Espa¸co Afim e Espa¸co Projetivo - Open Cálculo das retas numa superfície cúbica em P3

Defini¸c˜ao A.1 (Espa¸co Afim) O espa¸co afim An_{´e o conjunto C}n _{munido da topologia}

de Zariski.

Defini¸c˜ao A.2 (Variedade afim) Uma variedade afim do espa¸co afim An_{´e um fechado}

Z(I) da topologia de Zariski.

Defini¸c˜ao A.3 (Espa¸co Projetivo) Seja K um corpo e V um espa¸co vetorial de di-

mensão n + 1 sobre K. Podemos definir a seguinte rela¸cão de equivalência em V − {0}, u_{∼ v ⇔ ∃ λ ∈ Ktal que u = λv.}

Assim definimos o Espa¸co Projetivo associado a V pelo quociente:

P(V ): = V − {0} ∼ .

Denotaremos por [u]_{∈ P(V ) a classe de equivalˆencia de u ∈ V − {0}.}

Exemplo A.1 Se K = C e V = Cn+1_{, ent˜ao P(V ) = P}n _{´e chamado de n-Espa¸co Pro-}

jetivo. Dado v = (p0, p1, . . . , pn) ∈ Cn+1, o ponto p = [v] ∈ Pn ser´a denotado por

p = [p0 : p1 : . . . : pn], onde pi ∈ C s˜ao chamadas de coordenadas homogˆeneas de p.

Defini¸c˜ao A.4 Seja F ∈ C [x0, . . . , xn]. Chamamos F de polinˆomio homogˆeneo de grau

d se para todo λ _{∈ C tivermos F (λx}0, . . . , λxn) = λdF (x0, . . . , xn). O polinˆomio nulo ´e

homogˆeneo de qualquer grau.

Sabemos que C[x1, . . . , xn] é um anel Noetheriano, isto é, todo ideal é finitamente gera-

do. Um ideal I é dito homogêneo quando admite um conjunto de geradores homogêneos. Defini¸c˜ao A.5 (Variedade projetiva) Uma variedade projetiva X _{⊂ P}n _{é o conjunto}

de zeros de um ideal homogˆeneo I ⊂ C[x0, . . . , xn], isto ´e, X = Z(I), onde

Z(I) =_{[a0 : . . . : an]∈ Pn|f(a0, . . . , an) = 0, ∀f ∈ I}.

Uma variedade X, afim ou projetiva, ser´a dita irredut´ıvel quando for irredut´ıvel como espa¸co topol´ogico.

Defini¸c˜ao A.6 As variedades definidas por um ou mais polinˆomios homogˆeneos de grau

Exemplo A.2 As variedades em Pn _{dadas por apenas um polinˆomio n˜ao constante e}

livre de quadrados s˜ao chamadas de hipersuperf´ıcies, e possuem o grau do polinˆomio que as define. Por exemplo,

(i) Uma hipersuperf´ıcie de grau um em Pn _{´e chamada de hiperplano.}

(ii) Uma hipersuperf´ıcie de grau dois em P2 _{´e chamada de cˆonica.}

(iii) Uma hipersuperf´ıcie de grau dois em P3 _{´e chamada de superf´ıcie qu´adrica.}

(iv) Uma hipersuperf´ıcie de grau trˆes em P3 _{´e chamada de superf´ıcie c´}_ubica.

Defini¸c˜ao A.7 Consideremos a variedade linear l = Z(l1, . . . , ln−1) ⊂ Pn onde li =

ai0x0+· · · + ainxn ∈ C[x0, . . . , xn], i = 1, . . . , n− 1. Seja Jl a seguinte matriz:

Jl =      a10 a11 · · · a1n a20 a21 · · · a2n ... ... . .. ... a_n−1,0 a_n−1,1 _{· · · a}_n−1,n     

Dizemos que l ´e uma reta em Pn _{se o posto de J}

l ´e igual a n− 1.

Proposi¸c˜ao A.3 Seja F _{∈ C[x}0, . . . , xn] um polinômio homogêneo de grau d não nulo e

l ⊂ Pn _{uma reta, ent˜ao l}_{⊂ Z(F ) ou l ∩ Z(F ) consiste de no m´aximo d pontos.}

Demonstra¸c˜ao: Veja proposi¸c˜ao 5 pag. 64 em [8].

Defini¸c˜ao A.8 Um subconjunto finito S =_{a1, . . . , an} de um corpo K ´e dito algebrica-

mente independente se o único polinômio f _{∈ K[x}1, . . . , xn] tal que f (a1, . . . , an) = 0 é

o polinômio nulo. Um subconjunto arbitrário S ⊂ K é dito algebricamente independente

quando cada subconjunto finito S′ _{⊂ S for algebricamente independente. Um subconjunto}

S _{⊂ K é dito algebricamente dependente quando não for algebricamente independente.} Defini¸c˜ao A.9 Seja K um corpo e F uma extensão de K. Um subconjunto S _{⊂ F é uma}

base de transcendência para F se S é um conjunto algebricamente independente sobre K tal que F é uma extensão algébrica de K(S).

Exemplo A.3 O subconjunto _{x1, . . . , xn} ´e uma base de transcendˆencia para o corpo de

fra¸c˜oes C(x1, . . . , xn).

E poss´ıvel mostrar que quaisquer duas bases de transcendência de F têm a mesma cardinalidade. Assim faz sentido a seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao A.10 Seja K um corpo e F uma extens˜ao de K. O grau de transcendˆencia

de F sobre K ´e definido como a cardinalidade de qualquer base de F .

Seja X ⊂ An _{uma variedade irredut´ıvel. Definimos o anel de coordenadas de X como}

sendo A(X) = C[x0, . . . , xn]

ℑ(X) . Sendo X irredut´ıvel temos que ℑ(X) é um ideal primo, e portanto A(X) é um dom´ınio de integridade. Assim podemos falar no corpo de fra¸cão do

anel A(X) que tamb´em chamamos de corpo de fun¸c˜oes da variedade X e denotamos por K(X).

No caso de uma variedade projetiva irredut´ıvel X _{⊂ P}n_{. Seja i tal que X} _{∩ U} i 6= ∅,

então definimos o corpo de fun¸cões de X, K(X), como o corpo de fra¸cões K(U ) onde1

U = X _{∩ U}i.

Defini¸cão A.11 (Dimens˜ao) A dimensão de uma variedade irredut´ıvel X ⊂ Pn _{é por}

defini¸cão o grau de transcendência do corpo de fra¸cões K(X) sobre C.

A dimensão de uma variedade redut´ıvel X _{⊂ P}n _{é definida como o máximo das di-}

mensões de suas componentes irredut´ıveis. Se todas as componentes tem a mesma di- mensão d dizemos que X tem dimensão pura igual a d.

Exemplo A.4 Os espa¸cos An _{e P}n _{tˆem dimens˜ao n.}

Exemplo A.5 A variedade linear Z(f1, . . . , fn−k) ⊂ Pn, com {f1, . . . , fn−k} L.I, tem

dimens˜ao igual a k.

Proposi¸c˜ao A.4 Se X ⊂ Y , ent˜ao dimX ≤ dimY . Agora, se Y ´e irredut´ıvel e X ⊂ Y

´e uma subvariedade fechada com dimX = dimY , ent˜ao X = Y .

Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 1 pag. 68 em [9].

Defini¸c˜ao A.12 Seja X _{⊂ P}n_{. Dizemos que X ´e uma variedade quase-projetiva se existir}

um aberto A_{⊂ P}n _{e um fechado F}

⊂ Pn _{tal que X = A}

∩ F .

Defini¸c˜ao A.13 Seja X _{⊂ P}n _{uma variedade alg´ebrica quase-projetiva e f : X}

−→ C

uma fun¸c˜ao. Dizemos que f ´e regular em p ∈ X se, e somente se, existe um aberto U ⊂ X

contendo p e F, G_{∈ C[x}0, . . . , xn] polinˆomios homogˆeneos do mesmo grau tais que:

f (q) = F (q)

G(q) ∀q ∈ U e G(q) 6= 0 ∀q ∈ U. Dizemos que f ´e regular quando for regular em todo ponto p_{∈ X.}

Defini¸c˜ao A.14 Seja X _{⊂ P}n _{uma variedade quase-projetiva e ϕ : X} _{−→ A}m _uma

fun¸c˜ao. Dizemos que ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) ´e regular ou morfismo se, e somente se, ϕi :

X _{−→ C ´e uma fun¸c˜ao regular para todo i = 1, ..., m.}

Defini¸c˜ao A.15 Sejam X ⊂ Pn _{uma variedade alg´ebrica quase-afim e ϕ : X} _{−→ P}m

uma fun¸cão. Dizemos que ϕ é regular ou um morfismo se, e somente se: 1. ϕ é cont´ınua.

2. Para todo aberto Ui ={[a0 : . . . : an]∈ Pm|ai 6= 0} ⊂ Pm tem-se que ϕi = ϕ|ϕ−1_(U_i₎ :

ϕ−1_(U

i)−→ Ui ∼= Am ´e regular.

Considere Ui = Z(xi)C ⊂ Pn, existe um bije¸c˜ao ϕ : Ui −→ An induzida pela aplica¸c˜ao An −→ Pn

dada por (x1, . . . , xn)7−→ [x1: . . . : xi₋₁: 1 : xi+1 : ... : xn]. Assim quando escrevemos U = X∩ An, a

Exemplo A.6 Sejam f0, . . . , fn ∈ C[x0, . . . , xn]d polinˆomios homogˆeneos de grau d tais

que Z(f0, . . . , fn) =∅. A aplica¸c˜ao ϕ : Pn −→ Pn dada por q7−→ [f0(q) : . . . : fn(q)] ´e um

morfismo.

Teorema A.1 (Teorema da Dimens˜ao das Fibras) Seja f : X _{−→ P}n _{um morfismo}

regular entre variedades projetivas e seja Y = f (X)_{⊂ P}n_{. Ent˜ao:}

1 dimf−1_(y)_{≥ dimX − dimY , ∀ y ∈ Y .}

2 Existe um aberto n˜ao vazio U _{⊂ Y tal que dimf}−1_{(y) = dimX}_{− dimY , ∀ y ∈ U.}

Demonstra¸c˜ao: Veja teorema 6 pag. 76 em [9].

Observa¸c˜ao A.1 Dadas as variedades projetivas X _{⊂ P}n _{e Y}

⊂ Pm _{o mergulho de}

Segre (Veja [9] pag. 54) nos permite dar uma estrutura de variedade projetiva ao produto cartesiano X _{× Y . Também pode-se definir a no¸cão de morfismo regular para fun¸cões} cujo dom´ınio está contido num produto.

Corol´ario A.1 Sejam X _{⊂ P}n _{e Y} _{⊂ P}m _{variedades projetivas. Ent˜ao dim(X}_{× Y ) =}

dimX + dimY.

Demonstra¸c˜ao: Considere o morfismo p : X_{× Y −→ X dado por (x, y) 7−→ x. Temos} que p−1_{(x) =}_{{(x, y)| y ∈ Y } = {x} × Y ≡ Y . Segue do Teorema da dimens˜ao das fibras}

que dim(X_{× Y ) − dimX = dimY , isto ´e, dim(X × Y ) = dimX + dimY.}

Defini¸c˜ao A.16 Dada uma hipersuperf´ıcie X = Z(f )_{∈ P}n_{, definimos o espa¸co tangente}

a X no ponto P _{∈ X como} TPX = [x0 : . . . : xn]∈ Pn X ∂f_∂x i (P )xi = 0 .

Defini¸c˜ao A.17 Seja X = Z(f ) uma hipersuperf´ıcie, dizemos que P _{∈ X ´e um ponto}

singular se _∂x∂f

i(P ) = 0 (i = 0, . . . , n). Do contr´ario dizemos que P ´e um ponto regular.

Proposi¸c˜ao A.5 Dada uma hipersuperf´ıcie irredut´ıvel X = Z(f )_{⊂ P}n _{o conjunto}

Xreg :={P ∈ X| P ´e um ponto regular de X}

´e aberto e denso em X.

Demonstra¸c˜ao: Note que Xsing, o complementar de Xreg, ´e dado por

Xsing = Z( ∂f ∂x0 , . . . , ∂f ∂xn ),

e portanto é um fechado. Logo Xreg é aberto. Para completar a demonstra¸cão note que

sendo X irredut´ıvel temos que qualquer aberto não vazio é denso. Assim resta provar que Xsing 6= X. Com efeito, suponha que Xsing = X, então todas as derivadas parciais se

anulam em X, isto ´e, _∂x∂f

i ∈ hfi. Como o grau de f ´e maior que o grau de

∂f

∂xi temos que

∂f

∂xi = 0, e portanto f é constante, o que é uma contradi¸cão.

Defini¸c˜ao A.18 Dizemos que um ponto P de uma hipersuperf´ıcie X ⊂ Pn _{´e uma sin-}

gularidade isolada se existir um aberto U de X contendo P tal que P ´e o ´unico ponto singular de X em U .

Por exemplo, P = [0 : 0 : 0 : 1] ´e uma singularidade isolada de Z(x3

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