A Fig.(2.5) mostra o espac¸o de fases para o modelo Fermi-Ulam completo.
Na construc¸˜ao da figura (2.5) foram usadas 400 condic¸˜oes iniciais iteradas a partir das equac¸˜oes do mapa (2.18), de modo que a fase e a velocidade iniciais foram divididas em 20 incrementos igualmente espac¸ados nos intervalos deφ0∈ [0,2π] e V0∈ [0.01,0.25]. O procedimento para sa-
ber se houve ou n˜ao colis˜ao sucessiva da part´ıcula com a parede m´ovel consiste em encontrar, numericamente, ra´ızes (ou zeros) para as func¸˜oesG(φc) e F (φc), dadas pelas Eqs.(2.19) e (2.20),
respectivamente. Se a func¸˜aoG(φc) admitir soluc¸˜ao no intervalo de φc∈ (0,2π], ent˜ao houve co-
Figura 2.5: Espac¸o de fases para o modelo Fermi-Ulam. O parˆametro de controle usado na construc¸˜ao da figura foiǫ = 5 × 10−3.
contr´ario, uma raiz para a func¸˜ao F (φc) ´e encontrada e as equac¸˜oes do mapa (2.18) s˜ao iteradas
para o caso (2). Em seguida, uma nova raiz paraG(φc) ´e procurada e todo o processo se repete at´e
que o n´umero de iterac¸˜oes (colis˜oes) estabelecido no in´ıcio da simulac¸˜ao seja atingido.
No espac¸o de fases mostrado na figura (2.5) podemos observar que a regi˜ao de mais baixa energia ´e limitada por uma curva invariante do tipo spanning. Nesta regi˜ao existem ilhas KAM que por sua vez est˜ao envoltas por um mar de caos. As ilhas KAM tˆem a caracter´ıstica de n˜ao permitirem o trˆansito livre de uma ´orbita entre seu interior e o mar de caos. Assim, a evoluc¸˜ao de uma condic¸˜ao inicial que esteja em seu interior jamais sai de l´a, da mesma forma que uma ´orbita pertencente ao mar de caos jamais penetra na ilha KAM. A regi˜ao que est´a acima da primeira curva invariante spanning ´e a regi˜ao convencionada como de alta energia e apresenta basicamente pequenas ilhas KAM separadas por outras curvas invariantes spanning e podem, eventualmente, possibilitar o surgimento de pequenos mares de caos entre as curvas, mas este fato n˜ao ´e sempre observado.
O espac¸o de fases para o modelo Fermi-Ulam simplificado ´e bastante similar ao do modelo completo, apresentando a mesma hierarquia de comportamentos com ilhas KAM, mar de caos e curvas invariantes spanning. Existe apenas uma pequena diferenc¸a na regi˜ao perto das velocidades aproximadamente iguais a zero, como veremos a seguir.
Na construc¸˜ao do espac¸o de fases do modelo simplificado, iteramos as equac¸˜oes do mapa (2.27) utilizando 400 condic¸˜oes iniciais divididas em 20 incrementos igualmente espac¸ados nos intervalos deφ0= [0, 2π] e V0= [0.01, 0.25] (os mesmos utilizados no modelo completo). Cada
condic¸˜ao inicial foi iterada 500 vezes. A figura (2.6) mostra o espac¸o de fases para o modelo Fermi-Ulam simplicado.
Figura 2.6: Espac¸o de fases para o modelo Fermi-Ulam simplificado. O parˆametro de controle usado na construc¸˜ao da figura foiǫ = 5 × 10−3.
Podemos observar que o espac¸o de fase para o modelo simplificado ´e muito semelhante ao do modelo completo, apresentando ilhas KAM circundadas por um mar de caos na regi˜ao de mais baixa energia, limitada pela primeira curva invariante spanning e ilhas KAM separadas por outras curvas invariantes spanning na regi˜ao de alta energia (acima da primeira curva). A diferenc¸a notada se limita `a regi˜ao com velocidades pr´oximas de zero que se deve `a introduc¸˜ao do m´odulo na equac¸˜ao da velocidade do mapeamento.
Uma curiosidade que surgiu em relac¸˜ao ao espac¸o de fases do modelo Fermi-Ulam conser- vativo, foi sobre a convergˆencia das trajet´oria para cada arranjo de comportamentos mostrado no espac¸o de fases do tipo misto, especialmente naquelas regi˜oes onde nenhuma condic¸˜ao inicial era evolu´ıda. As regi˜oes “em branco” observadas neste espac¸o de fases s˜ao visitadas em algum mo-
mento por alguma trajet´oria? E as ilhas KAM observadas em regi˜oes onde nenhuma condic¸˜ao inicial est´a presente, como s˜ao formadas? Que condic¸˜ao inicial evolui para esta ilha? As respostas para estas perguntas podem estar na figura (2.7), onde descobrimos que uma ´unica condic¸˜ao inicial
converge, n˜ao para uma ´unica ilha KAM, mas para um conjunto delas ao mesmo tempo. Veja a figura. 0 1 2 3 4 5 6 φ 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2 V 0 1 2 3 4 5 6 φ 0.18 0.19 0.2 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Orbita 1 Orbita 3 Orbita 2 (a) (b) Orbita 1 Orbita 3 Orbita 2 Condicao inicial evoluida
Figura 2.7: Convergˆencia de uma condic¸˜ao inicial para trˆes ilhas KAM dos espac¸o de fases do modelo Fermi-Ulam conservativo simplificado. Em (a) vemos o detalhe da regi˜ao estudada e, em (b), ´e mostrada em que ´orbita a trajet´oria se inicia e a sequˆencia em que ela evolui.
Na figura (2.7)(a) ´e mostrado o espac¸o de fases simplificado do Modelo Fermi-Ulam Conser- vativo, na cor preta, em escala ampliada, de modo a destacar a regi˜ao onde fizemos a an´alise da evoluc¸˜ao de uma condic¸˜ao inicial. Os pontos, na cor vermelha, mostram as coordenadas de todas as condic¸˜oes iniciais evolu´ıdas. Podemos observar que, a condic¸˜ao inicial escolhida est´a contida na ´orbita 3. A figura (2.7)(b), mostra, em detalhes, que a condic¸˜ao inicial evolu´ıda converge para trˆes ´orbitas. Neste modelo, a trajet´oria percorrida por esta condic¸˜ao inicial soma um total de 500 pontos, mostrados na cor preta. ´E mostrada tamb´em, a sequˆencia em que a part´ıcula transita pelo espac¸o dando origem `as ´orbitas (trac¸os na cor verde). Podemos ver que a trajet´oria se inicia na ´orbita 1, passa pela ´orbita 2, segue para a ´orbita 3 e retorna para a ´orbita 1. Esta sequˆencia ´e matida at´e o final da convergˆencia e um detalhe importante a se observar ´e que ela cresce sempre no sentido anti-hor´ario das ´orbitas. Enfatizamos, ainda, que o grupo das trˆes ilhas, escolhidas para este estudo, n˜ao ´e composto por apenas uma ´orbita. Cada uma das trˆes ilhas mostradas ´e com- posta por mais de uma ´orbita, como podemos ver na figura (2.7)(a). Por´em aqui, para facilitar a visualizac¸˜ao da evoluc¸˜ao das trajet´orias, mostramos apenas uma ´orbita em cada ilha, que ´e o resultado da evoluc¸˜ao de uma ´unica condic¸˜ao inicial.
Observe que, tanto a ´orbita 2 quanto a ´orbita 3 possuem condic¸˜oes iniciais em suas ´orbitas. Assim, ´e razo´avel de esperar que a evoluc¸˜ao dessas condic¸˜oes iniciais percorram todos os pontos da ´orbita em que est´a inserida. J´a com a ´orbita 1, o mesmo n˜ao acontece. Veja que nenhuma condic¸˜ao inicial est´a em sua ´orbita mas, mesmo assim, ela ´e visitada. Da´ı nossa curiosidade em descobrir, qual condic¸˜ao inicial percorre a ´orbita 1. A figura (2.7)(a) mostra que a coordenada [0.19, 2.51],
para a velocidade da part´ıcula e a fase, respectivamente, ´e a condic¸˜ao inicial que converge para a ´orbita 1, al´em das ´orbitas 2 e 3 e que a ´orbita 1 ´e a primeira delas a ser visitada.
Este comportamento ocorre, tamb´em, em outras regi˜oes do espac¸o de fases, formando, assim, a rica e complexa hierarquia de estruturas que comp˜oem o espac¸o de fases do Modelo Fermi-Ulam conservativo, tanto completo quanto simplificado.