Estado fundamental e estados excitados - Cálculo ab initio de propriedades optoeletrônicas da L

1.5 Estado fundamental e estados excitados

Podemos dividir as propriedades da matéria em dois conjuntos: aquelas que são de- terminadas a partir do estado fundamental e aquelas definidas pelos estados excitados dos elétrons:

– Estado fundamental: energia de coesão, estrutura cristalina no equil´ıbrio, transi¸cões de fase estruturais, constantes elásticas, densidade de carga, ordem magnética, suscetibi- lidades dielétricas e magnéticas no caso estático, vibra¸cões dos núcleos e seus movimentos em geral (na aproxima¸cão adiabática ou de Born-Oppenheimer), etc.

– Estados excitados: excita¸cões de baixa energia em metais que contribuem para o calor espec´ıfico, suscetibilidade de spin de Pauli, transporte; excita¸cões de alta energia que determinam gaps isolantes, propriedades ópticas, espectro de energias para adi¸cão e remo¸cão de elétrons, etc.

A razão para esta divisão reside no fato de as energias cinéticas eletrônicas serem bem maiores que as nucleares, de modo que o estado de mais baixa energia para os elétrons determina os movimentos de baixa energia e a distribui¸cão espacial dos núcleos. As diversas formas de matéria são, em larga medida, manifesta¸cões do estado fundamental dos elétrons. O movimento dos núcleos, por exemplo, em vibra¸cões da rede cristalina, ocorre em uma escala de tempo muito maior que a dos elétrons, o que justifica a suposi¸cão de que, instantaneamente, os elétrons sempre se encontram no estado de mais baixa energia [115, 116].

Como o estado fundamental dos elétrons é crucial para o cálculo das propriedades eletrônicas na matéria condensada, boa parte do trabalho teórico desenvolvido nesta disci- plina visa estabelecer métodos adequados e precisos para lidar com o estado fundamental. No presente, a abordagem mais utilizada para cálculo de primeiros princ´ıpios do estado fundamental é a teoria do funcional da densidade (Density Functional Theory - DFT) [117, 118, 119].

A estrutura estável dos sólidos é classificada de um modo mais natural através do estado fundamental eletrônico, que determina como os átomos formam liga¸cões. O estado de mais baixa energia eletrônica determina a estrutura espacial dos núcleos, suas cargas e o número de elétrons, exatamente as informa¸cões que são o input para a equa¸cão de Schrödinger do sistema. Considerando a natureza geral das liga¸cões qu´ımicas, podemos apontar esquematicamente cinco tipos principais de materiais quanto ao tipo de liga¸cão que se forma entre seus átomos constituintes:

1. Sistemas de camada fechada (closed-shell ), tais como os gases nobres e os sólidos moleculares, apresentam estados eletrônicos qualitativamente parecidos com os estados dos átomos (ou moléculas) componentes. As bandas formadas não são largas, e as estruturas formadas são sólidos com célula unitária bem compacta (close-packed ), no caso dos gases nobres, e estruturas complexas, no caso de sólidos formados por moléculas sem simetria esférica. A liga¸cão é muitas vezes descrita como oriunda da fraca atra¸cão de Wan der Waals equilibrada pela repulsão criada pelo overlap dos estados quânticos eletrônicos. Uma análise mais detalhada revela que outros mecanismos também são relevantes.

2. Cristais iônicos, formados por elementos com eletronegatividades muito diferentes, podem ser caracterizados pela transferência de carga de modo a formar ´ıons de camada fechada, criando estruturas com ânions grandes em um arranjo compacto (hcp, fcc, ou bcc), e pequenos cátions localizados em posi¸cões que maximizam a atra¸cão coulombiana. Experimentos quantitativos e a teoria mostram, entretanto, que não é poss´ıvel identificar cargas associadas de modo único a um dado ´ıon. Tais sistemas são isolantes com um gap de energia.

3. Sistemas metálicos não apresentam gaps de excita¸cão e são excelentes condutores. As bandas de um metal aceitam facilmente números diferentes de elétrons, possibilitando a forma¸cão de ligas entre átomos de diferentes valências em estruturas compactas. O gás eletrônico homogêneo é uma excelente aproxima¸cão para tais sistemas. Metais de transi¸cão são particularmente importantes por suas propriedades mecânicas e magnéticas, bem como por seus efeitos de muitos corpos, os quais proporcionam boa parte dos desafios teóricos a resolver.

4. Liga¸cões covalentes implicam numa mudan¸ca radical no caráter dos estados eletrônicos dos átomos isolados. Tal mudan¸ca envolve o preenchimento de bandas eletrônicas até o gap de energia. Liga¸cões covalentes direcionais criam estruturas abertas, bastante diferentes do empacotamento compacto t´ıpico dos outros tipos de liga¸cão. É o que ocorre com materiais semicondutores, por exemplo.

5. Pontes de hidrogênio são freqüentemente identificadas como outro tipo de liga¸cão. O hidrogênio é o único elemento qu´ımico sem elétrons de caro¸co. Seu núcleo, um próton, é atra´ıdo mais fortemente por elétrons próximos por conta da ausência da blindagem criada pelos elétrons de caro¸co em outros elementos. As propriedades da água são fortemente afetadas pela forma¸cão de liga¸cões de hidrogênio. Tais liga¸cões também são especialmente importantes para a bioqu´ımica.

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os cinco tipos acima mencionados.

Por outro lado, para certas estruturas as excita¸cões eletrônicas são o cerne das propriedades eletrônicas da matéria - incluindo condutividade elétrica, propriedades ópticas, excita¸cão térmica de elétrons, fenômenos causados por elétrons extr´ınsecos em semicondutores, etc. Estas propriedades são governadas pelo espectro de energias de excita¸cão e pela natureza dos estados excitados. Existem dois tipos básicos de excita¸cão: adi¸cão ou subtra¸cão de elétrons, e excita¸cões que conservam constante o número de elétrons. Como as excita¸cões podem ser considerados rigorosamente como sendo perturba¸cões do estado fundamental, os métodos de teoria de perturba¸cão são não poucas vezes a chave para o entendimento teórico e o cálculo de tais propriedades.

Excita¸cões eletrônicas também se acoplam ao movimento nuclear, levando a efeitos como a intera¸cão entre elétrons e fônons. Tal intera¸cão afeta os estados eletrônicos (elec- tronic states broadening) e implica em fortes efeitos nos metais (uma vez que estes possuem energias de excita¸cão arbitrariamente pequenas, levando a misturas com excita¸cões nucleares de baixa energia). O acoplamento pode produzir transi¸cões de fase e novos estados da matéria, como o estado supercondutor.

Figura 9: Bandas de “quase-part´ıcula” no germânio calculadas através da aproxima¸cão GW com pseudopotenciais e uma base gaussiana [120] comparadas com resultados experimentais (lado direito) obtidos por fotoemissão [121] e fotoemissão inversa [122], e um resultado teórico usando a aproxima¸cão LDA (Local Density Approximation), indicado pelas linhas tracejadas na figura da esquerda. As bandas LDA ilustram o conhecido problema do band-gap que produz gap zero para o germânio. Este problema praticamente desaparece quando são usados métodos de muitos corpos ou quando se emprega o funcional de troca exato (EXX).

A despeito dos impressionantes triunfos da teoria DFT para o estado fundamental, esta teoria ainda não é capaz de produzir resultados confiáveis para as excita¸cões. O gap fundamental é o ponto chave do problema. Os gaps calculados através dos funcionais DFT se encontram bem abaixo dos valores experimentais para praticamente todos os materiais. Obter avan¸cos na teoria de excita¸cões em isolantes constitui boa parte do esfor¸co atual em pesquisa. A obten¸cão de gaps reduzidos não é intr´ınseca à abordagem DFT e pode ser corrigida através de um tratamento mais apropriado da energia de troca não-local, como o uso de um termo de troca exato (Exact Exchange - EXX, ver Ref. [123]) e funcionais h´ıbridos, que incluem caracter´ısticas ausentes nos funcionais comumente utilizados. Por exemplo, o funcional EXX produz excelentes valores para os gaps sem destruir a pre- cisão do cálculo de energia do estado fundamental se um funcional de correla¸cão local é inclu´ıdo. Outra op¸cão, computacionalmente muito dispendiosa, é o cálculo de corre¸cões perturbativas de muitos corpos (aproxima¸cão GW).

Figura 10: Gaps de energia para diferentes semicondutores usando os funcionais da densidade LDA e EXX. Os resultados usando o funcional LDA subestimam os gaps na maioria dos c´alculos DFT. A teoria do potencial de troca exato exige maior trabalho computacional, mas fornece gaps bem pr´oximos dos resultados experimentais. Figura retirada de [124].

Excita¸cões que conservam o número de elétrons podem ser vistas como excita¸cões do tipo elétron-buraco, em que o elétron adicionado interage com a “lacuna” deixada pela remo¸cão de um elétron na banda de valência. A energia do éxciton assim formado é inferior ao gap entre as bandas. A medida mais universal de excita¸cões que conservam o número de elétrons é a capacidade térmica, por abranger todas as excita¸cões poss´ıveis

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sem distin¸cões. A capacidade térmica a baixas temperaturas é a medida que distingue definitivamente sistemas com gaps de energia e sistemas sem gap, e a base da distin¸cão entre metais e isolantes. Nos metais, “quase-part´ıculas”, excita¸cões de baixa energia que atuam como elétrons fracamente interagentes, fornecem uma descri¸cão bastante adequada do calor espec´ıfico, da condutividade elétrica e do paramagnetismo de Pauli. Introduz-se, nesta descri¸cão, o conceito de superf´ıcie de Fermi, conjunto de pontos no espa¸co rec´ıproco onde o tempo de vida das “quase-part´ıculas” é infinito e a energia é igual à energia de Fermi. Tal superf´ıcie já foi minuciosamente mapeada para muitos cristais metálicos.

As fun¸cões dielétricas e a condutividade são as fun¸cões resposta mais importantes em f´ısica da matéria condensada por serem determinantes para as propriedades ópticas, condutividade elétrica, e muitas outras propriedades interessantes para aplica¸cões tec- nológicas. Além disso, os espectros ópticos são, provavelmente, a ferramenta de estudo de excita¸cões mais amplamente utilizada. A formula¸cão fenomenológica das equa¸cões de Maxwell na presen¸ca de meios polarizáveis ou condutores inclui a fun¸cão dielétrica ǫ(ω) e a condutividade σ(ω), onde ω é uma freqüência complexa. Note-se que o número de elétrons não muda, ou seja, a absor¸cão óptica pode ser vista como a adi¸cão simultânea de um elétron e um buraco, os quais podem interagir.

Uma outra abordagem para o cálculo do espectro de excita¸cão para o caso em que o número de elétrons não muda é a teoria do funcional da densidade dependente do tempo (Time-Dependent Density Functional Theory - TDDFT) [125], que fornece, em princ´ıpio, uma solu¸cão exata para a densidade de carga eletrônica em fun¸cão do tempo. Tal abordagem vem sendo utilizada juntamente com funcionais de troca e correla¸cão aproximados com considerável sucesso no cálculo de espectros ópticos de sistemas confinados, como moléculas e clusters, e também no cálculo de excita¸cões magnéticas em sólidos.

A medida que a teoria progride e se torna mais acurada, torna-se mais relevante a considera¸cão de efeitos de muitos corpos decorrentes da intera¸cão elétron-elétron. Isto não apenas para melhorar as descri¸cões teóricas sobre materiais e fenômenos já conhecidos, como também para prever novas propriedades e fenômenos coletivos fora do alcance das teorias de campo médio.

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O objeto de estudo da presente tese é o aminoácido α-L-alanina (L significa a forma enantiomórfica levógira), fórmula qu´ımica C3H7NO2. As duas formas enantiomórficas da

alanina são apresentadas na Fig. 11, juntamente com duas perspectivas da molécula de L-alanina. Vale salientar que, de todos os aminoácidos quirais, a alanina é o mais simples e que, na natureza, os aminoácidos apresentam-se na forma levógira.

Figura 11: Na parte superior, formas enantiomórficas da alanina, juntamente com (abaixo) duas perspectivas diferentes da molécula de L-alanina (zwitter´ıon neutro). Os átomos cinzentos são de carbono, os azuis, nitrogênio, os vermelhos, oxigênio e os brancos, hidrogênio.

A alanina é incorporada na cadeia polipept´ıdica nascente durante a bioss´ıntese protéica em resposta a quatro códons (um códon é uma seqüência de três bases nitrogenadas, ou nucleot´ıdeos): GCU, GCC, GCA e GCG, e representa aproximadamente 8.3% dos res´ıduos de prote´ınas que já foram caracterizadas [126]. O res´ıduo alanil incorporado possui uma massa de 71.09 unidades de massa atômica (ou dalton), um volume de van der Waals de 67 ˚A3

e uma superf´ıcie acess´ıvel de 113 ˚A2

[126]. Res´ıduos de alanina são muitas vezes variáveis através de várias espécies, sendo muitas vezes substitu´ıdos em prote´ınas homólogas por res´ıduos de serina, treonina, valina, ácido glutâmico e prolina. A cadeia lateral da alanina consiste num grupo metila. Esta cadeia lateral apolar torna os res´ıduos de alanina não-reativos quimicamente, relativamente hidrofóbicos e pouco hidrof´ılicos. Conseqüentemente, 38% dos res´ıduos de alanina ficam profundamente enterrados nas conforma¸cões dobradas das prote´ınas [126]. Nessas condi¸cões, a cadeia lateral de metila sofre rápidas rota¸cões em torno da liga¸cão simples entre o carbono α e o carbono β (o

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carbono do grupo CH3). A alanina possui, dentre todos os res´ıduos de aminoácidos, a maior tendência para adotar a conforma¸cão α-hélice em pept´ıdeos. A ocorrência da alanina em estruturas de prote´ınas dobradas em α-hélices é duas vezes mais freqüente que em β-folhas e reversões.

No organismo humano, a L-alanina é um aminoácido essencial cuja principal fun¸cão parece ser o metabolismo do triptofano e da piridoxina. Tem pouca relevância terapêutica, mas é uma importante fonte de energia para os músculos, sistema nervoso central e cérebro e também toma parte na fabrica¸cão de anticorpos. Existe alanina no fluido da próstata, e ela pode desempenhar um papel importante na saúde deste orgão [127]. Altos n´ıveis de alanina juntamente com baixos n´ıveis de tirosina e fenilalanina vem sendo associados com o v´ırus de Epstein-Barr [128] e a s´ındrome de fadiga crônica [129]. Baixos n´ıveis do aminoácido têm sido encontrados em pacientes com hipoglicemia, diabetes e hepatite alcóolica.

Cao et al. [130] otimizaram usando técnicas ab initio (método de Hartree-Fock e teoria da perturba¸cão MP2) 13 conforma¸cões da alanina, encontrando bom acordo com resultados experimentais. Ellzy et al. [131] fizeram medidas do espectro vibracional infravermelho e do espectro de dicro´ısmo circular vibracional (Vibrational Circular Dichroism - VCD) para os zwitter´ıons α-D-alanina, α-L-alanina, α-D-manose e α-L-manose. Os dados experimentais foram comparados com cálculos de otimiza¸cão de geometria usando o funcional h´ıbrido B3LYP e a base 6-31G*. A estrutura zwitteriônica da α-L-alanina foi estabilizada pela adi¸cão de moléculas de água. O estudo concluiu que a abordagem DFT/B3LYP fornece uma boa descri¸cão do VCD para as moléculas estudadas. Tulip e Clark [132] calcularam os tensores de polarizabilidade e as freqüências normais de vibra¸cão para a alanina (e também para a leucina, isoleucina e valina) usando teoria da perturba¸cão do funcional da densidade com um pseudopotencial de ondas planas. Eles verificaram que o comportamento da densidade eletrônica quando são aplicados campos externos depende em larga medida da estrutura da molécula estudada, e não somente dos grupos funcionais constituintes. Os modos normais podem ajudar a diferenciar os diferentes tipos de liga¸cão de hidrogênio intramoleculares e ajudam a explicar a razão de os cálculos mostrarem a leucina estabilizada na forma zwitteriônica mesmo na fase gasosa. O espectro infravermelho calculado mostrou uma notável diferen¸ca entre os resultados obtidos para moléculas neutras e zwitteriônicas. Tais diferen¸cas podem ser atribu´ıdas aos diferentes tipos de liga¸cão de hidrogênio e substâncias qu´ımicas presentes.

Figura 12: Célula unitária da L-alanina. Os parâmetros de rede são a=6.023 ˚A, b=12.343 ˚A e c=5.784 ˚A, de acordo com experimentos de difra¸cão de raios X e difra¸cão de nêutrons [134, 135].

por H. J. Simpson et al. [134] e R. Destro et al. [136]. Os cristais obtidos por esses trabalhos iniciais eram pequenos e não puderam ser usados para investiga¸cões ópticas. Mesmo assim, bastaram para determinar a estrutura ortorrômbica do cristal, com grupo de simetria espacial P 212121 e quatro moléculas por célula unitária. Cristais maiores foram crescidos por Misoguti et al. [137], sem que fossem revelados maiores detalhes sobre o modo de crescimento e a qualidade das amostras.

Estudos posteriores [138] detalharam o crescimento em solu¸cão e caracterizaram cristais de alanina pura, sendo proposto um modelo preditivo para a forma dos cristais [28]. As amostras de maior qualidade foram conseguidas usando solu¸cões tamponadas e auto- semeadura, com cristais crescendo no fundo do recipiente. Os hábitos de crescimento per- tencem às fam´ılias {020}, {011} e {120}, segundo o esperado para o sistema ortorrômbico (ver Fig. 13). As maiores faces foram as {120}, que sofriam da existência de degraus múltiplos encadeados e macrodegraus. As menores faces são as {020}, em geral, embora apresentem melhor qualidade óptica.

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Figura 13: H´abitos do cristal de L-alanina pura, com indica¸c˜ao das faces.

O modo como as moléculas estão dispostas na face de um cristal de aminoácido determina sua energia superficial, enquanto o número de s´ıtios dispon´ıveis determina como se dará a adsor¸cão das moléculas que vão sendo acrescentadas. Apesar de a composi¸cão qu´ımica numa face ser uniforme, as energias superficiais exibidas podem variar por causa dos tipos de grupos funcionais de cada face. É esta a razão pela qual as faces de cristais de aminoácidos apresentam velocidades de crescimento e qualidades ópticas distintas [28, 138].

Uma rede de liga¸cões de hidrogênio envolvendo todas as liga¸cões N − H − − − O é responsável pela estabiliza¸cão do cristal de L-alanina. Cada próton do grupo amina é empregado na forma¸cão dessas liga¸cões de hidrogênio, duas com o oxigênio número 2 (ver Fig. 14) e uma com o oxigênio número 1, promovendo um pequeno mas relevante aumento no comprimento da liga¸cão C−O2 em rela¸cão ao comprimento da liga¸cão C−O1. Uma das liga¸cões N − H − − − O2

liga as moléculas de alanina entre si formando uma cadeia ao longo do eixo c do cristal, enquanto as outras duas liga¸cões de hidrogênio ligam estas cadeias entre si, configurando uma estrutura tridimensional. Os canais formados ao longo desta rede são ocupados pelos grupos metila (ver Fig. 15). A molécula de L-alanina

no cristal bulk forma seis liga¸cões de hidrogênio com as moléculas vizinhas. Todas estas liga¸cões de hidrogênio são aproximadamente idênticas em comprimento [28, 135, 138, 139].

Figura 14: Pontes de hidrogênio formadas pelos átomos de oxigênio no cristal de L-alanina [135].

A cristaliza¸cão se dá usualmente a partir de uma solu¸cão ou a partir de um banho fundido ou térmico, mas algumas vezes formam-se cristais por sublima¸cão a partir da fase gasosa. Diversos aspectos do processo de condensa¸cão de vapor são também comuns ao processo de cristaliza¸cão. Cristais podem ser formados também a partir de solu¸cões de reagentes, que ao mesmo tempo produzem e depositam materiais, como na cristaliza¸cão hidrotérmica do quartzo. Em alguns aspectos, pode-se enxergar a cristaliza¸cão como o inverso da decomposi¸cão, mas com diferen¸cas essenciais. Por exemplo, a quantidade de part´ıculas presentes durante a decomposi¸cão permanecerá a mesma ou diminuirá, ao passo que, na cristaliza¸cão, o número de núcleos sobre os quais a substância se deposita pode aumentar constantemente. Além disso, enquanto na decomposi¸cão poucas vezes ocorre resistência apreciável ao processo de transferência de substância através da interface entre

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