O sistema estudado ´e quˆantico portanto o ensemble ser´a caracterizado pelo Hamil- toniano ˆH. Cada sistema do ensemble ser´a descrito pela fun¸c˜ao de onda Ψk(⃗r
i, t)
de tal maneira que
ˆ
HΨk(⃗ri, t) = i~ ˙Ψk(⃗ri, t) ,
descreve a cinem´atica e dinˆamica do k-´esimo sistema. Esta fun¸c˜ao de onda pode ser decomposta em termos dos autovetores do Hamiltoniano. Estes abrangem o espa¸co de Hilbert e diagonalizam os operadores ˆH e ˆn (cujos autovalores indicam as energias accessveis e o n´umero de part´ıculas do sistema). Com isto,
Ψk(⃗r i, t) = ∑ r,s ak r,s(t) φr,s(⃗ri) , onde ak r,s(t) = ∫ V φ∗r,s(⃗ri) Ψk(⃗ri, t) dV,
nos d´a, por meio do seu m´odulo quadrado, a probabilidade de encontrar o k-´esimo sistema no estado (Er, Ns). Um observ´avel ˆG caracteriza, na forma de operador,
uma grandeza mensur´avel cuja m´edia no k-´esimo sistema ´e dado por ⟨ ˆG⟩k
= ∫
Ψk∗GΨˆ kdV. (2.5)
Esta m´edia ´e apenas espacial, ou seja, ´e uma m´edia instantˆanea da grandeza. Ex- pandindo (2.5) em termos dos autovetores obtemos
⟨ ˆG⟩k = ∑ l,m,r,s ak∗l,ma k r,sGl,m,r,s, †Ver [44] pp. 101 – 102.
onde
Gl,m,r,s =
∫
φ∗l,mGφˆ r,sdV.
Poderiamos tomar a m´edia temporal de ⟨ ˆG⟩k feita em um per´ıodo suficiente- mente longo para que o k-´esimo sistema passe por todos os estados acess´ıveis e assim obter a m´edia deste observ´avel que caracterize o sistema estudado; este seria o pro- cedimento experimental. Como o sistema ´e composto por um grande n´umero de part´ıculas (da ordem de 1023), levar em conta a dinˆamica e cinem´atica de cada um
dos constituintes ´e trabalhoso e, at´e, imposs´ıvel. Por isso, conseguimos a m´edia inde- pendente do tempo, que caracteriza o sistema estudado em seu estado de equil´ıbrio, por meio da m´edia feita no ensemble macrocanˆonico [44]. Esta m´edia deve ser feita sobre todos os estados acess´ıveis ao sistema dentro das restri¸c˜oes (2.1),
⟨ ˆG⟩ = 1 ℵ ℵ ∑ k=1 ⟨ ˆG⟩k . (2.6)
Reescrevendo esta m´edia obtemos ⟨ ˆG⟩
= tr(ˆρ ˆG),
onde ˆρ ´e chamado de operador densidade de probabilidade definido como ρl,m,r,s = 1 ℵ ℵ ∑ k=1 ak∗l,ma k r,s.
Este operador tem as mesmas informa¸c˜oes que (2.3) por isso fazemos a rela¸c˜ao ρr,s =
eµβNs−βEr
∑
r,seµβNs−βEr
, onde ˆρ, na sua forma diagonalizada, ´e dado por
ρr,s= 1 ℵ ℵ ∑ k=1 ak∗r,sak r,s.
Feita esta rela¸c˜ao, a conex˜ao entre a estat´ıstica e a termodinˆamica ´e dada pela rela¸c˜ao (2.4), como visto na se¸c˜ao anterior, atrav´es da qual podemos encontrar, entre outros, a press˜ao e a densidade de energia do sistema,
p (µ, V, T ) = kT V q e ρ (µ, V, T ) = − 1 V ∂q ∂β. (2.7)
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao macrocanˆonica,
Ξ =∑
r,s
pode ser desenvolvida levando em conta as intera¸c˜oes e as caracter´ısticas quˆanticas das part´ıculas. Primeiro notamos que a somat´oria em s, pela qual obtemos todos os poss´ıveis estados de n´umero de part´ıculas, pode ser reescrita como uma somat´oria do n´umero de part´ıculas total do sistema (que pode ter qualquer valor inteiro entre 0 e ∞). Ainda mais, se levamos em conta que as part´ıculas n˜ao interagem entre si, e reescrevendo o n´umero total de part´ıculas Nsem termos do n´umero ni de part´ıculas
por estado de energia εi, podemos reescrever a energia total do estado Er como
Ns = ∞ ∑ i=0 ni e Er= ∞ ∑ i=0 niεi, (2.8) obtendo Ξ = ∞ ∑ Ns=0 ∑ {ni}r ˜ W {ni}r ∞ ∏ i=0 (ze−βεi)ni, (2.9)
onde z = eµβ ´e chamado de fugacidade e a somat´oria sobre todos os estados r foi
trocada pela somat´oria sobre o conjunto {ni}r que caracteriza o estado r e que est´a
sujeito `a primeira restri¸c˜ao de (2.8). Para que a mudan¸ca na somat´oria esteja correta ´e necess´ario adicionar o termo ˜W {ni}r que indica o n´umero de configura¸c˜oes do
modo de distribui¸c˜ao {ni}r.† A avalia¸c˜ao deste coeficiente depende da natureza das
part´ıculas. Na mecˆancia quˆantica, ao contr´ario da mecˆanica cl´assica, as part´ıculas s˜ao indistingu´ıveis‡ e podem se classificadas em dois grupos, f´ermions e b´osons.
Cada grupo tem suas pr´oprias caracter´ısticas e a part´ıcula ´e classificada de acordo com seu spin (caso seja m´ultiplo inteiro de ~ ´e chamado b´oson, caso contr´ario ´e dito f´ermion). O f´oton por ter spin inteiro ´e de natureza bosˆonica e, ao contr´ario dos f´ermions, n˜ao segue o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli, que implica que n˜ao h´a restri¸c˜ao do n´umero de part´ıculas por estado. Num sistema bosˆonico (e fermiˆonico) o conjunto de n´umeros {ni}r define por completo um estado do sistema. Isto ´e devido
ao fato da permuta¸c˜ao entre duas part´ıculas em estados diferentes n˜ao gerarem uma nova configura¸c˜ao (caso que no sistema cl´assico n˜ao ´e verdade). Este fato faz com que cada conjunto {ni}r tenha o mesmo peso, por isso fazemos ˜W {ni} = 1.
A dupla somat´oria, uma sobre todos os conjuntos {ni} e sobre o n´umero total de
part´ıculas, ´e an´aloga `a somar sobre cada ni independentemente. Com isto obtemos
Ξ = ∞ ∏ i=0 [ ∞ ∑ ni=0 (ze−βεi)ni ]g ,
†Seguimos a mesma linha de racioc´ınio da se¸c˜ao 2.1, contamos quantas part´ıculas est˜ao em cada
autovalor de energia εi e caracterizamos o sistema pelo conjunto {ni}.
‡Uma excess˜ao ´e o caso de um s´olido no qual as part´ıculas est˜ao em posi¸c˜oes fixas pois estas
onde g leva em conta os graus internos de liberdade das part´ıculas. Na estat´ıstica de Bose-Einstein, a somat´oria pode ser avaliada caso µ < εi obtendo
Ξ = ∞ ∏ i=0 [ 1 1 − ze−βεi ]g . Finalmente, obtemos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao macrocanˆonica
q = −g
∞
∑
i=0
ln(1 − ze−βεi) .
O potencial qu´ımico de um g´as de f´otons ´e nulo pois o n´umero de f´otons num volume arbitr´ario ´e indefinido. Isto pode ser visto melhor lembrando que o multi- plicador de Lagrange α em (2.2) surge da segunda restri¸c˜ao (2.1) que nos diz que o n´umero total de part´ıculas ´e conservado. Como este n˜ao ´e o caso para um g´as de f´otons, esta restri¸c˜ao n˜ao ´e mais pertinente
.
O n´umero de graus de liberdade internos do f´oton ´e g = 2 devido `as duas poss´ıveis polariza¸c˜oes. Como a energia do f´oton ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua do momento linear, fazemos a transi¸c˜ao da soma discreta para a integral atrav´es da prescri¸c˜ao ∑ ε → 1 h3 ∫ d3xd3p, q = − 2 (2π)3 ∫ ln(1 − e−βε) d3xd3p,
Resultados e Discuss˜ao
Obtivemos, nos dois cap´ıtulos anteriores, a rela¸c˜ao de dispers˜ao geral de um f´oton e o potencial macrocanˆonico para um g´as de f´otons. Foi visto tamb´em que dependendo da NLED o f´oton pode ter duas rela¸c˜oes de dispers˜ao que est˜ao associadas `as dire¸c˜oes de polariza¸c˜ao dos f´otons. Este fato requer que o potencial macrocanˆonico seja reescrito de forma adequada para a levar em conta os casos em que h´a duas poss´ıveis rela¸c˜oes de dispers˜ao. Vimos que a forma do potencial para um g´as de f´otons ´e†
q = − 2 (2π)3
∫
ln(1 − e−βε) d3xd3p,
e lembramos que o fator 2, que foi propositalmente deixado expl´ıcito, provˆem do fato do f´oton ter dois graus de liberdade internos, as duas poss´ıveis dire¸c˜oes de po- lariza¸c˜ao. Pelo fato das ondas eletromagn´eticas poderem ser decompostas em eixos arbitr´arios no plano, podemos interpretar o sistema como a superposi¸c˜ao de dois sis- temas, cada um contendo ondas polarizadas apenas em uma dire¸c˜ao. Isto ´e poss´ıvel pois, na aproxima¸c˜ao usada para derivar a rela¸c˜ao de dispers˜ao [38], a equa¸c˜ao de onda ´e linear e a perturba¸c˜ao s´o interage com o campo externo. Foi observado que o potencial macrocanˆonico ´e extensivo, logo o potencial da superposi¸c˜ao dos sistemas ´e a soma do potencial de cada um. Mas, como foi feita a decomposi¸c˜ao, agora h´a apenas 1 grau de liberdade interno. Com isto temos que o potencial macrocanˆonico total ´e qT = q++ q−, onde q± = − 1 (2π)3 ∫ ln(1 − e−βε±) d3 xd3p. (3.1)
Este resultado tamb´em pode ser obtido modificando a equa¸c˜ao (2.9) para levar em conta duas part´ıculas com carcater´ısticas diferentes e depois reconhˆe-las como
†Neste cap´ıtulo s˜ao usadas as unidades naturais.
sendo f´otons com polariza¸c˜oes diferentes†. A partir desta esqua¸c˜ao, pode ser visto
claramente que no caso em que ε+= ε− a express˜ao para o potencial macrocanˆonico
recai na sua forma original.
Como a forma do potencial ´e a mesma para as duas poss´ıveis rela¸c˜oes de dis- pers˜ao basta apenas resolver uma delas. A rela¸c˜ao de dispers˜ao obtida anteriormente independe do tempo, por´em depende do ponto do espa¸co atrav´es do campo eletro- magn´etico de fundo.
Neste cap´ıtulo ser´a obtido o potencial macrocanˆonico para o g´as de f´otons ape- nas no caso em que o campo eletromagn´etico de fundo ´e uniforme. Em seguida, estudaremos as propriedades termodinˆamicas press˜ao e densidades de energia. Uma vez que estas express˜oes devem valer para qualquer NLED, ser˜ao feitos exemplos espec´ıficos usando duas Lagrangianas, a de Born-Infeld, e uma aproxima¸c˜ao de se- gunda ordem de Lagrangianas que s´o dependem do invariante F . Por fim, ser´a feita uma discuss˜ao dos casos eletrost´aticos e magnetost´aticos dos dois exemplos comparando-os com os resultados cl´assicos da EM.
3.1
Propriedades termodinˆamicas para o g´as de f´otons em
uma NLED arbitr´aria
Como o campo de fundo ´e uniforme podemos escolher um sistema de coordenadas cartesianas de tal maneira que seu eixo x coincida com a dire¸c˜ao e sentido do campo el´etrico e o campo magn´etico esteja no plano xy, ou seja,
⃗
E = E1ˆı,
⃗
B = B1ˆı + B2ȷ.ˆ
Neste sistema de coordenadas, podemos reescrever a rela¸c˜ao de dispers˜ao (1.33) deixando-a em uma forma mais simples,
ε±=
y±p3+√a±p21+ b±p22+ c±p23 + e±p1p2
x±
, (3.2)
onde os coeficientes s˜ao dados por x±= 1 + z±E12, a±=(1 + z±E12− z±B22) x±, b±=(1 − z±B12) x±, c±= x±− x±z±B12− z±B22, e±= 2z±B1B2x±, y±= z±E1B2. (3.3)
O fato do campo de fundo ser uniforme tamb´em simplifica a forma de (3.1), pois a rela¸c˜ao de dispers˜ao n˜ao depende mais dos pontos do espa¸co tornando a integral em d3x trivial. Com isto, juntando (3.1) e (3.2) obtemos,
q± = − V (2π)3 ∫ ln ( 1 − e−β
y±p3+√a±p21+b±p22+c±p23+e±p1p2
x±
)
d3p. (3.4) A resolu¸c˜ao detalhada desta integral ´e feita no apˆendice E, sendo sua solu¸c˜ao dada por q±= K±V (kT )3, (3.5) onde K±= π2 90 |c±| ( 1 − z±B⃗2 )2. (3.6)
Observe que durante o processo de integra¸c˜ao surgem os seguintes v´ınculos ne- cess´arios para que a integral n˜ao divirja,
x± > 0 e |y±| <√c±. (3.7)
Com a forma expl´ıcita do potencial podemos encontrar as rela¸c˜oes expl´ıcitas para a press˜ao e densidade de energia do sistema atrav´es das rela¸c˜oes do cap´ıtulo anterior (2.7),
p = (K++ K−) (kT )4 e ρ = 3 (K++ K−) (kT )4.
Um resultado importante ´e, mesmo que as express˜oes para a press˜ao e a densidade de energia tenham mudado (pois agora dependem da NLED e do campo de fundo), a equa¸c˜ao de estado,
p = ρ 3, ´e independente da NLED e permanece inalterada.
Como foi visto, no caso do EM z± = 0 implicando em K+ = K− = 12π
2
45. Com
isto temos que a densidade de energia ´e independente do campo de fundo e dada por ρEM = π2 15(kT ) 4 .