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Tomografia quântica de qubits espaciais usando um modulador espacial de luz

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Academic year: 2017

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(1)

Modulador Espaial de Luz

(2)

Espaial de Luz

Juliana Gontijo Fonsea

Orientador: Prof. Sebastião José Nasimento de Pádua

Co-orientador: Prof. Marelo O. Terra Cunha

Dissertação apresentada à Universidade Federal de Minas Gerais omo

re-quisito parial para aobtenção do graude Mestre em Ciênias Físia.

Belo Horizonte

(3)
(4)

A Deus pelas pessoas que foram oloadas na minha vida, prinipalmente

minha família. Sem oapoiodela provalvelmenteeu não estariaaqui.

Aos meus pais porserem meu maior exemplo, pelo amor earinho

dedi-ados. Voês são, denitivamente, os melhores. Amovoês.

À minha irmã, porque sem ela minha vida não seria tão emoionante!

Quea, voê sabe que eu teadoro, apesar das brigas e arranarabos de vez

em quando.

AomeuirmãoFelipeagradeçoapaiêniaomqueaguentaminhas

rela-mações, eu seique às vezes eu posso ser uma hata. Porém, eu sei quevoê

é daquelas pouas pessoas em que se pode sempreontar.

Ao Fofo (Fábio) por todos os momentos juntos. Voê é mais que um

simples namorado. Obrigada por me esutar nos momentos de rise. Te

amo!

Aomeugrandeorientador,Sebastião,pelaatenção,apoioeajudadurante

todo otrabalho.

Às minhas amigas da físia (Ana, Camilla, Bob, Lívia, Ive e Paulinha).

Nós nos divertimosbastante.

Em espeial quero agradeer a Ana, por nossas onversas e desabafos.

Emtodos osmomentoseu sou gratapelasua amizade. Voê tem umgrande

oração, eo seu temperamento,na minhaopnião, éseu harme.

Aos meninos do Lab (Olavo, José, Maros e Pierre) e aos alunos do

Monken (Pablo e Wallon) pela ajuda de boa vontade sempre que eu

pre-isei.

AoMaroseaoJosépelaajudanoexperimento. AAlejandraquetambém

esteve, durante algunsmeses, ajudando narealização do trabalho.

(5)

Ao MareloTerra pelagrandeajudanaimplementaçãoteóriadessa

dis-sertação.

Ao grupoEnLight,porfortaleer oslaços entre osmembros dogrupo.

Aos professores Juan e Franklin por terem sido meus primeiros

orienta-dores.

Ao Dudu, pormeajudar quando eu tinha um milhãode perguntas.

A todos om quem eu dividi a sala de mestrado do quarto andar e que

também enlouqueeramum pouquinhojunto omigo.

Ao CNPq, aCAPES ea Fapemig

E nalmente, a todos aqueles que fazem do Departamento de Físia da

(6)

Sumário

Agradeimentos 4

Resumo 8

Abstrat 9

Introdução 14

1 Conversão paramétria e Estados de qudits espaiais 16

1.1 EfeitosNão Lineares emÓptiaQuântia. . . 16

1.1.1 Geração doSegundo Harmnio . . . 16

1.1.2 Conversão Paramétria Desendente . . . 17

1.2 Geraçãode Estados de Qudits Espaiais . . . 19

1.2.1 Qudits . . . 19

1.2.2 A geração dos estados . . . 20

1.3 Experimento. . . 24

1.3.1 Correlação de momentotransversal do feixe de fótons gêmeos . . . 24

1.3.2 Geração eestudo de estados espaiaisde qudits . . . . 24

1.4 Disussão doExperimentode fenda dupla om duas partíulas 27 1.5 Estudo doPadrãode Interferênia Condiional . . . 28

2 Tomograa Quântia 36 2.1 Representação de Estados Puros e Mistos . . . 36

2.1.1 Esfera de Bloh . . . 37

(7)

2.4 Tomograa de dois qubits . . . 49

2.5 Tomograa de Detetores . . . 51

2.5.1 Estados Coerentes doCampoEletromagnétido . . . 51

2.5.2 Tomograa de Detetores . . . 52

3 Modulador Espaial de luz e Fibras Óptias 58 3.1 Cristais Líquidos . . . 58

3.2 Propriedades Óptiasdos Cristais Líquidos NemátiosGirados 60 3.3 Modulador Espaialde Luz - modelo LC-R 2500 . . . 63

3.4 Fibras Óptias. . . 67

3.5 Estudo das urvas de visibilidade para as bras multimodo e monomodo. . . 69

Conlusões e Perspetivas 74

A Cálulo da Tomograa Quântia de Dois qubits 75

(8)

Resumo

Com o objetivo de implementaraTomograa Quântia para Qudits

espai-ais, realizamosneste trabalho uma sistematizaçãodos proedimentos

exper-imentais para tomograa de um qubits. Utilizandoa orrelação transversal

dos fótons gerados na onversão paramétria desendente riamos estados

de qubits e qudits utilizando pares de fendas múltiplas. Observamos a

or-relação espaial dos fótons transmitidos por fendas quádruplas, bem omo

padrão de interferênia. Veriamos tambéma ondiionalidade das franjas

desse padrão.

Foirealizadauma desrição teóriadatomograade um ede dois qubits

para estados espaiais de aminho transversal. Para a implementação da

tomograa esolhemos um onjunto de pontos espeiais na esfera de Bloh

queexigisseomenornúmerodemedições. Essespontosformamumtetraedro

regular insritonesta esfera.

Paraarealizaçãodatomograa,foionstruídoumPOVM(PositiveOp

er-ator ValuedMeasure)omoperadoresproporionaisaprojetoresnasdireções

dos vérties deste tetraedro. Esses operadores foramgerados utilizando um

ModuladorEspaial de Luz (SLM). O modulador permite adiionarmos, de

maneira simples, uma diferença de fase entre os estados de fendas, o que é

(9)

Abstrat

With the goal of implementing Quantum Tomography of Spatial Qudits,

we did a systematization of the experimetal proedures for the tomography

of one and two qubits. Using the transversal orrelations of the photons

generated in the parametri down onversion, we reated qubit and qudit

states by using pairs of multiple slits. We observed the spatial orrelations

of the photons transmittedthrough multipleslits, aswellasthe interferene

pattern. We alsoveriedthe onditionality of the fringes pattern.

We theoretially desribed the tomography of one and two qubits for

transversal path spatial states. To implement the tomography we hose an

speial set of pointsin the Blohsphere that allowed us todothe minimum

numberofmeasurements. Together,thesepointsreatearegulartetrahedron

inside the sphere.

Forthe tomography implementation, we built a POVM formed by

oper-ators proportionaltoprojetors ontothe statesrelatedtothe vertiesof this

tetrahedron. TheseoperatorsweregeneratedwiththehelpofaSpatialLight

Modulator(SLM). The modulatorallows us toadd a spei fase dierene

(10)

Lista de Figuras

1.1 Esquema simpliado: a) geração do segundo harmnio (a

partirdefótonsde frequênia

ω

eumristalnãolinear obtém-se fótons om de frequênia 2

ω

) e b) onversão paramétria desendente (apartirde um fótonépossivelobtermosum par

defótons-queobedeemasrelaçõesdeonservaçãodaenergia

e momentoanteriores. . . 18

1.2 a)ConversãoParamétriaDesendentedotipoIeb)onversão

paramétria desendente edo tipoII [6℄. . . 19

1.3 Correlaçãodemomentotransversalentreosfótonsonvertidos

para o laser foalizado noplano das fendas. As setas indiam

os possíveis aminhos dos fótons signal e idler . . . 23

1.4 Medida daorrelaçãotransversal dos feixes de fótons gêmeos.

Utilizamosuma fenda de

200µm

naentrada dos detetores a) perl vertial utilizando a lente f=100m antes do ristal, b)

perl horizontal om lente, ) perl vertial sem lente e d)

perl horizontalsem lente . . . 25

1.5 Montagem experimental utilizada para deteção das imagens

de duas fendasmúltiplaseveriação das orrelaçõesentre os

(11)

1.6 Correlação espaial medida através dos fótons transmitidos

porduasfendas quádruplasde abertura40

µm

, nessaimagem ospontospretosorrespondem asontagens simpleseos

pon-tos vermelhos as ontagens em oinidênias a) O detetor 2

estava posiionado na quarta fenda e o detetor 1 foi

deslo-ado. Observamos um pio de oinidêniasapenas quando o

detetor 1passou pelaprimeirafenda. b) Odetetor 2estava

posiionadonatereirafenda,porissoopiodeoinidêniaé

notadosomentequandoodetetor 1passapelasegunda fenda

)Detetor2nasegunda fendaeoinidêniasobservadas

en-tre a segunda e tereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na

primeirafenda,om oinidêniasapenas quandoodetetor 1

é posiionado naquarta fenda. . . 31

1.7 Correlação espaial medida através dos fótons transmitidos

por duas fendas quádruplas de abertura 100

µm

, nessa ima-gem ospontospretosorrespondemasontagens simplese os

azuis as ontagens em oinidênia. a) O detetor 2 estava

posiionado naquarta fenda eodetetor 1foi desloado.

Ob-servamos um pio de oinidênias apenas quando o detetor

1 passou pela primeira fenda. b) O detetor 2 estava

posi-ionado na tereira fenda, por isso o pio de oinidênia é

notadosomentequandoodetetor 1passapelasegunda fenda

)Detetor2nasegunda fendaeoinidêniasobservadas

en-tre a segunda e tereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na

primeirafenda,om oinidêniasapenas quandoodetetor 1

é posiionado naquarta fenda. . . 32

1.8 Esquema do experimentode fenda dupla usando fótons

gera-dos na onversão paramétria desendente. . . 33

1.9 a) Padrão de Interferênia e b) Padrão de Condiionalidade,

para oestadode quatro fendas utilizandoumalenteom foo

de 10m foalizando no detetor. O tempo de aquisição de

ada ponto é de 5s. A abertura dafenda utilizadaera de 100

(12)

1.10 a) Padrão de Interferênia e b) Padrão de Condiionalidade,

para oestadode quatro fendas utilizandoumalenteom foo

de 20m foalizando no detetor. O tempo de aquisição de

ada ponto é de 6s. A abertura dafenda utilizadaera de 100

µm

. . . 35

2.1 Representação de um qubit

|

ψ

i

naesfera de Bloh[23℄ . . . . 38

2.2 Esquema damontagemexperimentalutilizadanaTomograa de Polarização realizada no trabalho apresentado no artigo Experimentalpolarizationstatetomography usingoptimal po-larimeters [14℄. . . 40

2.3 Tetraedro Regular de lado

l

. . . 41

2.4 Tetraedro insrito naesfera de Bloh [14℄ . . . 42

2.5 Montagem Experimental das medidasde tomograa. . . 47

2.6 Esquema de um detetor TMD [19℄ . . . 54

2.7 Esquema da montagem experimental utilizada na referênia [17℄ para araterização de dois detetores. A plaa

λ/2

e o polarizador são usados para variar a amplitude do estado oerente e os ltros neutros e a bra óptia são usados omo atenuadores. . . 55

2.8 Resultado apresentado na referênia [17℄ para a tomograa de detetores. O gráo prinipal orresponde a medida de tomograa para o detetor TMD e o menor para o detetor APD. Os gráos relaionam a probabilidade om o módulo quadrado damagnitude doestado oerente. . . 56

2.9 Diagonais para os POVM reonstruídos para a) o detetor TMD onstruído e b)para o detetor APD tradiional [17℄. . . 57

3.1 Organização moleular de alguns tipos de ristais líquidos a) nemátios b)esmétios )olestérios . . . 59

3.2 Propagaçãodaluzporumristallíquidonemátiogirado,para uma angulo de girode 90

[11℄. . . 60

3.3 Montagem Experimental . . . 64

(13)

3.5 Medida feita posiionando uma fenda simples na posição na

qualoSLMserá oloado. Essa medidapermitiuveriarque

aimagemestásendoformadanaposiçãoemqueserá oloado

oSLM. Tempode aquisiçãode ada ponto nográofoi de 10s. 70

3.6 Imagem da fenda dupla utilizandoo SLM omo um espelho.

Otempo de aquisição de ada ponto nográo foi de 10s.. . . 70

3.7 Medidasdevisibilidadeulilizandoumafendaduplaeumabra

monomodo. O tempo de aquisição de ada um desses pontos

foi de 30s. . . 71

3.8 Esquema simpliado de uma bra óptia . . . 71

3.9 Fibra Óptia- Corte longitudinal . . . 71

3.10 Medidadavisibilidadedopadrãodeinterferêniadedoisfeixes

de luz ao serem transmitidos por uma fenda dupla om a

di-ferençade faseentre elas variável. Foramutilizadasumabra

multimodoe ltrosde freqüênia de

(650

±

10)

nm nos dete-tores. a)Nessamedidaolaserfoifoalizadonoristale

obser-vamosumavisibilidademuitobaixadeaproximadamente

24%

e b)avisibilidadesem a lente, usada para foalizar ofeixe de

laser, tambémé bastante baixa(30,5 %). . . 72

3.11 a)Medidade alibraçãoparaum ângulode60

nopolarizador

eutilizandoumabramonomodo,otempodeaquisiçãofoide

12s para ada ponto,b) medidadavisibilidadedopadrão de

interferênia da fenda dupla em função da diferença de fase

entre osaminhos, om ltro de freqüênia de

(650

±

10)

nm nodetetor e tempode aquisição de 35se )visibilidadesem

o ltro de freqüênia, o tempo de aquisição de ada pontofoi

de 20 s. Podemos notar que a visibilidade para a situação

(14)

Introdução

A tomograaquântia éum proesso que permite, apartir de um ensemble

de partíulasidentiamentepreparadas,araterizarmosum estadoquântio

ompletamente. Poressemotivo,atomograaquântia temsidomuito

estu-dada. Neste trabalhoserá apresentado uma metodologia para determinação

da matrizdensidade que desreve um estadode qubits.

Os qubits são estados quântios de dois níveis e podem orresponder à

polarização do fóton, ao momento de spin do elétron em uma direção, ou

omonoasodessetrabalhoosaminhospossíveisdofótonaoatravessaruma

fenda dupla. Foram gerados estados a partir de uma fenda dupla oloada

noaminhodofóton. Esses estados, quehamamosde qubits, são utilizados

para a implementaçãoda tomograa quântia.

Apesar de, não ter sido possível realizar todas medidas neessárias para

determinaçãodos elementos queompõema matrizdensidade,esse trabalho

é importante, visto que além uma revisão ele também apresenta uma

sis-tematização dos proedimentos experimentais que irão permitir sua futura

implementação experimental.

Essa dissertação está dividida emtrês apítulos. No primeiroapítulo é

feita uma apresentação dos estados gerados na onversão paramétria

des-endente (proesso não linear a partir do qual é possível gerarmos um par

de fótons orrelaionados emenergiaemomento)e sua utilizaçãonariação

de estados espaiaisutilizandofendas múltiplas. Nesse apítulotambémsão

mostrados alguns resultados que foram obtidos por nós durante essa

disser-tação.

Nosegundoapítuloérealizadoumestudosobreatomograaparaoaso

(15)

tomography usingoptimal polarimeters [14℄. Nesse artigoosautores propõe

ummétodonoqualserãoneessáriasomínimodemedidasparadeterminação

da matrizdensidade.

Otereiroeúltimoapítulotemomoprinipalfunçãoapresentaro

Mod-uladorEspaialde Luz (SpatialLight Modulator- SLM) quefoiutilizadoem

algumas medidase éneessário a realização das medidas de tomograa.

Apósesse apítuloéapresentada uma breveonlusão, naqualsão

apre-sentadas as perspetivas futuras do trabalho para a realização das medidas

de tomograa.

Essadissertaçãoontatambémomumapêndie(ApêndieA),noqualé

realizadaumageneralizaçãodos álulosrealizadosnoapítulo2paraoaso

da tomograa de dois qubits, ouseja, quando tivermos dois pares de fendas

duplas no aminho dos fótons, uma para ada fóton gerado na onversão

(16)

Capítulo 1

Conversão paramétria e Estados

de qudits espaiais

Nesteapítuloseráfeitaumapequenarevisãosobreaonversãoparamétria,

assim omo a geração de estados espaiais de qudits a partir de fótons

on-vertidos que atravessam um par de fendas múltiplas. Esses estados foram

estudados através de medidas de imagens das fendas, do padrão de

interfe-rênia e dopadrão de ondiionalidade.

A geração de qudits espaiais usando fendas múltiplas já foi realizado

anteriormente[4,5℄. Arazãodesteapítuloédarumadesriçãoompleta da

geraçãodessesestados,bemomooestudodealgumasdesuasaraterístias.

1.1 Efeitos Não Lineares em Óptia Quântia

1.1.1 Geração do Segundo Harmnio

Ofenmenodegeraçãode segundoharmnioéumfenmenonãolinearque

oorre emmateriais birrefringentes. Uma luzmonoromátia, aoatravessar

esse meio, interage om o material e observa-se a saída de outras

ompo-nentes espetrais do ampo. Como a resposta desses materiais ao ampo

eletromagnétio éuma resposta não linear,podemosexpressar apolarização

(17)

P

i

=

χ

(1)

ij

E

j

+

χ

(2)

ijk

E

j

E

k

+

χ

(3)

ijkl

E

j

E

k

E

l

+

...

(1.1)

onde

χ

(

n

)

orresponde ao tensor suseptibilidade elétria de ordem

n

. O termo

χ

(2)

ijk

orresponde àontribuiçãonão linear de menorordem

(susepti-bilidade não-linearde segunda ordem).

Na geração de segundo harmnio, um feixe de luz de frequênia

ω0

in-idente em um meio não linear é apaz de gerar um ampo om frequênia

ω

f

= 2ω0

. A partir de dois fótons de mesma frequênia épossível obtermos

um fótonomodobrodessafreqüênia. Nagura1.1itema)émostradoum

esquema noqual a partir de dois fótons de frequênia

ω

é possível obtermos um om odobro dafrequênia

ω

.

1.1.2 Conversão Paramétria Desendente

Assim omo a geraçãodo segundo harmnio,a onversão paramétria

des-endente(CPD)tambémorrespondeaumfenmenonãolinear. Aonversão

paramétria é, de erto modo, um proesso inverso da geração do segundo

harmmio, já que na onversão, um fóton dofeixe de luzinidente no

ma-terial (um ristal não linear) será onvertido em dois outros. Cada fóton

de frequênia

ω0

e vetor de onda

k0

inidente noristal não linear gera dois fótons omfrequênias

ω1

e

ω2

evetoresdeonda

k1

e

k2

[1℄. Esses doisfótons gerados naonversão são omumente hamadosde signale idler.

Noproesso desrito, energiae momentosão onservados, de forma que:

~

ω0

=

~

ω1

+

~

ω2,

(1.2a)

~

k

0

=

~

k

1

+

~

k

2,

(1.2b)

onde a primeira equação orresponde a onservação de energia e a segunda

a onservação de momentolinear. A gura 1.1 item b) mostra um esquema

da onversão paramétria desendente, nele um fóton om frequênia

˜

k

3

e

frequênia

ω3

é onvertido emdois fótons, om frequênia

ω1

e

ω2

e vetores de onda

~k1

e

~k2

.

A partir das equações anteriores podemos observar que tem-se valores

(18)

Figura1.1: Esquemasimpliado: a)geraçãodosegundoharmnio(apartir

de fótons de frequênia

ω

e um ristal não linear obtém-se fótons om de

frequênia2

ω

)eb)onversão paramétriadesendente(apartirdeumfótoné

possivelobtermosumpar defótons-queobedeemasrelaçõesdeonservação

da energia e momento anteriores.

Por ausa da simetria do ristal em torno da direção de propagação, a luz

onvertida é gerada em forma de ones de luz, omo pode ser observado na

gura 1.2. As ondições de asamento de fase que levam à onservação da

energia e do momento também levam a uma restrição para a polarização

dos fótons 1 e 2 que são onvertidos no ristal. A onversão paramétria

desendente pode ser de doistipos. NadotipoI,osfótons geradosnoristal

possuem a mesma polarização e ambas são ortogonais à polarizaçãoda luz

dolaserquebombeiaoristal. NadotipoII, umdos fótonsonvertidosterá

amesma polarizaçãodolaser, enquantoooutro terápolarizaçãoortogonala

eles.

Considerando asaproximaçõesmonoromátia,paraxiale de ristalno,

temosqueoestadodos fótonsgeradosnaonversãoparamétriadesendente

é dado por [3℄:

|

Ψ

i

=

c1

|

vac

i

+

c2

Z

dq

i

Z

dq

s

υ(q

i

+

q

s

)

|

1q

i

i |

1q

s

i

,

(1.3)

om

c1

c2

.

Nessaequação,osíndies

i

e

s

são usadospararepresentarosfótons

(19)

Figura 1.2: a) Conversão Paramétria Desendente dotipoI e b) onversão

paramétria desendente edo tipo II[6℄.

um fótonnomodo

q

i

(

q

s

),onde

q

i

(

q

s

)orrespondeàomponente

transver-sal do vetor de onda

k

i

(

k

s

). O termo

υ(

q

i

+

q

s

)

é o espetro angular do ampodo laser para z=0 (plano doristal).

Nesse resultado, observamos que o espetro angular do laser inidente

no ristal é tranferido para o estado quântio dos fótons onvertidos. Dessa

forma, é possível, mudando o perl transversal do laser, alterarmos a

or-relação transversal dos fótons gerados, já que mudar o perl do laser no

plano do ristal orresponde a mudar o espetro angular que representa a

Transformada de Fourier doampoelétrio nas variáveistransversais.

1.2 Geração de Estados de Qudits Espaiais

1.2.1 Qudits

OsquditsorrespondemaestadosquântiosomdníveisnoespaçodeHilbert

de interesse. Quando d=2, são hamados de qubits (estados quântios em

duas dimensões) e qutrits quando d=3. Os estados formados por um e por

(20)

d>3.

Oestado puro de um qudit pode ser representado por:

|

Ψ

i

=

d

X

l

=1

α

l

|

l

i

.

(1.4)

onde

|

l

i

são ortonormais.

Para o aso de um estado formado pordois qudits, ada uma das partes

dosistemapodeseenontraremumdosdníveispossíveisouemombinações

(superposições) deles. Eles podem ser representados por:

|

Ψ

i

=

d

X

l

=1

d

X

m

=1

α

l,m

|

l

i⊗ |

m

i

.

(1.5)

Nas próximas seções será desrito um método experimental simples que

permiteageraçãode estadosde dois qudits fotnios,será também

apresen-tada algumas medidasque foramrealizadas.

1.2.2 A geração dos estados

Usando asorrelaçõesde momentotransversal dosfótons naonversão

para-métriaépossívelgerarmosestados dequdits espaiaisutilizandoum par de

fendas múltiplas, uma para ada um dos fótons onvertidos. Esse estado é

gerado após os fótons onvertidos atravessarem as fendas múltiplas (Figura

1.3).

Oestadodosfótons onvertidosnasvariáveisdemomentotransvesal logo

após a transmissãopelas fendas, é dadopor[4, 8,9℄:

|

Ψ

i ∝

Z

dq

i

Z

dq

s

(q

i

, q

s

)

|

1q

i

i |

1q

s

i

,

(1.6)

onde o termo

(

q

i

,

q

s

)

orresponde a

(q

i

, q

s

) =

Z

dx

i

Z

dx

s

A

i

(x

i

)A

s

(x

s

)W

x

i

+

x

s

2

;

z

A

×

×

e

8

ik

zA

(

x

s

x

i

)

2

e

i

(

q

i

x

i

+

q

s

x

s

)

,

(21)

denindoomo

z

adireçãodepropagaçãodosfótonseonsiderando

x

i

e

x

s

as omponentes transversais da posição e,

q

i

e

q

s

, as omponentes transversais

dos vetores de onda

k

i

e

k

s

, respetivamente. As funções

A

i

e

A

s

são as

funções transmissão das fendas múltiplas e a função

W

desreve o perl

transversal do ampo elétriodofeixe de laser naposição

z

A

.

Comoresultado daequação anteriortemos quemudanças tanto noperl

dolaser quantonafunçãodas aberturas,ouseja, notipode abertura,levam

a geraçãode um novoestado de dois fótons.

No aso estudado, as fendas múltiplas foram oloadas no aminho dos

fótons gerados. Asfendas podemser representadasatravésdefunções

retân-gulo

Π

, ou seja, podem ser desritas omo possuindo valor zero ou um, de-pendendo da posição

x

. A desrição matemátia dafunção transmissão das

fendas múltiplasé:

A(x) =

l

D

X

l

=

l

D

Π

x

ld

2a

.

(1.8)

Nessa expressão, a separação entre as fendas é

d

e a abertura é

2a

. O

termo

l

D

dosomatórioé

l

D

D

1

2

, onde

D

orresponde aonúmerode

aber-turas de ada uma das fendas múltiplas. Em nosso experimento foram

uti-lizadas fendas quádruplas (

D

=4), ou seja, o somatório é realizado de -3/2

até 3/2. Substituindoa relaçãoanterior naexpressão 1.7, obtemos:

(q

i

, q

s

) =

l

D

X

l, m

=

l

D

Z

ld

+

a

ld

a

dx

i

Z

md

+

a

md

a

dx

s

W

x

i

+

x

s

2

, z

A

×

×

e

8

ik

zA

(

x

s

x

i

)

2

e

i

(

q

x

x

+

q

y

y

)

,

(1.9)

A integração na expressão anterior é feita para ada uma das fendas sobre

toda aabertura.

Fazendoas seguintes substituições

x

i

=

x

i

ld

e

(22)

eonsiderandooperl transversaldolaseronstantenointervalode (

a

,

a

),

o termo

(q

i

, q

s

)

pode ser reesrito daseguinteforma:

(q

i

, q

s

) =

l

D

X

l, m

=

l

D

W

[l

+

m]d

2

;

z

A

e

id

(

q

i

l

+

q

s

m

)

e

ikd

2

8

zA

(

m

l

)

2

×

×

Z

a

a

dx

i

e

iq

i

x

i

Z

a

a

dx

s

e

iq

s

x

s

.

(1.10)

Como

(q

i

,

q

s

)

enontrado,oestadodosfótonsaoatravessaremasfendas será [9℄:

|

Ψ

i ∝

P

l

D

l, m

=

l

D

W

[

l

+

m

]

d

2

;

z

A

e

ikd

2

8

zA

(

m

l

)

2

×

×

Z

dq

i

e

iq

i

ld

sinc(q

i

a)

|

1q

i

i

Z

dq

s

e

iq

s

md

sinc(q

s

a)

|

1q

s

i

.

(1.11)

Podemosidentiarosestadosdefenda

|

l

i

,

|

m

i

omosseguintesestados

esritosnabasede momentotransversal

q

j

(j=s,i). Asintegraisdaequação 1.11 podem ser analisadas omosendo oestado de um fóton, dado por

|

l

i

e

|

m

i

|

l

i ≡

r

a

π

Z

dq

i

e

iq

i

ld

sinc(q

i

a)

|

1q

i

i

,

(1.12a)

|

m

i ≡

r

a

π

Z

dq

s

e

iq

s

md

sinc(q

s

a)

|

1q

s

i

.

(1.12b)

Deaordoomareferênia[11℄osestadosanterioressãoosestadosdeum

fóton transmitido por uma fenda simples desloada de

ld

(

md

) da posição

x

i

= 0

(

x

s

= 0

).

A equaçãopara oestado dos fótons transmitidos será portanto:

|

Ψ

i ∝

l

D

X

l, m

=

l

D

W

[l

+

m]d

2

;

z

A

e

ikd

2

8

zA

(

m

l

)

2

|

l

i

i

⊗ |

m

i

s

.

(1.13)

(23)

que

W

(0

;

z

A)

éaproximadamenteonstanteentre

a

e

a

,ezeroparavalores de

x > a

e

x < a

eo estado dos fótons transmitidos será [4℄:

|

Ψ

i

=

3

/

2

X

l

=

3

/

2

1

D

e

ikd

2

2

zA

l

2

|

l

i

i

⊗ | −

l

i

s

.

(1.14)

Por ausa da orrelação entre os fótons gêmeos quando foalizamos o

laser noplanodas fendas, oestadodofótonrepresentado por

|

m

i

será

| −

l

i

[9℄. Dessa forma,sempreque umfótonatravessar uma determinadafenda,o

outro fótonirápassarpelafenda simétrio-opostaaela. A gura1.3mostra

um esquemasimpliado dessa situação.

Figura 1.3: Correlação de momento transversal entre os fótons onvertidos

para o laser foalizado no plano das fendas. As setas indiam os possíveis

(24)

1.3 Experimento

1.3.1 Correlação de momento transversal do feixe de

fótons gêmeos

Comojá foiditoanteriormente, parageraçãodos estadosdotipodaequação

(1.14)éimportantequeoperltransversaldosfótonsnoplanodafendasseja

omais estreitopossívelassegurandoque osfótons gemêosatravessem fendas

opostas. Por esse motivo, foi feita uma medida da orrelação de momento

transversaldos feixesde fótonsgêmeos. Oobjetivoprinipalfoienontarmos

a posição z naqual o perl, horizontalou vertial, era mais estreito e dessa

formaoloarmos asfendas nesta posição.

Amontagemexperimentalera ompostade um laser HeCd(

λ

= 325nm

) que inidia em um ristal

LiIO3

tipo I, que pela CPD gerava um par de fótons. Cada um dos fótons atingiaum detetor que possuia ltrosde

inter-ferênia entrados em

(650

±

10)nm

.

Paraestudaroperldolaser,foramoloadasfendassimplesdeabertura

de

200µm

na frente dos detetores. As medidas eram feitas movendo-se o detetor perpendiularmente a posição da fenda e realizando aaquisição de

dados para ada posição. Esse proedimento foi realizado primeiro para

umafenda posiionadahorizontalmenteedepoisfoirepetidopara umafenda

posiionadavertialmentee tambémutilizandouma lente de distâniafoal

igual a 100m antes dos detetores. Esses resultados estão mostrados na

gura 1.4.

Observandoos resultadosdagura1.4, nota-seque operl vertialé um

pouo mais estreitoe mais simétrioque ohorizontal.

1.3.2 Geração e estudo de estados espaiais de qudits

A geração dos estados de qudits espaiais foi realizada experimentalmente

pornós utilizandoum par de fendas múltiplasposiionadas ada uma delas

no aminho de um dos fótons da onversão paramétria. O experimento foi

(25)

Figura 1.4: Medida da orrelação transversal dos feixes de fótons gêmeos.

Utilizamos uma fenda de

200

µm

na entrada dos detetores a) perl vertial

utilizando a lente f=100mantes do ristal, b) perl horizontal om lente, )

perlvertial sem lente e d) perl horizontal sem lente

Posiionamosasfendashorizontalmente, poisaorrelaçãotransversaldos

pares na direção vertial era a mais estreita. Utilizando uma lente

onver-gente de

f

= 25cm

posiionada antes doristal, foalizamosofeixe dolaser no plano das fendas. Como o espetro angulardo laser étransferido para o

estado dos fótons onvertidos, o perl transversal da taxa de oinidênias

dos gêmeosserá foalizadonas fendas [3, 4℄. Para adeteção daimagemdas

fendas foiusadoumparde lentesilíndriasde

f

= 10cm

(jáqueessas lentes funionam omolenteapenasemuma direção)posiionadas simetriamente

entre asfendas e odetetor (objetoe imagemestavam a20m dalente). A

montagem experimentaldesrita aimaestá mostrada esquematiamente na

gura 1.5.

(26)

Figura 1.5: Montagem experimentalutilizada para deteção dasimagens de

duasfendasmúltiplas everiaçãodasorrelaçõesentre osfótonsque

atraves-sam fendassimetriamente opostas

ontagens simpleseoinidênias,estãomostradas nas guras1.6e 1.7. Em

ada uma dessas medições o detetor 2 foi posiionado em uma das fendas

e o detetor 1 foi desloado de forma a passar por todas as fendas. O pio

de oiidênias é observado somente quando o detetor 1 passa pela fenda

simétrio-oposta à fenda seleionada no detetor 2. Isso é, quando o fóton

signal atravessa afenda

l

,ofótonidler atravessa afenda

l

(ver gura1.3).

Comesseresultadoonrmamosqueoestadodosfótonsgeradostransmitidos

pelas fendas possuem orrelação espaial.

Na gura 1.6 é possível notar que os pios de oinidênia possuem

val-orespróximos,omoresultadoosmódulosdasamplitudesdoestadodequdits

de aminhos transversais na posição das fendas, também são próximas. O

mesmo não aontee para o aso da fenda de 100 (gura 1.7). Nela

obser-vamos que a taxa de oinidênias para as fendas da extremidade é menor.

(27)

O módulo das amplitudes do estado de ququarts podem ser obtidos a

partir doálulo daprobabilidadedopar de fótons atravessarem as fendas l

e m. Essa probabilidade édada pela relação[9℄:

P

lm

=

C

lm

(

P

l,m

C

lm

)

(1.15)

C

lm

orresponde a taxa de oinidênia entre os fótons transmitidos pela

fenda

l

, detetados pelo detetor 1 e pelafenda

m

detetados pelo detetor

2.

Realizamosum estudodopadrãode interferênia paraafenda de 100

µm

usando lentes de distânias foais diferentes. Para failitar o entendimento

dessas medições, é interessante primeiramente analisarmos o aso de dois

qubits, ou seja, quando utilizamosuma fenda dupla para gerar o estado

es-paial. Napróximaseção,oexperimentode fendaduplaparaduaspartíulas

é analisado,tendo omo base asreferênias [26, 27, 28℄.

1.4 Disussão do Experimento de fenda dupla

om duas partíulas

NoexperimentopropostoporGreenberger,Horneand Zeilinger[26℄,ogrupo

disuteumexperimentodefendaduplaparaduaspartíulas. Nessetrabalho,

eles disutem o padrão de interferênia observado quando se utiliza omo

fontede dois fótons, osfótons geradosna onversão paramétria.

A amplitude de probabilidadede deteção noponto

x

i

eno ponto

x

s

:

ψ(x

i

)

e

ikL

A

+

e

ikL

B

cos

2πθ

λ

(x

+

x

i

),

(1.16a)

ψ(x

s

)

e

ikL

A

+

e

ikL

B

cos

2πθ

λ

(x

+

x

s

).

(1.16b)

onde

L

A

,

L

B

,

L

A

e

L

B

orrespondem a distâniade um determinado ponto

no ristal (por exemplo, o ponto

mostrado na gura 1.8)) até ada uma das fendas

A

,

B

,

A

e

B

.

Considerando o aso em que os dois fótons hegam em oinidênia no

(28)

amplitude total para osdois fótons atingirem asposições

x

i

e

x

s

simultane-amente

ψ(x

i

, x

s

)

1

d

Z

d/

2

d/

2

cos

2πθ

λ

(x

+

x

i

) cos

2πθ

λ

(x

+

x

s

).

(1.17)

Para o aso de

d

λ/θ

obtemos

1

2

cos(2πθ(x

i

x

s

)/λ),

que orresponde a um padrão om presença de franjas ondiionais, já que

a amplitude de oinidênias depende de

x

i

e de

x

s

, então, por exemplo, ao xarmosum detetor em

x

i

edesloarmosooutronoplanoemquetemos

x

s

o padrão de interferênia tambémserá desloado em igual quantidade.

Porém, para o aso

d

λ/θ

temos a integral proporionala

1

2

cos

2πθ

λ

x

i

×

cos

2πθ

λ

x

s

,

que orresponde ao produto dos padrões de ada um dos fótons, ou seja,

nesse aso asfranjas sãoindependentes, ouseja, opadrãonão éondiional.

1.5 Estudo do Padrão de Interferênia

Condi-ional

A ondiionalidadede um padrão está relaionada aposição das franjas

de-penderemdas posiçõesesolhidas para osdetetores. Segundoas referênias

[9, 5℄a probabilidadede deteção emoinidênia paraqudits é:

a,b

(x

i

, x

s

)

l

D

X

l

=

l

D

e

ik

d

2

l

2

2

zA

h

vac

|

Ê

(+)

(x

s

;

z)

Ê

(+)

(x

i

;

z)

|

l,

l

i

2

l

D

X

l

=

l

D

V

ll

(x

i

, x

s

) +

+2

l

D

X

l

=

l

D

l

D

X

m

=

l

+1

(29)

onde

β

e

φ

são

β

=

kd

2[f

η(z

L

z

A

f

)]

e

φ

=

d[f

η(z

L

f

)]

z

A

om

η

= (z

z

L

f)/f

. Otermo

V

lm

da equação1.18 orresponde a

V

lm

(x

i

, x

s

)

Y

j

=

l,m

sinc

(x

s

jηd)

d

sinc

(x

i

+

jηd)

d

,

(1.19)

e representaa difração devido a abertura.

Aequação1.18,assimomoafunção

1

2

cos(2πθ(x

i

x

s

)/λ)

paraoasode dois qubits, desreve um padrão de interferênia om arateristias

ondi-ionais, ou seja a posição das franjas dependem da posição dos detetores.

Dessaforma,aodesloarmosumdos detetoresaformadopadrãoirávariar.

Após a obtenção das imagens das fendas quádruplas, foi realizada uma

medidadopadrãodeinterferêniaedopadrãodeondiionalidadedosfótons

transmitidos pelas fendas de 40e de 100

µm

.

Para as medidasdopadrão de interferênia e de ondiionalidade, foram

retiradas as lentes ilíndrias e aresentadas uma lente antes de ada

de-tetor, a uma distânia igual aos seus omprimentos foais. Realizou-se

mediçõesom lentesde fooiguala10me20m,todaselas aumadistânia

foal do detetor. Fendas simples de abertura de 100

µm

foram presas aos detetores. Para obtenção do padrão de interferênia posiionamos o

dete-tor2naposiçãoentral, ouseja,nomáximode ontagenssimplesevarremos

o detetor 1 desloando-oapassos de

10µm

.

A medida do padrão de ondiionalidade onsiste em desloarmos o

de-tetor 2 até a posição de mínimo do padrão de interferênia e novamente

varremos o detetor 1. Podemos observar que onde anteriormente tinha-se

um máximo entral, agora tem-se um mínimo e vie-versa. Esse resultado

está mostrado nagura 1.9para afenda de 100

µm

utilizandoumalente de f = 10m e na gura 1.10 para a mesma fenda utilizandouma lente de f =

(30)

Osgráosdasguras1.9e1.10onrmamaondiionalidadedopadrão

para oestadode qudits gerados, esses resultadostambémsão umaevidênia

(31)

Figura 1.6: Correlação espaial medida através dos fótons transmitidospor

duas fendas quádruplas de abertura 40

µm

, nessa imagem os pontos pretos

orrespondem as ontagens simples e os pontos vermelhos as ontagens em

oinidêniasa)Odetetor2estavaposiionadonaquartafendaeodetetor1

foidesloado. Observamosumpiodeoinidêniasapenasquandoodetetor

1 passou pela primeira fenda. b) Odetetor 2 estava posiionado na tereira

fenda, por isso o pio de oinidênia é notado somente quando o detetor

1 passa pela segunda fenda ) Detetor 2 na segunda fenda e oinidênias

observadas entre a segunda e tereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na

primeira fenda, om oinidênias apenas quando o detetor 1 é posiionado

(32)

Figura 1.7: Correlação espaial medida através dos fótons transmitidospor

duas fendas quádruplas de abertura 100

µm

, nessa imagem os pontos pretos

orrespondemasontagenssimpleseosazuisasontagensemoinidênia. a)

O detetor2 estava posiionado na quarta fenda e o detetor1 foidesloado.

Observamosumpiodeoinidêniasapenasquandoodetetor1passou pela

primeira fenda. b) O detetor 2 estava posiionado na tereira fenda, por

isso o pio de oinidênia é notado somente quando o detetor 1 passa pela

segundafenda)Detetor2nasegundafendaeoinidêniasobservadasentre

a segunda etereira fenda. d) Detetor 2 posiionado na primeira fenda,om

(33)

Figura 1.8: Esquema do experimento de fenda duplausando fótons gerados

(34)

Figura 1.9: a)PadrãodeInterferênia eb)PadrãodeCondiionalidade,para

o estado dequatro fendas utilizando umalenteom foode 10m foalizando

nodetetor. Otempodeaquisiçãodeadaponto éde5s. Aaberturadafenda

(35)

Figura 1.10: a) Padrão de Interferênia e b) Padrão de Condiionalidade,

parao estado dequatro fendas utilizando umalenteomfoo de20m

foali-zando no detetor. Otempo de aquisição de ada ponto é de 6s. A abertura

(36)

Capítulo 2

Tomograa Quântia

A tomograaquântia éum proesso que permite, apartir de um ensemble

de partíulasidentiamentepreparadas,araterizarmosum estadoquântio

ompletamente. Neste apítulo é feita uma breve desrição da tomograa

lássiaeomputadorizadaedepoiséfeitaumaanalogiaomoasoquântio.

Oobjetivoprinipaldesseapítuloérealizarumestudosobreatomograa

de um e de dois qubits visando sua implementação para estados espaiais

de qubits. Também é realizado um estudo sobre tomograa quântia de

detetores baseando-se nas referênias [17, 20℄.

2.1 Representação de Estados Puros e Mistos

Um qubit orresponde a um estado quântio em duas dimensões. Esses

estados podem orresponder,porexemplo à polarizaçãodo fóton(vertiale

horizontal)ouaomomentode spindoelétronnadireção

z

(paraimaepara baixo) ou ainda aos aminhos possíveis do fóton ao atravessar uma fenda

dupla (aminhos 1 e2).

Um estado puro pode ser representado por um vetor de estado e para o

aso de um sistema de um qubit, temos:

|

ψ

i

=

α

|

0

i

+

β

|

1

i

,

(2.1)

onde os oeientes

α

e

β

são omplexose satisfazem a ondição de norma-lização

|

α

|

2

+

|

β

|

2

= 1

(37)

No formalismo da matriz densidade, ela é denida omo uma matriz de

traço um, hermitiana e positiva. Para o aso de um estado puro, temos

ρ

=

ρ

2

, então, Tr(

ρ

2

)=1. Para estadosmistos oTr(

ρ

2

) é sempreum número

menor que um.

Umainterpretação de matrizdensidade possívelé desrevermos oestado

éomoumamisturaestatístiadossub-ensemblesqueompõemesseestado.

Isto é,a matrizdensidade éonstruída onsiderandoos pesos estatístios de

adaestadopuroqueonstituiosistema. Essa matrizpode seresritaomo:

ρ

=

X

i

P

i

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

,

(2.2)

onde

P

i

orresponde a probabilidade ou peso estatístio do estado

|

ψ

i

i

, om

P

i

P

i

= 1

. É interessante dizer que toda matriz positiva de traço um

orresponde auma matrizdensidade. A deomposição aima orresponde a

apenas uma de um onjunto innito de deomposições possíveis para uma

dada matriz

ρ

, a exeção é apenas para o aso de estados puros em que essa deomposição é únia. É importante notar que qualquer estado puro

também pode ser representado no formalismo de matriz densidade, já que

essa desrição é mais geral que a desrição usando vetor de onda. Para um

estado puro,

ρ

=

|

ψ

j

ih

ψ

j

|

e

P

i

=

δ

ij

, sendo

|

ψ

j

i

o vetor de estado da partíula.

Entre as propriedades da matriz densidade, temos que ela possui traço

um e é uma matriz hermitiana e positiva. Para o aso de um estado puro,

temos

ρ

=

ρ

2

, então, Tr(

ρ

2

)=1. Para estados mistos o Tr(

ρ

2

) é sempre um

número menor queum.

2.1.1 Esfera de Bloh

Uma forma onveniente de se visualizar um qubit é fazendo uso da esfera

de Bloh, que orresponde a uma representação geométria de um estado

puro de dois níveis quântios (ver gura 2.1). Ao representarmos o estado

de um qubit em oordenadas esférias (equação 2.3), estamos denindo um

pontonasuperfíiedaesfera Bloh. Nessa esfera de raiounitário,osestados

(38)

polarização do fóton, os estados de polarização vertial e horizontal arão

nos polosdaesfera, osde polarizaçãoirularno equador.

Umestado quântio puro de dois níveis pode ser desritoomo:

|

ψ

i

= cos

θ

2

|

0

i

+

e

sin

θ

2

|

1

i

(2.3)

Apartir dessa equação,esrita emoordenadas polares, podemos

identi-ar o estado

|

ψ

i

naesfera de Bloh(vergura 2.1)

Figura 2.1: Representação de umqubit

|

ψ

i

naesfera de Bloh [23 ℄

2.2 Tomograa de um qubit

Podemos esrever a matrizdensidade de um qubitomo:

ρ

=

1

2

1 +

a b

ic

b

+

ic

1

a

!

.

(2.4)

Nesta expressão, foi levado em onsideração o fato de

ρ

ser uma matriz hermitiana de traço igual a um.

É interessante, porém, reesrevermos

ρ

em termos da matriz identidade e das matrizes de Pauli, onforme a equação aseguir:

ρ

=

1

2

(I

+

z

+

x

+

y

) =

1

2

(I

+

(39)

onde

b

orresponde a

(b, c, a)

e éonheido omo vetor de Bloh (hamado de vetor de Stokes quando onsideramos polarização). Esse vetor identia

um ponto na esfera de Bloh. A matriz

I

mostrada na equação anterior

representa a matriz identidade e

representa as matrizes

σ

x

,

σ

y

e

σ

z

que orrespondem as matrizesde Pauli.

As matrizesde Paulipara um qubitsão:

σ

x

=

0 1

1 0

!

,

σ

y

=

0

i

i

0

!

,

σ

z

=

1

0

0

1

!

.

(2.6)

Oobjetivode serealizarumatomograaédeterminaroselementosa,be

queonstituema matrizdensidade. Existemváriasesolhasquepermitem

determinarmos esses termos, em nosso aso deidimos medir um onjunto

espeial. Esseonjuntoesolhidotemomoprinipalvantagemseroonjunto

que permite realizarmos o menor número de medições. Os pontos a serem

medidos orrespondem aos vérties de um tetraedro insrito na esfera de

Bloh (gura 2.4). A vantagem de medirmos esse onjunto deorre do fato

que para esses pontos, anormalizaçãoorresponde a somadas oinidênias

de todos os pontosmedidos.

Éimportanteomentarqueépossívelrealizarmosatomograaesolhendo

outro onjuntode pontos, porém,seriamneessárias maismedições, jáquea

normalização de ada termo é feita dividindo-sepela soma da taxade

oin-idênias paraum vetor eparaoseu ortogonal. Porexemplo,seesolhermos

medir os pontos do equador temos que medir o estado

|

0

i

e seu ortogonal

|

1

i

, o estadodiagonal

|

D

i

eo seu ortogonal

|

A

i

(anti-diagonal) e também

é neessáriomedirmosospontosdos pólos, queorrespondem afasesde

π/2

e

π/2

entre os vetores

|

0

i

e

|

1

i

.

Aidéiaparaasmediçõesdessespontossurgiuapartirdotrabalho

Exper-imentalpolarizationstatetomographyusingoptimalpolarimeters[14℄. Neste

trabalho, o grupo apresenta a maneira mínimaneessária para se estimar o

vetor de Stokes (análogo ao vetor de Bloh), o que onsiste em realizarmos

quatro medições. Essas medições são denidas a partir de quatro vetores

não oplanares que denem um tetraedro na esfera de Poinaré. O POVM

(40)

quando não se onhee nada sobre

ρ

, já que nele, os pontos que denem o tetraedro são igualmenteespaçados [29, 30℄.

Figura 2.2: Esquemadamontagemexperimentalutilizada naTomograa de

Polarização realizada no trabalho apresentado no artigo Experimental

polar-ization state tomography using optimalpolarimeters [14℄.

Na gura 2.2, observamos um esquema da montagem experimental

uti-lizada na tomograa de um estado de polarização. Um ubo parialmente

polarizador (PPBS) separa a luz em uma razão espeía já que possui

o-eientes de divisão iguais a x e y que obedeem a equação de onservação

|

x

|

2

+

|

y

|

2

= 1

. Por ausa dessa diferença nos oeientes de divisão, a

saída em ada um dos braços será diferente. Na tabelaa seguir, mostramos

a saída nos braços transmitido e reetido para uma luz polarizada

horizon-talmentee vertialmente.

Polarização Transmitido Reetido

Horizontal

x

0

!

y

0

!

Vertial

0

y

!

0

x

!

AluztransmitidapeloPPBSéprojetadanabasedepolarização

±

45

ea

(41)

O onjunto espeío x ey queproduz o arranjo tetragonal é

x

2

= 1/2 + 1/(2

3)

e

y

2

= 1/2

1/(2

3).

Para a implementação experimental da tomograa, o grupo realizou uma

alibração para eliminarfasesquepoderiamestar presentes [32℄. Essas fases

forameliminadasomautilizaçãodeplaasde quartzo. Comessaalibração

é enontrada a matriz intrumento orrigida. Essa matriz relaionaas

inten-sidades medidasom vetores de Stokes.

No nosso aso, esolhemos implementara tomograa para estados

espa-iais de aminhotransversal. O POVMesolhido tambémfoioque desreve

umtetraedroregularinsritonaesferadeBloh. Aseguir,umtetraedro

regu-larde lado lfoianalisado,gura2.3. Considerando queotetraedo mostrado

possa ser insrito em uma esfera de raio unitário, om os vérties, A, B, C

e D toando a superfíie da esfera, foram determinadas as oordenadas na

esfera quedesrevemesses pontos.

Figura 2.3: TetraedroRegular de lado

l

Analisando primeiramente o triângulo equilátero BCD. Sabendo que o

ponto H orresponde ao barientro desse triângulo e que a altura de um

trianguloequiláteroé

l

3

/2

,enontramos

BH

=

l

3

3

. Seanalisarmosagora

o triângulo ABH, observamos que a altura do tetraedro (AH) é

p

(42)

notarmos que os segmentos OA,OB, OC ODorrespondem a raios emuma

esfera que irunsreva o tetraedro, temos, então, OA = OB = OC = OD

= 1 (o ponto O orresponde ao entro dessa esfera). A partir do triângulo

OBH, determina-se que

l

=

2

p

2

/3

.

Como

AH

=

p

2

/3

(2

p

2

/3

)

, temos

OH

=

AH

1

=

1

/3

. Ou seja,

onsiderandoqueovértieAaiasobreoeixoz,osoutrosvértiesdevemser

oplanares e sua oordenada z deve ser igual a-1/3. Como osvérties B, C

e D formam um triânguloequilátero, eles dividem um írulo emtrês aros

iguais, que podem ser esolhido omo sendo 0,

2

π/3

e

2

π/3

.

Cadapontonaesfera de Blohpode ser esritoemoordenadas esférias

omo sendo

(sin

θ

cos

φ,

cos

θ

sin

φ,

cos

θ)

. Ao esolhermos um vértie para o tetraedro tal que

A

= (0,

0,

1)

, ou seja

θ

= 0

, os outros três vérties seleionados devem estar no mesmo plano, ou seja devem possuir mesmo

valorde

θ

e

φ

= 0

,

2π/3

e

2π/3

para ada um deles. A esolhade vérties sugerida seria,porexemplo:

A

= (0,

0,

1),

(2.7a)

B

= (

2

2

3

,

0,

1

3

),

(2.7b)

C

= (

2

3

,

6

3

,

1

3

),

(2.7)

D

= (

2

3

,

6

3

,

1

3

).

(2.7d)

(43)

Apartir dessespontos, podemos esrever osvetores de estadoassoiados

a esses vérties.

|

ψ

1i

=

|

0

i

,

(2.8a)

|

ψ

2i

=

1

3

|

0

i −

r

2

3

|

1

i

,

(2.8b)

|

ψ3

i

=

1

3

|

0

i −

e

i

2

π/

3

r

2

3

|

1

i

,

(2.8)

|

ψ4

i

=

1

3

|

0

i −

e

i

2

π/

3

r

2

3

|

1

i

.

(2.8d)

Osvetoresaimaforamontruídosapartirdos vértiesdotetraedro, eles

nãosãovetoresortogonaiseporissoaoonstruirmosoperadoresdemedidaa

partir delesé neessáriousarmoso formalismode POVM(Positive Operator

Valued Measure).

Nesse formalismo,os operadores

Π

i

onstruídos são positivos e possuem probalidade total igual a 1

(

P

i

Π

i

=

I)

. No nosso aso, esses operadores

Π

i

serão

1

2

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

, já que ao somarmos todas as matrizes de

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

enontramos o dobro daidentidade.

Osoperadores

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

serão:

|

ψ

1ih

ψ

1

|

=

|

0

ih

0

|

,

|

ψ2

ih

ψ2

|

=

1

3

|

0

ih

0

| −

2

3

|

0

ih

1

| −

2

3

|

1

ih

0

|

+

2

3

|

1

ih

1

|

,

|

ψ

3ih

ψ

3

|

=

1

3

|

0

ih

0

| −

2

3

e

i

2

π/

3

|

0

ih

1

| −

2

3

e

i

2

π/

3

|

1

ih

0

|

+

2

3

|

1

ih

1

|

,

|

ψ4

ih

ψ4

|

=

1

3

|

0

ih

0

| −

2

3

e

i

2

π/

3

|

0

ih

1

| −

2

3

e

i

2

π/

3

|

1

ih

0

|

+

2

3

|

1

ih

1

|

.

(44)

4

X

i

=1

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

= 2I,

(2.9)

o que justiaa esolha

Π

i

=

1

2

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

. As matrizes

Π

i

serão:

Π1

=

1

2

1 0

0 0

!

,

Π2

=

1

2

1

3

2

3

3

2

2

3

!

,

Π3

=

1

2

1

3

2

3

e

i

2

π/

3

2

3

e

i

2

π/

3

2

3

!

,

Π4

=

1

2

1

3

2

3

e

i

2

π/

3

2

3

e

i

2

π/

3

2

3

!

.

A probabilidadede ada uma das medições

Π

i

é dada por:

p

i

=

T r( ˆ

Π

i

ρ) =

ˆ

1

2

T r(

|

ψ

i

ih

ψ

i

|

ρ) =

1

2

h

ψ

i

|

ρ

|

ψ

i

.

i

(2.10)

Usando essa relaçãotemos:

p1

=

1

4

1 0

1 +

a b

ic

b

+

ic

1

a

!

1

0

!

Então:

p1

=

1

4

(1 +

a)

(2.11a)

Semelhantementepara os outrospontos temos:

p

2

=

1

4

1

3

q

2

3

1 +

a b

ic

b

+

ic

1

a

!

1

3

q

2

3

p2

=

1

12

(3

a

2

2b)

(2.11b)

p3

=

1

4

1

3

q

2

3

e

2

iπ/

3

1 +

a b

ic

b

+

ic

1

a

!

1

3

q

2

3

e

2

iπ/

3

p3

=

1

12

(3

a

2

(45)

p4

=

1

4

1

3

q

2

3

e

2

iπ/

3

1 +

a b

ic

b

+

ic

1

a

!

1

3

q

2

3

e

2

iπ/

3

p4

=

1

12

(3

a

2

2b

cos(2π/3) + 2

2c

sin(2π/3))

(2.11d)

Notamos,entãoquepararealizarmosatomograatemosqueresolveruma

sistemaom4equaçõese3inógnitas(a,be). Énaturaltermos4equações

e 3 inógnitas ao somarmos essas equações reuperamos o vínulo

P

i

= 1

.

Noexperimento,essevínuloseráreetidonaondiçãodenormalizaçãodada

pelototal de ontagens.

Então, realizarmos a tomograa de um qubitorresponde a resolvermos

o sistemaabaixo para um onjunto de probabilidades

(p1, p2, p3, p4)

1/4

1/4

0

0

1/4

1/12

2/6

0

1/4

1/12

2/12

6/4

1/4

1/12

2/12

6/4

1

a

b

c

=

p1

p2

p3

p4

(2.12)

Osvalores

p1

,

p2

,

p3

e

p4

serão estimados apartir das medições.

2.3 Implementação da Tomograa

Nesta dissertação trabalhamos om estados espaiais gerados a partir de

fendas múltiplas. Os estados quântios para esse sistema são estados de

a-minho transversais dos fótons ao atravessar as fendas. Para implementação

da tomograa é neessário identiarmos ada um dos estados do fóton

re-presentados pelos vérties dotetraedro om os estadosde fendas.

Para oaso das fendas, aoordenada

z

orrespondea atenuação de ada uma das fendas, ou seja, o quanto da fenda é obstruído e o seu sinal india

qualfenda irásofrer aobstrução ouatenuação. Bloquearmosafendainferior

Imagem

Figura 1.1: Esquema simpli
ado: a) geração do segundo harmni
o (a partir
Figura 1.2: a) Conversão Paramétri
a Des
endente do tipo I e b) 
onversão
Figura 1.3: Correlação de momento transversal entre os fótons 
onvertidos
Figura 1.4: Medida da 
orrelação transversal dos feixes de fótons gêmeos.
+7

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