Nesta seção vamos fornecer os métodos direto de Liapunov e de Chetaev para estudo da esta- bilidade de equilíbrios para sistemas não autônomos.
5.6.1
O método direto de Liapunov
Consideremos o sistema de EDO de primeira ordem
˙x= f (x,t), (5.20)
onde a função f : U× [0,∞) → IRn (U é um aberto do IRn), é uma função de classe C1. Podemos pensar que f é analítica relativamente a x e contínua em relação a t na região
Ωa= Ba(0) × [t0,∞). (5.21)
Definição 13 Seja a função V : U×[0,∞) → IR, onde U é um aberto do IRnque contém x0. Dizemos que:
(a) V é definida positiva em x0se V(x0,t) = 0, para todo t ≥ 0 e, se existe uma função W : U −→ IR, definida positiva em x0tal que V(x,t) ≥ W (x), para todo (x,t) ∈ U × [0,∞).
(b) V é definida negativa em x0se -V for definida positiva em x0.
(c) V é uma função de Liapunov para a solução de equilíbrio x0da equação (5.20) se ela é definida positiva em x0e se ˙V(x,t) ≤ 0, para todo (x,t) ∈ U × [0,∞).
Vamos, agora, ver como fica o teorema 31 no caso não autônomo.
Teorema 34 (Teorema de Liapunov para estabilidade no caso não autônomo) Se existe uma função
de Liapunov para a solução de equilíbrio x= 0 do sistema (5.20), então o equilíbrio é estável.
Demonstração. Sejaε> 0 tal queε< a. Então, Bε(0) × [0,∞) ⊂Ωa. Sejaω= min{W (x);x ∈
∂Bε(0)}. Como V(0,0)=0 e V(x,t) é contínua, existe δ > 0 tal que V (x, 0) ∈ Bω(0), para todo
x∈ Bδ(0). Enquanto o ponto (x(t),t) estiver emΩa, teremos
W(x(t)) ≤ V (x(t),t) = V (x(0),0) +
t
0
˙
V(x(s), s)ds ≤ V (x(0),0).
Logo, se x(0) ∈ Bδ(0) então W (x(t)) ∈ Bω(0), enquanto o ponto (x(t),t) estiver emΩa.
Assim, pela definição de ω, x(t) ∈ Bω(0). Seja β o extremo direito do intervalo máximo de definição desta solução emΩa. Seβ<∞, então Bε(0) × [0,β) ⊂Ωaé compacto e contém o ponto (x(t),t), para todo t∈ [0,β], o que não é possível. Logo, a solução está definida para todo t ≥ 0 e como x(t) ∈ Bε(0), para todo t ≥ 0, temos que o 0 é estável.
Corolário 14 Suponha que o sistema (5.20) possui uma integral primeira F (que não depende de
t) definida positiva (ou negativa) numa vizinhança da solução de equilíbrio, então a solução de equilíbrio é estável.
Demonstração. Basta definir V(x,t) = F(x) e notar que ˙V ≡ 0.
Para a instabilidade o teorema de Liapunov no caso não autônomo assume a forma:
Teorema 35 (Teorema de Liapunov para instabilidade no caso não autônomo) Suponha que x=
0 é uma solução de equilíbrio do sistema (5.20). Suponha que existe uma função real V de classe
C1tal que:
(i) V(x, t) → 0 quando k x k→ 0 uniformemente em t; (ii) ˙V é definida positiva numa vizinhança da origem;
(iii) A partir de certos valores de t, V(x,t) assume valores positivos em cada vizinhança suficien-
Então a solução x= 0 é instável.
Demonstração. Suponha por absurdo que x= 0 é uma solução estável de (5.20). Sejam a e b
constantes positivas tais que, para x tal quek x k∈ (a,b]. Como, por (i), ˙V é definida positiva então existe uma função autônoma W tal que ˙V(x, t) ≥ W (x) > 0 e | V (x,t) |≤ b. A existência de a e b
segue dos ítens (i) e (ii). Da suposição de x= 0 ser estável, temos que existeδ> 0 comδ< a tal
que quando a solução começa em x∈ Bδ(0) então x(t) ∈ Ba(0), para todo t ≥ t1. Por (iii) podemos
escolher x tal que V(x,t1) > 0. Logo,
V(x,t) −V (x,t) =
t t1
˙
V(x(s), s)ds ≥ 0,
para todo t≥ t1. Assim V(x(t),t) é não decrescente. Considere agora o conjunto S = {y/V (y,t) ≥ V(x, t) e x ∈ Ba(0)} e seja o anel B = {y/ k y k∈ [r,a] com r > 0}. Temos que S ⊂ B e portanto,
µ= inf
S V(y,t) > infB V(y,t) > 0, donde
V(x,t) −V (x,t) ≥ µ(t −t1),
para todo t≥ t1. Logo parak y k≤ a, V (y,t) pode torna-se arbitrariamente grande, o que é uma
contradição.
5.6.2
O método direto de Chetaev
Vamos agora apresentar o método direto de Chetaev no caso não autônomo. Começaremos com algumas definições importantes para o entendimento do teorema.
Definição 14 O conjunto de valores das variáveis x= (x1, . . . , xn) sob as condições (5.21), satis-
fazendo a desigualdade V> 0, será denominada a região V > 0, e a superfície V = 0 será chamada
a fronteira desta região.
Se a função V depende explicitamente de t, então com as variações de t a região V > 0 também
Definição 15 Se a função W é limitada na região V > 0 de tal forma que que para cada número
positivo arbitrariamente pequenoε, podemos encontrar um númeroδ> 0 tal que para
t≥ t0, x21+ . . . + x2n≤δ, V ≥ 0 (5.22)
a desigualdade
|W | ≤ε
é satisfeita, dizemos que W admite limite superior infinitesimal na região V > 0.
Note que esta condição é satisfeita para toda função W que admite limite superior infinitesimal. Definição 16 A função W(x,t) será denominada de sinal definido na região V > 0 se ela pode
anular-se nesta região somente na fronteira V = 0 e se para cadaρ> 0 arbitrariamente pequeno
existe um número l> 0 tal que para todo, x satisfazendo a condição |V | ≥ ρ a desigualdade ,
|W | ≥ l é válida para todo t ≥ t0.
Obviamente a função
λV+W (5.23)
será de sinal definido na região V > 0 se W é definida positiva ou identicamente nula enquantoλé um número constante positivo. Se V é independente de t, cada função W independente de t será de sinal definido na região V > 0 se ela nunca anula-se na região V > 0 enquanto ela pode anular-se
na fronteira da região V > 0 (i.e., em V = 0). Cada função é definida positiva em sua região V > 0.
Lema 6 Cada função de sinal definido U será de sinal definido na região V > 0, se a função V
admite limite superior infinitesimal na região V > 0.
Demonstração. De fato, se V admite limite superior infinitesimal na região V > 0 então, por
definição e comentário em (ii) feito anteriormente, temos que para cada número positivo arbitrário
ε, existeδ> 0 tal que a região V >εesta fora da esferakxk =δ. Se U é de sinal definido, digamos positiva, então por definição existirá uma função definida positiva W independente de t tal que a função U−W é não negativa. Portanto uma cota inferior (necessariamente positiva) da função W na regiãoδ≤ kxk ≤ηserá uma cota inferior para os valores da função U na região V ≥ε.
Proposição 4 Seja Ω: V = V (r,φ) > 0, r∈ [0,α], φ∈ [φ1,φ2] (5.24) e assuma que dV dt ≥ Ar αg(φ) + O(ε) (5.25)
comεsuficientemente pequeno, A> 0 e g(φ) > 0 paraφ∈ [φ1,φ2]. Então dV /dt é definida positiva emΩ.
Demonstração. Basta observar que g é contínua eφpertence ao compacto[φ1,φ2] e, portanto, pelo
Teorema de Bolzano-Weirstrass, g admite um valor mínimo o qual é positivo, digamos m. Dado
ε> 0 com V >εdevemos ter r>βpara algumβ> 0. Logo,
dV dt ≥ Aβ
αm+ O(ε) (5.26)
e, escolhendo εsuficientemente pequeno, por exemplo, um ε tal que|O(ε)| < Aβ2αm temos dVdt >
Aβαm
2 =δ.
Teorema 36 (Teorema de instabilidade de Chetaev, versão 1) Se para a EDO (5.1) do movimento
perturbado é possível encontrar uma função V limitada na região V > 0, existindo para todo t ≥ t0 e para variáveis x arbitrariamente pequenas, com derivada ˙V definida positiva na região V > 0 ao
longo das equações do movimento, então o movimento perturbado de (5.1) é instável.
Demonstração. Para uma função limitada V existem constantes t0eηtal que para todo valor das
variáveis x na região V > 0, satisfazendo, além das condições (5.21), a desigualdade
V < L (5.27)
para algum L> 0.
É necessário provar que para um talηnão existe umλpositivo e suficientemente pequeno tal que para para perturbações inicias x, sujeitas à condiçãokxk =λ, a desigualdadekϕ(t, x)k ≤ηnão é violada para algum t> t0.
Provaremos este resultado por contradição. Assumamos que existe um tal valor de λ. Con- sideremos condições inicias sobre a esfera Sλ tal que o valor inicial da função V0(x) = V (x,t0) é
não nulo e positivo. Para V0suficientemente pequeno e para ˙V definida positiva na região V > 0,
podemos encontramos um número não nulo m, tal que para as variáveis x satisfazendo a condição
V ≥ V0o valor da função ˙V deverá satisfazer ˙V ≥ m.
Portanto tão logo a desigualdade V ≥ V0 não é violada para todo valor de t com t ≥ t0, da
equação V(x(t),t) −V0= t t0 ˙ V(x(s), s)ds (5.28) derivamos a desigualdade V(x(t)) ≥ V0+ m(t −t0). (5.29)
Esta desigualdade pode existir simultaneamente com a desigualdade (5.27) somente para valores de t menor que
t0+ L−V0
m . (5.30)
As violações da desigualdade (5.27) significa neste caso que a segunda desigualdade em (5.21) tem sido violada. Assim, o movimento perturbado é instável.
Comentários: (1) Note que nas condições não exigimos que elas sejam satisfeitas numa vizin- hança inteira da origem. É suficiente que as condições sejam satisfeitas somente na região V > 0.
(2) O Teorema será válido se a região V > 0 contém um subconjunto aberto Γ de pontos tais que V(x,t) > 0 para x ∈Γ, e V(x,t) → 0 para x →Γ\Γ.
(3) A região V > 0 pode consistir de várias componentes conexas. Aplicações do Teorema an-
terior somente numa componente conexa C da região V > 0 pode ser de interesse. Para determinar
C por uma única desigualdade W > 0 é suficiente considerar a função contínua W , igual a V na
região C e igual a−|V | fora de C.
Teorema 37 (Teorema de instabilidade de Chetaev, versão 2) Suponhamos que para a EDO (5.1)
do movimento perturbado é possível encontrar uma função V com derivada ˙V definida positiva; suponha que V admite limite superior infinitesimal; e suponha que para cada valor de t maior que uma certa constante, é possível tornar a função V de sinal definido com o mesmo sinal que
sua derivada ˙V para uma apropriada escolha de x numa vizinhança suficientemente pequena da origem. Então o movimento perturbado é instável.
Demonstração. Para a demonstração é suficiente notar que a função V deste teorema satisfaz as condições formuladas no teorema anterior, quando ˙V será definida positiva na região V > 0 desde
que V admite limite superior infinitesimal.
Teorema 38 (Teorema de instabilidade de Chetaev, versão 3) Suponhamos que para a EDO (5.1)
do movimento perturbado é possível encontrar uma função V limitada para a qual a derivada
˙
V =λV+W , ondeλé uma constante positiva e W é mesmo nula ou ao menos semi-definida. Se W não é identicamente nula, suponhamos, também, que para todos os valores de t maiores que uma constante existem valores arbitrariamente pequenos de x para os quais V e W tem o mesmo sinal. Então o movimento perturbado é instável.
Capítulo 6
Estabilidade de equilíbrios para sistemas
Hamiltonianos periódicos
Neste capítulo, estudaremos explicitamente a estabilidade de soluções de equilíbrio para sis- temas Hamiltonianos periódicos com um e dois graus de liberdade e faremos algumas extensões para sistemas com número de graus de liberdade maior que dois. Apresentaremos dois dos prin- cipais teoremas sobre estabilidade de equilíbrios para sistemas Hamiltonianos periódico com um grau de liberdade, são eles: o Teorema de Cabral-Meyer [6] e o Teorema de Arnold-Moser ([2] e [3]). Também, aplicaremos esses teorema para concluir sobre a estabilidade em alguns casos de interesse.
6.1
Introdução
Considere o Hamiltoniano periódico com n graus de liberdade H= H(q, p,t) analítico relati-
vamente as variáveis q e p e 2π-periódico em relação a t. Suponha que a origem é uma solução de equilíbrio para o sistema associado a H, de modo que o desenvolvimento de H em série de potências numa vizinhança da origem é da forma:
onde Hk é um polinômio homogêneo de grau k nas variáveis q, p e 2π-periódico em t. Se pelo menos um dos expoentes característicosλ1, . . . ,λnda matriz do sistema linearizado tem parte real não nula, de acordo com o que foi discutido na seção 2.5 e, pelo teorema 30, temos que a origem é instável no sentido de Liapunov. No caso em que os expoentes característicos são imaginários puros, digamos λj =ωji, j = 1, . . . , n, só em casos particulares sabe-se sobre a estabilidade da origem. Neste capítulo, nos deteremos a este caso.
Assumiremos, neste capítulo, que
H2(q, p,t) = 1 2 n
∑
j=1 ωj(q2j+ p2j), (6.2)ou equivalentemente, o sistema linearizado é estável.