Se enviamos um pulso de luz da origem de um sistema de coordenadas em t = 0 (assumindo um espaço Euclidiano), sua distância radial a partir da origem é ct:
Se consideramos dois eventos que são conectados por um raio de luz, então:
Isto significa dizer que a distância percorrida por um raio de luz, c∆ t, é igual a distância espacial entre dois eventos, [∆ x2 + ∆ y2 + ∆ z2]1/2 . Lembrando a transformação de Lorentz:
Usando estas expressões, podemos mostrar que:
Assim, o intervalo ∆ s2
≡
c2∆ t2 - ∆ x2 - ∆ y2 - ∆ z2 entre dois eventos é inalterado por uma transformação de Lorentz; isto é o invariante de Lorentz. Note que ∆ s2 é uma quantidade escalar.!
Existe uma importante distinção: ∆ r2 é sempre positivo, o que não é verdadeiro para o intervalo ∆ s2 = c2∆ t2 - ∆ r2 , o qual pode ser positivo, negativo ou zero.
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Como já vimos, para dois eventos separados por um raio de luz,
Por motivos óbvios, isto é chamado uma separação tipo luz.
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Se ∆ s2 > 0, isto significa que
ou
em qualquer referencial inercial (uma vez que ∆ s2 é um invariante de Lorentz). Isto significa que é possível para um observador movendo-se com velocidade uniforme v < c, viajar de um evento ao outro; no sistema de referência do observador ∆ r = 0 e a separação em tempo entre os dois eventos é ∆ t = ∆ s / c.
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Assim, quando ∆ s > 0, ∆ s é igual a c vezes a diferença de tempo, ∆ t, entre os eventos, como visto pelo observador num referencial inercial para o qual os eventos acontecem no mesmo ponto. Logo, eventos para os quais ∆ s > 0, acontecem sobre linhas de Universo de uma partícula material.
Se ∆ s2 < 0, isto significa que
o que, novamente, é verdadeiro em qualquer sistema inercial. É impossível para dois eventos com ∆ s2 < 0 serem conectados por um raio de luz, ou se localizar na linha de Universo de uma partícula material, uma vez que isso iria requer uma viagem superluminal.
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No entanto, existe ainda um significado físico neste caso:
o que implica que | ∆ s2 | é a separação espacial entre os eventos em um sistema inercial no qual os eventos são simultâneos; um tal sistema sempre existe, como pode ser visto das transformações de Lorentz.
Vetor tipo espaço
Vetor tipo tempo apontando o futuro Absoluto
Este é conhecido como espaçotempo de Minkowski ou espaçotempo “plano”, já que a geometria é Euclidiana.
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Uma vez que ∆ s2 é um invariante, cones de luz em um referencial inercial são mapeados em cones de luz em qualquer outro sistema inercial. Todos os observadores inerciais concordam sobre o passado e o futuro de um evento.
∆ s < 0 é denominado de separação tipo espaço
Linha de Universo: locus de sucessivos eventos em sua história
∆ s = 0, separação tipo luz
Em suma:
∆ s > 0, separação tipo tempo
∆ s <0, separação tipo espaço
(∆ s)2 = c2(∆t)2 - (∆x)2
Eventos na superfície do cone de luz. Neste caso dois eventos podem ser conectados pela linha de Universo de um pulso de luz em qualquer sistema de referência.
Neste caso os eventos estão fora do cone de luz um do outro. Existe um sistema de referência onde ∆t = 0 e ∆s = ± i |∆x|. Não existe um sistema de referência onde os eventos ocorram na mesma localização. Se ∆x = 0, (∆s)2 não pode ser negativo. Neste Os eventos em questão estão dentro do cone de luz um do outro. Neste caso existe um sistema de referência no qual ∆x = 0 e ∆s = ± c∆t. Se dois eventos são separados por um intervalo tipo tempo não existe nenhum sistema de referência onde eles são simultâneos. Se ∆t = 0 então (∆s)2 não pode ser positivo. Neste caso o intervalo de tempo é denominado intervalo de tempo próprio.
Suponhamos que temos uma partícula em movimento (por conveniência o movimento é ao longo do eixo-x). Se fizermos um gráfico de suas posições em função do tempo, construímos o diagrama espaço tempo. Nas transformações de Lorentz, espaço e tempo são misturados. Como relacionamos os diagramas de S e ?
Seja o eixo vertical dado em unidades de ct; então um raio de luz tem inclinação de 45o . Como sempre sincronizamos os relógios em t = = 0. Quais são os eixos c e neste diagrama ?
A partir das transformações de Lorentz,
eq 2.40 eq 2.41 O eixo c é a linha = 0; a partir da equação 2.40, isto significa
Assim o eixo c é a linha reta ct = (c/v) x com inclinação c/v >1. O eixo é a linha c = 0; a partir da equação 2.41, temos
Linhas de Universo de pontos fixos em
Linhas de Simultaneidade
em
Exemplo: Dois eventos ocorrem em (ct1,x1,y1,z1) = (3,7,0,0) e (ct2,x2,y2,z2) = (5,5,0,0). Qual a separação medida no espaço-tempo ?
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Δx = (5-7) = -2m and cΔt = (5-3) = 2m. Já que a separação no espaço-tempo é (Δs)2 = (cΔt)2 - (Δx)2, neste caso segue que
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(Δs)2 = (2)2 − (2)2 = 0. O valor (Δs)2 = 0 descreve a situação em que dois eventos podem ser ligados por um sinal luminoso. Esta separação é denominada “tipo luz”.
Qualquer conjunto de quatro quantidades que seguem as transformações de Lorentz é denominado um quadrivetor. Em um dado sistema de referência as três primeiras componentes (espaciais) de um quadrivetor forma um trivetor ordinário; a quarta componente é a componente temporal.
eq 2.42
Quadrivetores
O invariante associado com o quadrivetor momentum-energia é:
Anteriormente mostramos que a combinação x2 - c2t2 (em uma dimensão) é um invariante relativístico; tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Uma invariante análogo deve existir para qualquer quadrivetor. Se V1, V2, V3, V4 são componentes de um quadrivetor, a quantidade V1 + V2 + V3 -V4 é um invariante. Sua raiz quadrada pode ser entendida com um “comprimento” generalizado.
Se uma lei física pode ser expressa pode ser expressa como uma relação entre quadrivetores, sua covariância relativística estará assegurada.
Se uma quantidade é invariante, seu valor pode ser calculado em qualquer sistema de referência adequado. Num sistema de repouso de um corpo, p = 0 e E = m c2 . Logo o valor do invariante deve ser -m2c2. Assim, temos a relação:
eq 2.43 ou eqüivalentemente,
O quadrivetor momentum-energia pode ser escrito como P = (E/c, p), onde o momentum é definido pelo vetor (px , py , pz).
2 - No referencial S, dois elétrons se aproximam um do outro, cada um com velocidade v =
c/2. Qual a velocidade relativa dos dois elétrons ?
3- Um píon é criado numa colisão de partículas com uma velocidade tal que γ = 100, e é observado viajar uma distância de 300m antes de decair espontaneamente. Por quanto tempo o píon existe em seu referencial de repouso ?
4- No acelerador LEP no CERN, elétrons são acelerados a energias de cerca de 50 GeV. Por quanto a velocidade dos elétrons desvia da velocidade da luz, c ?
5 - Uma partícula em repouso com massa M decai em duas partículas de massas iguais. Calcule a velocidade das duas partículas que são criadas após o decaimento. De uma resposta numérica para o caso de um méson rho (M = 770 MeV/c2) em dois píons carregados (m = 140 MeV/c2).
1 - Mostre que a equação de onda ∂2Ψ/∂x2-(1/c2)(∂2Ψ/∂t2) = 0 é invariante sob transformação de Lorentz, mas não é invariante sob transformação de Galileo.