4.4.1 - O Esquem a WTJDS
Inicialmente o esquema de interpolação adotado para todas as equações foi o WUDS -
Upstream-Weighted Differencig Schemes - (Raithby e Torrance, 1974). Este esquema baseia-se
na solução de um problema convectivo-difusivo unidimensional (em regime permanente e sem termos fontes). Os valores de <j> e sua derivada na face do volume de controle são dados em função dos valores nodais adjacentes. Por exemplo, para a face leste (e) tem-se
(4.24)
onde cte e pe são funções do número de Peclet da malha, que é uma razão entre o transporte convectivo e o difuso. Para a face leste, por exemplo, temos
Pe = í ? U (4.26)
onde é o elemento i , j do tensor .
Este esquema contempla os termos convectivos e difusivos da equação de transporte. No problema puramente convectivo (Pe = oo) a e = (ou -lA de acordo com o sinal da velocidade) e Pe - 0 , c o esquema torna-se upwind puro (aproximação de primeira ordem). No problema puramente difusivo (Pe = 0 ) a e = 0 e p e = l , e o esquema transforma-se em diferenças centrais (aproximação de segunda ordem). Embora seja um esquema híbrido, o WUDS é geralmente considerado como um esquema de primeira ordem. Isto deve-se ao fato de que normalmente o número de Peclet da malha é alto o suficiente para que o esquema tenda a ser upwind puro.
O WUDS envolve um ponto a montante ou um a jusante (conforme a orientação da velocidade) do ponto P (centro do volume considerado na integração). Desta forma, temos um estêncil de três pontos em cada direção (W, P e E). No problema tridimensional (em malha cartesiana) resulta que cada ponto P se relaciona com seus 6 vizinhos imediatos, com os quais compartilha faces comuns (E, W, N, S, D, F).
Com a intenção de melhorar a qualidade da solução, diminuindo os efeitos da difusão numérica inerentes a esquemas de primeira ordem, buscamos a utilização de esquemas de interpolação de mais alta ordem, como o exposto na próxima seção. Uma detalhada discussão a respeito da difusão numérica é dada por Maliska (1995).
4.4.2 - O Esquem a Q U IC K
Apresentado por Leonard (1979), no esquema QUICK o valor de <J) na face do volume é estimado através de uma interpolação quadrática envolvendo dois pontos nodais a montante do escoamento e um a jusante, na direção considerada. Assim, para a face leste temos (supondo U>0)
♦ . = 7 + p + T *e “ +w (4 27)
4 8 8
Figura 4.3 - Pontos envolvidos no esquema QUICK
O QUICK produz uma aproximação de terceira ordem para os termos convectivos em malha cartesiana uniforme. Este esquema envolve dois pontos a montante e dois a jusante do volume considerado, constituindo, portanto, um estêncil de cinco pontos em cada direção. No problema tridimensional isto significaria que cada volume P pode se relacionar com até 12 vizinhos (EE, E, W, WW, NN, N, S, SS, DD, D, F, FF). De fato, em geral, cada ponto se relaciona (devido somente a interpolação dos termos convectivos pelo QUICK) com 9 vizinhos.
A ordem de aproximação dos esquemas de interpolação é facilmente determinada (usando-se expansão em série de Taylor) no caso de malhas cartesianas uniformes. Quando se trata de malhas não uniformes (cartesianas não igualmente espaçadas ou então malhas curvilíneas generalizadas), há controvérsias com relação à manutenção ou não da ordem de aproximação. Thompson e Mastin (1985) mostram que, ao contrário do que popularmente se acredita, a ordem em malha uniforme pode ser formalmente preservada numa malha não uniforme. Isto porque a
discretização é, matematicamente, um mapeamento entre os pontos coordenados da malha e os inteiros positivos (os índices dos pontos da malha), que são, obviamente, igualmente espaçados. A forma conservativa dos termos convectivos mapea-se de acordo com
( p U > ) ^ U | ü - p U k * j (4.28) U ô x
Desta maneira, uma vez que as métricas da transformação de coordenadas sejam incluídas com ordem de aproximação comparável, a ordem matemática formal do esquema de interpolação pode ser mantido.
Até aqui temos discutido a aproximação dos termos convectivos pelo esquema QUICK. Os termos difusivos são aproximados por diferenças centrais (segunda ordem). Por exemplo, a derivada de <|) na face leste é calculada por
A S- (|>e — (f>p (4.29)
Derivadas cruzadas (devido a não ortogonalidade da malha) são também aproximadas por diferenças centrais. Por exemplo:
0(j)
ÕT]
" ^ ^ N E 4>S " ^ S E
2________2 _ ^t*N ~^~^NE 4*SE
2àr\ 4 (4.30)
Por ser um esquema de alta ordem, o QUICK (associado com diferenças centrais para os termos difusivos) muitas vezes acarreta maior dificuldade de convergência do que o WUDS. Esse problema de convergência é mais acentuado no caso das equações do modelo de turbulência. Por isso, optamos por adotar o QUICK para as equações do movimento, da energia e da concentração, enquanto que o WUDS foi mantido para as equações da energia cinética turbulenta e da sua taxa de dissipação.
A manutenção de um esquema de primeira ordem para as quantidades turbulentas, para o nosso tipo de escoamento, não implica numa perda da qualidade da solução. Esta nossa afirmação baseia-se nas conclusões do trabalho de Lien e Leschziner (1994), que estudaram a influência da adoção de três combinações diferentes de esquemas de interpolação para os termos convectivos na solução do escoamento turbulento sobre um degrau. Na primeira combinação foi usado o esquema UDS (upwind differencig scheme) para os termos convectivos, tanto para as equações do movimento como para as da turbulência. Esta combinação foi denominada UDS+UDS. N a segunda combinação foi adotado o QUICK para as equações do movimento e o UDS para a turbulência (combinação QUICK+UDS). A terceira combinação consistiu do QUICK para as equações do movimento e o UMIST para as quantidades turbulentas (combinação QUICK+UMIST). O esquema UMIST (upstream monotonic interpolation fo r
scalar transport, Lien e Leschziner, 1994) é uma variante do esquema QUICK, no qual um
limitador é introduzido para evitar oscilações. Na análise dos resultados produzidos (comprimento da recirculação, perfis de velocidade e de tensão cizalhante), constatou-se que as diferenças entre as combinações UDS+UDS e QUICK+UMIST foram significativas. Já entre as combinações QUICK+UMIST e QUICK+UDS as diferenças foram muito pequenas. A explicação é a de que a contribuição dos termos convectivos na equação de transporte das quantidades turbulentas é pequena, portanto a sua aproximação por um esquema de alta ordem (UMIST) não resultou em diferenças quando comparado com uma aproximação de primeira ordem (UDS). De fato, as equações de k e e são dominadas pelos termos de produção e destruição.