Modulador Espaial de Luz
Espaial de Luz
Juliana Gontijo Fonsea
Orientador: Prof. Sebastião José Nasimento de Pádua
Co-orientador: Prof. Marelo O. Terra Cunha
Dissertação apresentada à Universidade Federal de Minas Gerais omo
re-quisito parial para aobtenção do graude Mestre em Ciênias Físia.
Belo Horizonte
A Deus pelas pessoas que foram oloadas na minha vida, prinipalmente
minha família. Sem oapoiodela provalvelmenteeu não estariaaqui.
Aos meus pais porserem meu maior exemplo, pelo amor earinho
dedi-ados. Voês são, denitivamente, os melhores. Amovoês.
À minha irmã, porque sem ela minha vida não seria tão emoionante!
Quea, voê sabe que eu teadoro, apesar das brigas e arranarabos de vez
em quando.
AomeuirmãoFelipeagradeçoapaiêniaomqueaguentaminhas
rela-mações, eu seique às vezes eu posso ser uma hata. Porém, eu sei quevoê
é daquelas pouas pessoas em que se pode sempreontar.
Ao Fofo (Fábio) por todos os momentos juntos. Voê é mais que um
simples namorado. Obrigada por me esutar nos momentos de rise. Te
amo!
Aomeugrandeorientador,Sebastião,pelaatenção,apoioeajudadurante
todo otrabalho.
Às minhas amigas da físia (Ana, Camilla, Bob, Lívia, Ive e Paulinha).
Nós nos divertimosbastante.
Em espeial quero agradeer a Ana, por nossas onversas e desabafos.
Emtodos osmomentoseu sou gratapelasua amizade. Voê tem umgrande
oração, eo seu temperamento,na minhaopnião, éseu harme.
Aos meninos do Lab (Olavo, José, Maros e Pierre) e aos alunos do
Monken (Pablo e Wallon) pela ajuda de boa vontade sempre que eu
pre-isei.
AoMaroseaoJosépelaajudanoexperimento. AAlejandraquetambém
esteve, durante algunsmeses, ajudando narealização do trabalho.
Ao MareloTerra pelagrandeajudanaimplementaçãoteóriadessa
dis-sertação.
Ao grupoEnLight,porfortaleer oslaços entre osmembros dogrupo.
Aos professores Juan e Franklin por terem sido meus primeiros
orienta-dores.
Ao Dudu, pormeajudar quando eu tinha um milhãode perguntas.
A todos om quem eu dividi a sala de mestrado do quarto andar e que
também enlouqueeramum pouquinhojunto omigo.
Ao CNPq, aCAPES ea Fapemig
E nalmente, a todos aqueles que fazem do Departamento de Físia da
Sumário
Agradeimentos 4
Resumo 8
Abstrat 9
Introdução 14
1 Conversão paramétria e Estados de qudits espaiais 16
1.1 EfeitosNão Lineares emÓptiaQuântia. . . 16
1.1.1 Geração doSegundo Harmnio . . . 16
1.1.2 Conversão Paramétria Desendente . . . 17
1.2 Geraçãode Estados de Qudits Espaiais . . . 19
1.2.1 Qudits . . . 19
1.2.2 A geração dos estados . . . 20
1.3 Experimento. . . 24
1.3.1 Correlação de momentotransversal do feixe de fótons gêmeos . . . 24
1.3.2 Geração eestudo de estados espaiaisde qudits . . . . 24
1.4 Disussão doExperimentode fenda dupla om duas partíulas 27 1.5 Estudo doPadrãode Interferênia Condiional . . . 28
2 Tomograa Quântia 36 2.1 Representação de Estados Puros e Mistos . . . 36
2.1.1 Esfera de Bloh . . . 37
2.4 Tomograa de dois qubits . . . 49
2.5 Tomograa de Detetores . . . 51
2.5.1 Estados Coerentes doCampoEletromagnétido . . . 51
2.5.2 Tomograa de Detetores . . . 52
3 Modulador Espaial de luz e Fibras Óptias 58 3.1 Cristais Líquidos . . . 58
3.2 Propriedades Óptiasdos Cristais Líquidos NemátiosGirados 60 3.3 Modulador Espaialde Luz - modelo LC-R 2500 . . . 63
3.4 Fibras Óptias. . . 67
3.5 Estudo das urvas de visibilidade para as bras multimodo e monomodo. . . 69
Conlusões e Perspetivas 74
A Cálulo da Tomograa Quântia de Dois qubits 75
Resumo
Com o objetivo de implementaraTomograa Quântia para Qudits
espai-ais, realizamosneste trabalho uma sistematizaçãodos proedimentos
exper-imentais para tomograa de um qubits. Utilizandoa orrelação transversal
dos fótons gerados na onversão paramétria desendente riamos estados
de qubits e qudits utilizando pares de fendas múltiplas. Observamos a
or-relação espaial dos fótons transmitidos por fendas quádruplas, bem omo
padrão de interferênia. Veriamos tambéma ondiionalidade das franjas
desse padrão.
Foirealizadauma desrição teóriadatomograade um ede dois qubits
para estados espaiais de aminho transversal. Para a implementação da
tomograa esolhemos um onjunto de pontos espeiais na esfera de Bloh
queexigisseomenornúmerodemedições. Essespontosformamumtetraedro
regular insritonesta esfera.
Paraarealizaçãodatomograa,foionstruídoumPOVM(PositiveOp
er-ator ValuedMeasure)omoperadoresproporionaisaprojetoresnasdireções
dos vérties deste tetraedro. Esses operadores foramgerados utilizando um
ModuladorEspaial de Luz (SLM). O modulador permite adiionarmos, de
maneira simples, uma diferença de fase entre os estados de fendas, o que é
Abstrat
With the goal of implementing Quantum Tomography of Spatial Qudits,
we did a systematization of the experimetal proedures for the tomography
of one and two qubits. Using the transversal orrelations of the photons
generated in the parametri down onversion, we reated qubit and qudit
states by using pairs of multiple slits. We observed the spatial orrelations
of the photons transmittedthrough multipleslits, aswellasthe interferene
pattern. We alsoveriedthe onditionality of the fringes pattern.
We theoretially desribed the tomography of one and two qubits for
transversal path spatial states. To implement the tomography we hose an
speial set of pointsin the Blohsphere that allowed us todothe minimum
numberofmeasurements. Together,thesepointsreatearegulartetrahedron
inside the sphere.
Forthe tomography implementation, we built a POVM formed by
oper-ators proportionaltoprojetors ontothe statesrelatedtothe vertiesof this
tetrahedron. TheseoperatorsweregeneratedwiththehelpofaSpatialLight
Modulator(SLM). The modulatorallows us toadd a spei fase dierene
Lista de Figuras
1.1 Esquema simpliado: a) geração do segundo harmnio (a
partirdefótonsde frequênia
ω
eumristalnãolinear obtém-se fótons om de frequênia 2ω
) e b) onversão paramétria desendente (apartirde um fótonépossivelobtermosum pardefótons-queobedeemasrelaçõesdeonservaçãodaenergia
e momentoanteriores. . . 18
1.2 a)ConversãoParamétriaDesendentedotipoIeb)onversão
paramétria desendente edo tipoII [6℄. . . 19
1.3 Correlaçãodemomentotransversalentreosfótonsonvertidos
para o laser foalizado noplano das fendas. As setas indiam
os possíveis aminhos dos fótons signal e idler . . . 23
1.4 Medida daorrelaçãotransversal dos feixes de fótons gêmeos.
Utilizamosuma fenda de
200µm
naentrada dos detetores a) perl vertial utilizando a lente f=100m antes do ristal, b)perl horizontal om lente, ) perl vertial sem lente e d)
perl horizontalsem lente . . . 25
1.5 Montagem experimental utilizada para deteção das imagens
de duas fendasmúltiplaseveriação das orrelaçõesentre os
1.6 Correlação espaial medida através dos fótons transmitidos
porduasfendas quádruplasde abertura40
µm
, nessaimagem ospontospretosorrespondem asontagens simpleseospon-tos vermelhos as ontagens em oinidênias a) O detetor 2
estava posiionado na quarta fenda e o detetor 1 foi
deslo-ado. Observamos um pio de oinidêniasapenas quando o
detetor 1passou pelaprimeirafenda. b) Odetetor 2estava
posiionadonatereirafenda,porissoopiodeoinidêniaé
notadosomentequandoodetetor 1passapelasegunda fenda
)Detetor2nasegunda fendaeoinidêniasobservadas
en-tre a segunda e tereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na
primeirafenda,om oinidêniasapenas quandoodetetor 1
é posiionado naquarta fenda. . . 31
1.7 Correlação espaial medida através dos fótons transmitidos
por duas fendas quádruplas de abertura 100
µm
, nessa ima-gem ospontospretosorrespondemasontagens simplese osazuis as ontagens em oinidênia. a) O detetor 2 estava
posiionado naquarta fenda eodetetor 1foi desloado.
Ob-servamos um pio de oinidênias apenas quando o detetor
1 passou pela primeira fenda. b) O detetor 2 estava
posi-ionado na tereira fenda, por isso o pio de oinidênia é
notadosomentequandoodetetor 1passapelasegunda fenda
)Detetor2nasegunda fendaeoinidêniasobservadas
en-tre a segunda e tereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na
primeirafenda,om oinidêniasapenas quandoodetetor 1
é posiionado naquarta fenda. . . 32
1.8 Esquema do experimentode fenda dupla usando fótons
gera-dos na onversão paramétria desendente. . . 33
1.9 a) Padrão de Interferênia e b) Padrão de Condiionalidade,
para oestadode quatro fendas utilizandoumalenteom foo
de 10m foalizando no detetor. O tempo de aquisição de
ada ponto é de 5s. A abertura dafenda utilizadaera de 100
1.10 a) Padrão de Interferênia e b) Padrão de Condiionalidade,
para oestadode quatro fendas utilizandoumalenteom foo
de 20m foalizando no detetor. O tempo de aquisição de
ada ponto é de 6s. A abertura dafenda utilizadaera de 100
µm
. . . 352.1 Representação de um qubit
|
ψ
i
naesfera de Bloh[23℄ . . . . 382.2 Esquema damontagemexperimentalutilizadanaTomograa de Polarização realizada no trabalho apresentado no artigo Experimentalpolarizationstatetomography usingoptimal po-larimeters [14℄. . . 40
2.3 Tetraedro Regular de lado
l
. . . 412.4 Tetraedro insrito naesfera de Bloh [14℄ . . . 42
2.5 Montagem Experimental das medidasde tomograa. . . 47
2.6 Esquema de um detetor TMD [19℄ . . . 54
2.7 Esquema da montagem experimental utilizada na referênia [17℄ para araterização de dois detetores. A plaa
λ/2
e o polarizador são usados para variar a amplitude do estado oerente e os ltros neutros e a bra óptia são usados omo atenuadores. . . 552.8 Resultado apresentado na referênia [17℄ para a tomograa de detetores. O gráo prinipal orresponde a medida de tomograa para o detetor TMD e o menor para o detetor APD. Os gráos relaionam a probabilidade om o módulo quadrado damagnitude doestado oerente. . . 56
2.9 Diagonais para os POVM reonstruídos para a) o detetor TMD onstruído e b)para o detetor APD tradiional [17℄. . . 57
3.1 Organização moleular de alguns tipos de ristais líquidos a) nemátios b)esmétios )olestérios . . . 59
3.2 Propagaçãodaluzporumristallíquidonemátiogirado,para uma angulo de girode 90
◦
[11℄. . . 603.3 Montagem Experimental . . . 64
3.5 Medida feita posiionando uma fenda simples na posição na
qualoSLMserá oloado. Essa medidapermitiuveriarque
aimagemestásendoformadanaposiçãoemqueserá oloado
oSLM. Tempode aquisiçãode ada ponto nográofoi de 10s. 70
3.6 Imagem da fenda dupla utilizandoo SLM omo um espelho.
Otempo de aquisição de ada ponto nográo foi de 10s.. . . 70
3.7 Medidasdevisibilidadeulilizandoumafendaduplaeumabra
monomodo. O tempo de aquisição de ada um desses pontos
foi de 30s. . . 71
3.8 Esquema simpliado de uma bra óptia . . . 71
3.9 Fibra Óptia- Corte longitudinal . . . 71
3.10 Medidadavisibilidadedopadrãodeinterferêniadedoisfeixes
de luz ao serem transmitidos por uma fenda dupla om a
di-ferençade faseentre elas variável. Foramutilizadasumabra
multimodoe ltrosde freqüênia de
(650
±
10)
nm nos dete-tores. a)Nessamedidaolaserfoifoalizadonoristaleobser-vamosumavisibilidademuitobaixadeaproximadamente
24%
e b)avisibilidadesem a lente, usada para foalizar ofeixe delaser, tambémé bastante baixa(30,5 %). . . 72
3.11 a)Medidade alibraçãoparaum ângulode60
◦
nopolarizador
eutilizandoumabramonomodo,otempodeaquisiçãofoide
12s para ada ponto,b) medidadavisibilidadedopadrão de
interferênia da fenda dupla em função da diferença de fase
entre osaminhos, om ltro de freqüênia de
(650
±
10)
nm nodetetor e tempode aquisição de 35se )visibilidadesemo ltro de freqüênia, o tempo de aquisição de ada pontofoi
de 20 s. Podemos notar que a visibilidade para a situação
Introdução
A tomograaquântia éum proesso que permite, apartir de um ensemble
de partíulasidentiamentepreparadas,araterizarmosum estadoquântio
ompletamente. Poressemotivo,atomograaquântia temsidomuito
estu-dada. Neste trabalhoserá apresentado uma metodologia para determinação
da matrizdensidade que desreve um estadode qubits.
Os qubits são estados quântios de dois níveis e podem orresponder à
polarização do fóton, ao momento de spin do elétron em uma direção, ou
omonoasodessetrabalhoosaminhospossíveisdofótonaoatravessaruma
fenda dupla. Foram gerados estados a partir de uma fenda dupla oloada
noaminhodofóton. Esses estados, quehamamosde qubits, são utilizados
para a implementaçãoda tomograa quântia.
Apesar de, não ter sido possível realizar todas medidas neessárias para
determinaçãodos elementos queompõema matrizdensidade,esse trabalho
é importante, visto que além uma revisão ele também apresenta uma
sis-tematização dos proedimentos experimentais que irão permitir sua futura
implementação experimental.
Essa dissertação está dividida emtrês apítulos. No primeiroapítulo é
feita uma apresentação dos estados gerados na onversão paramétria
des-endente (proesso não linear a partir do qual é possível gerarmos um par
de fótons orrelaionados emenergiaemomento)e sua utilizaçãonariação
de estados espaiaisutilizandofendas múltiplas. Nesse apítulotambémsão
mostrados alguns resultados que foram obtidos por nós durante essa
disser-tação.
Nosegundoapítuloérealizadoumestudosobreatomograaparaoaso
tomography usingoptimal polarimeters [14℄. Nesse artigoosautores propõe
ummétodonoqualserãoneessáriasomínimodemedidasparadeterminação
da matrizdensidade.
Otereiroeúltimoapítulotemomoprinipalfunçãoapresentaro
Mod-uladorEspaialde Luz (SpatialLight Modulator- SLM) quefoiutilizadoem
algumas medidase éneessário a realização das medidas de tomograa.
Apósesse apítuloéapresentada uma breveonlusão, naqualsão
apre-sentadas as perspetivas futuras do trabalho para a realização das medidas
de tomograa.
Essadissertaçãoontatambémomumapêndie(ApêndieA),noqualé
realizadaumageneralizaçãodos álulosrealizadosnoapítulo2paraoaso
da tomograa de dois qubits, ouseja, quando tivermos dois pares de fendas
duplas no aminho dos fótons, uma para ada fóton gerado na onversão
Capítulo 1
Conversão paramétria e Estados
de qudits espaiais
Nesteapítuloseráfeitaumapequenarevisãosobreaonversãoparamétria,
assim omo a geração de estados espaiais de qudits a partir de fótons
on-vertidos que atravessam um par de fendas múltiplas. Esses estados foram
estudados através de medidas de imagens das fendas, do padrão de
interfe-rênia e dopadrão de ondiionalidade.
A geração de qudits espaiais usando fendas múltiplas já foi realizado
anteriormente[4,5℄. Arazãodesteapítuloédarumadesriçãoompleta da
geraçãodessesestados,bemomooestudodealgumasdesuasaraterístias.
1.1 Efeitos Não Lineares em Óptia Quântia
1.1.1 Geração do Segundo Harmnio
Ofenmenodegeraçãode segundoharmnioéumfenmenonãolinearque
oorre emmateriais birrefringentes. Uma luzmonoromátia, aoatravessar
esse meio, interage om o material e observa-se a saída de outras
ompo-nentes espetrais do ampo. Como a resposta desses materiais ao ampo
eletromagnétio éuma resposta não linear,podemosexpressar apolarização
P
i
=
χ
(1)
ij
E
j
+
χ
(2)
ijk
E
j
E
k
+
χ
(3)
ijkl
E
j
E
k
E
l
+
...
(1.1)onde
χ
(
n
)
orresponde ao tensor suseptibilidade elétria de ordem
n
. O termoχ
(2)
ijk
orresponde àontribuiçãonão linear de menorordem(susepti-bilidade não-linearde segunda ordem).
Na geração de segundo harmnio, um feixe de luz de frequênia
ω0
in-idente em um meio não linear é apaz de gerar um ampo om frequêniaω
f
= 2ω0
. A partir de dois fótons de mesma frequênia épossível obtermosum fótonomodobrodessafreqüênia. Nagura1.1itema)émostradoum
esquema noqual a partir de dois fótons de frequênia
ω
é possível obtermos um om odobro dafrequêniaω
.1.1.2 Conversão Paramétria Desendente
Assim omo a geraçãodo segundo harmnio,a onversão paramétria
des-endente(CPD)tambémorrespondeaumfenmenonãolinear. Aonversão
paramétria é, de erto modo, um proesso inverso da geração do segundo
harmmio, já que na onversão, um fóton dofeixe de luzinidente no
ma-terial (um ristal não linear) será onvertido em dois outros. Cada fóton
de frequênia
ω0
e vetor de ondak0
inidente noristal não linear gera dois fótons omfrequêniasω1
eω2
evetoresdeondak1
ek2
[1℄. Esses doisfótons gerados naonversão são omumente hamadosde signale idler.Noproesso desrito, energiae momentosão onservados, de forma que:
~
ω0
=
~
ω1
+
~
ω2,
(1.2a)~
k
0
=
~
k
1
+
~
k
2,
(1.2b)onde a primeira equação orresponde a onservação de energia e a segunda
a onservação de momentolinear. A gura 1.1 item b) mostra um esquema
da onversão paramétria desendente, nele um fóton om frequênia
˜
k
3
e
frequênia
ω3
é onvertido emdois fótons, om frequêniaω1
eω2
e vetores de onda~k1
e~k2
.A partir das equações anteriores podemos observar que tem-se valores
Figura1.1: Esquemasimpliado: a)geraçãodosegundoharmnio(apartir
de fótons de frequênia
ω
e um ristal não linear obtém-se fótons om defrequênia2
ω
)eb)onversão paramétriadesendente(apartirdeumfótonépossivelobtermosumpar defótons-queobedeemasrelaçõesdeonservação
da energia e momento anteriores.
Por ausa da simetria do ristal em torno da direção de propagação, a luz
onvertida é gerada em forma de ones de luz, omo pode ser observado na
gura 1.2. As ondições de asamento de fase que levam à onservação da
energia e do momento também levam a uma restrição para a polarização
dos fótons 1 e 2 que são onvertidos no ristal. A onversão paramétria
desendente pode ser de doistipos. NadotipoI,osfótons geradosnoristal
possuem a mesma polarização e ambas são ortogonais à polarizaçãoda luz
dolaserquebombeiaoristal. NadotipoII, umdos fótonsonvertidosterá
amesma polarizaçãodolaser, enquantoooutro terápolarizaçãoortogonala
eles.
Considerando asaproximaçõesmonoromátia,paraxiale de ristalno,
temosqueoestadodos fótonsgeradosnaonversãoparamétriadesendente
é dado por [3℄:
|
Ψ
i
=
c1
|
vac
i
+
c2
Z
dq
i
Z
dq
s
υ(q
i
+
q
s
)
|
1q
i
i |
1q
s
i
,
(1.3)om
c1
≫
c2
.Nessaequação,osíndies
i
es
são usadospararepresentarosfótonsFigura 1.2: a) Conversão Paramétria Desendente dotipoI e b) onversão
paramétria desendente edo tipo II[6℄.
um fótonnomodo
q
i
(q
s
),ondeq
i
(q
s
)orrespondeàomponentetransver-sal do vetor de onda
k
i
(k
s
). O termoυ(
q
i
+
q
s
)
é o espetro angular do ampodo laser para z=0 (plano doristal).Nesse resultado, observamos que o espetro angular do laser inidente
no ristal é tranferido para o estado quântio dos fótons onvertidos. Dessa
forma, é possível, mudando o perl transversal do laser, alterarmos a
or-relação transversal dos fótons gerados, já que mudar o perl do laser no
plano do ristal orresponde a mudar o espetro angular que representa a
Transformada de Fourier doampoelétrio nas variáveistransversais.
1.2 Geração de Estados de Qudits Espaiais
1.2.1 Qudits
OsquditsorrespondemaestadosquântiosomdníveisnoespaçodeHilbert
de interesse. Quando d=2, são hamados de qubits (estados quântios em
duas dimensões) e qutrits quando d=3. Os estados formados por um e por
d>3.
Oestado puro de um qudit pode ser representado por:
|
Ψ
i
=
d
X
l
=1
α
l
|
l
i
.
(1.4)onde
|
l
i
são ortonormais.Para o aso de um estado formado pordois qudits, ada uma das partes
dosistemapodeseenontraremumdosdníveispossíveisouemombinações
(superposições) deles. Eles podem ser representados por:
|
Ψ
i
=
d
X
l
=1
d
X
m
=1
α
l,m
|
l
i⊗ |
m
i
.
(1.5)Nas próximas seções será desrito um método experimental simples que
permiteageraçãode estadosde dois qudits fotnios,será também
apresen-tada algumas medidasque foramrealizadas.
1.2.2 A geração dos estados
Usando asorrelaçõesde momentotransversal dosfótons naonversão
para-métriaépossívelgerarmosestados dequdits espaiaisutilizandoum par de
fendas múltiplas, uma para ada um dos fótons onvertidos. Esse estado é
gerado após os fótons onvertidos atravessarem as fendas múltiplas (Figura
1.3).
Oestadodosfótons onvertidosnasvariáveisdemomentotransvesal logo
após a transmissãopelas fendas, é dadopor[4, 8,9℄:
|
Ψ
i ∝
Z
dq
i
Z
dq
s
ℑ
(q
i
, q
s
)
|
1q
i
i |
1q
s
i
,
(1.6)onde o termo
ℑ
(
q
i
,
q
s
)
orresponde aℑ
(q
i
, q
s
) =
Z
dx
i
Z
dx
s
A
i
(x
i
)A
s
(x
s
)W
x
i
+
x
s
2
;
z
A
×
×
e
8
ik
zA
(
x
s
−
x
i
)
2
e
−
i
(
q
i
x
i
+
q
s
x
s
)
,
denindoomo
z
adireçãodepropagaçãodosfótonseonsiderandox
i
ex
s
as omponentes transversais da posição e,q
i
eq
s
, as omponentes transversaisdos vetores de onda
k
i
ek
s
, respetivamente. As funçõesA
i
eA
s
são asfunções transmissão das fendas múltiplas e a função
W
desreve o perltransversal do ampo elétriodofeixe de laser naposição
z
A
.Comoresultado daequação anteriortemos quemudanças tanto noperl
dolaser quantonafunçãodas aberturas,ouseja, notipode abertura,levam
a geraçãode um novoestado de dois fótons.
No aso estudado, as fendas múltiplas foram oloadas no aminho dos
fótons gerados. Asfendas podemser representadasatravésdefunções
retân-gulo
Π
, ou seja, podem ser desritas omo possuindo valor zero ou um, de-pendendo da posiçãox
. A desrição matemátia dafunção transmissão dasfendas múltiplasé:
A(x) =
l
D
X
l
=
−
l
D
Π
x
−
ld
2a
.
(1.8)Nessa expressão, a separação entre as fendas é
d
e a abertura é2a
. Otermo
l
D
dosomatórioél
D
≡
D
−
1
2
, ondeD
orresponde aonúmerodeaber-turas de ada uma das fendas múltiplas. Em nosso experimento foram
uti-lizadas fendas quádruplas (
D
=4), ou seja, o somatório é realizado de -3/2até 3/2. Substituindoa relaçãoanterior naexpressão 1.7, obtemos:
ℑ
(q
i
, q
s
) =
l
D
X
l, m
=
−
l
D
Z
ld
+
a
ld
−
a
dx
i
Z
md
+
a
md
−
a
dx
s
W
x
i
+
x
s
2
, z
A
×
×
e
8
ik
zA
(
x
s
−
x
i
)
2
e
−
i
(
q
x
x
+
q
y
y
)
,
(1.9)
A integração na expressão anterior é feita para ada uma das fendas sobre
toda aabertura.
Fazendoas seguintes substituições
x
′
i
=
x
i
−
ld
e
eonsiderandooperl transversaldolaseronstantenointervalode (
−
a
,a
),o termo
ℑ
(q
i
, q
s
)
pode ser reesrito daseguinteforma:ℑ
(q
i
, q
s
) =
l
D
X
l, m
=
−
l
D
W
[l
+
m]d
2
;
z
A
e
−
id
(
q
i
l
+
q
s
m
)
e
ikd
2
8
zA
(
m
−
l
)
2
×
×
Z
a
−
a
dx
′
i
e
−
iq
i
x
′
i
Z
a
−
a
dx
′
s
e
−
iq
s
x
′
s
.
(1.10)
Como
ℑ
(q
i
,
q
s
)
enontrado,oestadodosfótonsaoatravessaremasfendas será [9℄:|
Ψ
i ∝
P
l
D
l, m
=
−
l
D
W
[
l
+
m
]
d
2
;
z
A
e
ikd
2
8
zA
(
m
−
l
)
2
×
×
Z
dq
i
e
−
iq
i
ld
sinc(q
i
a)
|
1q
i
i
Z
dq
s
e
−
iq
s
md
sinc(q
s
a)
|
1q
s
i
.
(1.11)Podemosidentiarosestadosdefenda
|
l
i
,|
m
i
omosseguintesestadosesritosnabasede momentotransversal
q
j
(j=s,i). Asintegraisdaequação 1.11 podem ser analisadas omosendo oestado de um fóton, dado por|
l
i
e|
m
i
|
l
i ≡
r
a
π
Z
dq
i
e
−
iq
i
ld
sinc(q
i
a)
|
1q
i
i
,
(1.12a)|
m
i ≡
r
a
π
Z
dq
s
e
−
iq
s
md
sinc(q
s
a)
|
1q
s
i
.
(1.12b)Deaordoomareferênia[11℄osestadosanterioressãoosestadosdeum
fóton transmitido por uma fenda simples desloada de
ld
(md
) da posiçãox
i
= 0
(x
s
= 0
).A equaçãopara oestado dos fótons transmitidos será portanto:
|
Ψ
i ∝
l
D
X
l, m
=
−
l
D
W
[l
+
m]d
2
;
z
A
e
ikd
2
8
zA
(
m
−
l
)
2
|
l
i
i
⊗ |
m
i
s
.
(1.13)que
W
(0
;
z
A)
éaproximadamenteonstanteentre−
a
ea
,ezeroparavalores dex > a
ex < a
eo estado dos fótons transmitidos será [4℄:|
Ψ
i
=
3
/
2
X
l
=
−
3
/
2
1
√
D
e
ikd
2
2
zA
l
2
|
l
i
i
⊗ | −
l
i
s
.
(1.14)Por ausa da orrelação entre os fótons gêmeos quando foalizamos o
laser noplanodas fendas, oestadodofótonrepresentado por
|
m
i
será| −
l
i
[9℄. Dessa forma,sempreque umfótonatravessar uma determinadafenda,ooutro fótonirápassarpelafenda simétrio-opostaaela. A gura1.3mostra
um esquemasimpliado dessa situação.
Figura 1.3: Correlação de momento transversal entre os fótons onvertidos
para o laser foalizado no plano das fendas. As setas indiam os possíveis
1.3 Experimento
1.3.1 Correlação de momento transversal do feixe de
fótons gêmeos
Comojá foiditoanteriormente, parageraçãodos estadosdotipodaequação
(1.14)éimportantequeoperltransversaldosfótonsnoplanodafendasseja
omais estreitopossívelassegurandoque osfótons gemêosatravessem fendas
opostas. Por esse motivo, foi feita uma medida da orrelação de momento
transversaldos feixesde fótonsgêmeos. Oobjetivoprinipalfoienontarmos
a posição z naqual o perl, horizontalou vertial, era mais estreito e dessa
formaoloarmos asfendas nesta posição.
Amontagemexperimentalera ompostade um laser HeCd(
λ
= 325nm
) que inidia em um ristalLiIO3
tipo I, que pela CPD gerava um par de fótons. Cada um dos fótons atingiaum detetor que possuia ltrosdeinter-ferênia entrados em
(650
±
10)nm
.Paraestudaroperldolaser,foramoloadasfendassimplesdeabertura
de
200µm
na frente dos detetores. As medidas eram feitas movendo-se o detetor perpendiularmente a posição da fenda e realizando aaquisição dedados para ada posição. Esse proedimento foi realizado primeiro para
umafenda posiionadahorizontalmenteedepoisfoirepetidopara umafenda
posiionadavertialmentee tambémutilizandouma lente de distâniafoal
igual a 100m antes dos detetores. Esses resultados estão mostrados na
gura 1.4.
Observandoos resultadosdagura1.4, nota-seque operl vertialé um
pouo mais estreitoe mais simétrioque ohorizontal.
1.3.2 Geração e estudo de estados espaiais de qudits
A geração dos estados de qudits espaiais foi realizada experimentalmente
pornós utilizandoum par de fendas múltiplasposiionadas ada uma delas
no aminho de um dos fótons da onversão paramétria. O experimento foi
Figura 1.4: Medida da orrelação transversal dos feixes de fótons gêmeos.
Utilizamos uma fenda de
200
µm
na entrada dos detetores a) perl vertialutilizando a lente f=100mantes do ristal, b) perl horizontal om lente, )
perlvertial sem lente e d) perl horizontal sem lente
Posiionamosasfendashorizontalmente, poisaorrelaçãotransversaldos
pares na direção vertial era a mais estreita. Utilizando uma lente
onver-gente de
f
= 25cm
posiionada antes doristal, foalizamosofeixe dolaser no plano das fendas. Como o espetro angulardo laser étransferido para oestado dos fótons onvertidos, o perl transversal da taxa de oinidênias
dos gêmeosserá foalizadonas fendas [3, 4℄. Para adeteção daimagemdas
fendas foiusadoumparde lentesilíndriasde
f
= 10cm
(jáqueessas lentes funionam omolenteapenasemuma direção)posiionadas simetriamenteentre asfendas e odetetor (objetoe imagemestavam a20m dalente). A
montagem experimentaldesrita aimaestá mostrada esquematiamente na
gura 1.5.
Figura 1.5: Montagem experimentalutilizada para deteção dasimagens de
duasfendasmúltiplas everiaçãodasorrelaçõesentre osfótonsque
atraves-sam fendassimetriamente opostas
ontagens simpleseoinidênias,estãomostradas nas guras1.6e 1.7. Em
ada uma dessas medições o detetor 2 foi posiionado em uma das fendas
e o detetor 1 foi desloado de forma a passar por todas as fendas. O pio
de oiidênias é observado somente quando o detetor 1 passa pela fenda
simétrio-oposta à fenda seleionada no detetor 2. Isso é, quando o fóton
signal atravessa afenda
l
,ofótonidler atravessa afenda−
l
(ver gura1.3).Comesseresultadoonrmamosqueoestadodosfótonsgeradostransmitidos
pelas fendas possuem orrelação espaial.
Na gura 1.6 é possível notar que os pios de oinidênia possuem
val-orespróximos,omoresultadoosmódulosdasamplitudesdoestadodequdits
de aminhos transversais na posição das fendas, também são próximas. O
mesmo não aontee para o aso da fenda de 100 (gura 1.7). Nela
obser-vamos que a taxa de oinidênias para as fendas da extremidade é menor.
O módulo das amplitudes do estado de ququarts podem ser obtidos a
partir doálulo daprobabilidadedopar de fótons atravessarem as fendas l
e m. Essa probabilidade édada pela relação[9℄:
P
lm
=
C
lm
(
P
l,m
C
lm
)
(1.15)
C
lm
orresponde a taxa de oinidênia entre os fótons transmitidos pelafenda
l
, detetados pelo detetor 1 e pelafendam
detetados pelo detetor2.
Realizamosum estudodopadrãode interferênia paraafenda de 100
µm
usando lentes de distânias foais diferentes. Para failitar o entendimentodessas medições, é interessante primeiramente analisarmos o aso de dois
qubits, ou seja, quando utilizamosuma fenda dupla para gerar o estado
es-paial. Napróximaseção,oexperimentode fendaduplaparaduaspartíulas
é analisado,tendo omo base asreferênias [26, 27, 28℄.
1.4 Disussão do Experimento de fenda dupla
om duas partíulas
NoexperimentopropostoporGreenberger,Horneand Zeilinger[26℄,ogrupo
disuteumexperimentodefendaduplaparaduaspartíulas. Nessetrabalho,
eles disutem o padrão de interferênia observado quando se utiliza omo
fontede dois fótons, osfótons geradosna onversão paramétria.
A amplitude de probabilidadede deteção noponto
x
i
eno pontox
s
:ψ(x
i
)
∼
e
ikL
A
+
e
ikL
B
∼
cos
2πθ
λ
(x
+
x
i
),
(1.16a)ψ(x
s
)
∼
e
ikL
A
′
+
e
ikL
B
′
∼
cos
2πθ
λ
(x
+
x
s
).
(1.16b)onde
L
A
,L
B
,L
′
A
eL
′
B
orrespondem a distâniade um determinado pontono ristal (por exemplo, o ponto
Ω
mostrado na gura 1.8)) até ada uma das fendasA
,B
,A
′
e
B
′
.
Considerando o aso em que os dois fótons hegam em oinidênia no
amplitude total para osdois fótons atingirem asposições
x
i
ex
s
simultane-amenteψ(x
i
, x
s
)
∼
1
d
Z
−
d/
2
d/
2
cos
2πθ
λ
(x
+
x
i
) cos
2πθ
λ
(x
+
x
s
).
(1.17)Para o aso de
d
≫
λ/θ
obtemos1
2
cos(2πθ(x
i
−
x
s
)/λ),
que orresponde a um padrão om presença de franjas ondiionais, já que
a amplitude de oinidênias depende de
x
i
e dex
s
, então, por exemplo, ao xarmosum detetor emx
i
edesloarmosooutronoplanoemquetemosx
s
o padrão de interferênia tambémserá desloado em igual quantidade.Porém, para o aso
d
≪
λ/θ
temos a integral proporionala1
2
cos
2πθ
λ
x
i
×
cos
2πθ
λ
x
s
,
que orresponde ao produto dos padrões de ada um dos fótons, ou seja,
nesse aso asfranjas sãoindependentes, ouseja, opadrãonão éondiional.
1.5 Estudo do Padrão de Interferênia
Condi-ional
A ondiionalidadede um padrão está relaionada aposição das franjas
de-penderemdas posiçõesesolhidas para osdetetores. Segundoas referênias
[9, 5℄a probabilidadede deteção emoinidênia paraqudits é:
CΨ
a,b
(x
i
, x
s
)
∝
l
D
X
l
=
−
l
D
e
ik
d
2
l
2
2
zA
h
vac
|
Ê(+)
(x
s
;
z)
Ê(+)
(x
i
;
z)
|
l,
−
l
i
2
∝
l
D
X
l
=
−
l
D
V
ll
(x
i
, x
s
) +
+2
l
D
X
l
=
−
l
D
l
D
X
m
=
l
+1
onde
β
eφ
sãoβ
=
kd
2[f
−
η(z
L
−
z
A
−
f
)]
e
φ
=
d[f
−
η(z
L
−
f
)]
z
A
om
η
= (z
−
z
L
−
f)/f
. OtermoV
lm
da equação1.18 orresponde aV
lm
(x
i
, x
s
)
≡
Y
j
=
l,m
sinc
aβ
(x
s
−
jηd)
d
sinc
aβ
(x
i
+
jηd)
d
,
(1.19)e representaa difração devido a abertura.
Aequação1.18,assimomoafunção
1
2
cos(2πθ(x
i
−
x
s
)/λ)
paraoasode dois qubits, desreve um padrão de interferênia om arateristiasondi-ionais, ou seja a posição das franjas dependem da posição dos detetores.
Dessaforma,aodesloarmosumdos detetoresaformadopadrãoirávariar.
Após a obtenção das imagens das fendas quádruplas, foi realizada uma
medidadopadrãodeinterferêniaedopadrãodeondiionalidadedosfótons
transmitidos pelas fendas de 40e de 100
µm
.Para as medidasdopadrão de interferênia e de ondiionalidade, foram
retiradas as lentes ilíndrias e aresentadas uma lente antes de ada
de-tetor, a uma distânia igual aos seus omprimentos foais. Realizou-se
mediçõesom lentesde fooiguala10me20m,todaselas aumadistânia
foal do detetor. Fendas simples de abertura de 100
µm
foram presas aos detetores. Para obtenção do padrão de interferênia posiionamos odete-tor2naposiçãoentral, ouseja,nomáximode ontagenssimplesevarremos
o detetor 1 desloando-oapassos de
10µm
.A medida do padrão de ondiionalidade onsiste em desloarmos o
de-tetor 2 até a posição de mínimo do padrão de interferênia e novamente
varremos o detetor 1. Podemos observar que onde anteriormente tinha-se
um máximo entral, agora tem-se um mínimo e vie-versa. Esse resultado
está mostrado nagura 1.9para afenda de 100
µm
utilizandoumalente de f = 10m e na gura 1.10 para a mesma fenda utilizandouma lente de f =Osgráosdasguras1.9e1.10onrmamaondiionalidadedopadrão
para oestadode qudits gerados, esses resultadostambémsão umaevidênia
Figura 1.6: Correlação espaial medida através dos fótons transmitidospor
duas fendas quádruplas de abertura 40
µm
, nessa imagem os pontos pretosorrespondem as ontagens simples e os pontos vermelhos as ontagens em
oinidêniasa)Odetetor2estavaposiionadonaquartafendaeodetetor1
foidesloado. Observamosumpiodeoinidêniasapenasquandoodetetor
1 passou pela primeira fenda. b) Odetetor 2 estava posiionado na tereira
fenda, por isso o pio de oinidênia é notado somente quando o detetor
1 passa pela segunda fenda ) Detetor 2 na segunda fenda e oinidênias
observadas entre a segunda e tereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na
primeira fenda, om oinidênias apenas quando o detetor 1 é posiionado
Figura 1.7: Correlação espaial medida através dos fótons transmitidospor
duas fendas quádruplas de abertura 100
µm
, nessa imagem os pontos pretosorrespondemasontagenssimpleseosazuisasontagensemoinidênia. a)
O detetor2 estava posiionado na quarta fenda e o detetor1 foidesloado.
Observamosumpiodeoinidêniasapenasquandoodetetor1passou pela
primeira fenda. b) O detetor 2 estava posiionado na tereira fenda, por
isso o pio de oinidênia é notado somente quando o detetor 1 passa pela
segundafenda)Detetor2nasegundafendaeoinidêniasobservadasentre
a segunda etereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na primeira fenda,om
Figura 1.8: Esquema do experimento de fenda duplausando fótons gerados
Figura 1.9: a)PadrãodeInterferênia eb)PadrãodeCondiionalidade,para
o estado dequatro fendas utilizando umalenteom foode 10m foalizando
nodetetor. Otempodeaquisiçãodeadaponto éde5s. Aaberturadafenda
Figura 1.10: a) Padrão de Interferênia e b) Padrão de Condiionalidade,
parao estado dequatro fendas utilizando umalenteomfoo de20m
foali-zando no detetor. Otempo de aquisição de ada ponto é de 6s. A abertura
Capítulo 2
Tomograa Quântia
A tomograaquântia éum proesso que permite, apartir de um ensemble
de partíulasidentiamentepreparadas,araterizarmosum estadoquântio
ompletamente. Neste apítulo é feita uma breve desrição da tomograa
lássiaeomputadorizadaedepoiséfeitaumaanalogiaomoasoquântio.
Oobjetivoprinipaldesseapítuloérealizarumestudosobreatomograa
de um e de dois qubits visando sua implementação para estados espaiais
de qubits. Também é realizado um estudo sobre tomograa quântia de
detetores baseando-se nas referênias [17, 20℄.
2.1 Representação de Estados Puros e Mistos
Um qubit orresponde a um estado quântio em duas dimensões. Esses
estados podem orresponder,porexemplo à polarizaçãodo fóton(vertiale
horizontal)ouaomomentode spindoelétronnadireção
z
(paraimaepara baixo) ou ainda aos aminhos possíveis do fóton ao atravessar uma fendadupla (aminhos 1 e2).
Um estado puro pode ser representado por um vetor de estado e para o
aso de um sistema de um qubit, temos:
|
ψ
i
=
α
|
0
i
+
β
|
1
i
,
(2.1)onde os oeientes
α
eβ
são omplexose satisfazem a ondição de norma-lização|
α
|
2
+
|
β
|
2
= 1
No formalismo da matriz densidade, ela é denida omo uma matriz de
traço um, hermitiana e positiva. Para o aso de um estado puro, temos
ρ
=
ρ
2
, então, Tr(
ρ
2
)=1. Para estadosmistos oTr(
ρ
2
) é sempreum número
menor que um.
Umainterpretação de matrizdensidade possívelé desrevermos oestado
éomoumamisturaestatístiadossub-ensemblesqueompõemesseestado.
Isto é,a matrizdensidade éonstruída onsiderandoos pesos estatístios de
adaestadopuroqueonstituiosistema. Essa matrizpode seresritaomo:
ρ
=
X
i
P
i
|
ψ
i
ih
ψ
i
|
,
(2.2)onde
P
i
orresponde a probabilidade ou peso estatístio do estado|
ψ
i
i
, omP
i
P
i
= 1
. É interessante dizer que toda matriz positiva de traço umorresponde auma matrizdensidade. A deomposição aima orresponde a
apenas uma de um onjunto innito de deomposições possíveis para uma
dada matriz
ρ
, a exeção é apenas para o aso de estados puros em que essa deomposição é únia. É importante notar que qualquer estado purotambém pode ser representado no formalismo de matriz densidade, já que
essa desrição é mais geral que a desrição usando vetor de onda. Para um
estado puro,
ρ
=
|
ψ
j
ih
ψ
j
|
eP
i
=
δ
ij
, sendo|
ψ
j
i
o vetor de estado da partíula.Entre as propriedades da matriz densidade, temos que ela possui traço
um e é uma matriz hermitiana e positiva. Para o aso de um estado puro,
temos
ρ
=
ρ
2
, então, Tr(
ρ
2
)=1. Para estados mistos o Tr(
ρ
2
) é sempre um
número menor queum.
2.1.1 Esfera de Bloh
Uma forma onveniente de se visualizar um qubit é fazendo uso da esfera
de Bloh, que orresponde a uma representação geométria de um estado
puro de dois níveis quântios (ver gura 2.1). Ao representarmos o estado
de um qubit em oordenadas esférias (equação 2.3), estamos denindo um
pontonasuperfíiedaesfera Bloh. Nessa esfera de raiounitário,osestados
polarização do fóton, os estados de polarização vertial e horizontal arão
nos polosdaesfera, osde polarizaçãoirularno equador.
Umestado quântio puro de dois níveis pode ser desritoomo:
|
ψ
i
= cos
θ
2
|
0
i
+
e
iφ
sin
θ
2
|
1
i
(2.3)Apartir dessa equação,esrita emoordenadas polares, podemos
identi-ar o estado
|
ψ
i
naesfera de Bloh(vergura 2.1)Figura 2.1: Representação de umqubit
|
ψ
i
naesfera de Bloh [23 ℄2.2 Tomograa de um qubit
Podemos esrever a matrizdensidade de um qubitomo:
ρ
=
1
2
1 +
a b
−
ic
b
+
ic
1
−
a
!
.
(2.4)Nesta expressão, foi levado em onsideração o fato de
ρ
ser uma matriz hermitiana de traço igual a um.É interessante, porém, reesrevermos
ρ
em termos da matriz identidade e das matrizes de Pauli, onforme a equação aseguir:ρ
=
1
2
(I
+
aσ
z
+
bσ
x
+
cσ
y
) =
1
2
(I
+
−
→
onde
b
orresponde a(b, c, a)
e éonheido omo vetor de Bloh (hamado de vetor de Stokes quando onsideramos polarização). Esse vetor identiaum ponto na esfera de Bloh. A matriz
I
mostrada na equação anteriorrepresenta a matriz identidade e
~σ
representa as matrizesσ
x
,σ
y
eσ
z
que orrespondem as matrizesde Pauli.As matrizesde Paulipara um qubitsão:
σ
x
=
0 1
1 0
!
,
σ
y
=
0
−
i
i
0
!
,
σ
z
=
1
0
0
−
1
!
.
(2.6)Oobjetivode serealizarumatomograaédeterminaroselementosa,be
queonstituema matrizdensidade. Existemváriasesolhasquepermitem
determinarmos esses termos, em nosso aso deidimos medir um onjunto
espeial. Esseonjuntoesolhidotemomoprinipalvantagemseroonjunto
que permite realizarmos o menor número de medições. Os pontos a serem
medidos orrespondem aos vérties de um tetraedro insrito na esfera de
Bloh (gura 2.4). A vantagem de medirmos esse onjunto deorre do fato
que para esses pontos, anormalizaçãoorresponde a somadas oinidênias
de todos os pontosmedidos.
Éimportanteomentarqueépossívelrealizarmosatomograaesolhendo
outro onjuntode pontos, porém,seriamneessárias maismedições, jáquea
normalização de ada termo é feita dividindo-sepela soma da taxade
oin-idênias paraum vetor eparaoseu ortogonal. Porexemplo,seesolhermos
medir os pontos do equador temos que medir o estado
|
0
i
e seu ortogonal|
1
i
, o estadodiagonal|
D
i
eo seu ortogonal|
A
i
(anti-diagonal) e tambémé neessáriomedirmosospontosdos pólos, queorrespondem afasesde
π/2
e−
π/2
entre os vetores|
0
i
e|
1
i
.Aidéiaparaasmediçõesdessespontossurgiuapartirdotrabalho
Exper-imentalpolarizationstatetomographyusingoptimalpolarimeters[14℄. Neste
trabalho, o grupo apresenta a maneira mínimaneessária para se estimar o
vetor de Stokes (análogo ao vetor de Bloh), o que onsiste em realizarmos
quatro medições. Essas medições são denidas a partir de quatro vetores
não oplanares que denem um tetraedro na esfera de Poinaré. O POVM
quando não se onhee nada sobre
ρ
, já que nele, os pontos que denem o tetraedro são igualmenteespaçados [29, 30℄.Figura 2.2: Esquemadamontagemexperimentalutilizada naTomograa de
Polarização realizada no trabalho apresentado no artigo Experimental
polar-ization state tomography using optimalpolarimeters [14℄.
Na gura 2.2, observamos um esquema da montagem experimental
uti-lizada na tomograa de um estado de polarização. Um ubo parialmente
polarizador (PPBS) separa a luz em uma razão espeía já que possui
o-eientes de divisão iguais a x e y que obedeem a equação de onservação
|
x
|
2
+
|
y
|
2
= 1
. Por ausa dessa diferença nos oeientes de divisão, a
saída em ada um dos braços será diferente. Na tabelaa seguir, mostramos
a saída nos braços transmitido e reetido para uma luz polarizada
horizon-talmentee vertialmente.
Polarização Transmitido Reetido
Horizontal
x
0
!
y
0
!
Vertial
0
y
!
0
x
!
AluztransmitidapeloPPBSéprojetadanabasedepolarização
±
45
◦
ea
O onjunto espeío x ey queproduz o arranjo tetragonal é
x
2
= 1/2 + 1/(2
√
3)
ey
2
= 1/2
−
1/(2
√
3).
Para a implementação experimental da tomograa, o grupo realizou uma
alibração para eliminarfasesquepoderiamestar presentes [32℄. Essas fases
forameliminadasomautilizaçãodeplaasde quartzo. Comessaalibração
é enontrada a matriz intrumento orrigida. Essa matriz relaionaas
inten-sidades medidasom vetores de Stokes.
No nosso aso, esolhemos implementara tomograa para estados
espa-iais de aminhotransversal. O POVMesolhido tambémfoioque desreve
umtetraedroregularinsritonaesferadeBloh. Aseguir,umtetraedro
regu-larde lado lfoianalisado,gura2.3. Considerando queotetraedo mostrado
possa ser insrito em uma esfera de raio unitário, om os vérties, A, B, C
e D toando a superfíie da esfera, foram determinadas as oordenadas na
esfera quedesrevemesses pontos.
Figura 2.3: TetraedroRegular de lado
l
Analisando primeiramente o triângulo equilátero BCD. Sabendo que o
ponto H orresponde ao barientro desse triângulo e que a altura de um
trianguloequiláteroé
l
√
3
/2
,enontramosBH
=
l
√
3
3
. Seanalisarmosagorao triângulo ABH, observamos que a altura do tetraedro (AH) é
p
notarmos que os segmentos OA,OB, OC ODorrespondem a raios emuma
esfera que irunsreva o tetraedro, temos, então, OA = OB = OC = OD
= 1 (o ponto O orresponde ao entro dessa esfera). A partir do triângulo
OBH, determina-se que
l
=
2
p
2
/3
.Como
AH
=
p
2
/3
(2
p
2
/3
)
, temosOH
=
AH
−
1
=
1
/3
. Ou seja,onsiderandoqueovértieAaiasobreoeixoz,osoutrosvértiesdevemser
oplanares e sua oordenada z deve ser igual a-1/3. Como osvérties B, C
e D formam um triânguloequilátero, eles dividem um írulo emtrês aros
iguais, que podem ser esolhido omo sendo 0,
2
π/3
e−
2
π/3
.Cadapontonaesfera de Blohpode ser esritoemoordenadas esférias
omo sendo
(sin
θ
cos
φ,
cos
θ
sin
φ,
cos
θ)
. Ao esolhermos um vértie para o tetraedro tal queA
= (0,
0,
1)
, ou sejaθ
= 0
, os outros três vérties seleionados devem estar no mesmo plano, ou seja devem possuir mesmovalorde
θ
eφ
= 0
,2π/3
e−
2π/3
para ada um deles. A esolhade vérties sugerida seria,porexemplo:A
= (0,
0,
1),
(2.7a)B
= (
2
√
2
3
,
0,
−
1
3
),
(2.7b)C
= (
−
√
2
3
,
√
6
3
,
−
1
3
),
(2.7)D
= (
−
√
2
3
,
−
√
6
3
,
−
1
3
).
(2.7d)Apartir dessespontos, podemos esrever osvetores de estadoassoiados
a esses vérties.
|
ψ
1i
=
|
0
i
,
(2.8a)|
ψ
2i
=
√
1
3
|
0
i −
r
2
3
|
1
i
,
(2.8b)|
ψ3
i
=
√
1
3
|
0
i −
e
i
2
π/
3
r
2
3
|
1
i
,
(2.8)|
ψ4
i
=
√
1
3
|
0
i −
e
−
i
2
π/
3
r
2
3
|
1
i
.
(2.8d)Osvetoresaimaforamontruídosapartirdos vértiesdotetraedro, eles
nãosãovetoresortogonaiseporissoaoonstruirmosoperadoresdemedidaa
partir delesé neessáriousarmoso formalismode POVM(Positive Operator
Valued Measure).
Nesse formalismo,os operadores
Π
i
onstruídos são positivos e possuem probalidade total igual a 1(
P
i
Π
i
=
I)
. No nosso aso, esses operadoresΠ
i
serão1
2
|
ψ
i
ih
ψ
i
|
, já que ao somarmos todas as matrizes de|
ψ
i
ih
ψ
i
|
enontramos o dobro daidentidade.Osoperadores
|
ψ
i
ih
ψ
i
|
serão:|
ψ
1ih
ψ
1
|
=
|
0
ih
0
|
,
|
ψ2
ih
ψ2
|
=
1
3
|
0
ih
0
| −
√
2
3
|
0
ih
1
| −
√
2
3
|
1
ih
0
|
+
2
3
|
1
ih
1
|
,
|
ψ
3ih
ψ
3
|
=
1
3
|
0
ih
0
| −
√
2
3
e
−
i
2
π/
3
|
0
ih
1
| −
√
2
3
e
i
2
π/
3
|
1
ih
0
|
+
2
3
|
1
ih
1
|
,
|
ψ4
ih
ψ4
|
=
1
3
|
0
ih
0
| −
√
2
3
e
i
2
π/
3
|
0
ih
1
| −
√
2
3
e
−
i
2
π/
3
|
1
ih
0
|
+
2
3
|
1
ih
1
|
.
4
X
i
=1
|
ψ
i
ih
ψ
i
|
= 2I,
(2.9)o que justiaa esolha
Π
i
=
1
2
|
ψ
i
ih
ψ
i
|
. As matrizesΠ
i
serão:Π1
=
1
2
1 0
0 0
!
,
Π2
=
1
2
1
3
−
√
2
3
−
√
3
2
2
3
!
,
Π3
=
1
2
1
3
−
√
2
3
e
i
2
π/
3
−
√
2
3
e
−
i
2
π/
3
2
3
!
,
Π4
=
1
2
1
3
−
√
2
3
e
−
i
2
π/
3
−
√
2
3
e
i
2
π/
3
2
3
!
.
A probabilidadede ada uma das medições
Π
i
é dada por:p
i
=
T r( ˆ
Π
i
ρ) =
ˆ
1
2
T r(
|
ψ
i
ih
ψ
i
|
ρ) =
1
2
h
ψ
i
|
ρ
|
ψ
i
.
i
(2.10)Usando essa relaçãotemos:
p1
=
1
4
1 0
1 +
a b
−
ic
b
+
ic
1
−
a
!
1
0
!
Então:
p1
=
1
4
(1 +
a)
(2.11a)Semelhantementepara os outrospontos temos:
p
2
=
1
4
1
√
3
−
q
2
3
1 +
a b
−
ic
b
+
ic
1
−
a
!
1
√
3
−
q
2
3
p2
=
1
12
(3
−
a
−
2
√
2b)
(2.11b)p3
=
1
4
1
√
3
−
q
2
3
e
−
2
iπ/
3
1 +
a b
−
ic
b
+
ic
1
−
a
!
1
√
3
−
q
2
3
e
2
iπ/
3
p3
=
1
12
(3
−
a
−
2
√
p4
=
1
4
1
√
3
−
q
2
3
e
2
iπ/
3
1 +
a b
−
ic
b
+
ic
1
−
a
!
1
√
3
−
q
2
3
e
−
2
iπ/
3
p4
=
1
12
(3
−
a
−
2
√
2b
cos(2π/3) + 2
√
2c
sin(2π/3))
(2.11d)Notamos,entãoquepararealizarmosatomograatemosqueresolveruma
sistemaom4equaçõese3inógnitas(a,be). Énaturaltermos4equações
e 3 inógnitas ao somarmos essas equações reuperamos o vínulo
P
i
= 1
.Noexperimento,essevínuloseráreetidonaondiçãodenormalizaçãodada
pelototal de ontagens.
Então, realizarmos a tomograa de um qubitorresponde a resolvermos
o sistemaabaixo para um onjunto de probabilidades
(p1, p2, p3, p4)
1/4
1/4
0
0
1/4
−
1/12
−
√
2/6
0
1/4
−
1/12
√
2/12
−
√
6/4
1/4
−
1/12
√
2/12
√
6/4
1
a
b
c
=
p1
p2
p3
p4
(2.12)Osvalores
p1
,p2
,p3
ep4
serão estimados apartir das medições.2.3 Implementação da Tomograa
Nesta dissertação trabalhamos om estados espaiais gerados a partir de
fendas múltiplas. Os estados quântios para esse sistema são estados de
a-minho transversais dos fótons ao atravessar as fendas. Para implementação
da tomograa é neessário identiarmos ada um dos estados do fóton
re-presentados pelos vérties dotetraedro om os estadosde fendas.
Para oaso das fendas, aoordenada
z
orrespondea atenuação de ada uma das fendas, ou seja, o quanto da fenda é obstruído e o seu sinal indiaqualfenda irásofrer aobstrução ouatenuação. Bloquearmosafendainferior