3.6 Espa¸cos-escala morfol´ ogicos
3.6.3 Espa¸cos-escala baseados em operadores conexos
Uma das grandes desvantagens das opera¸c˜oes de abertura e fechamento ´e que elas causam o deslocamento dos contornos [33, 72]. Para evitar este problema, pode-se utilizar filtros por reconstru¸c˜ao, os quais recuperam apenas a estrutura das componentes que n˜ao forem eliminados em uma etapa inicial, preservando assim a forma original dos objetos [75]. Neste caso, os contornos s˜ao uma das poss´ıveis caracter´ısticas de interesse. A Figura 3.9 mostra um exemplo de aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao de abertura por reconstru¸c˜ao utilizando fun¸c˜oes estruturantes de tamanho crescente no qual os contornos s˜ao preservados.
(a) (b) (c)
Figura 3.9: Espa¸co-escala gerado pela abertura por reconstru¸c˜ao.
A abertura e o fechamento por reconstru¸c˜ao constituem operadores conexos, os quais transformam uma imagem atrav´es da elimina¸c˜ao ou fus˜ao de suas zonas planas (regi˜oes
40 Cap´ıtulo 3
onde o n´ıvel de cinza ´e constante). Isso justifica porque a posi¸c˜ao dos contornos ´e pre- servada. Tais opera¸c˜oes tamb´em podem ser classificadas como levelings, uma classe mais gen´erica de filtros morfol´ogicos introduzida por Meyer [59]. No entanto, filtros por re- constru¸c˜ao n˜ao s˜ao auto-duais, ou seja, eles tratam o fundo e o primeiro plano da imagem de maneira assim´etrica.
3.7
Conclus˜oes
Este cap´ıtulo apresentou uma breve revis˜ao da teoria espa¸co-escala, abrangendo desde as propriedades necess´arias at´e algumas das abordagens existentes na literatura. Como pode- se observar no decorrer do texto, abordagens n˜ao-lineares possuem vantagens significativas quando comparadas `as lineares. No entanto, nestes casos existe uma grande dificuldade para satisfazer todas as condi¸c˜oes necess´arias para constitui¸c˜ao de um espa¸co-escala, em especial a monotonicidade.
Al´em disso, v´arias abordagens propostas apresentam limita¸c˜oes, tais como o vi´es nos n´ıveis de cinza, o que pode comprometer de forma significativa o resultado final. Outras utilizam conceitos que influenciam apenas a forma de apresenta¸c˜ao dos resultados, mas n˜ao a transforma¸c˜ao propriamente dita. O uso de uma escala “negativa” no MMDE, por exemplo, indica apenas que opera¸c˜ao e quais caracter´ısticas de interesse devem ser consideradas (a fun¸c˜ao estruturante definida para as escalas 15 e -15 ´e o mesmo).
Tais problemas motivaram o desenvolvimento de um novo operador espa¸co-escala, apresentado em detalhes no pr´oximo cap´ıtulo.
Operador SMMT: Self-dual
Multiscale Morphological Toggle
Este cap´ıtulo define uma nova transforma¸c˜ao de imagens com interessantes propriedades de simplifica¸c˜ao, a partir da qual detalhes indesejados podem ser eliminados sem que as caracter´ısticas de interesse sejam comprometidas de maneira significativa. Esta trans- forma¸c˜ao, denominada Self-dual Multiscale Morphological Toggle (SMMT), possui a forma de um operador toggle e ´e definida por:
Defini¸c˜ao 4.1. (Operador SMMT) Seja φk
1(x) = [δBσ(f )]
k(x), isto ´e, a dilata¸c˜ao de
f (x) com a fun¸c˜ao estruturante dependente de escala Bσ k vezes. De forma an´aloga,
φk
2(x) = [εBσ(f )]
k(x). Denomina-se operador SMMT a fun¸c˜ao:
[τBσ(f )] k (x) = φk 1(x), se φk1(x) − f (x) < f (x) − φk2(x), f (x), se φk 1(x) − f (x) = f (x) − φk2(x), φk2(x), em outros casos. (4.1)
A pr´oxima se¸c˜ao mostra que tal opera¸c˜ao possui propriedades espa¸co-escala ao con- siderar escalas crescentes e um n´umero de itera¸c˜oes fixo. Como m´aximos e m´ınimos da imagem interagem ao mesmo tempo, s˜ao evitados alguns dos problemas relacionados a outras abordagens espa¸co-escala baseadas em morfologia matem´atica, tais como a mani- pula¸c˜ao de escalas negativas e o vi´es nos n´ıveis de cinza.
Por outro lado, ao variar o n´umero de itera¸c˜oes, uma regi˜ao maior ´e analisada no c´alculo do valor transformado de cada pixel. Desse modo, extremos mais significativos passam a ter uma maior abrangˆencia, o que conduz a uma homogeneiza¸c˜ao dos n´ıveis de cinza da imagem, assim como discutido na Se¸c˜ao 4.2. Por fim, a Se¸c˜ao 4.3 apresenta alguns testes que exemplificam o comportamento do operador para diferentes configura¸c˜oes de parˆametros.
42 Cap´ıtulo 4
4.1
Propriedades espa¸co-escala
Esta se¸c˜ao discute algumas das propriedades necess´arias para constitui¸c˜ao de um espa¸co- escala: fidelidade, causalidade (monotonicidade), continuidade e invariˆancia Euclidiana. As fun¸c˜oes estruturantes consideradas neste trabalho satisfazem `a seguinte condi¸c˜ao (Equa- ¸c˜ao 2.21):
|σ| → 0 ⇒ Bσ(x) →
0, se x = 0;
−∞, em outros casos,
a qual conduz diretamente ao requisito de fidelidade. Isso significa que, conforme a escala tende a zero, a transforma¸c˜ao espa¸co-escala converge para o sinal original (basta observar que a imagem n˜ao ´e transformada ao aplicar as opera¸c˜oes de eros˜ao e dilata¸c˜ao utilizando tal elemento estruturante).
De forma geral, a monotonicidade ´e o requisito mais dif´ıcil de ser satisfeito, conforme discutido anteriormente na Se¸c˜ao 3.4. Para provar esta propriedade para o operador SMMT, ser˜ao necess´arios alguns resultados preliminares [36]. Embora eles sejam v´alidos para qualquer fun¸c˜ao estruturante que satisfa¸ca `as condi¸c˜oes especificadas na Se¸c˜ao 2.3, visando facilitar o entendimento das provas, algumas das proposi¸c˜oes a seguir sup˜oem o uso da fun¸c˜ao estruturante pirˆamide (Equa¸c˜ao 2.23).
A Proposi¸c˜ao 4.2 define o comportamento do SMMT ao processar extremos locais de uma imagem. Em resumo, como a dilata¸c˜ao de um m´aximo local consiste no seu pr´oprio valor original, este n˜ao ser´a alterado segundo a regra de decis˜ao do operador. O resultado ´
e an´alogo para m´ınimos locais considerando a opera¸c˜ao de eros˜ao.
Proposi¸c˜ao 4.2 (Convergˆencia dos extremos da imagem). Seja Bσ(x) a fun¸c˜ao estrutu-
rante pirˆamide. 1. Se [τBσ(f )]
k(x
max) ´e um m´aximo local, ent˜ao f (xmax) ´e um m´aximo local de f (x) e
[τBσ(f )] k(x max) = [δBσ(f )] k(x max) = f (xmax). 2. Se [τBσ(f )] k(x
min) ´e um m´ınimo local, ent˜ao f (xmin) ´e um m´ınimo local de f (x) e
[τBσ(f )]
k(x
min) = [εBσ(f )]
k(x
min) = f (xmin).
Prova. Primeiramente, a fun¸c˜ao [τBσ(f )]
k(x) ´e dita ter um m´aximo local em x 0 se e somente se [τBσ(f )] k(x 0) ≥ [τBσ(f )] k(x), ∀ x em alguma -vizinhan¸ca de x 0, N (x0, ) =
{x : kx − x0k < }. Considere o caso (1) primeiro. Seja f (xmax) um m´aximo local, e
assuma que o sup ocorre para tk = ζ.
[δBσ(f )] k(x max) = sup tk∈N (xmax,k) {f (xmax− tk) + kBσ(tk)} = (4.2) = f (xmax− ζ) + kBσ(ζ) ≤ ≤ f (xmax− ζ) ≤ f (xmax).
Assim, [δBσ(f )]
k(x
max) = (f )(xmax). Logo, como [εBσ(f )]
k(x
max) 6= (f )(xmax), a regra
de decis˜ao do operador SMMT ir´a escolher como valor transformado aquele definido pela dilata¸c˜ao, isto ´e, [τBσ(f )]
k(x
max) = [δBσ(f )]
k(x
max), o qual equivale ao valor original do
pixel, assim como mostrado acima. Al´em disso, como Bσ(0) = 0, segue que o sup ocorre
para t = 0. A prova para o caso (2) ´e an´aloga.
Esta proposi¸c˜ao tamb´em prova outro importante resultado. Como n˜ao h´a realce de extremos (pois o valor de um m´aximo (m´ınimo) local n˜ao aumenta (diminui) ao considerar escalas crescentes), segue que a propriedade de causalidade ´e satisfeita.
A pr´oxima proposi¸c˜ao mostra que a regra de decis˜ao do SMMT escolher´a pontual- mente a mesma primitiva atrav´es das escalas. Esta propriedade garante que n˜ao ocorrem oscila¸c˜oes, um problema muito comum em transforma¸c˜oes toggle.
Proposi¸c˜ao 4.3 (Convergˆencia de um pixel para uma mesma primitiva ao longo das escalas). Seja Bσ(x) a fun¸c˜ao estruturante pirˆamide.
1. Se [τBσ(f )] k(x) = [δ Bσ(f )] k(x), ent˜ao [τ Bλ(f )] k(x) = [δ Bλ(f )] k(x), ∀ λ ≥ σ. 2. Se [τBσ(f )] k(x) = [ε Bσ(f )] k(x), ent˜ao [τ Bλ(f )] k(x) = [ε Bλ(f )] k(x), ∀ λ ≥ σ.
Prova. Da Equa¸c˜ao 2.23, Bσ(x, y) = −|σ|−1max{|x|, |y|}. Portanto, para λ ≥ σ > 0,
−1 |λ| ≥ −
1
|σ|, o que implica que Bλ(x) ≤ Bσ(x) ≤ 0. Destes fatos, segue que
max tk∈N (x,k) {f (x − tk) + kBλ(tk)} − f ≤ ≤ max tk∈N (x,k) {f (x − tk) + kBσ(tk)} − f < f − min tk∈N (x,k) {f (x − tk) − kBσ(tk)} ≤ ≤ f − min tk∈N (x,k) {f (x − tk) − kBλ(tk)}, (4.3)
o que prova a proposi¸c˜ao.
Note que m´aximos e m´ınimos locais interagem ao mesmo tempo, ao contr´ario de outras abordagens que os consideram separadamente [36]. Como a imagem est´a sendo transformada localmente de diferentes formas (pixels vizinhos podem convergir para di- ferentes primitivas), novos extremos podem ser criados em algumas condi¸c˜oes espec´ıficas, discutidas a seguir.
44 Cap´ıtulo 4
Para um dado pixel x, assuma que [τBσ(f )]
k(x) = [δ
Bσ(f )](x). Sejam N (x) os vizinhos de x tal que f (ω) > f (x), ω ∈ N (x). Se [τBσ(f )]
k(ω) = [ε
Bσ(f )](ω) ∀ ω ∈ N (x), um novo m´aximo regional pode ser criado. Isto ocorre porque, ao serem transformados por uma opera¸c˜ao anti-extensiva, os valores originais dos pixels em N (x) podem se tornar menores que f (x). Como um pixel converge para exclusivamente uma das primitivas (Proposi¸c˜ao 4.3), estes extremos ir˜ao persistir para todas as demais escalas. Um exemplo ´
e dado a seguir. Considere a seguinte configura¸c˜ao:
f = 106 92 56 − − 92 55 30 30 − 44 35 52 25 − − 19 27 23 − − − − − −
Os resultados das opera¸c˜oes de eros˜ao e dilata¸c˜ao na escala σ−1 = 20 s˜ao dados por: [εBσ(f )] = 75 50 50 − − 55 50 30 30 − 39 35 39 25 − − 19 27 23 − − − − − − [δBσ(f )] = 106 92 72 − − 92 86 72 35 − 72 72 52 32 − − 32 32 32 − − − − − −
Segundo a regra de decis˜ao, a transforma¸c˜ao SMMT resultante ´e dada por:
[τBσ(f )] = 106 92 50 − − 92 50 30 30 − 39 35 52 25 − − 19 27 23 − − − − − −
Observe que, como o pixel cujo valor inicial era 55 foi transformado pela opera¸c˜ao de eros˜ao, sendo associado ao valor 50, o pixel na posi¸c˜ao central tornou-se um m´aximo local. Isso ocorre para todo σ−1 ≤ 21. Entretanto, conforme discutido anteriormente no Cap´ıtulo 3, a propriedade de monotonicidade dificilmente ´e satisfeita em duas dimens˜oes. Neste caso, a id´eia ´e restringir o n´umero de cria¸c˜oes a poucas [51] e garantir que a condi¸c˜ao de n˜ao-realce de extremos seja v´alida (o que ´e verdadeiro segundo a Proposi¸c˜ao 4.2).
Contudo, caso deseje-se garantir a monotonicidade estrita do SMMT, ´e poss´ıvel con- siderar um est´agio de p´os-processamento que, para cada extremo criado, verifica os re- sultados do operador para os pixels em N (x) e muda a primitiva aplicada, se necess´ario. No exemplo acima, se todos os pixels com valores maiores do que aquele sendo analisado convergirem para a eros˜ao, ´e necess´ario alterar pelo menos um deles para a dilata¸c˜ao. Do
mesmo modo, ´e preciso verificar se todos os pixels da vizinhan¸ca considerada que pos- suem valores menores convergiram para a dilata¸c˜ao. Essa discuss˜ao pode ser estendida de maneira an´aloga para m´ınimos locais.
Esta etapa de p´os-processamento, juntamente com a Proposi¸c˜ao 4.2, ´e essencial para provar o seguinte resultado (necess´ario para provar a monotonicidade estrita).
Proposi¸c˜ao 4.4 (Rela¸c˜ao entre extremos presentes em diferentes escalas). Seja Bσ(x)
a fun¸c˜ao estruturante pirˆamide. Ela possui um ´unico m´aximo na origem, ou seja, g(x) sendo um m´aximo local implica x = 0.
1. Se σ1 > σ2 e [τBσ1(f )]k(xmax) ´e um m´aximo local, ent˜ao [τBσ2(f )]k(xmax) ´e um
m´aximo local e [τBσ1(f )]k(xmax) = [τBσ2(f )]k(xmax).
2. Se σ1 > σ2 e [τBσ1(f )]k(xmin) ´e um m´ınimo local, ent˜ao [τBσ2(f )]k(xmin) ´e um
m´ınimo local e [τBσ1(f )]k(xmin) = [τBσ2(f )]k(xmin).
Prova. Considere o caso (1) primeiro. Da Equa¸c˜ao 2.20, segue que Bσ2 = Bσ1 − Jσ(x), onde Jσ(x) ≥ 0 ∀ x ∈ Gσ, e Jσ(0) = 0. Considere [τBσ2(f )](xmax) com σ1 > σ2 > 0,
[τBσ2(f )]k(xmax) = sup tk∈N (xmax,k) {f (xmax− tk) + kBσ2(tk)} = (4.4) = sup tk∈N (xmax,k) {f (xmax− tk) + kBσ1(tk) − Jσ(t)} ≤ ≤ sup tk∈N (xmax,k) {f (xmax− tk) + kBσ1(tk)} = = [τBσ1(f )]k(xmax).
At´e aqui, provou-se que [τBσ2(f )]k(xmax) ≤ [τBσ1(f )]k(xmax). Como o sup ocorre no lado
direito da Equa¸c˜ao 4.4 para t = 0 (Proposi¸c˜ao 4.2), segue que:
f (xmax− t) + Bσ2(t) = f (xmax− t) + Bσ1(t), (4.5) ent˜ao, o sup tamb´em ocorre no lado esquerdo da Equa¸c˜ao 4.4 para t = 0 e,
[τBσ2(f )]k(xmax) = [τBσ1(f )]k(xmax). (4.6)
Agora, considerando o est´agio de p´os-processamento, pode-se garantir que existe um e na vizinhan¸ca de xmax tal que
[τBσ2(f )](xmax+ e) ≤ [τBσ1(f )](xmax+ e), e ∈ N (0, ). (4.7)
Portanto, [τBσ2(f )](xmax) ´e um m´aximo local, provando a parte (1) da proposi¸c˜ao. A
46 Cap´ıtulo 4
Estes argumentos conduzem ao seguinte resultado.
Teorema 4.5 (Monotonicidade do operador SMMT). Sejam f : D ⊂ Rn → R uma
fun¸c˜ao limitada, Bσ : Gσ ⊂ R2 → R uma fun¸c˜ao estruturante, e
Eext(f ) = {x : f (x) ´e um extremo local} (4.8)
um conjunto de pontos que representa os extremos locais de f . Ent˜ao, para qualquer σ1 > σ2 > 0
Eext[τBσ1(f )] ⊆ Eext[τBσ2(f )] ⊆ Eext(f ). (4.9)
Prova. Suponha que o teorema ´e falso e Eext[τBσ1(f )] * Eext[τBσ2(f )] para algum
σ1 > σ2 > 0. Ent˜ao, existe xmax ∈ D tal que [τBσ1(f )](xmax) ´e um extremo local mas
[τBσ2(f )](xmax) n˜ao o ´e, o que contradiz a Proposi¸c˜ao 4.4.
Note que este procedimento tamb´em evita a flutua¸c˜ao (mudan¸ca da posi¸c˜ao) das ca- racter´ısticas atrav´es das escalas, satisfazendo automaticamente as propriedade de con- tinuidade e causalidade forte. Finalmente, a condi¸c˜ao de invariˆancia Euclidiana segue diretamente do uso de fun¸c˜oes estruturantes espacialmente sim´etricas.
Um espa¸co-escala usualmente difere do seu dual1 pela dire¸c˜ao do bias dos n´ıveis de
cinza, ou seja, enquanto o espa¸co-escala tende a n´ıveis de cinza mais claros, seu dual tende a n´ıveis mais escuros (ver [7], por exemplo). A escolha de qual espa¸co-escala usar depende da aplica¸c˜ao sendo considerada e geralmente ´e arbitr´aria. O operador SMMT ´e auto-dual, isto ´e, ele transforma o fundo e os objetos de interesse da imagem de forma sim´etrica, evitando o vi´es introduzido quando se escolhe um espa¸co-escala e ignora-se o seu dual. A Proposi¸c˜ao 4.6 prova que o operador SMMT ´e auto-dual.
Proposi¸c˜ao 4.6. Considere duas primitivas duais φ1 e φ2, ou seja, φ1(x) = φ2(xc)c, onde
o s´ımbolo c denota o complemento. Se φ1 ´e extensiva e φ2 ´e anti-extensiva, o operador
toggle dado por
T (x) = φ1(x), se φ1(x) − f (x) < f (x) − φ2(x), f (x), se φ1(x) − f (x) = f (x) − φ2(x), φ2(x), em outros casos, (4.10) ´ e auto-dual.
Prova. Segue diretamente da defini¸c˜ao de complemento.
A pr´oxima se¸c˜ao discute o comportamento do SMMT ao variar o n´umero de itera¸c˜oes para uma escala fixa. Neste caso, embora as propriedades espa¸co-escala n˜ao sejam mais v´alidas, tamb´em ocorre uma simplifica¸c˜ao da imagem. Deste modo, ´e poss´ıvel eliminar detalhes indesejados que podem interferir no desempenho de aplica¸c˜oes de mais alto n´ıvel.