Estados Coerentes do Campo Eletromagnétido

Campos eletromagnéti os gerados por fontes oerentes, omo por exemplo

lasers, podem ser representados de maneira apropriada no formalismo de

estados oerentes [1℄. Considerando apenas um modo do ampo eletromag-

néti o, temos para ooperador destruição de fótons

(ˆa)

:

ˆa | αi = α | αi,

(2.24) onde

| αi

orresponde aoautoestado dooperadordestruição eé hamado de estado oerente.

α

podeser umnúmero omplexo,jáque

ˆa

nãoéhermitiano.

Semelhantemente, temos:

onde

aˆ

orresponde aooperador riaçãode fótons.

Podemos representaro estado oerentena basedos estadosde Fo k

| ni

, om

n

representando o número de o upação [1℄.

| αi =

∞

X

n=0

c

n

| ni,

(2.26)

c

n

orrespondem aos oe ientes da expansão.

Substituindoaexpansão anterior narelação2.24 e utilizandoasrelações

ˆ

a | ni =

√n | n − 1i

e

ˆa | 0i = 0

para o operador destruição de fótons, obtemos:

∞

X

n=1

c

n

√n | n − 1i = α

∞

X

n=0

c

n

| ni

(2.27)

Como o onjunto dos estados de Fo k representa um onjunto ortogonal, a

equação é satisfeitaapenas se os oe ientes de estados orrespondentes são

iguais. A partir dessa equação obtemos uma relação re ursiva que permite

obtermos

c

n

apartirde

c

0

. Oestado oerente

| αi

pode serrepresentado, em termos dos estados de Fo k, omo sendo [1℄:

| αi = c

0

∞

X

n=0

α

n

√

n!

| ni

(2.28) onde

c

0

= e

−|α|2

/2

, e pode ser obtido pelanormalização

hα | αi

.

A probabilidadep(n) que

n

fótons se en ontrem no estado oerente

| αi

é dada por:

p(n) =| hn | αi |

2

=

| α |

2n

n!

e

−|α|2

,

(2.29)

que orresponde a uma distribuiçãode Poisson.

2.5.2 Tomograa de Dete tores

A tomograadedete toresébastantepare ida omatomograadeestados.

A prin ipal diferença é que agora, não mais se quer determinar a matriz

densidade,massimo onjuntodeoperadoresqueformamoPOVMasso iado

ne essário utilizarmos um onjunto onhe ido de estados de prova

{ρ}

que formem um onjunto de geradores para o espaçode operadores.

Asemelhançaentre atomograadeestadosededete toresestáligadaao

fato que a equação para a probabilidade (

p

i

= T r(ρΠ

i

)

), pode ser invertida paraobtermos

ρ

,ouparaobtermos

Π

i

. Dessamaneira,o onjunto

{Π

i

}

pode ser ara terizado apartir de mediçõesde um onjuntode estados

ρ

onhe i- dos. O onjunto

ρ

es olhidodeve ser ompleto, eosoperadores

Π

i

devemser positivossemi-denidos(seus autovalores são não-negativos)e devemsomar

para identidade.

Nesse trabalho [17℄ foi realizado uma tomograa de um dete tor APD

(Avalan he Photodiode)e de um dete tor TMD (Time multiplexed dete tor)

onstruído peloprópriogrupo.

O onjunto de estados de prova

{ρ}

pode ser gerado a partir do estado oerente de um laser

(| αi)

transformado por atenuações e atrasos. Dessa maneira foi onstruído um onjunto de estados oerentes dotipo

{| αihα |}

. Para esses estados temos:

Q

n

(α) =

1

πhα | Π

n

| αi =

1

πp

n,α

(2.30)

Adeniçãoa ima orrespondeaumadeniçãodarepresentaçãodafunção

Q

paraPOVM. A representação

Q

, orrespondea umarepresentação de um operador,geralmenteamatrizdensidade,emumabase deestados oerentes,

no aso, o onjunto

{| αi}

. Determinar

Q

n

(α)

orresponde a se realizar a tomograa do dete tor, já que

Q

n

(α)

e o operador do POVM

Π

n

possuem basi amentea mesma informação.

O dete tor APD orresponde a um módulo de dete ção no qual tem-se

dois resultados possíveis(0 li kou1 li k). O asode 0 li ko orrequando

nenhum fótonatingiuo dete tor, logo,nenhum pulso eletrni o égerado. O

aso de 1 li k o orre quando um ou mais fótons atingem o dete tor e um

sinal é gerado e registrado. O fun ionamentodo dete tor APD não permite

distinguirentre diferentes estadosde números de fótons.

Odete torTMD onstruídoseparaopulsoin identeemNmodostempo-

raisseparados porum intervalode tempode

∆t

, divididos entre dois modos espa iais. A prin ipal vantagem de separar os modos temporalmente e não

APD independente donúmero de modos emque édividido o pulso [19℄.

Essedete toré ompostoporvários omprimentosdebrasópti asmono-

modoeváriosa opladoresde brasquedividemaluzde entrada igualmente

emdoismodosespa iais. Otamanho

L

foies olhidodeformaqueoatrasono pulsoserbemmaiorqueotempodemortedodete torAPD.São onstruídos

m

estágios, omo mostrado na gura 2.6e ada um dos modos espa iais da saída possui

2

m

modos temporais.

Figura 2.6: Esquema deumdete tor TMD[19 ℄

O objetivo do trabalho foi re onstruir o POVM que representa esses

dois dete tores, ou seja, realizar a tomograa. A maneira de se realizar as

mediçõesé, omo já foi dito, utilizar um onjuntode estados oerentes on-

he idos. Para o onjunto em que se permitiu a fase de air, não se observou

nenhuma mudança.

Como não foi observada nenhuma dependên ia da fase, é ne essário so-

mente ontrolar amagnitude de

α

. Podemos es rever um operador que não dependa dafase omo sendo:

Π

n

=

∞

X

k=0

θ

_k(n)

_{| kihk |}

(2.31)

o onjunto des rito pelos

Π

n

a ima são ompostos apenas por matrizes diagonais.

Podemos es rever uma equação que rela iona o onjunto de medições

(

P

D×N

), todos os estados de prova

α

(

F

D×M

) e o onjunto de operadores des onhe idos (

Π

M ×N

)

Para os estados oerentes temos:

F

i,k

=

| α

i

|

2k

k!

e

−|αi|2

(2.33)

Nagura2.7estámostrado um esquemadamontagem experimentaluti-

lizadaparaa ara terizaçãodosdete tores. Nessamontagemestãomostrados

os elementos que foram utilizados para uma mudança na fase e atenuação.

A dependên ia da distribuição de probabilidadevs. a magnitude do estado

oerente (

| α |

2

) foi realizadapara odete tor APD e para até oito li ks do

dete tor TMD.

Pela onstrução do dete tor TMD,

n

li ks garante a presença de pelo menos

n

fótons nopulso.

Figura 2.7: Esquema damontagem experimentalutilizada nareferên ia [17℄

para ara terizaçãodedoisdete tores. Apla a

λ/2

eopolarizadorsãousados paravariar aamplitudedo estado oerente e osltrosneutros e abra ópti a

sãousados omo atenuadores.

Apartirdosresultadosobtidos(vergura2.8)eresolvendoumproblema

de otimização, foramen ontradososelementosdiagonais

θ

(n)

k

quedes revem o onjunto{

Π

n

}. Oresultado obtidoestá mostrado nagura2.9

Figura 2.8: Resultado apresentado na referên ia [17 ℄ para a tomograa de

dete tores. O grá o prin ipal orresponde a medida de tomograa para o

dete tor TMDe o menor paraodete tor APD. Osgrá os rela ionam apro-

Figura 2.9: DiagonaisparaosPOVM re onstruídosparaa)odete torTMD

Capítulo 3

Modulador Espa ial de luz e

Fibras Ópti as

Neste apítulo será feita uma introdução ao Modulador Espa ial de Luz

(SLM), primeiramente, dando uma des rição dos tipos de ristais líquidos

e suas prin ipais ara terísti as. Depois, irá se des rever o Modulador e as

bras ópti as usados noexperimento de tomograa.

3.1 Cristais Líquidos

Os ristais líquidos orrespondem a um material que se en ontra em uma

faseintermediáriaentre líquidoesólido. Elesexibem ara terísti asdos dois

estados,sãouídos omooslíquidosepossuemalgumasoutras ara terísti as

de longoal an e omoporexemplo, ertaordemorienta ional. Asmolé ulas

que ompõem esses ristais são molé ulas orgâni as alongadas em um eixo

[15℄.

Podemos itar três tiposde ristaislíquidos [11℄. Nos ristais onhe idos

omo ristaislíquidosnemáti osasmolé ulastendemaseorganizardeforma

paralela umas as outras, mesmo assim, as molé ulas ainda podem se movi-

mentar no uido. Também é possível onseguirmos uma ordem na posição

dessas molé ulas. Os ristais que possuem ordenação em orientação e em

posição são hamados de ristais líquidos esméti os. Ainda pode-se ter um

que ompõem o ristal sofrem uma rotação heli oidal emtorno de seu eixo.

Na gura 3.1podemosver um esquema dos ristais des ritos a ima.

Figura 3.1: Organização mole ular de alguns tipos de ristais líquidos a)

nemáti os b) esméti os ) olestéri os

Os ristais líquidos são uidos anisotrópi os, ou seja, suas propriedades

variam om a direção. Por exemplo, a sus eptibilidade elétri a paralela (ao

longo do eixo alongado) é diferente da perpendi ular. A diferença de sus-

eptibilidade

χ

a

≡ χ

k

− χ

⊥

leva o ristal líquidoa se orientar om o ampo elétri o, om importantes onseqüên ias, omo será dis utido. Para

χ

a

> 0

, a orientação preferen ial será paralela ao ampo, aso

χ

a

< 0

, será perpen- di ular.

•

Cristal Líquido Nemáti o Girado

Correspondem a um tipo espe ial de ristal líquido nemáti o. Possui

grande apli açãoem ópti a, omo por exemplo o modulador espa ial e dis-

plays. Nesse ristal, a partir de forças externas é possível provo ar uma

rotação heli oidalemtorno doseu eixo.

A diferença entre esses ristais e os olestéri os é que essa ara terísti a

pode ser imposta no primeiro e no segundo é permanente. Alguns fatores,

omo por exemplo a apli ação de um ampo elétri o, podem mudar a ori-

entação das molé ulas. Só isso já é apaz de ausar mudanças drásti as em

suas propriedadesópti as.

Esses ristais girados possuem simetria lo almente uniaxial, om o eixo

no material, as molé ulas podem ser rearranjadas de forma a girar a pola-

rização da luz in idente ou a res entar um atraso entre as omponentes do

ampo.

Figura 3.2: Propagação daluz por um ristal líquido nemáti o girado,para

umaangulo de girode 90

◦

[11 ℄.

No documento Tomografia quântica de qubits espaciais usando um modulador espacial de luz (páginas 51-60)