O método direto de Liapunov

O método direto de Liapunov para estudo da estabilidade foi desenvolvido pelo matemático Russo A. Liapunov [23] no final do século XIX. Ele não consiste na integração das equações diferenciais do movimento perturbado, mas em encontrar funções das variáveis x e t, tais que sua derivada total (com respeito a t) tem certas propriedades devido a forma das equações do movimento. Desde que o método aplica-se diretamente as equações do movimento, sem qualquer conhecimento das soluções, o método é conhecido como método direto.

O mesmo Liapunov reconheceu, que ele foi levado a este método como conseqüência do tra- balho de Poincaré [27]. A idéia por trás do método pode ser trazida do resultado de Lagrange baseado num fato físico bem conhecido: numa certa posição de equilíbrio um sistema conservativo tem energia potencial mínima, então esta posição corresponde a um equilíbrio estável, se a posição de equilíbrio não corresponde a um mínimo então o equilíbrio é instável, ou seja, um sistema físico perde energia potencial numa vizinhança de um ponto de equilíbrio estável.

Considere o sistema de EDO autônoma de primeira ordem

˙x= f (x), (5.11)

onde f :∆_{→ IR}né uma função de classe C1definida no aberto∆_{⊂ IR}n. Denotaremos porϕt(x) o fluxo associado a este sistema.

Seja V :∆_{→ IR uma função contínua tal que} ∂_∂V_x também seja contínua. Ponhamos, para cada x_∈∆,

˙

V(x) =< ∂_∂V

Se x(t) é uma solução de (5.11), então

dV

dt (x(t)) |t=0= ˙V(x(t)) |t=0,

isto é, ˙V é a derivada de V ao longo das soluções de (5.11) e é uma função contínua. Observe que

˙

V pode ser calculado diretamente de f(x) e, portanto, não envolve integração.

A teoria que será desenvolvida a seguir permanece válida para a função escalar V for somente contínua sobre um aberto∆_{⊂ IR}n. Neste caso

˙

V(ζ) = lim

h−→0+

V(x(h,ζ_{)) −V (}ζ)

h (5.12)

onde x(h,ζ) é a solução de (5.11) com valor inicial ζ em h= 0. Se V é contínua e localmente

Lipschitz, então pode-se mostrar que esta ultima definição é equivalente a ˙

V(ζ) = lim

h−→0+

V(ζ+ h f (ζ_{)) −V (}ζ)

h .

Em algumas aplicações é necessário considerar funções V(x) as quais não têm derivada parciais

contínuas em todos os pontos x. Por outro lado, as funções V(x) são usualmente diferenciáveis por

partes com o conjunto de descontinuidade nas derivadas de V acontecendo sobre uma superfície de dimensão mais baixa que a do espaço de base IRn.

Se f e V são de classe C1(∆_{) então, para cada x ∈}∆a derivada de V ao longo da soluçãoϕt(x) de (5.11) é:

˙

V(x) = d

dtV(ϕt(x)) |t=0=< DV (x), f (x) > .

Desde que as demonstrações dos teoremas a seguir não usam a diferenciabilidade de V , eles serão estabelecidos sem esta hipótese, mas com a definição de V dada por (5.12).

Definição 12 Seja a função V :∆_{→ IR definida no aberto}∆_{⊂ IR}nque contem x0. Dizemos que: (a) V é definida positiva em x0se V(x0) = 0 e V (x) > 0 se x 6= x0.

(b) V é definida negativa em x0se−V for definida positiva em x0.

(c) V é uma função de Liapunov para a solução de equilíbrio x0da equação (5.11) se ela é definida positiva em x0e se ˙V(x) ≤ 0, para todo x ∈∆.

Um primeiro resultado é o seguinte:

Teorema 31 (Teorema de Liapunov para estabilidade no caso autônomo) Se existe uma fun-

ção de Liapunov de classe C1para a solução de equilíbrio x= 0 do sistema (5.11), então o equi-

líbrio é estável.

Demonstração. Sejam r> 0 tal que Br(0) ⊂∆eε> 0 tal queε< r. Defina

m_{ε= min{V (x)/x ∈}∂B_ε(0)}.

Como V é definida positiva, temos que m_ε> 0. Assim, pela continuidade de V e usando o fato que

V(x) = 0, temos que existeδ> 0 tal que V (x) < mε, para todox_{∈ Bδ}(0). Pelo teorema do Valor

Médio, existe s_{∈ [0,t] tal que}

V(ϕt(x)) −V (x) = ˙V (ϕs(x))(t − 0)

e como ˙V(ϕt(x)) ≤ 0, para todo x ∈ △ temos que V (ϕt(x)) ≤ V (x), donde V (ϕt(x)) < mε, para todo

t _{≥ 0 onde a solução esta definida. Se existisse t}1 tal queϕt1(x) ∈∂Bε(0), então, V (ϕt1(x)) ≥ mε.

Uma contradição. Logoϕt(x) ∈ Bε(0), para todo t ≥ 0 onde a solução está definida. Observe que a solução está definida para todo t_{≥ 0, desde que ela fica dentro de um compacto. Isto prova a} estabilidade do equilíbrio.

Corolário 9 Se o sistema (5.11) possui uma integral primeira F definida positiva (ou negativa)

numa vizinhança da solução de equilíbrio e todas as soluções estão definidas para todo tempo, então a solução de equilíbrio é estável.

Demonstração. Basta definir V(x) = F(x) e notar que ˙V _{≡ 0.}

Exemplo: Considere a EDO de segunda ordem

¨

x+ q(x) = 0,

onde q é uma função contínua que satisfaz xq_{(x) > 0, ∀x 6= 0. Esta equação pode ser escrita na} forma ˙x_{= y e ˙y = −q(x). A energia total do sistema é E =} y˙₂2 + ₀xq(s)ds. Como E não depende

explicitamente de t, temos que E é uma integral primeira para o sistema. Observe que E é definida positiva. Assim, pelo corolário (9) temos que a origem é um ponto de equilíbrio estável para este sistema.

Um caso particular importante deste exemplo corre quando q(x) = x. Neste caso, a equação

correspondente é a equação fundamental das oscilações, ¨x+ x = 0.

Vamos agora enunciar um resultado relativo a sistemas mecânicos da forma:

¨r=∇U(r), (5.13)

onde U :∆_{→ IR é uma função de classe C}1, definida no aberto∆_{⊂ IR}n. Um tal sistema é denomi- nado sistema Newtoniano potencial. A formulação Hamiltoniana deste sistema é obtida da seguinte

forma. Faça _         ˙r= v ˙v=∇rU. Logo, se definirmos H=1 2 k v k 2 −U(r), (5.14)

o sistema assume a forma: _

          ˙r=∂H ∂v ˙v_{= −}∂H ∂r (5.15)

A seguinte proposição foi primeiro provada por Dirichlet, e formulada por Lagrange[21]: Proposição 2 (Teorema de Dirichlet-Lagrange) Seja o sistema mecânico (5.13) e suponha que r0é um ponto crítico de U e é um máximo local isolado, então a solução de equilíbrio (r0, 0) do sistema Hamiltoniano (5.15) é estável.

Demonstração. Sejam U0= U(r0) eε> 0 tal que U(r) < U0parak r − r0k<ε. Defina V(r, v) = H(r, v) +U0=

1 2 k v k

2

A função V é positiva definida na vizinhança_{k r − r}0k<εcom v arbitrário, e como ˙V = ˙H≡ 0,

pelo teorema (31) segue o resultado.

Para sistemas mecânicos da forma ¨r_{= −}∇U(r), na proposição 2 devemos assumir que o ponto

crítico isolado é um mínimo local.

No caso de um sistema Hamiltoniano linear autônomo a função Hamiltoniana é da forma:

H(z) = 1

2z T

Sz, (5.16)

ou seja, a função Hamiltoniana é uma forma quadrática em IR2n. Se H for definida positiva (ou negativa) então, como H é uma integral primeira para o sistema associado, pelo corolário 9 temos que a origem é um equilíbrio estável. No caso em que H não é definida positiva (ou negativa) nada podemos afirmar.

Suponhamos agora que H é uma função Hamiltoniana autônoma com n graus de liberdade, analítica numa vizinhança da origem e tal que a origem é um equilíbrio para o sistema associado. Logo, desenvolvendo H em série de Taylor numa vizinhança da origem temos que

H(q, p) = H2(q, p) + H3(q, p) + . . . , (5.17)

onde Hs é um polinômio homogêneo de grau s nas variáveis q e p. Se assumimos que a parte quadrática é definida positiva (ou negativa) temos que H é uma integral primeira definida positiva (ou negativa) numa vizinhança da origem e, pelo corolário 9, temos que a origem é um equilíbrio estável para o sistema Hamiltoniano associado a H. Com estes comentários, temos demonstrado o seguinte corolário do teorema 9:

Corolário 10 Seja H como em (5.17). Se H2(q, p) é definida positiva (ou negativa), então a origem é um equilíbrio estável para o sistema associado a H.

Vamos ver agora um teorema que nos fornece um critério para decidir instabilidade de equi- líbrios:

Teorema 32 (Teorema de Liapunov para instabilidade no caso autônomo) Suponha que a origem

vizinhança da origem tal que ˙V_{(x) é definida positiva para todo x 6= 0 e V (0) = 0. Se em cada} vizinhança de x= 0 existe x tal que V (x) > 0, então a origem é um equilíbrio instável.

Demonstração. Para qualquer soluçãoϕt(x) de (5.11) temos que

V(ϕt(x)) −V (x) = t

0

˙

V(ϕs(x))ds ≥ 0,

donde V(ϕt(x)) ≥ V (x), ∀t ≥ 0. Sejam r > 0 tal que Br(0) ⊂ △ e ε> 0 dado. Por hipótese, existe x_{6= 0, com k x k< min{}ε_{, r} tal que V (x) > 0. Seja} ϕt(x) a solução de (5.11) que satisfaz

ϕ0(x) = x. Como V é contínua, Br(0) é compacto e V (0) = 0 temos que existem δ> 0 e M > 0 tais que_{| V (x) |≤ M, para todo x ∈ B}r(0) e y ∈ Bδ(0), donde segue que V (y) ∈ BV(x)(0). Sabemos

que a soluçãoϕt(x) existe sobre algum intervalo [0,t1) e assumiremos que t1é o primeiro ponto no

qual_kϕt(x) k= r. Se nenhum t1é o primeiro então t1=∞, poisϕt(x) estará contido num compacto

Br(0). Vamos mostrar que t1=∞não é possível. Como V(ϕt(x)) é não decrescente no intervalo

[0,t1), temos que V (y) > V (x) > 0 e por outro lado y ∈ Bδ(0), assim, V (y) ∈ BV(x)(0), e então

devemos ter_kϕt(x) k>δ, para todo t∈ [0,t1). Defina

µ_{= min{ ˙V (y)/ k y k∈ [}δ_{, r]}.}

Como ˙V é contínua sobre o compacto K_{= {y ∈ △/ k y k∈ [}δ_{, r]}, este mínimo existe e é assumido}

em algum ponto y_{∈ K. Como ˙V é definida positiva, temos µ > 0. Assim, temos ˙V (}ϕt(x)) ≥ µ > 0, para todo t_{∈ [0,t}1) e conseqüentemente, V (x) ≥ V (x) + µt, o que implica

lim

t−→∞V(ϕt(x)) =∞.

Mas isto contradiz o fato de_{| V (y) |≤ M, ∀y ∈ B}r(0). Portanto, dadoε> 0 suficientemente pequeno, não existe δ > 0 tal que ϕt(x) ∈ Bε(0), para todot ≥ 0, pois devemos ter t = t1 finito tal que

kϕt1(x) k= r. Assim, a solução x = 0 não pode ser estável.

Corolário 11 Suponha que a origem é uma solução de equilíbrio do sistema (5.11). Seja V uma

função real de classe C1definida positiva numa vizinhança de x= 0 tal que ˙V(x) é definida positiva

para todo x_{6= 0, então o equilíbrio é instável.}

Corolário 12 Suponha que a origem é uma solução de equilíbrio do sistema (5.11). Suponha que

existe uma função real V de classe C1tal que: (i) V_{(x) → 0 quando k x k→ 0;}

(ii) ˙V é definida positiva (ou negativa) numa vizinhança da origem;

(iii) V assume valores positivos (ou negativos) em cada vizinhança da origem suficientemente pe- quena;

Então o equilíbrio é instável.