O Problema de Cauchy para Equa¸c˜ oes Quasilineares Bidimensionais

1.3 Equa¸cões de Primeira Ordem Linear com Coeficientes Variáveis e o Método das Caracter´ısticas

2.1.3 O Problema de Cauchy para Equa¸c˜ oes Quasilineares Bidimensionais

Relembrando as defini¸cões da se¸cão anterior, consideraremos uma equa¸cão quasilinear de primeira ordem na forma

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy= c(x, y, u) em Ω⊂ R2, (2.12)

onde Ω ´e um aberto e a, b, c∈ C1_(Ω_{× R), com a e b nunca se anulando simultaneamente. Uma superf´ıcie}

Σ ⊂ Ω × R é chamada uma superf´ıcie integral para esta equa¸cão, se para todo ponto (x, y, z) ∈ Σ, o vetor (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) é tangente a Σ; se Σ puder ser escrita como o gráfico de uma fun¸cão z = u(x, y), (x, y)_{∈ Ω, isto é equivalente a dizer que a(x, y, u)u}x+ b(x, y, u)uy= c(x, y, u) em Ω, isto é, que

u é uma solu¸cão para a equa¸cão quasilinear, e dizemos que Σ é uma superf´ıcie solu¸cão. As curvas que satisfazem o sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias não-lineares

   x′_{(t) = a(x(t), y(t), z(t))} y′_{(t) = b(x(t), y(t), z(t))} z′_{(t) = c(x(t), y(t), z(t))}

são chamadas as curvas caracter´ısticas associadas à equa¸cão quasilinear (2.12). O sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias que a define é chamado o sistema de equa¸cões caracter´ısticas ou, simplesmente, sistema caracter´ıstico.

Proposi¸c˜ao 2.5. Se uma superf´ıcie Σ_{⊂ R}3 _{´e a uni˜}_{ao de curvas caracter´ısticas para a equa¸c˜}_{ao quasilinear}

(2.12), então ela é uma superf´ıcie integral para ela. Reciprocamente, toda superf´ıcie integral z = u(x, y) é a união de curvas caracter´ısticas.

Prova. A primeira afirma¸cão é óbvia, já que por todo ponto p de Σ passa uma curva caracter´ıstica Γ contida na superf´ıcie e o vetor tangente `a uma curva caracter´ıstica por defini¸cão tem a dire¸cão do vetor caracter´ıstico (a, b, c): como o vetor tangente a Γ em p pertence ao plano tangente TpΣ, porque Γ⊂ Σ, conclu´ımos que em

todo ponto da superf´ıcie o vetor caracter´ıstico está contido no plano tangente à superf´ıcie naquele ponto. Para provar a rec´ıproca, seja Σ uma superf´ıcie integral que é o gráfico de uma fun¸cão z = u(x, y), (x, y)_{∈ Ω. Dado um ponto (x}0, y0, z0) = (x0, y0, u(x0, y0))∈ Σ, seja Γ a curva caracter´ıstica que passa por

este ponto. Mostraremos que Γ_{⊂ Σ.}

De fato, seja γ : t_{7→ (x(t), y(t), z(t)) uma parametriza¸c˜ao de Γ satisfazendo}    x′_{(t) = a(x(t), y(t), z(t))} y′_{(t) = b(x(t), y(t), z(t))} z′_{(t) = c(x(t), y(t), z(t))}

e (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0); como o vetor tangente à curva caracter´ıstica Γ em (x0, y0, z0) não é paralelo

ao eixo u, esta parametriza¸c˜ao faz sentido. Defina

w(t) = z(t)_{− u(x(t), y(t)).} (2.13)

Provaremos que w_{≡ 0, isto ´e, z(t) = u(x(t), y(t)) para todo t e portanto Γ ⊂ Σ. De fato, temos} w(0) = z(0)− u(x(0), y(0)) = z0− u(x0, y0) = 0

w′(t) = z′(t)_{− u}x(x(t), y(t))x′(t)− uy(x(t), y(t))y′(t)

= c(x(t), y(t), z(t))− a(x(t), y(t), z(t))ux(x(t), y(t))− b(x(t), y(t), z(t))uy(x(t), y(t))

= c(x(t), y(t), w(t) + u(x(t), y(t)))

− a(x(t), y(t), w(t) + u(x(t), y(t)))ux(x(t), y(t))− b(x(t), y(t), w(t) + u(x(t), y(t)))uy(x(t), y(t)).

Portanto, w é a solu¸cão única do problema de valor inicial 

 

w′_{(t) = c(x(t), y(t), w(t) + u(x(t), y(t)))}

− a(x(t), y(t), w(t) + u(x(t), y(t)))ux(x(t), y(t))

− b(x(t), y(t), w(t) + u(x(t), y(t)))uy(x(t), y(t)),

w(0) = 0.

Por outro lado, a solu¸cão identicamente nula também é uma solu¸cão para este problema, porque u é uma solu¸cão para a equa¸cão quasilinear. Por unicidade de solu¸cão para uma equa¸cão diferencial ordinária, segue que w≡ 0.

Corol´ario 2.6. Se duas superf´ıcies solu¸cão têm um ponto em comum, então elas se interceptam ao longo de toda a curva caracter´ıstica que passa por este ponto. Reciprocamente, se duas superf´ıcies integrais interceptam-se transversalmente ao longo de uma curva, então esta curva é uma curva caracter´ıstica. Prova. A primeira afirma¸cão é uma conseqüência direta da Proposi¸cão 2.5. Para provar a segunda afirma¸cão, sejam Σ1, Σ2 duas superf´ıcies integrais que se interceptam transversalmente ao longo de uma curva Γ. Dado

um ponto qualquer p ∈ Γ, considere os planos tangentes TpΣ1, TpΣ2. Como a intersec¸c˜ao das superf´ıcies

integrais é transversal, por defini¸cão os planos TpΣ1e TpΣ2também interceptam-se transversalmente, isto é,

ao longo de uma única dire¸cão comum, a qual obviamente é a dire¸cão tangente à curva Γ em p. Esta dire¸cão é dada pelo vetor (a, b, c), já que ambos os planos contêm este vetor, por defini¸cão de superf´ıcie integral. Segue que a tangente à curva Γ em p está na dire¸cão do vetor (a, b, c), logo Γ é uma curva caracter´ıstica. A Proposi¸cão 2.5 pode ser vista como descrevendo a solu¸cão geral para a equa¸cão quasilinear: a solu¸c˜ao geral é o conjunto de superf´ıcies solu¸cão, as quais por sua vez são uniões de curvas caracter´ısticas. Uma solu¸cão particular u(x, y) pode ser obtida através da especifica¸cão de uma superf´ıcie solu¸cão. A especifica¸cão de uma superf´ıcie integral em geral pode ser feita através de uma curva inicial eΓ no espa¸co xyz que seja capaz de gerar uma tal superf´ıcie. Uma condi¸cão necessária é que a curva eΓ seja transversal às curvas caracter´ısticas: as curvas caracter´ısticas que passam pelos pontos de eΓ geram uma superf´ıcie integral. Se parametrizarmos eΓ por

γ(s) = (α(s), β(s), f (s)),

então especificar a superf´ıcie solu¸cão que passa por eΓ é equivalente a encontrar a solu¸cão u(x, y) para a equa¸cão quasilinear que satisfa¸ca a condi¸cão

f (s) = u(α(s), β(s))

sobre a curva inicial Γ parametrizada por γ(s) = (α(s), β(s)). É necessário, pois, saber que condi¸cões a curva inicial Γ deve satisfazer para que a curva eΓ gere uma superf´ıcie integral que seja o gráfico de uma fun¸cão

z = u(x, y), para que possamos estabelecer a existência de uma solu¸cão (pelo menos local) para o problema de Cauchy assim definido. Segue do próximo teorema que a única condi¸cão exigida é que a curva inicial Γ intercepte transversalmente as proje¸cões das curvas caracter´ısticas em Ω. A grande diferen¸ca com rela¸cão ao caso linear é que no caso quasilinear as proje¸cões caracter´ısticas não são independentes da condi¸cão inicial: enquanto que no caso linear as proje¸cões caracter´ısticas são exclusivamente associadas à equa¸cão, e não se alteram quando a condi¸cão inicial do problema muda, no caso quasilinear a sua defini¸cão depende também da condi¸cão f sobre a curva inicial Γ. Isso se deve ao fato de que no caso quasilinear o vetor tangente às proje¸cões caracter´ısticas no ponto de interse¸cão com a curva inicial é o vetor (a(α(s), β(s), f (s)), b(α(s), β(s), f (s))). Teorema 2.7. (Existência e Unicidade Locais para o Problema de Cauchy Quasilinear) Sejam Ω⊂ R2 _um

aberto e Γ_{⊂ Ω uma curva de classe C}1_{. Seja γ(s) = (α(s), β(s)) uma parametriza¸c˜}_{ao de Γ de classe}

C1_{, definida em um intervalo aberto I}

⊂ R. Suponha que a, b, c ∈ C1_(Ω

× R), f ∈ C1_{(I), com a e b} n˜ao se anulando simultaneamente em nenhum ponto x_{∈ Ω e satisfazendo}

det α′_(s) _{a(α(s), β(s), f (s))} β′_(s) _{b(α(s), β(s), f (s))} 6= 0 para todo s ∈ I. (2.14)

Ent˜ao, o problema de Cauchy quasilinear

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy= c(x, y, u) se (x, y)∈ Ω,

u(α(s), β(s)) = f (s) se s∈ I, (2.15)

possui uma ´unica solu¸c˜ao de classe C1 _{em uma vizinhan¸ca de Γ.}

Prova. Seja (x(s, t), y(s, t), u(s, t)) a solu¸c˜ao local, definida em uma vizinhan¸ca V0, do sistema de equa¸c˜oes

caracter´ısticas _               ∂x

∂t(s, t) = a(x(s, t), y(s, t), u(s, t)) ∂y

∂t(s, t) = b(x(s, t), y(s, t), u(s, t)) ∂u

∂t(s, t) = c(x(s, t), y(s, t), u(s, t)) sujeito `a condi¸c˜ao inicial _

  x(s, 0) = α(s) y(s, 0) = β(s) u(s, 0) = f (s) .

A hipótese do determinante significa geometricamente que a curva inicial intercepta as proje¸cões das curvas caracter´ısticas em Ω transversalmente; analiticamente, através do Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, ela permite encontrar localmente s, t em fun¸cão de x, y (ou seja, nesta vizinhan¸ca da curva Γ, a superf´ıcie escreve-se como o gráfico de uma fun¸cão de x, y). De fato, para cada s temos

∂(x, y) ∂(s, t)(s, 0) = det     ∂x ∂s(s, 0) ∂x ∂t(s, 0) ∂y ∂s(s, 0) ∂y ∂t(s, 0)     = det α′_{(s) a(α(s), β(s), f (s))} β′_(s) _{b(α(s), β(s), f (s))} 6= 0, logo, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, em uma vizinhan¸ca V ⊂ V0 de Γ podemos resolver

x = x(s, t) y = y(s, t) para s e t em termos de x e y, obtendo

s = s(x, y) t = t(x, y) ,

com

s(α(s), β(s)) = s e t(α(s), β(s)) = 0. Conseq¨uentemente, podemos definir u como uma fun¸c˜ao de x e y:

u = u(x, y) = u(s(x, y), t(x, y)).

Vamos verificar que a fun¸cão u assim definida satisfaz o problema de Cauchy. A condi¸cão inicial é satisfeita porque

u(α(s), β(s)) = u(s, 0) = f (s).

Que u satisfaz a equa¸c˜ao quasilinear pode ser visto atrav´es da regra da cadeia: como ux= ussx+ uttx,

uy= ussy+ utty,

segue que

aux+ buy= (asx+ bsy)us+ (atx+ bty)ut.

Mas, novamente pela regra da cadeia,

asx+ bsy= sxxt+ syyt= st= 0,

pois s, t s˜ao vari´aveis independentes, e

atx+ bty= txxt+ tyyt= tt= 1.

Portanto,

aux+ buy= ut= c.

A unicidade da solu¸cão segue da teoria de unicidade para solu¸cões de equa¸cões diferenciais ordinárias. Se u(x, y) é uma solu¸cão qualquer para o problema de Cauchy na vizinhan¸ca V encontrada acima, nós constru´ımos uma curva (x(t), y(t))_{⊂ V como sendo a solu¸cão do sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias}

x′_{(t) = a(x(t), y(t), u(x(t), y(t))}

y′_{(t) = b(x(t), y(t), u(x(t), y(t))}

sujeito à condi¸cão inicial (x(0), y(0)) = (x0, y0), onde (x0, y0) é um ponto qualquer do dom´ınio da superf´ıcie

solu¸c˜ao. Defina agora

u(t) = u(x(t), y(t)). Ent˜ao u(t) satisfaz

u′(t) = uxxt+ uyyt= aux+ buy= c(x(t), y(t), u(x(t), y(t))),

de modo que a curva (x(t), y(t), u(t)) satisfaz o sistema de equa¸cões caracter´ısticas e passa por um ponto (x0, y0, u0) na superf´ıcie. Pelo teorema de unicidade para equa¸cões diferenciais ordinárias, esta curva é única.

A seguir, vamos ilustrar o teorema anterior considerando alguns exemplos de problemas de valor inicial para equa¸c˜oes quasilineares que surgem em situa¸c˜oes f´ısicas.

Exemplo 2.8. Primeiro vamos analisar o problema de valor inicial para a equa¸c˜ao cinem´atica da onda

ut+ c(u)ux= 0 se x∈ R e t > 0,

onde c e f são fun¸cões de classe C1_{. O sistema caracter´ıstico é}    x′_{= c(u)} t′_{= 1} u′_{= 0} ,

com condi¸c˜ao inicial parametrizada por    x(s, 0) = s t(s, 0) = 0 u(s, 0) = f (s) . Como ∂(x, y) ∂(s, t)(s, 0) = det 1 u(s, 0) 0 1 6= 0,

sabemos que existe uma solu¸cão local em uma vizinhan¸ca do eixo x. Integrando cada equa¸cão do sistema caracter´ıstico e levando em conta as condi¸cões iniciais, obtemos as curvas caracter´ısticas

x = c(u)t + s, t = t,

u = f (s).

Observe que, dado um ponto inicial (x0, 0) no eixo x, a curva caracter´ıstica emanando deste ponto

é uma reta, com inclina¸cão variável c(u(x0)) = c(f (x0)) dependendo do ponto x0: é a reta x =

c(f (x0))t + x0. Portanto, apesar do problema ser n˜ao-linear, vemos que suas curvas caracter´ısticas

são retas. Além disso, como u′ _{= 0, segue que u é constante ao longo destas retas caracter´ısticas}

(conseqüência da equa¸cão ser homogênea), logo o valor de u nos pontos (x0, 0) é transmitido ao longo das

retas caracter´ısticas com velocidade variável igual a c(f (x0)). A solu¸cão é, portanto, u(x, t) = c(f (x0))

se x = c(f (x0))t + x0.

Queremos investigar a existência de uma solu¸cão global, definida para todo t > 0. Resolvendo s, t implicitamente em fun¸cão de x, t, segue que

u(x, t) = f (x_{− c(u)t).} (2.16)

Obviamente esta é uma equa¸cão impl´ıcita que ainda não é a solu¸cão u. Sabemos que existe uma solu¸cão local em uma vizinhan¸ca do eixo x, mas para que exista uma solu¸cão global u é necessário poder escrever a variável s explicitamente em fun¸cão de x, t. Para isso, é necessário que as retas caracter´ısticas não se interceptem: cada ponto (s, t) deve corresponder a um único ponto (x, t), o que não acontece no ponto de interse¸cão de duas retas caracter´ısticas, quando diferentes valores de s dão origem a um mesmo ponto (x, t). O teorema de existência e unicidade local garante que isso não ocorre durante um certo tempo (ou seja, próximo a vizinhan¸ca do eixo x), mas não pode garantir que isso eventualmente não acontecerá, para algum valor de t. Para que as retas caracter´ısticas nunca se interceptem, a fun¸cão c_{◦ f precisa ser não-decrescente, ou seja, ambas as fun¸cões c e f devem ser não-decrescentes. Quando} isso ocorre, existe uma solu¸cão global para o problema de valor inicial.

Exemplo 2.9. Vamos considerar agora o seguinte problema espec´ıfico de valor inicial para a equa¸c˜ao de

Burgers: _   ut+ uux= 0 se x∈ R e t > 0, u(x, 0) = f (x) = 0 se x 6 0, e−1/x _{se x > 0.}

Neste caso temos c(u) = u e f é uma fun¸cão de classe C∞_{. Ambas são fun¸cões não-decrescentes. As}

se x 6 0 e as retas caracter´ısticas s˜ao retas verticais; se x > 0, ent˜ao c = e−1/x _{e as caracter´ısticas}

come¸cam a inclinar-se para a direita, tendendo à velocidade 1 quando x _{→ ∞, descrevendo uma} situa¸cão em que as retas caracter´ısticas tendem a se espalhar (esboce o diagrama caracter´ıstico). A região onde as caracter´ısticas se espalham é chamada uma onda de rarefa¸cão. A solu¸cão do problema é dada implicitamente por

u(x, t) = 0 se x 6 0, e−1/s _{onde x} − s = te−1/s_{, se x > 0.}

Terminamos esta se¸cão dando uma solu¸cão mais completa para o problema de Cauchy quasilinear, considerando também o caso em que a curva inicial é uma proje¸cão caracter´ıstica.

Teorema 2.10. (Solu¸c˜ao do Problema de Cauchy Quasilinear) Seja Ω _{⊂ R}2 _{um aberto. Suponha que}

a, b, c_{∈ C}1_(Ω

× R), f ∈ C1_{(I) e que a, b n˜}_{ao se anulam simultaneamente em nenhum ponto (x, y)}

∈ Ω. Considere o problema de Cauchy quasilinear

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy= c(x, y, u) se (x, y)∈ Ω,

u(α(s), β(s)) = f (s) se s_{∈ I,} (2.17)

onde γ(s) = (α(s), β(s)) ´e a parametriza¸c˜ao de uma curva Γ _{⊂ Ω de classe C}1_{. Defina a curva}

Γ(s) = (α(s), β(s), f (s)). Valem as seguintes possibilidades:

(i) Se Γ é transversal às proje¸cões caracter´ısticas do problema de Cauchy, então (2.17) tem uma ´

unica solu¸c˜ao de classe C1_{na vizinhan¸ca de Γ; a superf´ıcie solu¸c˜}_{ao ´e gerada por e}_{Γ e pelas curvas} caracter´ısticas que interceptam eΓ transversalmente.

(ii) Se Γ é uma proje¸cão caracter´ıstica e eΓ é uma curva caracter´ıstica da equa¸cão quasilinear, então (2.17) tem infinitas solu¸cões.

(iii) Se Γ é uma proje¸cão caracter´ıstica e eΓ não é uma curva caracter´ıstica da equa¸cão quasilinear, então (2.17) não tem solu¸cão.

Prova. A parte (i) é essencialmente o Teorema 2.7. Para provar a parte (ii), considere uma curva plana qualquer ∆ que intercepta a curva Γ em um ponto γ(s0) = (α(s0), β(s0)) e que é transversal às proje¸cões

caracter´ısticas. Seja δ(s) = (ϕ(s), ψ(s)) uma parametriza¸c˜ao de ∆ com δ(s0) = γ(s0), e seja g uma fun¸c˜ao de

classe C1 _{tal que g(0) = f (s}

0). Como ∆ é transversal às proje¸cões caracter´ısticas, pela parte (i) o problema

de Cauchy

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy= c(x, y, u) se (x, y)∈ Ω,

u(ϕ(s), ψ(s)) = g(s) se s∈ I,

tem uma única solu¸cão u na vizinhan¸ca de ∆. Além disso, a superf´ıcie solu¸cão contém a curva e∆(t) = (δ(t), g(t)) e todas as curvas caracter´ısticas que interceptam e∆. Em particular, a superf´ıcie solu¸cão contém e

Γ, e portanto a solu¸cão u também é solu¸cão do problema de Cauchy com condi¸cão inicial f em Γ. Como existe uma infinidade de escolhas poss´ıveis para δ(t) e g(t), o problema tem uma infinidade de solu¸cões.

A demonstra¸cão de (iii) segue por contradi¸cão. Suponha por absurdo que o problema de Cauchy tenha solu¸cão neste caso. Derivando a condi¸cão inicial, obtemos

α′_(s)u

x(α(s), β(s), f (s)) + β′(s)uy(α(s), β(s), f (s)) = f′(s).

Por outro lado, a equa¸c˜ao quasilinear no ponto (α(s), β(s), f (s)) fica

Comparando as equa¸c˜oes e usando o fato que os vetores emR2

(α′_{(s), β}′_(s)) _e _{(a(α(s), β(s), f (s)), b(α(s), β(s), f (s)))}

são iguais, pois Γ é uma proje¸cão caracter´ıstica, conclu´ımos que os vetores emR3

(α′(s), β′(s), f′(s)) e (a(α(s), β(s), f (s)), b(α(s), β(s), f (s)), c(α(s), β(s), f (s))) também são iguais, contradizendo o fato de que eΓ não é caracter´ıstica.

Observe que o Teorema 2.10 trata apenas dos casos extremos. Para uma análise de alguns casos intermediários (por exemplo, quando a curva inicial é tangente a uma proje¸cão caracter´ıstica em apenas um ponto), veja [Iório].

2.1.4 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.2. Nos ´ıtens a seguir, resolva o problema de Cauchy para as equa¸c˜oes quasilineares, esbo¸cando as proje¸c˜oes das caracter´ısticas.

(a) ut+ uux=−ku2 se x∈ R e t > 0, u(x, 0) = 1 se x_{∈ R.} (b) ut+ cux= xu se x∈ R e t > 0, u(x, 0) = f (x) se x_{∈ R.} (c) ut− xtux= x se x∈ R e t > 0, u(x, 0) = f (x) se x∈ R. (d) ut+ ux= u2 se x∈ R e t > 0, u(x, 0) = f (x) se x_{∈ R.}

Exerc´ıcio 2.3. Considere o problema de valor inicial

ut+ uux=−ku se x∈ R e t > 0,

u(x, 0) = f (x) se x_{∈ R,}

onde k é uma constante positiva. Determine uma condi¸cão em f para que uma solu¸cão exista para todo x_{∈ R e t > 0, e determine uma solu¸cão em forma impl´ıcita.}

Exerc´ıcio 2.4. Enuncie e demonstre o Teorema 2.1 no caso geral n-dimensional. Exerc´ıcio 2.5. Demonstre o Teorema 2.2 no caso geral n-dimensional.

Exerc´ıcio 2.6. ([John], p´ag. 18) Seja u uma solu¸c˜ao de classe C1 _{da equa¸c˜}_{ao linear}

a(x, y)ux+ b(x, y)uy=−u em D,

onde D é o disco unitário do plano. Suponha que a(x, y)x + b(x, y)y > 0 na fronteira de D. Prove que u é a fun¸cão identicamente nula. (Sugest˜ao: Mostre que maxDu 6 0 e minDu > 0, usando as

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