Espa¸cos de H¨ older

A continuidade de H¨older ´e uma medida quantitativa de continuidade que ´e especialmente apropriada para o estudo de equa¸c˜oes diferenciais parciais. De um certo modo, ela tamb´em pode ser vista como um conceito de diferenciabilidade fracional. Isso sugere uma amplia¸c˜ao dos espa¸cos Ck_{(Ω) de fun¸c˜oes diferenci´aveis.}

Lembre-se que se Ω_{⊂ R}n _{´e um aberto, ent˜ao C}k_{(Ω) denota o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cujas derivadas}

parciais at´e a ordem k (inclusive) s˜ao todas cont´ınuas: Ck_{(Ω) =}

{f : Ω → R : Dγ_{f ´e cont´ınua em Ω para todo}

|γ| 6 k} . (9.17)

Freq¨uentemente denotamos o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas C0_{(Ω) simplesmente por C(Ω), e definimos}

C∞_{(Ω) =} T k∈N

Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn _{aberto. Os espa¸cos de H¨older C}k,α_{(Ω) s˜ao definidos como os subespa¸cos de}

Ck_{(Ω) consistindo das fun¸c˜oes cujas derivadas parciais at´e a ordem k (inclusive) s˜ao todas cont´ınuas}

de H¨older com expoente α em Ω:

Ck,α(Ω) =f ∈ Ck_{(Ω) : D}γ_f

∈ Cα_{(Ω) para todo}

|γ| 6 k . (9.18)

Permitindo α = 0, podemos incluir os espa¸cos Ck_{(Ω) entre os espa¸cos de H¨older: C}k_{(Ω) = C}k,0_(Ω).

Dado um espa¸co vetorial E, lembre-se que uma norma em E ´e uma fun¸c˜aok·k : E → [0, ∞) que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) (Desigualdade Triangular)_{kv + wk 6 kvk + kwk para todos v, w ∈ E;} (ii) _{kαvk = |α| kvk para todo v ∈ E e para todo α ∈ R;}

(iii) kvk = 0 se e somente se v = 0.

Uma fun¸c˜ao [_{·] : E → [0, ∞) que satisfaz apenas as duas primeiras propriedades ´e chamada uma seminorma.} Por exemplo, [f ]_Cα_(Ω) ´e uma seminorma em Cα(Ω): ´e f´acil ver que as duas primeiras propriedades de uma

norma s˜ao satisfeitas, mas a terceira propriedade n˜ao ´e satisfeita pois [f ]_Cα_(Ω)= 0 para toda fun¸c˜ao constante

f . Um espa¸co vetorial dotado de uma norma ´e chamado um espa¸co normado.

Como Ω ´e aberto, fun¸c˜oes em Ck_{(Ω) (e suas derivadas) n˜ao precisam ser limitadas em Ω. Portanto n˜ao}

podemos adotar a norma do sup para transformar Ck_{(Ω) em um espa¸co normado. Ao inv´es, lembrando que}

uma fun¸c˜ao limitada e uniformemente cont´ınua em Ω tem uma ´unica extens˜ao cont´ınua limitada para Ω, consideraremos o espa¸co

Ck(Ω) =f ∈ Ck_{(Ω) : D}γ_{f ´e limitada e uniformemente cont´ınua em Ω para todo}

|γ| 6 k . (9.19) (Observe que Ck_(Rn_{)6= C}k_(Rn_{).) Transformamos este espa¸co vetorial em um espa¸co normado definindo a}

norma kfkCk_(Ω)= max |γ|6kkD γ_f kL∞_(Ω). (9.20) Similarmente, definimos Ck,α(Ω) =f ∈ Ck_{(Ω) : D}γ_f ∈ Cα_{(Ω) para todo} |γ| 6 k (9.21)

e transformamos Ck,α_{(Ω) em um espa¸co normado definindo}

kfkCk,α_(Ω)=kfk_Ck_(Ω)+ max

|γ|6k[D γ_{f ]}

Cα_(Ω). (9.22)

Novamente, identificamos Ck_{(Ω) = C}k,0_{(Ω). Lembrando que um espa¸co de Banach ´e um espa¸co normado}

em que toda seq¨uˆencia de Cauchy ´e convergente, temos o seguinte resultado: Teorema 9.5. Seja Ω_{⊂ R}n _{aberto. Ent˜ao C}k,α_{(Ω) ´e um espa¸co de Banach.}

A demonstra¸c˜ao deste resultado fica como exerc´ıcio (Exerc´ıcio 9.2). Agora, observamos que se 0 < α < β 6 1 valem as seguintes inclus˜oes:

Ck,β_{(Ω)$ C}k,α_{(Ω)$ C}k_(Ω).

Tamb´em ´e claro que

Ck,1(Ω)6⊂ Ck+1_(Ω).

Em geral tamb´em temos Ck+1_{(Ω) 6⊂ C}k,1_{(Ω), a n˜ao ser quando o dom´ınio ´e convexo, quando podemos}

aplicar o teorema do valor m´edio (veja o teorema a seguir e o Exerc´ıcio 9.4). Podemos caracterizar melhor topologicamente as inclus˜oes lembrando os conceitos de imers˜ao cont´ınua e imers˜ao compacta:

Defini¸c˜ao. Seja E um subespa¸co vetorial normado de um espa¸co normado F (ou seja, a norma em E n˜ao precisa necessariamente ser a norma induzida de F ). Dizemos que a inclus˜ao E _{⊂ F ´e uma imers˜ao} (cont´ınua) se a aplica¸c˜ao inclus˜ao I : E _{→ F definida por Ix = x for cont´ınua. Denotamos este fato} por

E ֒_{→ F.}

Se, al´em disso, a aplica¸c˜ao inclus˜ao for compacta, dizemos que a imers˜ao E ֒_{→ F ´e compacta.} Como a aplica¸c˜ao inclus˜ao ´e linear, o fato de existir uma imers˜ao E ֒_{→ F ´e equivalente `a existˆencia de uma} constante C tal que

kxkF 6CkxkE para todo v∈ E. (9.23)

Em particular, se (xn) ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy em E, ent˜ao (xn) tamb´em ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy em

F ; logo, se xn→ x em E, ent˜ao xn→ x em F tamb´em. ´E claro que se E tem a norma induzida de F , ent˜ao

a inclus˜ao E⊂ F ´e uma imers˜ao, com C = 1. Quando existe uma imers˜ao E ֒→ F , dizer que ela ´e compacta ´e equivalente a dizer que seq¨uˆencias limitadas de E possuem subseq¨uˆencias convergentes em F (isto ´e, na topologia de F ). A compacidade das imers˜oes de espa¸cos de H¨older definidos em dom´ınios limitados ´e uma conseq¨uˆencia direta do Teorema de Ascoli-Arzel´a, como o pr´oximo teorema mostra:

Teorema 9.6. Seja Ω _{⊂ R}n _{aberto. Ent˜ao, para todo k e para todos 0 < α < β 6 1 valem as seguintes} imers˜oes:

Ck+1_{(Ω) ֒}

→ Ck_{(Ω), (9.24)}

Ck,α(Ω) ֒_{→ C}k(Ω), (9.25)

Ck,β(Ω) ֒_{→ C}k,α(Ω). (9.26)

Se Ω ´e limitado, ent˜ao as duas ´ultimas imers˜oes s˜ao compactas e se Ω ´e convexo e limitado, todas as trˆes imers˜oes s˜ao compactas.

Se Ω ´e convexo, valem duas imers˜oes adicionais

Ck+1(Ω) ֒→ Ck,1_{(Ω), (9.27)}

Ck+1(Ω) ֒→ Ck,α_{(Ω), (9.28)}

sendo que a ´ultima ´e compacta se Ω for tamb´em limitado.

Prova. Primeiro vamos estabelecer a existˆencia das cinco imers˜oes. A existˆencia das imers˜oes (9.24) e (9.25) segue das desigualdades ´obvias

kfkCk_(Ω)6kfk_Ck+1_(Ω),

kfkCk_(Ω)6kfk_Ck,α_(Ω).

Para estabelecer (9.26), observamos que se 0 < α 6 β, ent˜ao

|x − y|α>_{|x − y|}β se 0 <|x − y| 6 1, e

|x − y|α>1 se _{|x − y| > 1.} Logo, para todo_{|γ| 6 k temos}

sup x,y∈Ω 0<|x−y|61 |Dγ_{f (x)− D}γ_{f (y)|} |x − y|α 6x,y∈Ωsup |Dγ_{f (x)− D}γ_{f (y)|} |x − y|β = [D γ_{f ]} Cβ_(Ω)

e sup x,y∈Ω |x−y|>1 |Dγ_{f (x)} − Dγ_{f (y)} | |x − y|α 62 supΩ |D γ_f | = 2 kDγ_f kC0_(Ω), donde kfkCk,α_(Ω)63kfk_Ck,β_(Ω).

Para estabelecer a existˆencia de (9.27) e (9.28), suponha agora que Ω ´e convexo. Seja f _{∈ C}k+1_{(Ω). Dados}

x, y_{∈ Ω e |γ| 6 k, pelo Teorema do Valor M´edio existe um ponto z ∈ Ω no segmento de reta que liga x e y} tal que

Dγf (x)_{− D}γf (y) =_∇Dγf (z)_{· (x − y).} Portanto,

|Dγf (x)_{− D}γf (y)_{| 6 kfkC}k+1_(Ω)|x − y|

para todos x, y_{∈ Ω e para todo |γ| 6 k , o que implica f ∈ C}k,1_{(Ω) e}

kfkCk,1_(Ω)6kfk_Ck+1_(Ω).

A imers˜ao (9.28) segue das imers˜oes (9.26) e (9.27).

Vamos agora estabelecer a compacidade das imers˜oes. De agora em diante assuma que Ω ´e limitado. Mostremos primeiramente que (9.25) ´e compacta no caso k = 0. Se (fj) ´e uma seq¨uˆencia limitada de

fun¸c˜oes em C0,α_{(Ω) = C}α_{(Ω), ent˜ao existe M > 0 tal que}

kfjk_Cα_(Ω)6M para todo j. Mas ent˜ao

|fj(x)| 6 M para todo x ∈ Ω e para todo j,

o que implica que a seq¨uˆencia (fj) ´e uniformemente limitada, e

|fj(x)− fj(y)| 6 M |x − y|α para todos x, y∈ Ω e para todo j,

o que implica que a seq¨uˆencia (fj) ´e uniformemente eq¨uicont´ınua. Pelo Teorema de Ascoli-Arzel´a, (fj) possui

uma subseq¨uˆencia convergente em C0_{(Ω). Isso prova a compacidade de (9.25) no caso k = 0.}

No caso geral, se (fj) ´e uma seq¨uˆencia limitada de fun¸c˜oes em Ck,α(Ω), ent˜ao em particular (fj) ´e

uma seq¨uˆencia limitada de fun¸c˜oes em C0,α_{(Ω) e portanto possui uma subseq¨uˆencia convergente em C}0_(Ω),

como acabamos de ver, que continuaremos denotando por (fj). Assim, existe f∈ C0(Ω) tal que fj→ f em

C0_{(Ω). Mas (D}1_f

j) tamb´em ´e limitada em C0,α(Ω), logo existe uma subseq¨uˆencia de (fj) , que continuaremos

denotando por (fj), tal que D1fj→ f1em C0(Ω), para alguma f1∈ C0(Ω). Como a convergˆencia em C0(Ω)

corresponde `a convergˆencia uniforme em Ω, conclu´ımos que f1_{= D}1_{f . Continuando este processo de extrair}

subseq¨uˆencias, conclu´ımos que Dγ_f

j → Dγf em C0(Ω) para todo |γ| 6 k. Isso significa que fj → f em

Ck_{(Ω), o que estabelece a compacidade de (9.25).}

A compacidade de (9.26) segue da compacidade de (9.25). Basta apenas observar o seguinte: se (fj) ´e

uma seq¨uˆencia limitada de fun¸c˜oes em Ck,β_{(Ω), digamoskf}

jk_Ck,β_(Ω)6M , ent˜ao podemos escrever

|Dγ_f j(x)− Dγfj(y)| |x − y|α = |Dγ_f j(x)− Dγfj(y)| |x − y|β !α β |Dγ_f j(x)− Dγfj(y)|1− α β 6Mα/β_|Dγfj(x)− Dγfj(y)|1− α β _, ou seja, [Dγfj]_Cα_(Ω)62 1−α β_Mα/βkDγ_f jk 1−α β C0_(Ω).

Por (9.25), (fj) possui uma subseq¨uˆencia convergente em Ck(Ω). A desigualdade que acabamos de obter im-

plica, ent˜ao, que cada uma das derivadas parciais desta mesma subseq¨uˆencia converge em C0,α_{(Ω). Portanto,}

Finalmente, se Ω ´e convexo ´e limitado, a compacidade de (9.24) e (9.28) segue respectivamente de compor a imers˜ao cont´ınua (9.27) com as imers˜oes compactas (9.25) e (9.26) para o caso α = 1, respectivamente:

Ck+1(Ω) ֒_{→ C}k,1(Ω)compacta֒_→ Ck(Ω), Ck+1(Ω) ֒→ Ck,1_(Ω)compacta_֒

→ Ck,α(Ω). 

Agora observamos que o produto de duas fun¸c˜oes cont´ınuas de H¨older limitadas ainda ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de H¨older (limitada). Portanto, os espa¸cos de H¨older Ck,α_{(Ω) s˜ao ´algebras.}

Proposi¸c˜ao 9.7. Seja Ω⊂ Rn _{aberto. Se f, g}

∈ Cα_{(Ω), ent˜ao f g} ∈ Cα_{(Ω) e} [f g]_Cα_(Ω)6kfk_C0_(Ω)[g]_Cα_(Ω)+kgk_C0_(Ω)[f ]_Cα_(Ω). Prova. Temos |f(x)g(x) − f(y)g(y)| |x − y|α =

|f(x)g(x) − f(x)g(y) + f(x)g(y) − f(y)g(y)| |x − y|α 6_|f(x)||g(x) − g(y)| |x − y|α +|g(y)| |f(x) − f(y)| |x − y|α . 

Uma das mais importantes propriedades dos espa¸cos de H¨older ´e a desigualdade de interpola¸c˜ao, que torna poss´ıvel estudar somente o termo mais importante ao derivar uma estimativa a priori, simplificando assim a demonstra¸c˜ao. Usamos o argumento de compacidade cl´assico para a demonstra¸c˜ao deste tipo de desigualdade. No que se segue, consideraremos as seminormas

[f ]_Ck_(Ω)= X |γ|=k kDγ_f kL∞_(Ω), (9.29) [f ]_Ck,α_(Ω)= X |γ|=k [Dγf ]_Cα_(Ω). (9.30)

A norma introduzida anteriormente para os espa¸cos Ck,α_{(Ω) ´e equivalente `a norma}

kfkCk,α_(Ω)=

k

X

j=0

[f ]_Cj_(Ω)+ [f ]_Ck,α_(Ω) (9.31)

(veja o Exerc´ıcio 9.5). Em vista disso, usaremos em cada situa¸c˜ao a norma que for mais conveniente. Teorema 9.8. (Desigualdade de Interpola¸c˜ao) Seja Ω_{⊂ R}n _{um aberto limitado. Se 0 6 α 6 1, ent˜ao para}

todo ε > 0 vale

[u]_C1_(Ω)6ε [u]_C2,α_(Ω)+ CεkukC0_(Ω), (9.32)

[u]_C2_(Ω)6ε [u]_C2,α_(Ω)+ CεkukC0_(Ω), (9.33)

para todo u _{∈ C}2,α_{(Ω), com a constante C}

ε = C (ε, n, α, Ω). Al´em disso, se Ω ´e convexo, valem tamb´em

[u]_Cα_(Ω)6ε [u]_C2,α_(Ω)+ Cεkuk_C0_(Ω), (9.34)

Prova. Provaremos primeiro (9.33). Se (9.33) n˜ao ´e v´alida, ent˜ao para todo m∈ N existe um∈ C2,α(Ω) tal

que

[um]C2_(Ω)> ε [um]C2,α_(Ω)+ mkumkC0_(Ω).

Usando a homogeneidade da desigualdade (isto ´e, se (9.33) ´e v´alida para uma fun¸c˜ao v, ela cont´ınua v´alida para qualquer m´ultiplo escalar λv de v), podemos assumir sem perda de generalidade que

kumkC2_(Ω)= 1 (9.36)

para todo m, pois se isso n˜ao ocorrer podemos substituir umpor vm= um/kumk_C2_(Ω). Como [um]_C2_(Ω)6

kumk_C2_(Ω), segue que ε [um]_C2,α_(Ω)+ mkumk_C0_(Ω)< 1, donde [um]_C2,α_(Ω)< 1 ε (9.37) e kumk_C0_(Ω)< 1 m. (9.38)

De (9.36) e (9.37) conclu´ımos, via a norma equivalente introduzida acima, que a seq¨uˆencia (um) ´e limitada

em C2,α_{(Ω). Segue ent˜ao da compacidade da imers˜ao C}2,α_{(Ω) ֒→ C}2_{(Ω) que existe uma subseq¨uˆencia u} mj
de (um) tal que umj → u em C 2_{(Ω); em particular, kuk} C2_(Ω) = lim umj

C2_(Ω) = 1. Por outro lado, de

(9.38) conclu´ımos que um→ 0 uniformemente em C0(Ω). Isso implica que u = 0, uma contradi¸c˜ao.

A demonstra¸c˜ao das outras trˆes desigualdades ´e an´aloga, uma vez que observamos que [um]_C1_(Ω)6kumk_C2_(Ω),

por defini¸c˜ao, e que, se Ω ´e convexo, existe uma constante C = C (n, α, Ω) tal que [um]_Cα_(Ω)6Ckumk_C2_{(Ω) ,}

[um]_C1,α_(Ω)6Ckumk_C2_{(Ω) .}

Estas duas ´ultimas desigualdades decorrem da continuidade da imers˜ao C2_{(Ω) ֒}

→ C1,α_(Ω):

kukC1,α_{(Ω) = kukC}1_{(Ω) + [u]C}α_{(Ω) + [Du]C}α_(Ω)6Ckuk_C2_{(Ω) .}



Uma vers˜ao da desigualdade de interpola¸c˜ao para espa¸cos de H¨older de qualquer ordem ´e apresentada no Exerc´ıcio 9.9. Para os nossos prop´ositos de estudar equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem, a desigualdade de interpola¸c˜ao do Teorema 9.8 ser´a suficiente.

No documento Equações Diferenciais Parciais I/II (páginas 174-179)