Espectro dos Polaritons

Nesta seção vamos apresentar os resultados numéricos dos espectros de polaritons (mo- dos de volume e superfície) que se propagam em super-redes periódicas e quasiperiódicas intercaladas por camadas de grafeno (ver figura 4.4) que obedecem a sequência do tipo Fibonacci. Vamos considerar que as funções dielétricas que descrevem os meios A e B são descritas respectivamente por

εA(ω) = ε∞  1 + ω 2_{− ω}2 LA ω2_{− ω}2 T A  − ω 2 p ω2  , (4.18) εB(ω) = 0  1 + ω 2 LB − ω2T B ω2 T B− ω2+ iΓω  . (4.19)

As permeabilidades magnéticas para os meios A e B são definidas respectivamente por µA(ω) = 1.0 , (4.20) µB(ω) = 1 − F ω2 ω2_{− ω}2 0 + iΓω . (4.21)

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO RIS,1995),(KOCH,2010),(POLUPAN,2010) e (ARAUJO,2012). Assim sendo, considera- mos para o meio A, ε∞ = 6.4, ωLA/2π = 15.41 THz, ωT A/2π = 4.50 THz, ωp/2π =

0.48 THz. Para o meio B temos: ω0 = 23.9 THz, ωT B/2π = 26.7 THz, ωLB/2π =

46.9 THz, ∞= 13.4, F = 0.56. Além disso, o termo de damping será negligenciado, e o

meio externo C será considerado como sendo o vácuo.

As espessuras das camadas dos meios A e B são definidas por dA = 1000 nm e

dB/dA = 0.5. Os nossos resultados foram obtidos para o caso de polarização-p, no in-

tervalo de frequência referente a faixa de terahertz (THz). A figura 4.4 a seguir retrata pictoricamente as estruturas investigadas.

Figura 4.4: Estrutura dos cristais fotônicos unidimensionais formados por camadas dielé- tricas alternadas A e B. As monocamadas de grafeno estão embutidas entre duas camadas consecutivas e as super-redes constituem estruturas periódicas (2a geração da sequência de Fibonacci) e quasi-periódicas (5a geração da sequência de Fibonacci), respectivamente. As figuras 4.5,4.6,4.7 e 4.8, apresentam os espectros de polaritons de plasmons-fônons em diferentes escalas, para os casos das super-redes periódicas (2a geração de Fibonacci) e quasi-periódicas (5a geração de Fibonacci). Nestas figuras, os modos de superfície são apresentados por linhas, enquanto as bandas de volume são caracterizadas por áreas sombreadas, que são limitada pelas equações QL = 0 e QL = π, onde Q é o vetor de onda de Bloch e L é o comprimento da célula unitária. A linha tracejada representa a linha da luz ω = ckx no vácuo.

A figura 4.5 (caso periódico) tem a seguinte caracterização:

(a) : no intervalo de baixa frequência do espectro, que compreende a região 0.00 THz < ω < 1.85 THz. A banda de volume apresenta inclinação positiva e se ramifica em dois sub-ramos que se estreitam em ω = 0.64 THz. O sub-ramo inferior permanece limitado pela mesma frequência, enquanto que o sub-ramo superior alcança assin- toticamente a frequência limitante juntamente com o primeiro modo de superfície.

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO (b) : o intervalo de frequências intermediárias compreende 2.58 THz < ω < 7.22 THz. Neste intervalo temos dois modos de volume. O modo de volume inferior se subdivide em dois ramos estreitos entre modos de superfície aproximando-se assintoticamente das frequências 2.81 THz e 3.63 THz. O modo de volume superior apresenta uma divisão bem mais complexa: inicialmente ele se divide em dois ramos, com o ramo inferior se subdividindo em dois outros mais estreitos, um mostrando uma declinação e se encerrando em kxdA = 1.092; ω = 3.89 THz, enquanto que o outro tende

assintoticamente para 3.76 THz.

(c) : por fim, temos o intervalo de altas frequência do espectro que compreende a região 7.23 THz < ω < 9.99 THz. Neste intervalo o modo de volume se ramifica exatamente por onde passa a linha da luz no vácuo, kxdA= 0.153; ω = 7.37 THz, se

localizando no intervalo 0.000 < kxdA< 0.489.

Figura 4.5: Espectro de polaritons de plasmons-fônons para a frequência ω/2π em THz versus o vetor de Bloch adimensional kxdA, para a super-rede periódica. As áreas sombrea-

das representam a região de propagação dos modos de volume, a linha tracejada representa a linha da luz (ω = ckx) e as demais linhas representam os modos de superfície.

Por outro lado, a figura 4.6, representando a 5a geração da estrutura de Fibonacci, tem a seguinte caracterização:

(a) : para o intervalo de frequência baixa compreendendo 0.00 THz < ω < 1.85 THz o espectro é semelhante ao caso periódico.

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO (b) : a medida que o intervalo de frequência aumenta, podemos observar grandes mu- danças, tanto para os modos de volume como de superfície. Para o caso das frequên- cias intermediárias, temos dois modos de volume, com um modo inferior apre- sentando ramificação em ω = 5.71 THz e possuindo comportamento com grande intervalo de frequências não permitidas que são contornadas pelos modos de su- perfície. Conforme esperado, todos os modos de superfície se localizam após a linha da luz. Neste intervalo, ele apresenta uma drástica mudança de direção em kxdA = 1.37; ω = 3.61 THz e posteriormente em kxdA = 1.14; ω = 3.96 THz. Há

ainda dois modos de superfície, um que se inicia na linha da luz e se encerra em kxdA = 2.20; ω = 2.31 THz; e o outro que se inicia junto ao modo de volume

apresentando comportamento praticamente linear atingindo frequência máxima de 4.26 THz. O modo de volume superior se ramifica em ω = 5.71 THz e se assemelha ao caso periódico, diferindo pela quantidade de sub-ramificação que surgem.

(b) : no intervalo de frequências elevadas, que compreende 7.05 THz < ω < 9.99 THz, temos dois modos de superfície que se encontram separados inicialmente pelo inter- valo de frequência: 8.98 THz < ω < 9.47 THz.

Vale ressaltar que o número de bandas de volume é igual ao número de Fibonacci correspondente.

Figura 4.6: O mesmo da figura 4.5 para a super-rede quasi-periódica de Fibonacci na quinta geração.

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO Consideremos agora os casos em que ω é uma função da frequência do plasma na camada A, ωP A. Para o caso periódico, representado na figura 4.7, temos o seguinte:

(a) : um ramo inferior mostrando uma sutil região proibida que se inicia na origem de kxdA no intervalo 0.18 THz < ω < 0.31 THz. Essa região se encerra em

kxdA= 0.384, ω = 3.15 THz. A banda de volume se ramifica em kxdA= 0.405, ω =

3.30 THz, aparecendo um modo de superfície entre os sub-ramos, inferior e supe- rior. Ambos os sub-ramos se estreitam à medida que kxdAaumenta e se aproximam

assintoticamente do modo de superfície em ω = 8.46 THz e ω = 8.62 THz , respec- tivamente.

(b) : um ramo superior, localizado no intervalo 8.27 THz < ω < 10.0 THz e 0.000 < kxdA < 0.693. Deste modo de volume emerge um modo de superfície em kxdA =

0.216, ω = 9.37 THz.

Figura 4.7: Espectro de polaritons de plasmons-fônons para a frequência reduzida ω/ωP A

versus o vetor de Bloch adimensional kxdA, para a super-rede periódica. As áreas sombrea-

das representam a região de propagação dos modos de volume, a linha tracejada representa a linha da luz (ω = ckx) e as demais linhas representam os modos de superfície.

Para o caso quasi-periódico, mostrado na figura 4.8 e caracterizado pela 5a geração de Fibonacci, temos o seguinte:

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO (a) : inicialmente temos um ramo inferior no intervalo de frequência 0.00 THz < ω < 8.07 THz, próximo à origem dos eixos. O ramo é idêntico ao caso periódico. Em seguida este ramo apresenta seis ramificações que se estreitam a medida que kxdA

aumenta. Do sub-ramo inferior emerge um modo de superfície que tende assintotica- mente para ω = 8.02 THz. Quando kxdA= 3.0 os demais sub-ramos se aproximam

do intervalo 8.48 THz < ω < 8.71 THz.

(b) : o ramo superior também se assemelha com o caso periódico, a diferença sendo o surgimento de duas ramificações a partir da linha da luz em kxdA = 0.195. Deste

modo de volume também emerge um modo de superfície com uma inclinação quase nula que segue na horizontal em ω = 9.37 THz para qualquer valor de kxdA. Fi-

nalmente em kxdA = 0.405, ω = 3.30 THz, aparece um modo de superfície entre os

sub-ramos inferior e superior.

Figura 4.8: O mesmo da figura 4.7 para a super-rede quasi-periódica de Fibonacci na quinta geração.

Na sequência vamos agora considerar a permissividade dielétrica Ae a permeabilidade

magnética µA do meio A constantes e iguais a 1.0. Na camada B, B e µB serão definidos

pelas eqs. 4.19 e 4.21. Os espectros estão mostrados nas figuras 4.9 (caso periódico) e 4.10 (5a geração de Fibonacci).

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO (a) : na região de baixa frequência, compreendendo o intervalo 0.00 THz < ω < 3.54 THz, temos dois modos de volume. O ramo inferior, iniciado na origem e localizado acima de um modo de superfície, apresenta inclinação positiva e estrei- tamento ao longo do crescimento do parâmetro kxdA, tendendo assintoticamente

para a frequência 1.75 THz. O ramo superior, iniciado em ω = 2.63 THz tam- bém apresenta estreitamento do modo de volume e aproxima-se assintoticamente da frequência ω = 3.77 THz em kxdA= 0.90 .

(b) : na região de frequências intermediárias 3.78 THz < ω < 7.35 THz, temos um ramo que se subdivide: na parte superior ele se inicia em kxdA = 0.11; ω = 5.71 THz e

apresenta estreitamente ao longo do seu modo de volume. A sua parte inferior, origina-se na frequência ω = 4.27 THz e possui duas sub-ramificações que se lo- calizam entre dois modos de superfície: a primeira se encerra em kxdA = 0.52 e a

segunda se aproxima assintoticamente do modo de volume de baixas frequência em kxdA= 0.66.

(c) : na região de altas frequências, no intervalo 7.49 THz < ω < 9.99 THz, o modo de volume é praticamente uniforme até a linha da luz, apresentando uma pequena ramificação em kxdA= 0.168; ω = 7.58 THz.

5a geração de Fibonacci (figura 4.10):

(a) : para baixas frequências, compreendendo o intervalo 0.00 THz < ω < 3.78 THz, o modo de volume inferior, limitado pela linha da luz, inicia-se na origem até ω = 1.76 THz. O modo de volume superior para kxdA = 0.0 encontra-se no intervalo

3.01 THz < ω < 3.49 THz. Esses modos apresentam ramificação que tendem assintoticamente para a frequência 3.72 THz em kxdA = 0.87, apresentando uma

inclinação ao longo do crescimento do parâmetro kxdA.

(b) : a região de frequências intermediárias ocorre entre 3.78 THz < ω < 7.57 THz, onde dois modos de volume estão localizados nos intervalos de frequências 4.36 THz < ω < 5.34 THz e 5.51 THz < ω < 5.63 THz, para kxdA = 0.0. Eles apresentam

duas ramificações, a superior em kxdA = 0.123; ω = 5.78 THz e a inferior em

kxdA = 0.114; ω = 4.23 THz. Neste intervalo ainda temos uma curva do modo de

superfície que muda sua direção em kxdA= 0.777; ω = 3.96 THz.

(b) : a região de altas frequências, compreendida no intervalo 7.57 THz < ω < 9.99 THz, apresenta um modo de volume que apresenta uma ramificação em kxdA= 0.165; ω =

7.61 THz. O ramo que se origina se subdivide em kxdA = 1.584; ω = 7.59 THz e

apresenta uma grande inclinação positiva até desaparecer entre os modos de super- fície.

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO

Figura 4.9: Relação de dispersão para uma super-rede periódica descrita pela frequência versus o vetor de Bloch adimensional kxdA. As funções que descrevem o meios óptico A

foram consideradas constantes, A(ω) = µA(ω) = 1.0.

Vamos agora considerar a situação inversa, ou seja a permissividade dielétrica B e a

permeabilidade magnética µBdo meio B constantes e igual a 1.0, enquanto na camada A,

A e µA serão definidos pelas eqs. 4.18 e 4.20. Os espectros estão mostrados nas figuras

4.11 (caso periódico) e 4.12 (5a geração de Fibonacci). Caso periódico (figura 4.11):

(a) : para baixas frequências, o modo de volume inferior se inicia em kxdA= 0.00 e apre-

senta uma inclinação positiva, tendendo ao estreitamento com o crescimento de kxdA

em direção a aproximação assintótica, com modo de superfície em ω = 0.66 THz. O ramo seguinte apresenta uma inclinação positiva e aproxima-se assintoticamente do modo de volume intermediário em kxdA= 0.795; ω = 2.98 THz, tendendo assin-

toticamente para o modo de superfície em ω = 5.56 THz.

(b) : para frequências intermediárias, o modo de volume se inicia em ω = 2.50 THz e se aproxima do modo de superfície em ω = 5.65 THz.

(c) : para altas frequências, o modo de volume superior se encontra localizado nos intervalos 4.96 THz < ω < 9.99 THz e 0.00 < kxdA< 0.310.

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO

Figura 4.10: O mesmo da figura 4.9 para a super-rede quasi-periódica de Fibonacci na quinta geração.

Figura 4.11: Relação de dispersão para uma super-rede periódica descrita pela frequência versus o vetor de Bloch adimensional kxdA. As funções que descrevem o meio óptico B

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO

Figura 4.12: O mesmo da figura 4.11 para a super-rede quasi-periódica de Fibonacci na quinta geração.

(a) : para baixas frequências, o modo de volume inferior inicia o seu primeiro ramo em kxdA = 0.00 e apresenta uma inclinação positiva, tendendo ao estreitamento

e encerrando-se em kxdA = 0.417; ω = 0.62 THz. O seu segundo ramo apresenta

ramificações e inclinação positiva, aproximando-se assintoticamente do modo de volume intermediário em kxdA = 0.897; ω = 2.94 THz e subdividindo-se em mais

dois sub-ramos, inferior e superior, que apresentam frequências máximas de ω = 4.60 THz e ω = 5.34 THz, respectivamente.

(b) : para frequências intermediárias, o modo de volume se inicia em ω = 2.48 THz e apresenta sub-ramos no intervalo de frequência entre 5.45 THz < ω < 5.91 THz para kxdA= 2.99.

(c) :O modo de volume superior compreende o intervalo 4.63 THz < ω < 9.99 THz e 0.000 < kxdA< 0.648.

CAPÍTULO 4. POLARITONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS COM GRAFENO