Quarta Aula. Introdução à Astrofísica. Reinaldo R. de Carvalho

Quarta Aula

Reinaldo R. de Carvalho (rrdecarvalho2008@gmail.com)

Introdução à Astrofísica

Capítulo 4!

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A Teoria da Relatividade Restrita!

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- Transformações Galileanas!

- Transformações de Lorentz!

- Espaço e Tempo na Relatividade Restrita!

- Momento e Energia!

Relatividade Especial

O Experimento de Michelson-Morley

Após a descoberta das Leis de Maxwell, por volta de 1860, foi reconhecido que as equações de Maxwell não obedeciam ao principio da relatividade newtoniana, ou seja que as equações não eram invariantes segundo transformações de Galileu. Na época os cientistas não teriam se importado com isso se não fosse o fato de que as equações de Maxwell previam a existência de ondas eletromagnéticas com velocidade c (com verificação experimental). Assim sendo no século XIX foi postulado que as ondas eletromagnéticas se propagavam em um meio material (o “éter”). Desta forma vários experimentos foram realizados tentando medir a velocidade da luz em relação ao “éter”.

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Para entender o experimento consideremos o seguinte exercício (Exemplo 1-3 do livro Física Moderna, Tipler & Llewellyn). Considere dois remadores que conseguem desenvolver uma velocidade c em água parada. A água do rio está movendo-se com uma velocidade v. Como na figura, o barco 1 vai vai do ponto A ao ponto B percorrendo uma distância L e volta ao ponto A. O barco 2 vai do ponto A ao C e volta ao ponto A. Qual dos dois remadores ganha a corrida ? (supondo que c > v)

v c (c2-v2)1/2 A➔B B➔A v c (c2-v2)1/2 A C B L L v

Relatividade Especial

O tempo de percurso para o barco 1 pode ser escrito como

!

O barco 2 vai do ponto A ao C com velocidade c+v e retorna com velocidade c-v. O tempo total é então:

!

Relatividade Especial

Para estudar o movimento das galáxias e fótons no Universo, precisaremos estabelecer um sistema de coordenadas e sua métrica. Em geral um sistema de coordenadas significa associar a todo e qualquer evento uma coordenada temporal e três coordenadas espaciais. Neste capítulo, estudaremos tais conceitos dentro da perspectiva de relatividade especial.

A teoria da relatividade especial apareceu como idéia no final do século XIX e foi edificada por Albert Einstein em 1905. Resistiu a inúmeros testes de verificação de sua validade e hoje em dia é amplamente usada na Física. A RE requer que abandonemos nossos conceitos do senso comum que nos diz que intervalos de tempo e de espaço são os mesmos para todo e qualquer observador.

Vamos investigar a transformação de Lorentz entre dois sistemas de referência em movimento relativo. Os sistemas são S e .

Primeiro postulado da Relatividade Especial : As leis da física podem ser escritas da mesma forma em todos os sistemas de referencia inerciais.

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Segundo postulado da Relatividade Especial : A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais

Consideramos os eixos paralelos em todos os tempos, além do que os relógios são ajustados de tal forma que as origens coincidem em t = = 0.

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A transformação deve ser linear em coordenadas. Obviamente y = y’ e z = z’. Já que x = vt deve corresponder a = 0, então

! !

é uma constante que depende de v eq. 2.1

Da mesma forma t’ deve ter a forma

! !

eq. 2.2

! !

Vamos supor que um pulso de luz é emitido em t = 0, a partir da origem. Isto ocorre também em t’ = 0 na origem de S’. Seja r e r’ coordenadas perpendiculares a direção do movimento, ou seja, r = (z2 _{+ y}2₎1/2_{. Ja que a velocidade da luz, c, é uma constante, a distância viajada}

pelo pulso será a mesma em ambos sistemas. Num tempo t, o pulso de luz terá alcançado a superfície de uma esfera de raio ct no sistema S, e de raio ct’ no sistema S’. Assim:

Uma vez que coordenadas perpendiculares (y,z) não são afetadas por movimento na direção x, r e r’ devem ser iguais independente do tempo. Assim:

eq 2.3

Se substituirmos eq. 2.1 e eq. 2.2 na equação 2.3, obtemos Da mesma forma temos

ou

Esta condição é válida para todos os valores de x e t. Assim, os coeficientes devem ser: ′

Mas as soluções devem valer também no limite Galileano quando v/c tende a 0. Assim, tomamos a raiz positiva da equação acima.

Da equação (a) temos:

Assim, as transformações de Lorentz para x’ e t’ são:

Assim, podemos escrever estas equações em termos do fator γ como:

eq 2.4

eq 2.5

Exemplo: Calcule o fator de Lorentz quando a velocidade relativa v é 10% da velocidade de luz e 90% da velocidade da luz.

Estranhamente, as transformações de Lorentz eram conhecidas mesmo antes do advento da Relatividade Especial! Elas eram conhecidas como as transformações que sob as quais as equações de Maxwell eram invariantes, mas seu significado físico não era totalmente entendido. Assim, as equações de Maxwell eram vistas como não relativísticas.

A R e l a t i v i d a d e E s p e c i a l

elimina o tempo absoluto; ao

i n v é s d i s s o t e m o s u m a

relatividade da simultaneidade

As transformações de Lorentz têm um número de implicações radicais e não-intuitivas que discutiremos a seguir.

Considere uma vara de comprimento Lo em repouso no sistema ; a vara é orientada na

direção . Qual o comprimento da vara no sistema S ?

Contração do Comprimento

Sejam ∆ x = x2 - x1 , ∆ y = y2 - y1 , etc; as diferenças de coordenadas de dois eventos no

sistema S e similarmente no sistema . Se substituirmos estas coordenadas nas equações 2.6 e 2.7 e subtrairmos, obteremos

eq 2.8

eq 2.9

Seja ∆ = Lo . Para determinar seu comprimento no sistema S, devemos observar os

extremos no mesmo tempo no sistema S. Isto significa ∆ t = 0 da equação 2.8, e assim

Uma vez que v/c é sempre < 1 então γ é sempre > 1.

A vara é encurtada na direção de seu

movimento por 1/γ = (1 - v

_/c

₎

onde ∆ to é o intervalo de tempo no sistema de repouso.

Dilatação do Tempo

eq 2.10

Vamos considerar um relógio o qual é fixo no sistema referência . Dois eventos no sistema são separados por . Qual intervalo de tempo um observador no sistema S mede para estes dois eventos ? Uma vez que o relógio é fixo em , ∆ = 0 e assim:

O análogo da equação 2.9 dando ∆ t em termos de ∆ e ∆ é:

Relógios se movendo com velocidade v em relação a um

sistema inercial S medem um intervalo de tempo maior

(mais lento), por 1/γ = (1-v

_/c

₎

em relação a um relógio

estacionário no sistema S.

Exemplo: Raios cósmicos colidem com núcleos de átomos na atmosfera terrestre produzindo partículas chamadas muons. Muons são instáveis e decaem após 2.20 μs como medido em um laboratório onde os muons estão em repouso. Isto é, o número de muons em uma amostra deve decrescer com o tempo de acordo com a expressão N(t) = No e-t/τ , onde No é o número de muons originalmente na amostra em t = 0. No

topo de uma montanha um medidor mediu 563 muons h-1 _{movendo-se a uma}

velocidade u = 0.9952c. No nível do mar, 1907m abaixo do primeiro medidor outro detector mediu 408 muons h-1_.

!

Os muons levam (1907/0.9952c) = 6.39 μs para viajar da montanha ao nível do mar. Assim, deveríamos esperar que

!

N = No e-t/τ = 563 e-(6.39/2.20) = 31 muons h-1

!

que é muito menor do que os 408 muons h-1 _{medido no nível do mar.}

!

O problema com este cálculo é que o tempo de vida do muon é medido no referencial em repouso do muon mas o relógio do experimentador tanto na montanha quanto no nível do mar está se movendo em relação ao muon. Eles medem o tempo de vida do muon como

! ! !

Usando esta nova estimativa temos que N = No e-t/τ = 563 e-(6.39/22.5) = 424 muons h-1

Paradoxo dos Gêmeos

Neste caso temos dois gêmeos, o primeiro viaja com velocidade constante até uma estrela distante e volta à Terra, a uma velocidade igual a 0.8c, enquanto o segundo permanece na Terra o tempo todo. O primeiro gêmeo quando retorna percebe que o segundo está mais velho. Esta observação está em acordo com a RE, mas vai de encontro com nossa visão intuitiva do mundo que nos cerca.

!

O paradoxo resulta da afirmação de que todo movimento é relativo. Sendo esse o caso cada um dos gêmeos poderia ter a impressão de que foi o outro que viajou e portanto o outro que retornou mais jovem, levando a uma contradição lógica.

!

A simetria dos movimentos é quebrada quando percebemos que o segundo gêmeo permanece o tempo todo no mesmo referencial inercial, enquanto que o primeiro muda várias vezes de referencial. Consideremos a figura abaixo:

ct

linha de Universo de (1) na ida linha de Universo de (1) na volta

li nha de U ni ve rs o de (2)

A análise correta baseia-se no intervalo invariante.

! ! ! !

Consideremos que para o segundo gêmeo que ficou na Terra passaram-se 10 anos (5 anos de ida e 5 anos de volta). No sistema do primeiro gêmeo então Δtʹ = Δt / 𝛾 = 3 anos. Então, do ponto de vista do primeiro gêmeo Δx = 0 e Δt = 𝜏 = 3 anos (tempo próprio).

!

No entanto, do ponto de vista do gêmeo que ficou na Terra

! ! !

e como (Δx/c)2 _{é sempre positivo, ele sempre observa um tempo Δt > 𝜏. Então, do ponto de}

vista do segundo gêmeo Δx = 0.8c Δt e portanto

!

(Δt)2 _{= (3 anos)}2 _{+ (0.8c Δt/c)}2

!

ou seja Δt = 5 anos, ou 10 anos para a viagem completa.

Transformações de Velocidade

Na transformação Galileana a adição de velocidades é simples, no caso da transformação de Lorentz as coisas são diferentes. Considere novamente dois sistemas, S e em configuração padrão. Suponha que uma partícula em S tem velocidade u = (ux , uy , uz ). Qual é sua

velocidade em .. .

Assuma que a partícula move-se uniformemente, então podemos escrever sua velocidade nos dois sistemas como:

Substituindo equações 2.8 e 2.10 em 2.12, temos

eq 2.11

eq 2.12

eq 2.13

Considere primeiro o efeito doppler clássico. Suponha que tenhamos uma fonte de luz emitindo radiação com comprimento de onda λo . Considere um observador em S, relativo ao

qual a fonte está em movimento com velocidade radial ur .

!

Seja o tempo entre dois pulsos sucessivos no referencial onde a fonte está em repouso ∆ . A distância que estes dois pulsos têm de viajar para alcançar S difere por ur ∆ . Já que os

pulsos viajam a velocidade c, eles chegam em S com uma diferença de tempo

Efeito Doppler Relativístico

eq 2.16

S

Agora consideremos o efeito doppler relativístico. Já que está em movimento com respeito a S, o intervalo de tempo entre os pulsos de acordo com S é γ∆ , devido a dilatação do tempo. Assim:

Se a velocidade é puramente radial, ur = v

Este é o efeito doppler transverso; é um efeito puramente relativístico devido a dilatação do tempo em fontes que se movem.

Contudo, existe um desvio doppler mesmo se ur = 0! Se ur = 0 (e.g. se está em órbita

circular em torno de S) então

eq 2.17

eq 2.18

Exemplo: No referencial em repouso o Quasar SDSS 1030+0524 produz uma emissão de Hidrogênio no comprimento de onda λrep = 121.6 nm. Na Terra a

linha de emissão é observada com λobs = 885.2 nm.

!

O redshift do Quasar é então z = (λobs - λrep )/ λrep = 6.28

!

Usando a equação 2.18 temos:

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Importante lembrar que estes objetos possuem grandes velocidades de recessão mas não devido a movimento relativo, mas a expansão do Universo como veremos no capítulo de Cosmologia.

! !

Na mecânica Newtoniana,

Massa Relativística

eq 2.20

onde p = m v é o momentum linear, assumindo que a massa é constante.

Na mecânica relativística as coisas são um pouco mais complicadas! Vamos escrever a segunda lei de Newton na forma F = dp/dt.

!

Considere uma colisão perfeitamente inelástica (ou seja, as partículas permanecem juntas!) dos pontos de vista dos nossos sistemas S e . Uma das partículas está em repouso no sistema S e a outra tem velocidade u, antes que elas colidam. Após a colisão as partículas se juntam e têm velocidade U.

!

Estamos livres para escolher nosso sistema inercial da maneira que quisermos, e assim por simplicidade vamos assumir que seja o referencial do centro de massa do sistema.

No referencial do centro de massa do sistema, uma partícula de massa M(0) está em repouso depois da colisão; as duas partículas colidem com velocidades iguais e opostas. Lembre que o sistema deve se mover

com velocidade U em relação a S. Da conservação de

massa no sistema S temos:

A partir da conservação do momentum:

ou

eq 2.21

A partícula a esquerda tem velocidade U relativo ao sistema . por sua vez tem uma velocidade U relativo a S. Adicionando estas duas velocidades encontramos a velocidade da partícula, u em S.

Lembre que a lei de transformação de velocidades se escreve como:

eq 2.23

para um sistema se movendo com velocidade v. Aqui, queremos ux em termos de .

Lembre que os sistemas são simétricos. Para um observador em o sistema S esta se movendo com velocidade -v. Assim, substituindo v por -v e trocando os índices:

eq 2.24

a qual tem raízes

eq 2.25

No limite u 0, esta equação deve produzir um resultado finito, logo temos de tomar o sinal negativo na solução.

!

Assim, massa não é independente da velocidade. Aqui, m(0) é a massa de repouso.

eq 2.26

A equação 2.27 implica que fótons possuem massa de repouso zero. Este é o motivo pelo qual fótons movem-se a velocidade da luz; para qualquer partícula de massa de repouso não-nula m(u) ∞ quando u c

Assumindo que u/c é pequeno, podemos expandir a equação 2.26:

eq 2.28

Multiplicando ambos os lados da equação por c2_{, obtemos:}

eq 2.29

Note que o lado direito da equação se assemelha a uma constante mais a energia cinética, assim a massa relativística contém em si a expressão para a energia cinética clássica. Na verdade, a conservação da massa relativística leva a conservação de energia no limite Newtoniano.

!

Vejamos este ponto em maior detalhe. Suponha que tenhamos duas partículas com massas de repouso m0.1 e m0,2 que colidem; suas velocidades iniciais são vi,1 e vi,2 e suas velocidades

finais são vf,1 e vf,2 . Conservação da massa relativística requer que:

No limite Newtoniano (v/c << 1 para todos os valores de v), podemos expandir os γ’s na equação 2.30:

que é exatamente a expressão de conservação de energia.

eq 2.31 Multiplicando por c2 _{e subtraindo os termos constante de ambos os lados, obtemos:}

Equação 2.29 sugere que vejamos E = mc2 _{como a energia total de uma partícula; que}

consiste da energia cinética mais a energia de repouso moc2. Este último é um termo muito

grande! uma grama de massa de repouso é eqüivalente a 9 x 1020 _{kilotões. Podemos definir}

então a energia cinética de uma partícula como:

eq 2.32

Para u/c << 1, esta equação se reduz a usual K = (1/2)mou2. Similarmente, o momentum

Classicamente, energia e momentum são relacionados pelas equações E = (1/2)mv2 _{= p}2_/2m.

Qual é a relação relativística?

!

Elevando ao quadrado a expressão para o momentum relativístico obtemos:

Note que podemos ter partículas com massa de repouso zero (e.g. fótons) com energia e momentum não-nulos; estas partículas obedecem a relação

E = p c eq 2.34

Para obtermos momentum não-nulo, o momentum relativístico

deve convergir para um valor finito quando mo 0; isto requer que u c quando mo 0

Assim, todas as partículas sem massa devem viajar a velocidade da luz, c. A massa relativística do fóton é não-nula:

eq 2.35

Já que E = h ν,

eq 2.36

Já que a massa inercial relativística do fóton é não-nula, fótons são afetados por gravitação (como enunciado no Princípio da Equivalência).

Suponha que um fóton de freqüência υe é emitido na superfície de um corpo de massa M e

raio R. O fóton escapa para o infinito. Qual a freqüência do fóton como observado no infinito ?

!

Para escapar do campo gravitacional, o fóton deve realizar trabalho. O trabalho realizado por unidade de massa é

Redshift Gravitacional

eq 2.37 Assim, a massa inercial do fóton é m = hυo /c2, a perda de energia é

Escrevendo a freqüência observada no infinito como υo . Então

É convencional definir o redshift por

Assim, o redshift gravitacional é:

eq 2.38

De maneira equivalente, uma vez que podemos interpretar átomos que emitem como relógios, podemos também entender este redshift gravitacional como uma dilatação gravitacional do tempo: relógios se atrasam em um campo gravitacional.

eq 2.39

Veja as referências Phys. Rev. Lett. 45, 2081–2084 (1980), Phys. Rev. Lett. 3, 439–441 (1959), sobre testes relativos a teoria da relatividade.

Como vimos anteriormente:

Espaço Tempo

Relatividade Transformações de Lorentz

!

Eliminação do Tempo Absoluto e do Espaço

Absoluto

As coordenadas espaço e tempo são “misturadas” para diferentes observadores. Logo, não faz mais sentido falar em espaço e tempo como entidades separadas, mas como uma só entidade quadri-dimensional chamada espaçotempo.

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A quantidade fundamental neste espaçotempo é o evento. O evento é especificado por 4 quantidades, e.g. x,y,z,t.

!

Considere um evento O, que tomamos como a origem do nosso sistema de coordenadas. Emitimos um pulso de luz em O. O que veremos com o passar do tempo ? A frente de onda irá expandir a uma velocidade c, logo após um tempo t irá alcançar uma distância ct da origem O. Como o diagrama espaçotempo se parecerá ? (não podemos visualizar em 4D).

Com uma dimensão suprimida, a frente de onda do pulso de luz parece um cone. Este é chamado o cone de luz. Com o eixo vertical expresso em ct, o cone de luz faz um ângulo de 45o com os eixos espaciais e o eixo ct.

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Podemos considerar também um certo tempo -t antes do evento O. Somente fótons a uma distância ct de O podem alcançar O entre os tempos -t e O. Quando -t se aproxima de O, o tamanho da frente de onda do pulso de luz que pode alcançar O colapsa.

Cone de Luz

Passado

Futuro

Assim, a frente de onda colapsa a zero em O e

então re-expande simetricamente.

Assim, nós temos um cone de luz passado e um cone de luz futuro. Já que nada pode viajar a uma velocidade maior do que c, o cone de luz divide o espaçotempo (como visto pelo observador em O) em regiões acessíveis e inacessíveis, nem todas as direções são equivalentes no diagrama espaçotempo.

O espaçotempo não é isotrópico.

Se enviamos um pulso de luz da origem de um sistema de coordenadas em t = 0 (assumindo um espaço Euclidiano), sua distância radial a partir da origem é ct:

Se consideramos dois eventos que são conectados por um raio de luz, então:

Isto significa dizer que a distância percorrida por um raio de luz, c∆ t, é igual a distância espacial entre dois eventos, [∆ x2 _{+ ∆ y}2 _{+ ∆ z}2_]1/2 _{. Lembrando a transformação de Lorentz:}

Usando estas expressões, podemos mostrar que:

Assim, o intervalo ∆ s2

≡

transformação de Lorentz; isto é o invariante de Lorentz. Note que ∆ s2 _{é uma quantidade}

escalar.

!

Existe uma importante distinção: ∆ r2 _{é sempre positivo, o que não é verdadeiro para o}

intervalo ∆ s2 _{= c}2_{∆ t}2 _{- ∆ r}2 _{, o qual pode ser positivo, negativo ou zero.}

!

Como já vimos, para dois eventos separados por um raio de luz,

Por motivos óbvios, isto é chamado uma separação tipo luz.

!

Se ∆ s2 _{> 0, isto significa que}

ou

em qualquer referencial inercial (uma vez que ∆ s2 _{é um invariante de Lorentz). Isto significa}

que é possível para um observador movendo-se com velocidade uniforme v < c, viajar de um evento ao outro; no sistema de referência do observador ∆ r = 0 e a separação em tempo entre os dois eventos é ∆ t = ∆ s / c.

!

Assim, quando ∆ s > 0, ∆ s é igual a c vezes a diferença de tempo, ∆ t, entre os eventos, como visto pelo observador num referencial inercial para o qual os eventos acontecem no mesmo ponto. Logo, eventos para os quais ∆ s > 0, acontecem sobre linhas de Universo de uma partícula material.

Se ∆ s2 _{< 0, isto significa que}

o que, novamente, é verdadeiro em qualquer sistema inercial. É impossível para dois eventos com ∆ s2 _{< 0 serem conectados por um raio de luz, ou se localizar na linha de Universo de}

uma partícula material, uma vez que isso iria requer uma viagem superluminal.

!

No entanto, existe ainda um significado físico neste caso:

o que implica que | ∆ s2 _{| é a separação espacial entre os eventos em um sistema inercial no}

qual os eventos são simultâneos; um tal sistema sempre existe, como pode ser visto das transformações de Lorentz.

Vetor tipo espaço

Vetor tipo tempo apontando o futuro Absoluto

Este é conhecido como espaçotempo de Minkowski ou espaçotempo “plano”, já que a geometria é Euclidiana.

!

Uma vez que ∆ s2 _{é um invariante, cones de luz em um referencial inercial são mapeados em}

cones de luz em qualquer outro sistema inercial. Todos os observadores inerciais concordam sobre o passado e o futuro de um evento.

∆ s < 0 é denominado de separação tipo espaço

Linha de Universo: locus de sucessivos eventos em sua história

∆ s = 0, separação tipo luz

Em suma:

∆ s > 0, separação tipo tempo

∆ s <0, separação tipo espaço

(∆ s)2 _{= c}2_(∆t)2 _{- (∆x)}2

Eventos na superfície do cone de luz. Neste caso dois eventos podem ser conectados pela linha de Universo de um pulso de luz em qualquer sistema de referência.

Neste caso os eventos estão fora do cone de luz um do outro. Existe um sistema de referência onde ∆t = 0 e ∆s = ± i |∆x|. Não existe um sistema de referência onde os eventos ocorram na mesma localização. Se ∆x = 0, (∆s)2 _{não pode ser negativo. Neste}

Os eventos em questão estão dentro do cone de luz um do outro. Neste caso existe um sistema de referência no qual ∆x = 0 e ∆s = ± c∆t. Se dois eventos são separados por um intervalo tipo tempo não existe nenhum sistema de referência onde eles são simultâneos. Se ∆t = 0 então (∆s)2 _{não pode ser positivo. Neste caso o intervalo de}

Suponhamos que temos uma partícula em movimento (por conveniência o movimento é ao longo do eixo-x). Se fizermos um gráfico de suas posições em função do tempo, construímos o diagrama espaço tempo. Nas transformações de Lorentz, espaço e tempo são misturados. Como relacionamos os diagramas de S e ?

Seja o eixo vertical dado em unidades de ct; então um raio de luz tem inclinação de 45o . Como sempre sincronizamos os relógios em t = = 0. Quais são os eixos c e neste diagrama ?

A partir das transformações de Lorentz,

eq 2.40 eq 2.41 O eixo c é a linha = 0; a partir da equação 2.40, isto significa

Assim o eixo c é a linha reta ct = (c/v) x com inclinação c/v >1. O eixo é a linha c = 0; a partir da equação 2.41, temos

Linhas de Universo de pontos fixos em

Linhas de Simultaneidade

em

Exemplo: Dois eventos ocorrem em (ct1,x1,y1,z1) = (3,7,0,0) e (ct2,x2,y2,z2) = (5,5,0,0). Qual a separação medida no espaço-tempo ?

!

Δx = (5-7) = -2m and cΔt = (5-3) = 2m. Já que a separação no espaço-tempo é (Δs)2 _{= (cΔt)}2 _{- (Δx)}2_{, neste caso segue que}

!

(Δs)2 _{= (2)}2 − (2)2 = 0. O valor (Δs)2 = 0 descreve a situação em que dois

eventos podem ser ligados por um sinal luminoso. Esta separação é denominada “tipo luz”.

Qualquer conjunto de quatro quantidades que seguem as transformações de Lorentz é denominado um quadrivetor. Em um dado sistema de referência as três primeiras componentes (espaciais) de um quadrivetor forma um trivetor ordinário; a quarta componente é a componente temporal.

eq 2.42

Quadrivetores

O invariante associado com o quadrivetor momentum-energia é:

Anteriormente mostramos que a combinação x2 _{- c}2_t2 _{(em uma dimensão) é um invariante}

relativístico; tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Uma invariante análogo deve existir para qualquer quadrivetor. Se V1, V2, V3, V4 são componentes de um quadrivetor,

a quantidade V1 + V2 + V3 -V4 é um invariante. Sua raiz quadrada pode ser entendida com um

“comprimento” generalizado.

Se uma lei física pode ser expressa pode ser expressa como uma relação entre quadrivetores, sua covariância relativística estará assegurada.

Se uma quantidade é invariante, seu valor pode ser calculado em qualquer sistema de referência adequado. Num sistema de repouso de um corpo, p = 0 e E = m c2 _{. Logo o valor}

do invariante deve ser -m2_c2_{. Assim, temos a relação:}

eq 2.43 ou eqüivalentemente,

O quadrivetor momentum-energia pode ser escrito como P = (E/c, p), onde o momentum é definido pelo vetor (px , py , pz).

2 - No referencial S, dois elétrons se aproximam um do outro, cada um com velocidade v =

c/2. Qual a velocidade relativa dos dois elétrons ?

3- Um píon é criado numa colisão de partículas com uma velocidade tal que γ = 100, e é observado viajar uma distância de 300m antes de decair espontaneamente. Por quanto tempo o píon existe em seu referencial de repouso ?

4- No acelerador LEP no CERN, elétrons são acelerados a energias de cerca de 50 GeV. Por quanto a velocidade dos elétrons desvia da velocidade da luz, c ?

5 - Uma partícula em repouso com massa M decai em duas partículas de massas iguais. Calcule a velocidade das duas partículas que são criadas após o decaimento. De uma resposta numérica para o caso de um méson rho (M = 770 MeV/c2_{) em dois píons carregados}

(m = 140 MeV/c2_).

1 - Mostre que a equação de onda ∂2_Ψ/∂x2_-(1/c2_)(∂2_Ψ/∂t2_{) = 0 é invariante sob transformação}

de Lorentz, mas não é invariante sob transformação de Galileo.

6 - Mostre que a massa de uma partícula é inalterada por transformação de Lorentz.

Exercícios

7 -Um astronauta numa nave espacial viaja até α-Centaurus, que está a uma distância de 4 anos-luz medido a partir da Terra, a uma velocidade u/c = 0.8. a) Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido por um relógio na Terra ?; b) Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido pelo piloto da nave espacial ?

8 - Considere o intervalo no espaçotempo dado pela equação (Δs)2 _{= (cΔt)}2 _{- (Δx)}2 _{- (Δy)}2 _{- (Δz)}2

!

9 - O diagrama espaçotempo mostra 5 estrelas que explodem como supernovas (SN) nos pontos A,B,C,D e E. Estas supernovas são observadas por astrônomos na Terra e também por cientistas a bordo de uma nave que move-se rapidamente. As linhas de Universo da Terra e da nave são mostradas na figura. Responda às seguintes perguntas:

!

1 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no sistema de referência da Terra ?

2 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no sistema de referência da nave

3 - em que ordem cronológica os astrônomos na Terra vêm as SNs ?

4 - em que ordem cronológica os cientistas na nave vêm as supernovas ?

10 - Como medido num sistema de referencia Sʹ, uma fonte de luz está em repouso e irradia em todas as direções igualmente. Em particular, metade da luz é emitida sobre um hemisfério (xʹ positivo). Nesta situação quão diferente será a forma do feixe de luz como visto do referencia S, o qual mede a fonte de luz viajando na direção de x positivo com uma velocidade relativística u ?