Estabilidade do ponto de equilíbrio endémico

Considere-se agora R0 > 1. Usando o processo de linearização do sistema (5.8),

a estabilidade dos pontos de equilíbrio livre de doença e endémico foi estudada em [16] e as conclusões foram as seguintes:

(1) O ponto de equilíbrio livre de doença (0, 0) é instável, possuindo uma variedade estável e uma variedade instável.

(2) O ponto de equilíbrio endémico (x∗_{, y}∗_{)é estável no caso de}

Ademais, a expressão R0 > 1pode ser escrita como: a2pqme−ατ2_e−µτ1 µα > 1 ⇒ ln  a2_pqme−ατ2_e−µτ1 µα  > ln(1) 0 < ln a 2_pqm µα  + ln(e−ατ2−µτ1_{) ⇔ − ln(e}−ατ2−µτ1_{) < ln} a 2_pqm µα  , ou ατ2+ µτ1 < ln  a2_pqm µα  . (5.11)

A expressão (5.11) mostra de forma mais direta como a existência do ponto de equilíbrio endémico depende dos atrasos. Quando os atrasos sofrem um aumento até não se verificar a condição (5.11), o ponto de equilíbrio endémico deixa de existir.

Tomando ln a

2_pqm

µα 

= c, podemos estudar condições a estabelecer aos períodos de latência para não se verificar a condição:

ατ2+ µτ1 < c,

e observar os efeitos na prevalência da doença.

O equilíbrio endémico está definido somente para períodos de latência na região: A =(τ1, τ2) ∈ R2|ατ2 + µτ1 < c, τ1 > 0 ∧ τ2 > 0 .

Na Figura 5.6 está representado o domínio dos períodos de latência para os quais existe o equilíbrio endémico.

Podemos pois tirar a seguinte conclusão: para períodos de latência do parasita maiores do que c

µ nos mosquitos ou c

α nos humanos, o equilíbrio endémico deixa de existir, e todas as soluções do sistema (5.8) convergem para o ponto de equilíbrio livre de doença. Neste caso, a doença por si só acabará por desaparecer.

O aumento dos períodos de latência do parasita em humanos ou mosquitos (via medicamentos ou medidas de controlo) pode reduzir as proporções de humanos e mosquitos infetados e, assim controlar a doença localmente ([16], p. 1111). No en- tanto, longos períodos de incubação podem ter um papel significativo na transmissão não local da doença se levarmos em consideração a migração de humanos e mosqui- tos, já que humanos e mosquitos expostos podem certamente disseminar os parasitas para outros locais.

Capítulo 6

Conclusão

Depois de percorrer alguma bibliografia relevante acerca dos modelos matemáti- cos epidemiológicos, eis algumas conclusões acerca dos modelos estudados neste trabalho.

No modelo SIR simples se o tamanho da população suscetível for superior ao limiar de epidemia ou taxa de remoção relativa ρ = α_γ (sendo α a taxa de recuperação da doença e γ a taxa de transmissão) ocorrerá epidemia, isto é, a introdução de uma pequena quantidade de indivíduos infetados irá provocar o aumento da proporção de infetados pela doença, portanto a prevalência da doença vai ser crescente até a quantidade de suscetíveis ser menor do que o limiar da epidemia. Daí o número de casos da doença irá decrescer tendendo para zero. No caso em que a população dos suscetíveis é menor do que ρ, então não ocorre epidemia.

De facto as epidemias tendem a se desenvolver mais rapidamente quando a densi- dade de suscetíveis é alta e a taxa de remoção é baixa por causa do desconhecimento da doença e de cuidados médicos inadequados. Por outro lado, surtos tendem a ser apenas de forma limitada quando as boas condições sociais acarretam menores den- sidades de suscetíveis, e quando as taxas de remoção são altas por causa de boa vigilância e controlo por parte dos serviços de saúde pública ([2], p. 458).

Em 1912 Mckendrick escreveu acerca da influência do tamanho da população de suscetíveis na dinâmica de doenças infeciosas nos seguintes termos: se uma deter- minada comunidade que está a enfrentar uma doença infeciosa receber uma certa quantidade de pessoas totalmente suscetíveis em sua população, então a chegada dos visitantes cria uma perturbação. Neste caso, a quantidade de suscetíveis vai su- perar por um valor ainda maior o limiar de epidemia, e sem controlo adequado, muita gente será afetada e demorará mais tempo até que a doença fique extinta. Quanto mais tempo a epidemia se mantiver, maior será a catástrofe, se a densidade da popu- lação continuar a aumentar e o limiar de epidemia permanecer constante, esse atraso prolongado pode levar à quase completa extinção da população ([7], p. 720).

o Homem tem procurado controlá-la ou até irradicá-la através de campanhas de va- cinação. Devido à escassez de recursos (humanos e materiais) e com intenção de minimizar os custos, no modelo SIR com vacinação à nascença, viu-se que é possí- vel garantir uma imunidade vacinando apenas uma certa proporção da população. E neste caso a percentagem limiar a vacinar é dada por ρ = 1 − 1

R0, onde R0 é o número

básico de reprodução da doença, que é o número médio de casos secundários que um caso primário de doença produz numa população totalmente suscetível. Assim para uma percentagem de vacinação acima de ρ, a população fica protegida à invasão da doença.

Em relação ao modelo SIS simples foi possível observar que uma doença só po- derá invadir com sucesso uma população se a taxa de remoção/recuperação (α) for menor do que a taxa de transmissão (γ), caso contrário acabará por desaparecer. No caso da taxa de recuperação ser menor do que a taxa de transmissão, pode se fazer uma intervenção no combate à doença. As intervenções passam necessaria- mente por aumentar a taxa de recuperação (garantindo tratamentos médicos eficazes aos doentes, diminuindo assim o período infecioso) ou diminuir a taxa de transmissão (colocando os doentes em quarentena até ao final da cura ).

Falando acerca da malária, uma das doenças muito antigas que tem sido um grande flagelo na população humana, a sua existência e persistência numa região é explicada matematicamente pelo número básico de reprodução da doença, cuja in- terpretação está ligada a complexas interações entre a fêmea do mosquito do género Anopheles e o ser humano no processo de transmissão do parasita. Se o número básico de reprodução é maior do que um (R0 > 1), então a doença persistirá na

população. Caso contrário (R0 < 1) não persistirá. Houve várias propostas para a

erradicação da malária, a primeira delas foi proposta por Ronald Ross, e está ligada à diminuição da densidade de mosquitos, eliminando mosquitos jovens através de lar- vicidas. Mas tarde, Macdonald argumentou que para a erradicação da malária, era necessário matar os mosquitos adultos, cuja justificação está ligada à existência de termos exponenciais na expressão de R0 (levando em conta o período de latência

do parasita no mosquito). A proposta de Macdonald ajudou a irradicar a malária em muitos países, mas em 2008 ela foi considerada ainda endémica em 109 países. Atu- almente há várias medidas que são usadas para o controlo ou irradicação da malária entre elas a pulverização intra-domiciliária, o uso de redes mosquiteiras impregnadas com inseticidas e campanhas de sensibilização para as comunidades destruirem os criadouros naturais de mosquitos. Entretanto a doença ainda persiste devido à com- plexidade de fatores ligados ao ciclo de vida do parasita e dos vetores e às migrações constantes de indivíduos entre zonas endémicas e não endémicas da malária.

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