑥 ∈ 𝑋.Assim, toda isometria é injetora e contínua. Um isomorfismo que é também uma isometria é chamado de isomorfismo isométrico, e nesse caso dizemos que os espaços são isomorfos isometri-camente.

Agora faremos uma exposição sistemática de alguns resultados relacionados a análise funcional e teoria dos espaços de Banach. Muitos dos resultados são bem conhecidos e suas demonstrações podem ser encontradas em vários livros.

1.2 Espaços normados e operadores lineares

Teorema 1.2.1. Sejam 𝑋 um espaço de Banach e 𝑌 um subespaço de 𝑋. Então 𝑌 é um espaço

de Banach se, e somente se, 𝑌 é fechado em 𝑋. Demonstração. Veja [2, página 2]

Teorema de Hanh-Banach 1.2.2. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço de 𝑋. Então

para cada 𝜙0 ∈ 𝑌′ existe 𝜙 ∈ 𝑋′ tal que

(𝑎) 𝜙0(𝑦) = 𝜙(𝑦) para cada 𝑦 ∈ 𝑌.

(𝑏) ‖𝜙‖ = ‖𝜙0‖ .

Demonstração. Veja [10, página 56].

Corolário 1.2.3. Se 𝑋 ̸= {0} e 𝑥 ∈ 𝑋. Então ‖𝑥‖= sup 𝜙∈𝐵_𝑋′ |𝜙(𝑥)| = max 𝜙∈𝑆𝑋′ |𝜙(𝑥)| .

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Proposição 1.2.4. Sejam 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋, 𝑦0 ∈ 𝑋∖𝑌 e 𝑑 = dist(𝑦0, 𝑌). Então

existe 𝜙 ∈ 𝑋′_, _{tal que ‖𝜙‖ = 1, 𝜙(𝑦}

0) = 𝑑 e 𝜙(𝑦) = 0 para todo 𝑦 ∈ 𝑌.

Definição 1.2.5. Sejam 𝑋 um espaço vetorial e 𝐴 um subconjunto de 𝑋. Diremos que

(𝑎) 𝐴 é convexo se (1 − 𝜆)𝑥 + 𝜆𝑦 ∈ 𝐴 para cada 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 e 𝜆 ∈ [0, 1]. (𝑏) 𝐴 é equilibrado se 𝜆𝑥 ∈ 𝐴 para cada 𝑥 ∈ 𝐴 e |𝜆| ≤ 1.

Definição 1.2.6. Seja 𝐴 um subconjunto de um espaço vetorial 𝑋.

(𝑎) O conjunto 𝑐𝑜 (𝐴) é chamado envoltária convexa de 𝐴 e é definido como a interseção de todos os subconjuntos convexos de 𝑋 que contém 𝐴.

(𝑏) O conjunto 𝑐𝑜 (𝐴) é chamado envoltória convexa fechada de 𝐴 e é definido como o fecho de 𝑐𝑜(𝐴) .

Definição 1.2.7. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝐴, 𝐵 subconjuntos de 𝑋. Diremos que um

funcional 𝜙 ∈ 𝑋′ _{separa estritamente 𝐴 e 𝐵 se}

sup

𝑏∈𝐵

{𝑅𝑒(𝜙(𝑏))} < inf

𝑎∈𝐴{𝑅𝑒(𝜙(𝑎))} . (1.2.1)

onde 𝑅𝑒 (𝜙 (𝑏)) indica a parte real de 𝜙 (𝑏) .

A seguir apresentamos uma variante das formas geométricas do Teorema de Hahn-Banach. Este resultado pode ser generalizado para espaços vetoriais topológicos, veja [7, página 118]. Fare-mos apenas a demonstração do item (𝑏) , visto que a prova de (𝑎) é apresentado em [7, página 118]. Além disso, o item (𝑏) será um dos resultados chave para a demonstração do Lema 2.6.10.

Teorema 1.2.8. (Separação de Convexos) Sejam 𝐴, 𝐵 subconjuntos não-vazios e convexos de um

espaço normado 𝑋. Então

(𝑎) existe um funcional 𝜙 ∈ 𝑋′ _{que separa estritamente 𝐴 e 𝐵 se, e somente se, zero não pertence}

ao fecho de 𝐵 − 𝐴.

(𝑏) se 𝐵 é equilibrado, então existe um funcional 𝜙 ∈ 𝑋′ _{tal que}

sup

𝑏∈𝐵

|𝜙(𝑏)| < inf

𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)| (1.2.2)

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Demonstração. (𝑎) Veja [7, página 118] .

(𝑏) (⇒) Suponhamos por absurdo que 0 pertence ao fecho de 𝐵 − 𝐴, então existem sequências (𝑏𝑛) ∞ 𝑛=1em 𝐵 e (𝑎𝑛) ∞ 𝑛=1 em 𝐴 tais que (𝑏𝑛− 𝑎𝑛) ∞

𝑛=1 converge a 0. Em seguida, observamos que para

cada 𝜙 ∈ 𝑋′ _{temos que (𝜙 (𝑏}

𝑛− 𝑎𝑛))

∞

𝑛=1 converge a 0.

Pela hipótese existe 𝜙 ∈ 𝑋′ _{tal que sup}

𝑏∈𝐵

|𝜙(𝑏)| < inf

𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)| . Seja 𝜀 = inf𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)| − sup_𝑏∈𝐵|𝜙(𝑏)| > 0.

Então existe 𝑛0 ∈ N tal que

inf

𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)| − sup_𝑏∈𝐵|𝜙(𝑏)| ≤ |𝜙 (𝑎𝑛)| − |𝜙 (𝑏𝑛)| ≤ |𝜙 (𝑎𝑛) − 𝜙 (𝑏𝑛)| < 𝜀 = inf𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)| − sup_𝑏∈𝐵|𝜙(𝑏)|

sempre que 𝑛 ≥ 𝑛0.

Este absurdo prova que 0 não pertence ao fecho de 𝐵 − 𝐴.

(⇐) Reciprocamente suponhamos que 0 não pertence ao fecho de 𝐵 −𝐴. Então pelo item (𝑎) existe 𝜙 ∈ 𝑋′ com

sup

𝑏∈𝐵

{𝑅𝑒(𝜙(𝑏))} < inf

𝑎∈𝐴{𝑅𝑒(𝜙(𝑎))} . (1.2.3)

Por outro lado, dado 𝑏 ∈ 𝐵 tomamos 𝜃 tal que 𝜙 (𝑏) = |𝜙 (𝑏)| 𝑒𝑖𝜃 então 𝑒−𝑖𝜃_{𝑏 ∈ 𝐵} _{pois 𝐵 é}

equilibrado, além disso

|𝜙(𝑏)| = 𝜙(︁𝑒−𝑖𝜃𝑏)︁= 𝑅𝑒(︁𝜙(︁𝑒−𝑖𝜃𝑏)︁)︁≤sup

𝑏∈𝐵

{𝑅𝑒(𝜙 (𝑏))} (1.2.4)

por 1.2.4 concluímos que sup

𝑏∈𝐵 |𝜙(𝑏)| = sup 𝑏∈𝐵 {𝑅𝑒(𝜙 (𝑏))} . Portanto sup 𝑏∈𝐵 |𝜙(𝑏)| = sup 𝑏∈𝐵 {𝑅𝑒(𝜙 (𝑏))} < inf 𝑎∈𝐴{𝑅𝑒(𝜙 (𝑎))} ≤ inf𝑎∈𝐴|𝜙(𝑎)|

Algumas propriedades serão estudadas sobre a hipótese de 𝑋 ser Banach, portanto apresen-tamos dois resultados clássicos da análise funcional. São eles:

Teorema Princípio da Limitação Uniforme 1.2.9. Sejam 𝑋 um espaço de Banach, 𝑍 um

espaço normado e {𝑇𝑖}_𝑖∈𝐼 uma família em ℒ(𝑋; 𝑍) tal que

sup 𝑖∈𝐼 ‖𝑇𝑖(𝑥)‖ < ∞ para cada 𝑥 ∈ 𝑋. Então sup 𝑖∈𝐼 ‖𝑇𝑖‖ < ∞.

Definição 1.2.10. Sejam 𝑋, 𝑍 espaços normados e 𝑇 ∈ ℒ (𝑋; 𝑍) . Diremos que 𝑇 é aberta se

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Teorema da Aplicação Aberta 1.2.11. Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços de Banach e seja 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; 𝑍).

Então as seguintes condições são equivalentes: (𝑎) 𝑇 é sobrejetora.

(𝑏) 𝑇 (𝐵𝑋) ⊃ 𝛿𝐵𝑍 para algum 𝛿 > 0.

(𝑐) 𝑇 (𝐵𝑋) ⊃ 𝛿𝐵𝑍 para algum 𝛿 > 0.

(𝑑) 𝑇 é aberta.

Definição 1.2.12. Sejam 𝑋, 𝑍 espaços normados e 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; 𝑍). Diremos que 𝑇 é um mergulho

topológico se 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑇 (𝑋) é um isomorfismo topológico.

Observação 1.2.13. É claro que 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; 𝑍) é um mergulho topológico se, e somente se, existe

𝑎 >0 tal que ‖𝑇 (𝑥)‖ ≥ 𝑎 ‖𝑥‖ para todo 𝑥 ∈ 𝑋.

Definição 1.2.14. Sejam 𝑋, 𝑍 espaços normados e 𝑇 ∈ ℒ (𝑋; 𝑍) . O operador 𝑇′ : 𝑍′ −→ 𝑋′

definido por

𝑇′(𝑧′) (𝑥) = 𝑧′(𝑇 (𝑥)) para cada 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑧′ ∈ 𝑌′

é chamado adjunto de 𝑇.

Proposição 1.2.15. Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços normados. Se 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; 𝑍) então 𝑇′ ∈ ℒ(𝑍′_{; 𝑋}′_{) e}

‖𝑇 ‖ = ‖𝑇′_{‖ .} _{Além disso se 𝑇 é um isomorfismo isométrico então 𝑇}′ _{também é um isomorfismo}

isométrico.

Proposição 1.2.16. Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços normados. Então um operador 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; 𝑍) é um

mergulho se, e somente se, o operador 𝑇′ _{∈ ℒ}_(𝑍′_{; 𝑋}′_{) é sobrejetivo.}

Demonstração. (⇒) Suponhamos que 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑍 é um mergulho topológico, então 𝑇 admite uma fatoração da forma

𝑋 𝑇 //

≈

𝑀 𝑖

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sendo 𝑀 um subespaço de 𝑍 e 𝑖 : 𝑀 −→ 𝑍 a inclusão. Segue que 𝑇′ _{: 𝑍}′ _{−→ 𝑋}′ _{admite uma} fatoração da forma 𝑋′ 𝑀′ ≈ __ 𝑇 𝑍′ ′ oo 𝑖′

Pelo teorema de Hahn-Banach, a aplicação 𝑖′ _{: 𝑍}′ _{−→ 𝑀}′ _{é sobrejetiva. Logo 𝑇}′ _{: 𝑍}′ _{−→ 𝑋}′ _é

sobrejetivo também.

(⇐) Reciprocamente, suponhamos que 𝑇′ _{seja sobrejetivo. Pelo teorema da aplicação aberta,}

existe 𝑟 > 0 tal que 𝐵𝑋′ ⊆ 𝑇′(𝑟𝐵_𝑍′). Seja 𝑥′ ∈ 𝑋′ com ‖𝑥′‖ = 1 então existe 𝑧′ ∈ 𝑟𝐵_𝑍′ com 𝑥′ = 𝑇′(𝑧′). Logo, para cada 𝑥 ∈ 𝑋 temos

‖𝑥‖= sup 𝑥′_∈𝑆 𝑋′ |𝑥′(𝑥)| ≤ sup 𝑧′_∈𝑟𝐵 𝑍′ |𝑇′(𝑧′)(𝑥)| = sup 𝑧′_∈𝑟𝐵 𝑍′ |𝑧′(𝑇 (𝑥))| ≤ 𝑟 ‖𝑇 (𝑥)‖ . Portanto pela Observação 1.2.13 concluímos que 𝑇 é um mergulho topológico.

1.3 Espaços quocientes

Definição 1.3.1. Sejam 𝑋 um K-espaço vetorial e 𝑌 um subespaço de 𝑋. O espaço quociente

𝑋/𝑌 é o conjunto constituído por elementos da forma 𝑥 + 𝑌, onde 𝑥 ∈ 𝑋.

Observação 1.3.2. É fácil verificar que 𝑋/𝑌 munido com as operações

• (𝑥 + 𝑌 ) + (𝑦 + 𝑌 ) := (𝑥 + 𝑦) + 𝑌, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 • 𝜆(𝑥 + 𝑌 ) := 𝜆𝑥 + 𝑌, para todo 𝜆 ∈ K,

é um espaço vetorial. Além disso, a aplicação quociente 𝜋 : 𝑋 −→ 𝑋/𝑌 definida por 𝜋(𝑥) = 𝑥 + 𝑌 para cada 𝑥 ∈ 𝑋

é linear.

Se 𝑋 for um espaço normado e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋, então a norma de 𝑋 induz uma norma natural no espaço quociente 𝑋/𝑌. Mais precisamente:

Teorema 1.3.3. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋, e seja

(21)

para cada 𝑥 ∈ 𝑋. Então

(𝑎) ‖𝑥 + 𝑌 ‖ = dist(𝑥, 𝑌 ) para cada 𝑥 ∈ 𝑋.

(𝑏) A função 𝑥 + 𝑌 → ‖𝑥 + 𝑌 ‖ é uma norma em 𝑋/𝑌.

(𝑐) 𝜋(𝐵𝑋) = 𝐵𝑋/𝑌. Em particular a aplicação quociente 𝜋 é contínua e aberta.

(𝑑) Se 𝑋 é Banach então 𝑋/𝑌 também é Banach. Demonstração. Veja [10, página 24].

Nesta dissertação sempre que considerarmos o quociente 𝑋/𝑌 estaremos considerando a norma em 𝑋/𝑌 induzida pela norma de 𝑋, e o símbolo 𝜋 indicará a aplicação quociente definida na Observação 1.3.2.

Teorema 1.3.4. Sejam 𝑋, 𝑍 espaços de Banach e 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; 𝑍). Se 𝑇 (𝑋) é fechado em 𝑍 então

𝑋/𝐾𝑒𝑟(𝑇 ) e 𝑇 (𝑋) são topologicamente isomorfos.

Demonstração. Seja 𝑄 : 𝑋 −→ 𝑋/𝐾𝑒𝑟(𝑇 ) a aplicação quociente. Então pelo teorema da aplicação aberta temos o seguinte diagrama

𝑋 𝑇 // 𝑄 𝑋/𝐾𝑒𝑟(𝑇 ) ≈ ?? 𝑇(𝑋)

cujo isomorfismo topológico dado no diagrama acima é

𝑆 : 𝑋/𝐾𝑒𝑟 (𝑇 ) −→ 𝑇 (𝑋) , onde 𝑆 (𝑥 + 𝐾𝑒𝑟 (𝑇 )) = 𝑇 (𝑥) para cada 𝑥 ∈ 𝑋.

1.4 Topologia fraca

Definição 1.4.1. Seja 𝑋 um espaço normado. A topologia fraca em 𝑋, denotada por 𝜎 (𝑋, 𝑋′) ,

é a topologia gerada pelos funcionais lineares contínuos 𝜙 ∈ 𝑋′_, _{ou seja, é a topologia menos fina}

em 𝑋 na qual todos os elementos de 𝑋′ _{permanecem contínuos.}

Quando uma sequência (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 em 𝑋 converge a um ponto 𝑥 ∈ 𝑋 na topologia fraca

escreveremos 𝑥𝑛 𝑤

(22)

Proposição 1.4.2. Sejam 𝑋 um espaço normado. Então:

(𝑎) Seja 𝑥0 ∈ 𝑋, os conjuntos da forma

𝑉𝐽,𝜀 = {𝑥 ∈ 𝑋; |𝜙𝑖(𝑥) − 𝜙 (𝑥0)| < 𝜀 para todo 𝑖 ∈ 𝐽}

onde 𝐽 é um conjunto finito, 𝜙𝑖 ∈ 𝑋′ para todo 𝑖 ∈ 𝐽 e 𝜀 > 0, formam uma base de vizinhanças

abertas de 𝑥0 para a topologia fraca.

(𝑏) Seja (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma sequência em 𝑋. Então 𝑥𝑛 𝑤

−→ 𝑥se, e somente se, 𝜙 (𝑥𝑛) −→ 𝜙 (𝑥) para todo

𝜙 ∈ 𝑋′.

Corolário 1.4.3. Sejam 𝑋 um espaço normado e (𝑥𝑛)

∞ 𝑛=1uma sequência em 𝑋. Se (𝑥𝑛) ∞ 𝑛=1converge a 𝑥 ∈ 𝑋 em norma então (𝑥𝑛) ∞ 𝑛=1 converge a 𝑥 na topologia 𝜎 (𝑋, 𝑋 ′_{) .}

Proposição 1.4.4. Seja (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma sequência em um espaço normado 𝑋. Se 𝑥𝑛 𝑤

−→ 𝑥 em 𝑋, então a sequência (‖𝑥𝑛‖)

∞

𝑛=1 é limitada.

Definição 1.4.5. Seja 𝑋 um espaço normado. Diremos que 𝑋 tem a propriedade de Schur se

cada sequência que converge fracamente a zero em 𝑋, converge a zero em norma.

Exemplo 1.4.6. ℓ1 é um espaço de Schur. Veja [11, página 57].

Definição 1.4.7. Seja 𝑋 um espaço normado. Diremos que uma sequência (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 em 𝑋 é

fracamente de Cauchy se a sequência (𝜙 (𝑥𝑛))

∞

𝑛=1 converge em K para todo 𝜙 ∈ 𝑋

′_.

Lema 1.4.8. Sejam 𝑋 um espaço normado e (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma sequência em 𝑋. Então (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é

uma sequência de Cauchy (fracamente de Cauchy) se, e somente se, para cada par de sequências estritamente crescentes (𝑚𝑗) ∞ 𝑗=1 e (𝑛𝑗) ∞ 𝑗=1 em N, a sequência (︁ 𝑥𝑚𝑗− 𝑥𝑛𝑗 )︁∞ 𝑗=1 converge a zero em 𝑋 (fracamente em 𝑋). Demonstração. (⇒) Seja (𝑥𝑛) ∞

𝑛=1 uma sequência de Cauchy (fracamente de Cauchy) em 𝑋. Sejam

(𝑚𝑗)

∞

𝑗=1 e (𝑛𝑗)

∞

𝑗=1 duas sequências estritamente crescentes em N, e seja 𝑈 uma vizinhança de zero

(na topologia fraca) em 𝑋. Seja 𝑛0 ∈ N tal que 𝑥𝑚− 𝑥𝑛 ∈ 𝑈 para todo 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0. Seja 𝑗0 ∈ N tal

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(⇐) Reciprocamente, suponhamos por absurdo que (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 não seja uma sequência de Cauchy

(fracamente de Cauchy) em 𝑋. Então existe uma vizinhança de zero (na topologia fraca) em 𝑋 tal que para cada 𝑛0 ∈ N, existem 𝑚, 𝑛 > 𝑛0 tais que 𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 ∈ 𝑈./ Sejam 𝑚1, 𝑛1 > 1 tais que

𝑥𝑚1 − 𝑥𝑛1 ∈ 𝑈./ Sejam 𝑚2, 𝑛2 > max {𝑚1, 𝑛1} tais que 𝑥𝑚2, 𝑥𝑛2 ∈ 𝑈./ Procedendo por indução obtemos sequências estritamente crescentes (𝑚𝑗)

∞

𝑗=1 e (𝑛𝑗)

∞

𝑗=1 em N tais que 𝑥𝑚𝑗 − 𝑥𝑛𝑗 ∈ 𝑈/ para

todo 𝑗 ∈ N. Logo (︁

𝑥𝑚𝑗− 𝑥𝑛𝑗

)︁∞

𝑗=1 não converge a zero.

Proposição 1.4.9. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Então 𝑋 tem a propriedade de Schur se, e

somente se, cada sequência fracamente de Cauchy em 𝑋, converge em norma a um ponto de 𝑋. Demonstração. (⇒) Como 𝑋 é Banach é suficiente provarmos que toda sequência fracamente de Cauchy em 𝑋 é de Cauchy em norma. Sejam (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma sequência fracamente de Cauchy

em 𝑋, (𝑚𝑗)

∞

𝑗=1 e (𝑛𝑗)

∞

𝑗=1 sequências em N estritamente crescentes. Pelo Lema 1.4.8 segue que

(︁

𝑥𝑚𝑗 − 𝑥𝑛𝑗

)︁∞

𝑗=1 converge fracamente a zero, como 𝑋 tem a propriedade de Schur concluímos que

(︁

𝑥𝑚𝑗 − 𝑥𝑛𝑗

)︁∞

𝑗=1 converge a zero em norma. Consequentemente segue do Lema 1.4.8 que (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é

de Cauchy em norma.

(⇐) Reciprocamente, suponhamos que (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 converge fracamente a zero. Em particular

(𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é fracamente de Cauchy, então pela hipótese existe 𝑥0 ∈ 𝑋 tal que 𝑥𝑛 −→ 𝑥0, em norma.

Em seguida, pelo Corolário 1.4.3 concluímos que 𝑥𝑛 𝑤

−→ 𝑥0. Portanto, para cada 𝜙 ∈ 𝑋′ temos

|𝜙(𝑥0)| = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑛−→∞lim 𝜙(𝑥𝑛) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒= 0.

Então pelo Corolário 1.2.3 concluímos que ‖𝑥0‖= sup

𝜙∈𝑆_𝑋′

|𝜙(𝑥0)| = 0.

Teorema 1.4.10. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝐶 um subconjunto convexo de 𝑋. Então o

fecho de 𝐶 na topologia da norma coincide com o fecho de 𝐶 na topologia fraca. Em particular, um subconjunto convexo é fechado na topologia fraca se, e somente se, é fechado na topologia da norma.

1.5 Topologia fraca-estrela

Para todo espaço normado 𝑋, podemos considerar seu dual 𝑋′ _{que sabemos ser um espaço}

de Banach, está também definido 𝑋′′_{:= (𝑋}′₎′_,_{chamado de segundo dual ou bidual de 𝑋. Há uma}

(24)

Proposição 1.5.1. Seja 𝑋 um espaço normado. O operador 𝐽𝑋 : 𝑋 −→ 𝑋′′ definido por

𝐽𝑋(𝑥)(𝜙) = 𝜙(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝜙 ∈ 𝑋′

é uma isometria linear, chamado mergulho canônico de 𝑋 em 𝑋′′_.

Definição 1.5.2. Seja 𝑋 um espaço normado. A topologia fraca-estrela no dual de 𝑋′ do espaço

normado 𝑋, denotada por 𝜎 (𝑋′_{, 𝑋}_{) , é a topologia em 𝑋}′ _{gerada pelas funções pertencentes ao}

conjunto 𝐽𝑋(𝑋) = {𝐽𝑋(𝑥) ; 𝑥 ∈ 𝑋} , ou seja, é a topologia menos fina em 𝑋′ em que todos os

elementos de 𝐽𝑋(𝑥) permanecem contínuos.

Quando uma sequência (𝜙𝑛)

∞

𝑛=1 em 𝑋

′ _{converge a 𝜙 ∈ 𝑋}′ _{na topologia fraca-estrela}

escre-veremos 𝜙𝑛 𝑤*

−→ 𝜙.

Proposição 1.5.3. Seja 𝑋 um espaço normado. Então:

(𝑎) Para cada 𝜙0 ∈ 𝑋′, os conjuntos da forma

𝑉𝐽,𝜀 = {𝜙 ∈ 𝑋′; |𝜙 (𝑥𝑖) − 𝜙0(𝑥𝑖)| < 𝜀 para todo 𝑖 ∈ 𝐽}

onde 𝐽 é um conjunto finito, 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 para todo 𝑖 ∈ 𝐽 e 𝜀 > 0, formam uma base de vizinhanças

abertas de 𝜙0 para a topologia fraca-estrela.

(𝑏) Seja (𝜙𝑛) ∞ 𝑛=1 uma sequência em 𝑋 ′_. _{Então 𝜙} 𝑛 𝑤*

−→ 𝜙. se, e somente se, 𝜙𝑛(𝑥) −→ 𝜙 (𝑥) para

todo 𝑥 ∈ 𝑋.

Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki 1.5.4. Seja 𝑋 um espaço normado. Então 𝐵𝑋′ é compacta na topologia fraca-estrela 𝜎(𝑋′_{, 𝑋}_{) de 𝑋}′_.

Teorema de Goldstine 1.5.5. Sejam 𝑋 um espaço de Banach e 𝐽𝑋 : 𝑋 −→ 𝑋′′ o mergulho

canônico. Então (𝑎) 𝐵𝑋′′ = 𝐽_𝑋(𝐵_𝑋) 𝜎(𝑋′′,𝑋′) . (𝑏) 𝑋′′ _{= 𝐽} 𝑋(𝑋) 𝜎(𝑋′′,𝑋′) .

(25)

Teorema de Kakutani 1.5.6. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Então 𝑋 é reflexivo se, e somente

se, 𝐵𝑋 é compacta na topologia fraca 𝜎 (𝑋, 𝑋′) .

Proposição 1.5.7. Seja 𝑋 um espaço normado. Então 𝑋 é separável se, e somente se, (𝐵𝑋′, 𝜎(𝑋′, 𝑋)) é metrizável.

1.6 Espaços duais

Definição 1.6.1. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subconjunto de 𝑋. O anulador de 𝑌 é

definido por

𝑌⊥= {𝑥′ ∈ 𝑋′_{; 𝑥}′_{(𝑦) = 0, ∀𝑦 ∈ 𝑌 } .}

Observemos que 𝑌⊥ ₌ ⋂︁

𝑦∈𝑌

𝐾𝑒𝑟(𝐽𝑋(𝑦)), portanto 𝑌⊥ é sempre fechado em 𝑋′.

Proposição 1.6.2. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço de 𝑋. Então 𝑌′ é

isometri-camente isomorfo a 𝑋′_/𝑌⊥_.

Demonstração. Sejam 𝑖 : 𝑌 −→ 𝑋 a aplicação inclusão , 𝑖′ o adjunto de 𝑖 e 𝑄 : 𝑋′ −→ 𝑋′_/𝑌⊥ _a

aplicação quociente. Então 𝐾𝑒𝑟(𝑖′_{) = 𝑌}⊥_, _{e pelo Teorema de Hahn-Banach concluímos que 𝑖}′ _é

sobrejetivo. Portanto pelo Teorema 1.3.4 temos o seguinte diagrama

𝑋′ 𝑖 ′ // 𝑄 𝑋′/𝑌⊥ ≈ ?? 𝑌′

onde o isomorfismo topológico no diagrama acima é dado por 𝑇 : 𝑋′_/𝑌⊥_{−→ 𝑌}′ _{onde 𝑇 (𝑥}′_+𝑌⊥_{) =}

(26)

Proposição 1.6.3. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço fechado. Então (𝑋/𝑌 )′ é

isometricamente isomorfo a 𝑌⊥_.

Demonstração. Seja 𝜋′ : (𝑋/𝑌 )′ −→ 𝑋′ _{o adjunto da aplicação quociente. Então 𝜋}′ _{é injetor e}

𝜋′(︁(𝑋/𝑌 )′)︁= 𝑌⊥. Portanto, pelo Teorema da Aplicação Aberta temos o seguinte diagrama

𝑋′ 𝑌⊥ 𝑖 __ 𝜋 (𝑋/𝑌 )′ ′ oo ≈

onde o isomorfismo topológico no diagrama acima é dado por 𝑇𝑌 = 𝜋′ : (𝑋/𝑌 )

′

−→ 𝑌⊥_. _Além

disso, não é díficil verificar que 𝑇𝑌 é uma isometria.

Corolário 1.6.4. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço de 𝑋. Então(︁𝑋′/𝑌⊥)︁′ e 𝑌⊥⊥ são isometricamente isomorfos.

Demonstração. Seja 𝑄 : 𝑋′ −→ 𝑋′_/𝑌⊥ _{a aplicação quociente, então pela Proposição 1.6.3}

con-cluímos que o operador 𝑇𝑌⊥ = 𝑄′ :

(︁ 𝑋′/𝑌⊥)︁′ −→ 𝑌⊥⊥ _{definido por} 𝑇_𝑌⊥(𝜙) = 𝑄 (𝜙) para cada 𝜙 ∈ (︁ 𝑋/𝑌⊥)︁′ é um isomorfismo isométrico.

Corolário 1.6.5. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço de 𝑋. Então 𝑌′′ é

topologica-mente isomorfo a 𝑌⊥⊥_.

Demonstração. Seja 𝑇 : 𝑋′/𝑌⊥ −→ 𝑌′ _{o isomorfismo isométrico definido na Proposição 1.6.2,}

então pela Proposição 1.2.15 o operador 𝑇′ _{: 𝑌}′′ _−→ (︁_𝑋′_/𝑌⊥)︁′ _{também é um isomorfismo}

iso-métrico. Além disso, segue do Corolário 1.6.4 que 𝑇𝑌⊥ :

(︁

𝑋′/𝑌⊥)︁′ −→ 𝑌⊥⊥ _{é um isomorfismo}

isométrico. Por fim, notemos que 𝑇𝑌⊥∘ 𝑇′ : 𝑌′′ −→ 𝑌⊥⊥ é um isomorfismo isométrico e que para cada 𝑦′′ _{∈ 𝑌}′′ _{e 𝑥}′ _{∈ 𝑋}′ _{temos 𝑇}

𝑌⊥ ∘ 𝑇′(𝑦′′) (𝑥′) = 𝑦′′

(︁

𝑥′_|𝑌)︁.

1.7 Bases de Schauder

Definição 1.7.1. Uma sequência (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1em um espaço normado 𝑋 é chamada de base de

(27)

𝑥=

∞

∑︁

𝑛=1

𝑎𝑛𝑥𝑛

onde 𝑎𝑛 ∈ K para todo 𝑛 ∈ N, e a série converge em norma.

Observação 1.7.2. A base de Schauder (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é dita normalizada se ‖𝑥𝑛‖= 1 para cada 𝑛 ∈ N.

Exemplo 1.7.3. Consideremos os espaços 𝑐0 e ℓ𝑝, para 𝑝 ∈ [1, ∞) . Seja 𝑒𝑛 = (𝛿𝑛𝑗)

∞

𝑗=1, onde

𝛿𝑛𝑛 = 1 e 𝛿𝑛𝑗 = 0 se 𝑛 ̸= 𝑗, então a sequência (𝑒𝑛)

∞

𝑛=1 forma uma base de Schauder de 𝑐0 e ℓ𝑝.

Observação 1.7.4. Se (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma base de Schauder de 𝑋, então os funcionais 𝑥

′ 𝑛 : 𝑋 −→ K definidos por 𝑥′_𝑛 (︃_∞ ∑︁ 𝑛=1 𝑎𝑛𝑥𝑛 )︃ = 𝑎𝑛

e os operadores 𝑃𝑛: 𝑋 −→ 𝑋 definidos por

𝑃𝑛 (︃ ∞ ∑︁ 𝑛=1 𝑎𝑛𝑥𝑛 )︃ =∑︁𝑛 𝑗=1 𝑎𝑗𝑥𝑗,

são lineares. Os funcionais 𝑥′

𝑛 são chamados de funcionais coordenados.

Proposição 1.7.5. Seja (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma base de Schauder para o espaço de Banach 𝑋. Então existe

uma constante positiva 𝐶, tal que

‖𝑃𝑛(𝑥)‖ ≤ 𝐶 ‖𝑥‖ e |𝑥′𝑛(𝑥)| ‖𝑥𝑛‖ ≤2𝐶 ‖𝑥‖ para cada 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑛 ∈ N.

Demonstração. Seja 𝑍 o espaço vetorial sobre K de todas as sequências 𝑧 = (𝑧𝑛)

∞

𝑛=1 em K, para

quais lim_{𝑛−→∞}∑︁𝑛

𝑗=1

𝑧𝑗𝑥𝑗 existe. Então, sup 𝑛∈N ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑧𝑗𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦

< ∞, para cada 𝑧 ∈ 𝑍, e portanto, a função ‖ ‖_𝑍 : 𝑍 −→ R definida por ‖𝑧‖_𝑍 = sup 𝑛∈N ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑧𝑗𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ,

define uma norma em 𝑍. Além disso, não é díficil verificar que 𝑍 é um espaço de Banach. Em seguida, consideremos o operador 𝑇 : 𝑍 −→ 𝑋 definido por

𝑇 (𝑧) = ∞ ∑︁ 𝑗=1 𝑧𝑗𝑥𝑗 para cada 𝑧 ∈ 𝑍. Como (𝑥𝑛) ∞

𝑛=1 é base de Schauder de 𝑋, concluímos que 𝑇 é uma aplicação linear bijetora, e para

(28)

⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑧𝑗𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ≤sup 𝑛∈N ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑧𝑗𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ = ‖𝑧‖𝑍, portanto ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ∞ ∑︁ 𝑛=1 𝑧𝑗𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ≤ ‖𝑧‖_𝑍.

Logo, 𝑇 é contínuo, pelo teorema da aplicação aberta concluímos que 𝑇 é um isomorfismo topoló-gico. Assim, ‖𝑃𝑛(𝑥)‖ = ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑥′_𝑗(𝑥) 𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ≤sup 𝑛∈N ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑥′_𝑗(𝑥) 𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ =⃦ ⃦ ⃦(𝑥 ′ 𝑛=1(𝑥)) ∞ 𝑛=1 ⃦ ⃦ ⃦_𝑍 = ⃦ ⃦ ⃦𝑇 −1_(𝑥)⃦ ⃦ ⃦ ≤ ⃦ ⃦ ⃦𝑇 −1⃦ ⃦ ⃦‖𝑥‖ e |𝑥′ 𝑛(𝑥)| ‖𝑥𝑛‖= ‖𝑃𝑛(𝑥) − 𝑃𝑛−1(𝑥)‖ ≤ ‖𝑃𝑛(𝑥)‖ + ‖𝑃𝑛−1(𝑥)‖ ≤ 2 ‖𝑇−1(𝑥)‖ ≤ 2 ‖𝑇−1‖ ‖𝑥‖

Definição 1.7.6. Diremos que uma sequência (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 em 𝑋 é uma sequência básica em 𝑋 se

(𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma base de Schauder do subespaço fechado 𝑀 = [𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N].

Definição 1.7.7. Sejam (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 e (𝑧𝑛)

∞

𝑛=1 bases de Schauder de 𝑋 e 𝑍 respectivamente. Diremos

que (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 e (𝑧𝑛)

∞

𝑛=1 são equivalentes se existe um isomorfismo topológico 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑍 tal que

𝑇 (𝑥𝑛) = 𝑧𝑛.

Teorema 1.7.8. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Se (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1é uma sequência básica em 𝑋, e (𝑦𝑛)

∞

𝑛=1

é uma sequência em 𝑋 tal que

∞ ∑︁ 𝑛=1 ‖𝑥′_𝑛‖ ‖𝑥𝑛− 𝑦𝑛‖ <1 (1.7.1) então (𝑦𝑛) ∞

𝑛=1 é uma sequência básica em 𝑋 que é equivalente a (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1.

Demonstração. Se 𝑀 = [𝑥𝑛: 𝑛 ∈ N] então (𝑥′𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência em 𝑀

′_._{Pelo teorema de}

Hahn-Banach para cada 𝑛 ∈ N existe 𝜙𝑛 ∈ 𝑋′ extensão de 𝑥′𝑛 tal que ‖𝑥

′

𝑛‖= ‖𝜙𝑛‖ . Seja 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑋

o operador definido por

𝑇(𝑥) =

∞

∑︁

𝑛=1

𝜙𝑛(𝑥) (𝑥𝑛− 𝑦𝑛) para todo 𝑥 ∈ 𝑋.

Por 1.7.1 concluímos que ‖𝑇 ‖ ≤

∞ ∑︁ 𝑛=1 ‖𝑥′_𝑛‖ ‖𝑥𝑛− 𝑦𝑛‖ <1. Assim ∑︁∞ 𝑛=0 ‖𝑇𝑛_{‖ ≤} ∞ ∑︁ 𝑛=0 ‖𝑇 ‖𝑛= (1 − ‖𝑇 ‖)−1, e a série ∞ ∑︁ 𝑛=0 𝑇𝑛 converge em ℒ (𝑋; 𝑋) . Como

(29)

(𝐼 − 𝑇 ) (︃ _𝑘 ∑︁ 𝑛=0 𝑇𝑛 )︃ = (︃ _𝑘 ∑︁ 𝑛=0 𝑇𝑛 )︃ (𝐼 − 𝑇 ) = 𝐼 − 𝑇𝑘+1_, segue que (𝐼 − 𝑇 ) (︃∞ ∑︁ 𝑛=0 𝑇𝑛 )︃ = (︃∞ ∑︁ 𝑛=0 𝑇𝑛 )︃ (𝐼 − 𝑇 ) = 𝐼. (1.7.2) logo 𝐼 − 𝑇 é invertível em ℒ (𝑋; 𝑋) e (𝐼 − 𝑇 )−1 ₌∑︁∞ 𝑘=0 𝑇𝑘. Além disso, (𝐼 − 𝑇 ) (𝑥𝑛) = 𝑥𝑛− ∞ ∑︁ 𝑛=0 𝜙𝑛(𝑥𝑛) (𝑥𝑛− 𝑦𝑛) = 𝑥𝑛−(𝑥𝑛− 𝑦𝑛) = 𝑦𝑛.

Assim, 𝐼 − 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑋 é um isomorfismo topológico e (𝐼 − 𝑇 ) (𝑥𝑛) = 𝑦𝑛 para cada 𝑛 ∈ N.

Se 𝑁 = [𝑦𝑛 : 𝑛 ∈ N], então a restrição (𝐼 − 𝑇 )|𝑀 é um isomorfismo topológico entre 𝑀 e 𝑁. Como

(𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma base de Schauder de 𝑀, segue que (𝑦𝑛)

∞

𝑛=1é uma base de Schauder de 𝑁 equivalente

a (𝑦𝑛)

∞

𝑛=1.

Definição 1.7.9. Seja (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1uma base de Schauder de 𝑋. Diremos que (𝑦𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência

de blocos de (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 se cada 𝑦𝑛 é não nulo e pode ser escrito na forma

𝑦𝑛 = 𝑞𝑛 ∑︁ 𝑗=𝑝𝑛 𝑎𝑗𝑥𝑗, onde 𝑝1 ≤ 𝑞1 < 𝑝2 ≤ 𝑞2 < 𝑝3 ≤ 𝑞3 < . . .

Teorema 1.7.10. (Pelczynski, 1960) Seja (𝑒𝑛)

∞

𝑛=1 a base canônica de ℓ1.Se (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma

sequên-cia normalizada de blocos de (𝑒𝑛)

∞

𝑛=1 e 𝑀 = [𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N], então (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência básica

em ℓ1 que é isometricamente equivalente à sequência (𝑒𝑛)

∞

𝑛=1.

Demonstração. Por hipótese cada 𝑥𝑛 pode ser escrito na forma

𝑥𝑛= 𝑞𝑛

∑︁

𝑖=𝑝𝑛

𝑎(𝑛)_𝑖 𝑒𝑖 ̸= 0

onde 𝑝1 ≤ 𝑞1 < 𝑝2 ≤ 𝑞2 < . . . . Sejam 𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑘 escalares então

⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑐𝑗𝑥𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ = ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑐𝑗 ⎛ ⎝ 𝑞𝑗 ∑︁ 𝑖=𝑝𝑗 𝑎(𝑗)_𝑖 𝑒𝑖 ⎞ ⎠ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦

(30)

= ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑞𝑗 ∑︁ 𝑖=𝑝𝑗 𝑐𝑗𝑎 (𝑗) 𝑖 𝑒𝑖 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ = ∑︁𝑘 𝑗=1 𝑞𝑗 ∑︁ 𝑖=𝑝𝑗 ⃒ ⃒ ⃒𝑐𝑗𝑎 (𝑗) 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ = ∑︁𝑘 𝑗=1 |𝑐𝑗| ⎛ ⎝ 𝑞𝑗 ∑︁ 𝑖=𝑝𝑗 ⃒ ⃒ ⃒𝑎 (𝑗) 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⎞ ⎠ = ∑︁𝑘 𝑗=1 |𝑐𝑗| = ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑐𝑗𝑒𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦

Em seguida, observemos que ∑︁∞

𝑛=1

𝑐𝑛𝑥𝑛converge se, e somente se,

∞

∑︁

𝑛=1

|𝑐𝑛| < ∞.Então é claro que

o operador 𝑇 : ℓ1 −→ 𝑀 definido por

𝑇 ⎛ ⎝ ∞ ∑︁ 𝑗=1 𝑐𝑗𝑒𝑗 ⎞ ⎠= ∞ ∑︁ 𝑛=1 𝑐𝑛𝑥𝑛 para cada (𝑐𝑛) ∞ 𝑛=1 ∈ ℓ1 é um isomorfismo isométrico.

Teorema ℓ1 de Rosenthal 1.7.11. (Rosenthal,1974; Dor,1975) Seja (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma sequência

li-mitada em um espaço de Banach 𝑋. Então, ou (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 admite uma subsequência fracamente de

Cauchy ou (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 admite uma subsequência básica que é equivalente à base de Schauder canônica

de ℓ1.

Corolário 1.7.12. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Então, ou 𝑋 contém um subespaço

topologi-camente isomorfo a ℓ1 ou cada sequência limitada em 𝑋 admite uma subsequência fracamente de

Cauchy.

(31)

Definição 1.7.13. Seja 𝑋 um espaço normado. Diremos que 𝑋 não contém ℓ1 se não existe

mergulho de ℓ1 em 𝑋, e escreveremos ℓ1 ̸⊂ 𝑋.

Lema de Lohman 1.7.14. Sejam 𝑋 um espaço de Banach e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋 tal

que ℓ1 ̸⊂ 𝑌. Então cada sequência fracamente de Cauchy em 𝑋/𝑌 tem uma subsequência que é

imagem de uma sequência fracamente de Cauchy em 𝑋 sob a aplicação quociente 𝜋. Demonstração. Seja (𝑥𝑛+ 𝑌 )

∞

𝑛=1 uma sequência fracamente de Cauchy em 𝑋/𝑌 (logo limitada,

veja Proposição 1.4.4). Suponhamos por absurdo que nenhuma subsequência de (𝑥𝑛+ 𝑌 )

∞

𝑛=1 é

a imagem sob 𝜋 de uma sequência fracamente de Cauchy em 𝑋. Em seguida, seja (𝑠𝑛)

∞

𝑛=1 uma

sequência limitada em 𝑋 tal que 𝜋 (𝑠𝑛) = 𝑥𝑛 + 𝑌 para cada 𝑛 ∈ N. Então (𝑠𝑛)

∞

𝑛=1 não possui

subsequência fracamente de Cauchy, portanto pelo teorema ℓ1 de Rosenthal, (𝑠𝑛)

∞

𝑛=1 admite uma

subsequência básica que é equivalente à base de Schauder canônica de ℓ1, por simplicidade

indica-remos a subsequência por (𝑠𝑛)

∞

𝑛=1.

Para cada 𝑛 ∈ N, colocamos 𝑣𝑛 = 𝑥2𝑛 − 𝑥2𝑛−1, então (𝑣𝑛+ 𝑌 )

∞

𝑛=1 converge fracamente a zero.

Logo, existem uma sequência crescente (𝑝𝑛)

∞

𝑛=1 de inteiros positivos e uma sequência (𝑤𝑛)

∞

𝑛=1 tal

que (𝑤𝑛+ 𝑌 )

∞

𝑛=1 converge a zero em norma e 𝑤𝑛 ∈ 𝑐𝑜({𝑣𝑘+ 𝑌 : 𝑝𝑛≤ 𝑘 ≤ 𝑝𝑛+1−1}) para cada

𝑛 ∈ N. Se 𝑤𝑛= 𝑝𝑛+1−1 ∑︁ 𝑖=𝑝𝑛 𝑎𝑖(𝑣𝑖+ 𝑌 ) consideremos os vetores 𝑢𝑛= 𝑝𝑛+1−1 ∑︁ 𝑖=𝑝𝑛 𝑎𝑖 2 (𝑠2𝑛− 𝑠2𝑛−1)

Seja 𝑇 : [𝑠𝑛: 𝑛 ∈ N] −→ ℓ1 um isomorfismo topológico tal que 𝑇 (𝑠𝑛) = 𝑒𝑛 para cada 𝑛 ∈ N.

Logo, 𝑇 leva (𝑢𝑛) ∞ 𝑛=1 em uma sequência (𝑧𝑛) ∞ 𝑛=1 de blocos normalizados de (𝑒𝑛) ∞ 𝑛=1, então pela Proposição 1.7.10 (𝑧𝑛) ∞

𝑛=1 é uma sequência básica que é isometricamente equivalente à base de

Schauder canônica de ℓ1,consequentemente (𝑢𝑛)

∞

𝑛=1é equivalente a (𝑒𝑛)

∞

𝑛=1.Além disso, para cada

𝑛 ∈ N temos 𝜋 (𝑢𝑛) = 1₂𝑤𝑛+ 𝑌 = 1₂(𝑤𝑛+ 𝑌 ) . Seja (𝑢′𝑛)

∞

𝑛=1 a sequência de funcionais coeficientes,

então 𝑢′

𝑛 ∈[𝑢𝑛: 𝑛 ∈ N]

′

para cada 𝑛 ∈ N e 𝐶 = sup

𝑛∈N

‖𝑢′

𝑛‖ < ∞.

Como dist (𝑢𝑛, 𝑌) =

1

2dist (𝑤𝑛, 𝑌) , segue que dist (𝑢𝑛, 𝑌) −→ 0, portanto existem uma sequência

crescente (𝑛𝑘)

∞

𝑘=1 de inteiros positivos e uma sequência (𝑦𝑘)

∞

𝑘=1 em 𝑌 tal que

‖𝑢𝑛𝑘− 𝑦𝑘‖ < 𝐶

−1₂−𝑘−1 _{para todo 𝑘 ∈ N,}

(32)

∞ ∑︁ 𝑘=1 ⃦ ⃦ ⃦𝑢 ′ 𝑛𝑘 ⃦ ⃦ ⃦‖𝑢𝑛𝑘− 𝑦𝑘‖ <1,

então pelo Teorema 1.7.8 concluímos que (𝑦𝑘)

∞

𝑘=1 é uma sequência básica equivalente a (𝑢𝑛𝑘)

∞

𝑘=1,

(33)

Capítulo 2

Propriedades dos Três Espaços

Uma problema dos três espaços tem a seguinte forma: Sejam 𝒫 uma propriedade concernente a espaços de Banach, 𝑌 um subespaço de um espaço de Banach 𝑋. É verdade que 𝑋 tem a propriedade 𝒫 sempre que 𝑌 e 𝑋/𝑌 tem a propriedade 𝒫 ? Quando a resposta para esta pergunta for positiva diremos que 𝒫 é uma propriedade dos três espaços ou abreviadamente uma propriedade 3𝑆𝑃.

Quando uma propriedade 𝒫 é uma propriedade 3SP, isso significa que, apesar da complexidade que a combinação de subespaços e quocientes podem ter a estrutura relacionada com a propriedade 𝒫 é mantida. Aliás, essa teoria fornece uma maneira de provar que certos espaços possuem a propriedade 𝒫.

2.1 Espaços separáveis

Definição 2.1.1. Um espaço normado 𝑋 é dito separável se existir em 𝑋 um subconjunto denso

enumerável.

Exemplo 2.1.2. Seja 𝑝 ∈ [1, ∞) . Então ℓ𝑝 e 𝑐0 são separáveis. Veja [2, página 20].

Contra-Exemplo 2.1.3. ℓ∞ não é separável. Veja [2, página 21].

Proposição 2.1.4. Sejam 𝑋 um espaço normado separável e 𝑌 um subconjunto de 𝑋. Então 𝑌

também é separável.

Demonstração. Seja 𝒟𝑋 = {𝑥𝑛}

∞

𝑛=1 um subconjunto denso em 𝑋. Em seguida, para cada 𝑚 ∈ N,

(34)

𝑦𝑛,𝑚 ∈ 𝐵𝑋 (︂ 𝑥𝑛; 1 𝑚 )︂ ∩ 𝑌, quando esta interseção for não vazia.

Portanto para provarmos que 𝑌 é separável é suficiente verificarmos que 𝒟𝑌 = {𝑦𝑛,𝑚}

∞

𝑛,𝑚=1 é

denso em 𝑌. Dados 𝑦 ∈ 𝑌 e 𝜀 > 0, seja 𝑚 ∈ N tal que 1 𝑚 <

𝜀

2. Pela densidade de 𝒟𝑋 em 𝑋 existe

𝑥𝑛∈ 𝒟𝑋 tal que ‖𝑥𝑛− 𝑦‖ < 1 𝑚. Assim ‖𝑦𝑛,𝑚− 𝑦‖ ≤ ‖𝑦𝑛,𝑚− 𝑥𝑛‖+ ‖𝑥𝑛− 𝑦‖ < 1 𝑚 + 1 𝑚 < 𝜀.

A prova do item (𝑏) do próximo teorema é baseada em [9, página 112].

Teorema 2.1.5. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋.

(𝑎) Se 𝑋 é separável então 𝑌 e 𝑋/𝑌 são separáveis.

(𝑏) Se 𝑌 e 𝑋/𝑌 são separáveis então 𝑋 é separável (separabilidade é uma propriedade 3SP). Demonstração. (𝑎) Suponhamos que 𝑋 seja separável, e seja 𝒟𝑋 um subconjunto enumerável denso

em 𝑋. Então pela Proposição 2.1.4 𝑌 é separável. Como 𝜋 é contínua é claro que 𝜋(𝒟𝑋) é denso

em 𝑋/𝑌.

(𝑏) Suponhamos que 𝑌 e 𝑋/𝑌 sejam separáveis, e sejam 𝒟𝑌 e 𝒟𝑋/𝑌 subconjuntos enumeráveis

de 𝑋 tais que 𝒟𝑌 é denso em 𝑌 e 𝜋(𝒟𝑋/𝑌) é denso em 𝑋/𝑌.

É claro que 𝒟𝑋 = 𝒟𝑌 + 𝒟𝑋/𝑌 é enumerável, portanto para provarmos que 𝑋 é separável é

suficiente verificarmos que 𝒟𝑋 é denso em 𝑋. Sejam 𝑥0 ∈ 𝑋 e 𝜀 > 0. Como 𝜋(𝒟𝑋/𝑌) é denso em

𝑋/𝑌 existe 𝑧1 ∈ 𝒟𝑋/𝑌 tal que

‖(𝑥0− 𝑧1) + 𝑌 ‖ = ‖(𝑥0 + 𝑌 ) − (𝑧1+ 𝑌 )‖ <

𝜀

2. (2.1.1)

Pela desigualdade 2.1.1 existe 𝑦 ∈ 𝑌 tal que ‖(𝑥0− 𝑧1) − 𝑦‖ <

𝜀 2. Em seguida tomamos 𝑦1 ∈ 𝒟𝑌 tal que ‖𝑦 − 𝑦1‖ <

𝜀

2. Por fim, basta observarmos que ‖𝑥0−(𝑧1+ 𝑦1)‖ ≤ ‖𝑦 − 𝑦1‖+ ‖𝑥0− 𝑧1− 𝑦‖

< 𝜀 2 +

𝜀 2 = 𝜀.

(35)

Exemplo 2.1.6. 𝑐0 é um subespaço fechado e separável de ℓ∞,segue ainda do Exemplo 2.1.3 que

ℓ∞ não é separável então pelo Teorema 2.1.5 item (𝑏) concluímos que ℓ∞/𝑐0 não é separável.

2.2 Espaços completos

Exemplo 2.2.1. Seja 𝑝 ∈ [1, ∞) . Então 𝑐0 e ℓ𝑝 são espaços completos. Veja [2, página. 2].

Contra-Exemplo 2.2.2. 𝑐00 não é completo. Veja [2, página 7].

A prova do item (𝑏) do próximo teorema é baseada em [9, página 54].

Teorema 2.2.3. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋.

(𝑎) Se 𝑋 é completo então 𝑌 e 𝑋/𝑌 são completos..

(𝑏) Se 𝑌 e 𝑋/𝑌 são completos então 𝑋 é completo. (completude é uma propriedade 3SP).

Demonstração. (𝑎) Suponhamos que 𝑋 seja um espaço de Banach. Então pelo Teorema 1.3.3 item (𝑑) temos que 𝑋/𝑌 é um espaço de Banach. Além disso, todo subespaço fechado de um espaço de Banach é um espaço de Banach (Teorema 1.2.1).

(𝑏) Suponhamos que 𝑌 e 𝑋/𝑌 são espaços de Banach. Seja (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 uma sequência de Cauchy

em 𝑋, então (𝑥𝑛+ 𝑌 )

∞

𝑛=1 é uma sequência de Cauchy em 𝑋/𝑌. O fato de 𝑋/𝑌 ser Banach nos diz

que existe 𝑥 ∈ 𝑋 tal que lim_{𝑛−→∞}(𝑥𝑛+ 𝑌 ) = 𝑥 + 𝑌.

Em seguida, para cada 𝑛 ∈ N encontramos 𝑧𝑛 ∈ 𝑋 tal que ‖𝑧𝑛‖ ≤ ‖(𝑥𝑛− 𝑥) + 𝑌 ‖ + 2−𝑛 e

𝑥𝑛− 𝑥 − 𝑧𝑛 ∈ 𝑌, consequentemente

lim

𝑛−→∞𝑧𝑛 = 0. (2.2.1)

Como (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência de Cauchy e (𝑧𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência convergente, segue que

(𝑥𝑛− 𝑥 − 𝑧𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência de Cauchy em 𝑌. Pelo fato de 𝑌 ser Banach existe 𝑦 ∈ 𝑌 tal

que

lim

𝑛−→∞(𝑥𝑛− 𝑥 − 𝑧𝑛) = 𝑦. (2.2.2)

Por 2.2.1 e 2.2.2 concluímos que (𝑥𝑛)

∞

𝑛=1 é uma sequência convergente em 𝑋, visto que

lim

(36)

2.3 Espaços reflexivos

Definição 2.3.1. Um espaço normado 𝑋 é dito reflexivo se o mergulho canônico for sobrejetor,

ou seja 𝐽𝑋(𝑋) = 𝑋′′.

Exemplo 2.3.2. Seja 𝑋 um espaço normado de dimensão finita, então 𝑋 é reflexivo. Exemplo 2.3.3. Seja 𝑝 ∈ [1, ∞) . Então ℓ𝑝 é reflexivo. Veja [2, página 93].

Contra-Exemplo 2.3.4. ℓ1 e 𝑐0 não são reflexivos. Veja [2, página 91].

Proposição 2.3.5. Se 𝑋 é reflexivo então cada subespaço fechado de 𝑋 também é reflexivo.

Lema 2.3.6. Sejam 𝑋 e 𝑍 espaços normados. Se 𝑋 e 𝑍 são topologicamente isomorfos então, 𝑋

é reflexivo se, e somente se, 𝑍 é reflexivo.

Demonstração. Sejam 𝐽𝑋 : 𝑋 −→ 𝑋′′ e 𝐽𝑍 : 𝑍 −→ 𝑍′′ os mergulhos canônicos e 𝑇 : 𝑋 −→ 𝑍

um isomorfismo topológico. Pela Proposição 1.2.15 podemos concluir que 𝑇′′ _{: 𝑋}′′ _{−→ 𝑍}′′ _{é um}

isomorfismo topológico. Observemos ainda que, para cada 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑧′ _{∈ 𝑍}′ _temos

𝑇′′∘ 𝐽𝑋(𝑥) (𝑧′) = 𝐽𝑋(𝑥) (𝑇′(𝑧′)) = 𝑇′(𝑧′) (𝑥) = 𝑧′(𝑇 (𝑥)) = 𝐽𝑍∘ 𝑇 (𝑥) (𝑧′) .

Portanto, o diagrama abaixo é comutativo 𝑋 𝑇 // 𝐽𝑋 𝑍 𝐽𝑍 𝑋′′ 𝑇′′ //𝑍′′ Logo, 𝐽𝑋 é sobrejetor se, e somente se, 𝐽𝑍 é sobrejetor.

Proposição 2.3.7. Seja 𝑋 um espaço de Banach. Então 𝑋 é reflexivo se, e somente se, 𝑋′ é

reflexivo.

Demonstração. Sejam 𝐽𝑋 : 𝑋 −→ 𝑋′′, 𝐽𝑋′ : 𝑋′ −→ 𝑋′′′ os mergulhos canônicos e o operador adjunto de 𝐽𝑋,(𝐽𝑋)′ : 𝑋′′′ −→ 𝑋′.

(⇒) Suponhamos que 𝑋 seja reflexivo. Dado 𝑥′′′ _{∈ 𝑋}′′′_, _{seja 𝑥}′ _{= (𝐽}

𝑋)′(𝑥′′′). Então para

(37)

𝐽𝑋′(𝑥′)(𝐽_𝑋(𝑥)) = 𝐽_𝑋(𝑥) (𝑥′) = 𝑥′(𝑥) = (𝐽_𝑋)′(𝑥′′′) (𝑥) = 𝑥′′′(𝐽_𝑋(𝑥)). Como 𝐽𝑋 é sobrejetor, segue que 𝑥′′′ = 𝐽𝑋′(𝑥′).

(⇐) Reciprocamente suponhamos 𝑋′ _{reflexivo. Segue da primeira parte desta Proposição}

que 𝑋′′ _{é reflexivo, além disso, 𝐽}

𝑋(𝑋) é um subespaço fechado de 𝑋′′, visto que 𝑋 é Banach.

Logo, pela Proposição 2.3.5 𝐽𝑋(𝑋) é reflexivo, em seguida aplicamos o Lema 2.3.6 aos espaços 𝑋

e 𝐽𝑋(𝑋) e concluímos que 𝑋 é reflexivo.

Lema 2.3.8. Sejam 𝑋 um espaço normado e 𝑌 um subespaço de 𝑋. Se 𝑌 for reflexivo então

𝐽𝑋(𝑌 ) = 𝑌⊥⊥.

Demonstração. Seja 𝑇𝑌⊥∘ 𝑇′ : 𝑌′′ −→ 𝑌⊥⊥ o isomorfismo isométrico definido no Corolário 1.6.5. Então para cada 𝑥′′ _{∈ 𝑌}⊥⊥_, _{existe 𝑦}′′ _{∈ 𝑌}′′ _{tal que 𝑥}′′ _{= 𝑇}

𝑌⊥∘ 𝑇′(𝑦′′). Além disso, 𝑌 é reflexivo, logo existe 𝑦 ∈ 𝑌 com 𝐽𝑌(𝑦) = 𝑦′′.Portanto para cada 𝑥′ ∈ 𝑋′, temos

𝑥′′(𝑥′) = 𝑇_𝑌⊥∘ 𝑇′(𝑦′′)(𝑥′) = 𝑦′′(𝑥′_|𝑌) = 𝐽_𝑌(𝑦)(𝑥′_|𝑌) = 𝑥′(𝑦) = 𝐽_𝑋(𝑦)(𝑥′), isso prova que 𝑌⊥⊥_{⊂ 𝐽}

𝑋(𝑌 ).

Por outro lado, seja 𝑦 ∈ 𝑌. Então para cada 𝑥′ _{∈ 𝑌}⊥ _{temos 𝐽}

𝑋(𝑦) (𝑥′) = 𝑥′(𝑦) = 0. Portanto,

𝐽𝑋(𝑦) ∈ 𝑌⊥⊥, mais precisamente concluímos que 𝐽𝑋(𝑌 ) ⊂ 𝑌⊥⊥.

Teorema 2.3.9. Sejam 𝑋 um espaço de Banach e 𝑌 um subespaço fechado de 𝑋.

(𝑎) Se 𝑋 é reflexivo então 𝑌 e 𝑋/𝑌 são reflexivos.

(𝑏) Se 𝑌 e 𝑋/𝑌 são reflexivos então 𝑋 é reflexivo (reflexividade é uma propriedade 3SP).

Demonstração. (𝑎) Suponhamos que 𝑋 seja reflexivo, segue da Proposição 2.3.5 que 𝑌 é reflexivo. Pela hipótese de 𝑋 ser Banach segue que 𝑋/𝑌 também é um espaço de Banach, assim pela Proposição 2.3.7 provar que 𝑋/𝑌 é reflexivo é equivalente a provar que (𝑋/𝑌 )′ _{é reflexivo.}

Já observamos (na Proposição 1.6.3) que 𝑌⊥ _{e (𝑋/𝑌 )}′ _{são isometricamente isomorfos, além}

disso, 𝑌⊥ _{é reflexivo, por ser um subespaço fechado de um espaço reflexivo. Por fim, segue do}

Lema 2.3.6 que (𝑋/𝑌 )′ _{é reflexivo.}

(𝑏) Suponhamos que 𝑌 e 𝑋/𝑌 sejam reflexivos. Seja 𝑇𝑌 : (𝑋/𝑌 )

′

−→ 𝑌⊥ _{o isomorfismo}

isométrico, definido na Proposição 1.6.3

Agora observemos que para cada 𝑥′′ _{∈ 𝑋}′′_,_{tem-se que 𝑥}′′_{∘ 𝑇}

𝑌 ∈(𝑋/𝑌 )′′.Como 𝑋/𝑌 reflexivo,

existe 𝑥0 ∈ 𝑋 tal que 𝑥′′∘ 𝑇𝑌 = 𝐽𝑋/𝑌(𝑥0 + 𝑌 ). Então para cada 𝑥′ ∈ 𝑌⊥ temos

𝑥′′(𝑥′) = (𝑥′′∘ 𝑇𝑌)

(︁

𝑇_𝑌−1(𝑥′))︁= 𝐽𝑋/𝑌 (𝑥0+ 𝑌 )

(︁

(38)

Portanto 𝑥′′ _{− 𝐽}

𝑋(𝑥0) ∈ 𝑌⊥⊥. Pelo fato de 𝑌 ser reflexivo, o Lema 2.3.8 garante que existe

𝑦0 ∈ 𝑌 tal que 𝐽𝑋(𝑦0) = 𝑥′′− 𝐽𝑋(𝑥0), ou seja, 𝑥′′ = 𝐽𝑋(𝑥0+ 𝑦0).

Observação 2.3.10. Robert C. James construiu em 1950 um espaço de Banach 𝒥 (chamado

espaço de James), com as seguintes propriedades: (𝑎) 𝒥 não é reflexivo.

(𝑏) 𝒥 e 𝒥′′ _{são isometricamente isomorfos.}

(𝑐) o espaço quociente 𝒥′′

/𝐽𝒥(𝒥 ) tem dimensão finita.

O espaço de James fornece a resposta para seguinte pergunta: existe um subespaço fechado 𝑌 não reflexivo de um espaço de Banach 𝑋 tal que 𝑋/𝑌 é reflexivo?

Seja 𝑋 = 𝒥′′ _{então pelo item (𝑎) o espaço 𝐽}

𝒥 (𝒥 ) não é reflexivo, por outro lado o item (𝑐)

fornece a resposta para nossa pergunta, visto que 𝒥′′_/𝐽

𝒥 (𝒥 ) tem dimensão finita, portanto é

reflexivo.

Exemplo 2.3.11. Seja 𝑌 um subespaço de dimensão finita de ℓ1. Como ℓ1 não é reflexivo (veja

Exemplo 2.3.4) e 𝑌 é reflexivo (veja Exemplo 2.3.2 ), segue do Teorema 2.7.4 item (𝑏) que ℓ1/𝑌

não é reflexivo.

2.4 Espaços B-convexos

O conceito de 𝐵-convexidade foi definido por Anatole Beck em 1962 e usado para caracterizar espaços de Banach que tem a lei dos grandes números. 𝐵-convexidade é entendido como uma abreviação de Beck-convexidade.

Esta seção foi baseada no artigo [6].

Definição 2.4.1. Um espaço normado 𝑋 é chamado 𝐵-convexo se existem 𝜀 > 0 e um inteiro

𝑛 ≥2 tal que para cada 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐵𝑋 existe uma escolha 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛∈ {1, −1} com

⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎𝑖𝑥𝑖 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ≤(1 − 𝜀)𝑛.

Exemplo 2.4.2. ℓ2 é 𝐵-convexo. Com efeito dados 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵ℓ2, seja 𝜀 = min

{︁ 1/2, 1 − (3/4)1/2}︁ . Então (𝑎) se ‖𝑥 − 𝑦‖ < 1, segue que ‖𝑥 − 𝑦‖ < 1 = 2(︂1 −1 2 )︂ ≤(1 − 𝜀) 2. (𝑏) se ‖𝑥 − 𝑦‖ ≥ 1, segue da lei do paralelogramo que