A educação matemática tem buscado alternativas para inovar e desenvolver uma prática docente criativa e adequada às necessidades da sociedade do século XXI abrindo espaço para pesquisas e discussões sobre a temática (FIORENTNI, 1995; FLEMMING, 2005; ZORZAN, 2007; GROENWALD, SILVA; MORA, 2004). A criatividade em matemática surge como uma possibilidade de se repensar a educação matemática, principalmente, focalizando seu olhar para a natureza das atividades, o estímulo ao pensamento divergente e as estratégias para o desenvolvimento da criatividade neste campo.
Em primeiro lugar, temos que refletir sobre a natureza das atividades desenvolvidas no processo de ensino e aprendizagem da matemática. Esta natureza pode ser mais fechada, que permite um único padrão de resolução e favorece o pensamento convergente que é amplamente utilizada pelos professores de matemática ou, pode ser de natureza aberta/heurística, que são aquelas atividades que admitem múltiplas possibilidades de caminhos para a solução e favorece o pensamento divergente (DANTE, 1988; GONTIJO, 2007; VASCONCELOS, 2002).
Pinheiro e Vale (2013) desenvolveram uma pesquisa com o objetivo de analisar de que modo é possível desenvolver a criatividade dos alunos no campo da matemática. Os resultados revelaram grande receptividade, por parte dos alunos, às tarefas de natureza aberta, ao demonstrar um grande entusiasmo, empenho e interesse na concretização das mesmas.
Na resolução de problemas abertos, os estudantes são responsáveis pela tomada de decisão (GONTIJO, 2007) e isso favorece o desenvolvimento de estratégias e procedimentos de investigação, iniciativa e espírito explorador e, além disso, desenvolve a criatividade em matemática (DANTE, 1988). Um problema aberto pode até não definir claramente o que a questão pede, mas permitir muitas soluções possíveis (KWON, PARK; PARK, 2006).
Kwon, Park e Park (2006) enumeraram cinco vantagens para utilização de problemas abertos em sala de aula como: (1) aumenta a participação dos alunos de forma mais ativa e ajuda expressar suas ideias com mais liberdade; (2) possibilita maior oportunidade para os alunos usarem seus conhecimentos e habilidades matemáticas; (3) possibilita aos alunos responderem os problemas de maneira mais significativa; (4) proporciona uma experiência racional ao aluno; (5) favorece o sentimento de descoberta e aprovação dos outros estudantes. Problemas abertos podem dar aos alunos um maior senso de realização e satisfação. Além disso, aumentam a confiança na sua capacidade para encontrar suas próprias respostas.
Uma atividade simples para ilustrar um problema de natureza aberta seria pedir para os alunos desenhar o maior número de retângulos especificando suas dimensões, de modo que todos tenham área igual a 40 cm2. Nesta atividade existem muitas possibilidades de resposta, a considerar o nível de aprendizagem dos alunos.
Uma estratégia para estimular o pensamento divergente seria a utilização de situações que possibilitassem múltiplas respostas, fundamentadas no interesse em desenvolver práticas interdisciplinares, como por exemplo, a integração entre a matemática e a literatura, escrita e compreensão de textos (FLEMING, 2005). Um exemplo para ilustrar essa ideia seria a inclusão na organização do trabalho pedagógico histórias como “A divisão simples, a divisão exata e a divisão justa” do livro: O homem que calculava de Malba Tahan. Com isso, produzir-se-ia, provavelmente, uma interação entre os alunos e estimular-se-ia o pensamento divergente em matemática. Segue esse trecho do livro com adaptações:
A caminho de Bagdá, Beremís e seu amigo encontraram, caído, na estrada, um pobre viajante roto e ferido, ao qual socorreram e do qual souberam ser Salem Nasair, um dos mais ricos mercadores de Bagdá, que fora atacado por uma chusma de nômades persas do deserto, tendo sua caravana sido saqueada e ele o único a conseguir, milagrosamente, escapar, oculto na areia, entre os cadáveres dos seus escravos! Combinaram, então, juntar os cinco pães que ´o Homem que calculava´ ainda tinha com os três do seu amigo e
dividi-los entre si para sobreviverem até chegarem a Bagdá, prometendo o cheique pagar com uma moeda de ouro cada pão que comesse! Quando lá chegaram, o rico Salem Nasair cumpriu sua palavra dada, entregando ao ´Homem que calculava´ cinco moedas pelos cinco pães e a mim, pelos três pães, três moedas. Com grande surpresa, o ´Calculista´, objetou, respeitoso: - Perdão, ó cheique! A divisão, feita desse modo, pode ser muito simples, mas não é, matematicamente certa. Quando, durante a viagem, tínhamos fome, eu tirava um pão à caixa em que estavam guardados e repartia-o em três pedaços, comendo cada um de nós, um desses três pedaços. Se eu dei 5 pães, dei, é claro, l5 pedaços; se o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu com 9 pedaços. Houve, assim, um total de 24 pedaços, cabendo, portanto, oito pedaços para cada um. Dos 15 pedaços que dei, comi 8, dei, na realidade 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços e comeu, também, 8, logo deu apenas, l. Os 7 que eu dei e o restante que o ´bagdalí´ forneceu, formaram os 8 que couberam ao cheique Salem Nasair. Logo, é justo que eu receba 7 moedas e o meu companheiro, apenas, l. Era lógica, perfeita e irrespondível a demonstração apresentada pelo matemático! Mas esta divisão, de sete moedas para mim e uma para meu amigo, conforme provei, é matematicamente certa, mas não é perfeita aos olhos de Deus!, retorquiu o ´Calculista´. E tomando as moedas na mão, dividiu-as em duas partes iguais e deu-me uma dessas partes, guardando, para si, a restante (MALBA TAHAN, p.13-16).
Nessa atividade, por exemplo, a turma seria dividida em grupos e seria proposto aos alunos a realização de uma dramatização. A dramatização no campo da matemática favorece a interação entre os alunos, permite que estes expressem suas experiências pessoais, bem como, o entendimento dos conceitos da atividade e desenvolve a criatividade (GONTIJO, 2007). Além disso, seriam elaboradas atividades para que os alunos pudessem explorar as possibilidades matemáticas dessa história, como por exemplo, dividir a turma em três grupos e pedir para que os alunos defendessem as operações mencionadas na história, dentre outras.
Uma outra possibilidade para estimular o pensamento divergente seria valorizar as diferentes produções dos alunos em sala de aula. Por exemplo, na multiplicação de 32 x 25, poderíamos encontrar:
Na solução A, utilizou-se o algoritmo de multiplicação mais tradicional e, geralmente, o mais enfatizado pelos professores de matemática em sala de aula. Observa-se
que na solução B, outro princípio foi utilizado, ou seja, 32 x 25 = (2 + 30) x (5 + 20) = 10 + 150 + 40 + 600. A solução C é baseada no modelo de multiplicação, em que (2 x 5) e (20 x 2) são calculadas primeiro e, em seguida, (30 x 20) e (30 x 5) são calculados. Na solução D multiplica-se (25 x 2) = 50 e depois (25 x 30) = 750 e depois efetua-se a soma dos valores 50 + 750 = 800. É importante ressaltar que todas as maneiras apresentadas estão corretas, portanto ao valorizar as múltiplas formas para resolver um problema, estaremos favorecendo o pensamento divergente e estimulando a criatividade em matemática.
O desenvolvimento da criatividade em matemática também poderia ser estimulada por meio de situações de investigação que conectassem a matemática com a realidade. Algumas estratégias advindas da educação matemática poderiam ser utilizadas para essa finalidade como a modelagem matemática; brincadeiras e atividades lúdicas; a estratégia de resolução de problemas nas aulas de matemática, dentre outras.
A modelagem matemática é considerada uma arte de expressar, por meio da linguagem matemática, problemas reais (FLEMING, 2005; GROENWALD, SILVA; MORA, 2004; ZORZAN, 2007). Além disso, segundo os PCN (BRASIL, 1997), é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos têm a possibilidade de utilizar a matemática para investigar situações da realidade de outras áreas. De acordo com Gontijo (2007, p. 68) a modelagem é uma técnica usada para estimular o pensamento criativo e colaborar com a geração de ideias e pode ser usada “para criar modelos físicos e visuais para mostrar concepções matemáticas e explorar ativamente soluções dos problemas, usando e manipulando uma variedade de materiais produzidos pelos alunos”.
Um exemplo para ilustrar esse objetivo se encontra no livro GESTAR TP3 sobre a construção de uma piscina. A seguir segue a atividade:
A comunidade de uma escola, junto com o Conselho Escolar, decidiu atender a um pedido dos alunos e construir uma piscina. Avaliando o espaço disponível e as necessidades, decidiram que sua superfície deveria caber em um espaço com medidas 6m por 12m. Quanto à profundidade, para que a maioria dos alunos pudesse usá-la, decidiram que seria de 1m na parte mais rasa e de 3m na parte mais funda. Decidiram também que o fundo não teria a forma de uma rampa em toda a extensão, ou seja, não inclinaria de modo uniforme da parte mais rasa para a mais funda. Ao invés disso, haveria alguns degraus no fundo entre os pisos horizontais, mas na parte mais funda poderia ser inclinado. As preocupações que surgiram foram: (a) como fazer um projeto satisfazendo a essas condições; (b) como saber a quantidade de água que seria necessária para encher a piscina, até 20 cm da borda (BRASIL, 2008, p. 20).
Esta atividade mostra-se de extrema importância para o desenvolvimento da criatividade em virtude de sua natureza aberta. Quando os alunos desenvolvem a atividade de construção do projeto satisfazendo as condições especificadas usariam a imaginação,
componente essencial da criatividade, além disso, fariam desenhos, esboços, maquetes até encontrar o modelo ideal. Isso comprova algumas das possibilidades dessa questão. Na atividade que envolvesse o cálculo da quantidade de água para encher a piscina, os alunos precisariam descrever a forma da piscina e calcular sua capacidade propiciando o exercício de sua capacidade de visualização em três dimensões e da representação dessa visualização. Destaca-se então, nesta atividade, a habilidade de elaborar modelos para solucionar situações matemáticas que é um critério para mensurar a criatividade em matemática (BALKA, 1974).
Pereira (2008) desenvolveu um estudo com o objetivo de investigar a criatividade em aplicações de modelagem matemática. Foram analisadas algumas dissertações de mestrado que utilizaram a modelagem matemática como metodologia de ensino. Os resultados indicaram que a liberdade de ação dos estudantes e a tarefa na perspectiva heurística são fundamentais para o desenvolvimento da criatividade em sala de aula numa atividade de modelagem matemática. Identificou, também, a postura do professor durante o desenvolvimento da atividade, que passa por incentivar, proporcionar liberdade para propor ideias, enfrentar situações novas, trabalhar com temas de interesse do grupo, favorecer o debate e a discussão dos temas de investigação, favorecer aos estudantes um olhar de uma situação sob vários aspectos. As atividades de modelagem matemática favorecem o desenvolvimento da criatividade quando proporciona interação entre os estudantes, estimulando a sua colaboração.
Uma outra maneira para desenvolver a criatividade em matemática seria utilizando brincadeiras e atividades lúdicas nas aulas de matemática. Essas atividades geram um maior interesse e participação dos alunos, introduz alegria, prazer, equilíbrio emocional, ânimo e entusiasmo ao ambiente da sala de aula, além disso, despertam ação, são desafiantes e mobilizam a curiosidade, reduzem a evasão escolar, e apresentam também, diversas potencialidades para o desenvolvimento de aprendizagens. Por outro lado, a ausência de atividades lúdicas na escola não favorece o pleno desenvolvimento da criança (ARAÚJO, 2000; MIRANDA, 2002).
A atividade lúdica é um excelente laboratório para experiências inteligentes e reflexivas. Gera socialização, afetividade, motivação, criatividade e cognição para efetivar a aprendizagem e desenvolvimento das potencialidades dos indivíduos (MIRANDA, 2002).
A brincadeira é uma atividade na sua essência lúdica estimulando o aprendizado, pois, indica uma possibilidade de recriar uma realidade imediata em um universo alternativo. Uma brincadeira não pode ser muito desafiante e nem muito entediante para não provocar ansiedade. A primeira fase da brincadeira é o faz de conta, ou seja, referência a algo que já
existe, em seguida, essa realidade se transforma e adquire outro significado, assumindo um papel de mundo alternativo sem consequências e, por fim, o aspecto da incerteza com possibilidades múltiplas (BROUGÈRE, 2010).
A atividade lúdica é caracterizada como uma atividade autotélica, ou seja, atividades intrinsecamente gratificantes em que sua recompensa está na realização, que geram grande prazer e satisfação. De acordo com Amabile (1996), a brincadeira tem um efeito benéfico sobre a criatividade e exploração, pois desperta a motivação intrínseca das crianças.
Acredita-se que no processo de desenvolvimento das estratégias nas atividades lúdicas, o aluno envolve-se com o levantamento de hipóteses e conjeturas, aspecto fundamental no desenvolvimento do pensamento criativo, científico, inclusive o matemático (CHANG, 2013). Portanto, engajar-se em atividades lúdicas aumentam a criatividade, especialmente se os objetos dessa atividade estão envolvidos na tarefa subsequente, como por exemplo: uma atividade que consiste em dividir uma turma em três equipes com a mesma quantidade, se possível, de alunos (conforme figura 1).
Figura 1. Atividade de matemática na quadra de esportes.
Nesta atividade colocam-se copos em linha reta e um recipiente com água na quadra de esportes. A quantidade de copos enfileirados é igual à quantidade de alunos em cada equipe. O primeiro copo encontra-se a uma distância de 5 metros do recipiente e a distância entre cada copo seria de 2 metros. A dinâmica dessa atividade consiste no primeiro participante de cada equipe encher uma caneca com a água do recipiente, correr em direção ao primeiro copo, despejar a água da caneca neste copo, voltar ao ponto de partida e entregar a caneca para o segundo participante que repetirá o processo. Ganha a brincadeira a equipe que encher todos os copos e voltar ao ponto de partida.
Uma possibilidade para explorar essa situação seria a construção do conceito da soma dos termos de uma progressão aritmética e o desenvolvimento da criatividade em matemática solicitando aos alunos as seguintes questões: (a) Faça um desenho representando a brincadeira (b) Quantos metros andou cada participante da equipe? (c) O que você observou na sequência
numérica formada pela quantidade de metros de cada participante? (d) Quantos metros andaram toda a equipe? (e) Mostre o maior número de possibilidades para responder quantos metros andou toda a equipe (f) Formule um conceito padrão, se possível, para indicar este resultado.
É possível que a resposta mais original se aproxime da descoberta, simples e elegante, de Carl Friedrich Gauss para o conceito para a soma dos termos de uma progressão aritmética – P.A. Conta-se que um professor de matemática mandou os alunos de sua turma que somassem de 1 a 100, como forma de castigo. O professor ficou surpreso quando um dos alunos, Gauss, havia feito a soma corretamente e em pouco tempo. Ele percebeu que a soma do primeiro com o último era igual a 101 e que a soma do segundo com o penúltimo, também, era igual a 101 e, além disso, que a soma do terceiro e do antepenúltimo, também, era 101 e, assim sucessivamente, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos
extremos, que neste caso é 101. Como no total são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que (1 + 100) x 50 = 5050 (PAIVA, 2009).
Outra estratégia para o desenvolvimento da criatividade em matemática seria a resolução de problemas. Esta concepção didática poderosa e importante para desenvolver as habilidades em matemática, pois permite aos estudantes maneiras independentes e autônomas na busca de ideias e estratégias novas para alcançar uma solução adequada ao problema proposto (FLEMING, 2005; GROENWALD; SILVA; MORA, 2004; ZORZAN, 2007).
A resolução de problemas desenvolve o raciocínio dos alunos, ajuda a desenvolver a criatividade, motiva os alunos a aprender, contribui para a avaliação da aprendizagem e desenvolve uma aprendizagem em grupo, quando esta atividade for solidária (NASSER, 1988). Além disso, faz o aluno pensar produtivamente, a enfrentar situações novas, a envolver com aplicações da matemática, torna as aulas mais interessantes e desafiadoras, equipa o aluno com estratégias para resolver problemas e alfabetiza matematicamente (DANTE, 1988).
Para que a resolução de um problema seja bem sucedida, Lester (2013) salienta o envolvimento do aluno com experiências anteriores em resolução de problemas, o conhecimento, a compreensão de como reconhecer e construir padrões de inferência e a intuição que levam a uma atividade de resolução de problemas originais. Schoenfeld (2013) destaca, além do conhecimento do indivíduo, as estratégias heurísticas, a autorregulação e o sistema de crenças individuais e suas origens em experiências matemáticas como categorias importantes da atividade de resolução de problemas. De acordo com Dante (1988) e Gontijo (2007), no processo de resolução de problemas, em especial os de natureza aberta, o aluno desenvolve a sua criatividade em matemática.
1. Olhe para a pirâmide com um número. Todas as células devem conter um número. Cada número da pirâmide pode ser calculado através da realização da mesma operação com os dois números que aparecem abaixo dela. Preencha a pirâmide, mantendo no topo o número 35. Tente encontrar o maior número de soluções possíveis (KATTOU, KONTOYIANNI, PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2012).
2. Considere uma grade quadrada com nove pontos, cuja distância entre os pontos é de 1 cm. Unindo-se os pontos com linhas retas, desenhar tantas formas quanto possível, com uma área de 2 cm2 (HAYLOCK, 1997).
Dante (1988) e Gontijo (2007) sugerem algumas outras atividades para o desenvolvimento da criatividade em matemática. Estas atividades são: (1) determine como funciona o algoritmo da divisão; (2) invente um novo sistema de numeração; (3) invente uma nova operação; (4) invente novas maneiras de efetuar a adição, subtração, multiplicação e divisão; (5) escreva um poema matemático; (6) escreva uma dramatização envolvendo a matemática; (7) redefina um problema; (8) elabore problemas matemáticos. Alguns projetos, também são destacados como possibilidades para o desenvolvimento da expressão criativa envolvendo a matemática e a arte, a música, a literatura, a religião, a informática.
Considerando os diversos aspectos apresentados relativos à criatividade em matemática, este trabalho foi elaborado com o objetivo de apresentar um modelo empírico para predizer a criatividade em matemática, explicando a ocorrência desse fenômeno considerando a percepção que estudantes de ensino médio de uma escola pública têm acerca das práticas de seus docentes, de sua motivação e o seu rendimento escolar em relação à matemática.
3 METODOLOGIA
Considerando as questões de pesquisa, planejou-se uma investigação com a finalidade de verificar as correlações entre as variáveis: motivação para aprender, rendimento escolar e percepção das práticas docentes para a criatividade e apresentar um modelo empírico para predizer a criatividade em matemática. A criação de modelos pode ser utilizada em diversas áreas do conhecimento como a arte, moda, engenharia, matemática, entre outras. Para Almeida, Silva e Vertuan (2012), a modelagem significa dar forma a algo na busca de expor e/ou explicar características, demonstrar estruturas, descrever situações, ilustrar conceitos e prever comportamentos de um fenômeno por meio de um modelo.
3.1 Participantes
Participaram desta pesquisa 87 alunos do 3° ano do ensino médio de uma escola da rede pública do Distrito Federal. A idade média dos participantes deste estudo era de 16,78 anos, variando de 15 a 20 anos. Quarenta e um alunos (47,1%) eram do gênero masculino e 46 (52,9%) do feminino. A pesquisa ocorreu em uma escola de ensino médio que está localizada na cidade satélite do Gama, Distrito Federal. A escola conta com uma ampla estrutura de ensino com todos os meios básicos que uma instituição de ensino deve possuir como: laboratório de informática, física e química, quadra de esportes, sala de multimídia, além de um auditório que é usado para diversas atividades.
A escola foi construída para atender uma demanda de ensino médio da cidade e promover uma formação geral e criar condições para que os educandos pudessem interagir com o mundo de forma crítica e criativa como agentes da sua própria história. A escola desenvolve alguns projetos interdisciplinares como exposições, gincanas, café cultural, visitas a museus, projetos de prevenção ao uso de drogas, educação sexual, projeto de informática, dentre outros. É uma escola que tem participado do Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM, obtendo resultados significativos, por exemplo, no ano de 2013/14 obteve uma média geral de 539,13 pontos. Este resultado colocou a escola entre as dez maiores médias das escolas públicas do Distrito Federal. A maior média de pontos alcançada por escolas públicas neste ano no Distrito Federal foi de 606,60. O sistema de avaliação fica a critério de cada professor, que distribui os dez pontos de cada bimestre em trabalhos, pesquisas, exercícios e provas (BRASÍLIA, 2014).
3.2 Instrumentos
Os instrumentos para a coleta de dados foram o Teste de Criatividade em Matemática (GONTIJO, 2007), o Inventário de Práticas Docentes que Favorecem a Criatividade (ALENCAR; FLEITH, 2004), a Escala de Motivação para Aprender de Universitários: EMA-U (BORUCHOVITCH, 2008) e o diário de classe das turmas pesquisadas, no qual são registradas as notas alcançadas pelos alunos em cada bimestre em matemática do ano de 2014.
Teste de Criatividade em Matemática
O Teste em Criatividade em Matemática foi desenvolvido por Gontijo (2007), para um estudo que investigou a relação entre criatividade, criatividade em matemática e motivação em Matemática de alunos de ensino médio. Os itens deste teste foram elaborados com o objetivo de verificar a extensão da criatividade em matemática, baseando-se na resolução de problemas, formulação de problemas e redefinição de elementos matemáticos, como visto em Haylock (1987). É composto de 6 itens que foram selecionados dos estudos que avaliam a fluência, flexibilidade e originalidade das respostas produzidas. Apresentaremos, a seguir alguns destes itens do teste e o