Outra generaliza¸c˜ao da Mecˆanica Estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs foi desenvolvida por Constantino Tsallis, em 1988, inspirada na descri¸c˜ao probabil´ıstica de geometrias multifractais (TSALLIS, 1988), em que propˆos uma nova f´ormula para a entropia na qual tem-se a entropia de BG como um caso particular.
Em seu livro (TSALLIS, 2009), Tsallis deduziu de uma forma alternativa6 (Met´afora) a generaliza¸c˜ao da exponencial e do logaritmo descritos no formalismo padr˜ao de BG, atrav´es da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial n˜ao-linear com a adi¸c˜ao de um expoente q, ou seja,
dy dx = y
q (3.38)
para q ∈ R e a condi¸c˜ao de contorno y(0) = 1.
Com isso, a solu¸c˜ao da Eq. (3.38) nos d´a uma express˜ao muito importante, a expo- nencial generalizada no formalismo de Tsallis,
y = (1 + (1 − q)x)1−q1 ≡ ex
q (3.39)
desde que tenhamos [1 + (1 − q)x] > 0 e para qualquer outro valor expq(x) = 0. Podemos
definir, ent˜ao, a sua inversa como:
y0 = x
1−q− 1
1 − q ≡ lnqx (3.40) definida como o logaritmo generalizado e para q → 1 temos ln1(x) = ln(x), ou seja, o
logaritmo natural padr˜ao, assim como exp1(x) = exp(x), a exponencial padr˜ao.
A “entropia de Tsallis”, como ´e conhecida, ´e usada em casos onde h´a fortes correla¸c˜oes entre os diferentes microestados em um sistema ou ainda em sistemas fora do equil´ıbrio. A express˜ao da entropia, que ´e obtida atrav´es da Eq. (3.40), tem a forma:
Sq = kB q − 1 " 1 − W X i pqi # (3.41) onde kB´e a constante de Boltzmann, W ´e o n´umero de microestados, pi as probabilidades
associadas, al´em dessa express˜ao ser normalizada, PW
i pi = 1. A express˜ao para Sq est´a
caracterizada por um parˆametro q, onde q ´e uma medida de qu˜ao forte s˜ao as correla¸c˜oes (CARTWRIGHT, 2014). Para obtermos a entropia padr˜ao de (BG), tomamos o limite q → 1 de Sq.
Uma outra maneira de escrever a Eq. (3.41), ´e em termos do q-logaritmo, assim como outras formas poss´ıveis podem ser vistas na tabela (3.1).
Sq = −kB W
X
i
pqilnq(pi) (3.42)
Entropia Probabilidades iguais Probabilidades gen´ericas
SBG k ln W −k PW i piln2−q(pi) = k PW i piln(1/pi) Sq k lnqW q−1k h 1 −PW i p q i i = kPW i pilnq(1/pi) = −k PW i p q i lnq(pi) −kPW i piln2−qpi
TABELA 3.1 – Entropia SBG e Sq com S1 = SBG (Extra´ıdo e modificado de (TSALLIS,
2009))
A teoria proposta por Tsallis viola o princ´ıpio da aditividade estabelecida no Terceiro postulado da Termodinˆamica, onde a entropia ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, diferenci´avel e monotonicamente crescente da energia e ´e aditiva sobre os sub-sistemas de um dado sistema composto (SALINAS, 2008). Por exemplo (TSALLIS et al., 2002), se considerarmos um sistema composto com dois sub-sistemas A e B probabilisticamente independentes, ou seja, PijA+B = PiAPjB, a entropia no formalismo de Tsallis, Sq, ´e expressa como:
Sq(A + B) = Sq(A) + Sq(B) + (1 − q)Sq(A)Sq(B) (3.43)
a n˜ao-aditividade ´e evidenciada no termo cruzado, (1 − q)Sq(A)Sq(B). Para os casos em
que q > 1, q < 1 e q = 1 temos que a entropia torna-se, respectivamente, subextensiva, superextensiva e extensiva para o formalismo de BG. A n˜ao-aditividade da entropia de Tsallis expressa uma dificuldade em separar completamente (isolar) sistemas interagentes (BORGES, 1999).
A partir da propriedade da n˜ao-aditividade, temos o rompimento de um conceito fundamental, o conceito de sistema isolado. Em Termodinˆamica, um sistema isolado ´e aquele que n˜ao troca energia, mat´eria e informa¸c˜ao com a vizinhan¸ca. ´E visto que, na Eq. (3.43), cada sub-sistema do sistema composto, contribui para a aditividade com um termo, ou seja, Sq(A)[1 +12(1 − q)Sq(B)] e Sq(B)[1 +12(1 − q)Sq(A)]. Esse comportamento
indica que antes da jun¸c˜ao um sistema j´a sentia a presen¸ca do outro, indicando assim, que o sistema n˜ao era isolado. A Fig. (3.4) mostra o comportamento da ex
q, Eq. (3.39),
para diversos valores e q.
Para um melhor entendimento sobre o formalismo generalizado de Tsallis, menci- onamos a seguir, algumas rela¸c˜oes matem´aticas advindas deste formalismo, conhecido como q-´algebra (BORGES, 2004), como por exemplo, as propriedades fundamentais, como
FIGURA 3.4 – A q-exponencial para alguns valores de q. Extra´ıdo de: (SOUZA, 2016) adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, como tamb´em algumas rela¸c˜oes entre a fun¸c˜ao q-logaritmo e a q-exponencial.
Temos que o q-logaritmo de x e y, ´e dado por:
lnq(xy) = lnqx + lnqy + (1 − q) lnqx lnqy (3.44)
assim como, a q-exponencial,
eq(x)eq(y) = eq(x + y + (1 − q)xy) (3.45)
que ´e v´alido se eq(x) e eq(y) forem diferentes de zero e +∞.
Atrav´es dessas propriedades mencionadas acima, temos a generaliza¸c˜ao da opera¸c˜ao soma entre dois n´umeros x e y:
x ⊕qy ≡ x + y + (1 − q)xy. (3.46)
A q-soma tem as seguintes propriedades:
1. Comutativa
x ⊕qy = y ⊕qx (3.47)
2. Associativa
3. N˜ao distributiva (em rela¸c˜ao `a multiplica¸c˜ao usual)
(a(x ⊕qy) 6= (ax ⊕qay)) (3.49)
4. Elemento Neutro
x ⊕q0 = x (3.50)
5. Oposto de x (aditiva inversa) qx ≡
−x
1 + (1 − q)x (x 6= 1/(q − 1)). (3.51) Podemos definir agora a q-diferen¸ca:
x qy ≡ x ⊕q( qy) =
x − y
1 + (1 − q)y (y 6= 1/(q − 1)) (3.52) que possui tamb´em as seguintes propriedades:
1. Comutativa
x qy = qy ⊕qx (3.53)
2. Associativa
(x q(y qz)) = ((x qy) ⊕qz) (3.54)
3. N˜ao distributiva (em rela¸c˜ao `a multiplica¸c˜ao usual)
(a(x qy) 6= (ax qay)) (3.55)
O q-produto entre dois n´umeros:
x ⊗qy ≡ [x1−q+ y1−q− 1] 1/(1−q)
+ (x, y > 0) (3.56)
que podemos estender para o q-logaritmo e a q-exponencial:
lnq(x ⊗qy) = lnqx + lnqy (3.57)
eq(x) ⊗qeq(y) = eq(x + y) (3.58)
e que possui tamb´em as seguintes propriedades: 1. Comutativo
2. Associativo
(x ⊗q(y ⊗qz)) = ((x ⊗qy) ⊗qz) (3.60)
3. Elemento Neutro
x ⊗q0 = x (3.61)
e temos tamb´em, a q-divis˜ao definida como:
x qy ≡ [x1−q+ y1−q + 1] 1/(1−q)
+ (x, y > 0). (3.62)
e possui as seguintes propriedades:
1. Comutativa
x qy = 1 q(y qx) , x1−q ≤ 1 + y1−q (3.63)
2. Associativa
(x q(y qz) = (x qy) ⊗qz) = (x ⊗qz) qy, (3.64)
z1−q− 1 ≤ y1−q ≤ x1−q+ 1.
Algumas propriedades importantes, envolvendo o q-logaritmo e a q-exponencial, po- dem ser extra´ıdas de forma mais compacta:
lnq(xy) = lnqx ⊕qlnqy , eq(x)eq(y) = eq(x ⊕qy), (3.65)
lnq(x ⊗qy) = lnqx + lnqy , eq(x) ⊗qeq(y) = eq(x + y), (3.66)
lnq(x/y) = lnqx ql ln qy , eq(x)/eq(y) = eq(x qy), (3.67)
lnq(x qy) = lnqx − lnqy , eq(x) qeq(y) = eq(x − y). (3.68)
Estas igualdades obedecem a certas restri¸c˜oes que s˜ao importantes mencionar. Todas as restri¸c˜oes est˜ao na tabela (3.2). A nota¸c˜ao x ≥q 0 significa 1 + (1 − q)x ≥ 0.
A Estat´ıstica n˜ao-aditiva de Tsallis ´e amplamente usada pelas mais diversas ´areas de pesquisa e vem se consolidando cada vez mais no ˆambito acadˆemico como poss´ıvel generaliza¸c˜ao da Estat´ıstica Padr˜ao de BG. Como exemplo de estudos feitos atrav´es da estat´ıstica de Tsallis, destacamos algumas pequisas: DNA (BOGACHEV et al., 2014), q-
Equa¸c˜oes Restri¸c˜oes (3.65) x > 0, y > 0 ; x ≥q 0 ou y ≥q 0 (3.66) x1−q+ y1−q ≥ 1 ; x ≥ q 0 e y ≥q0 (3.67) x > 0, y > 0 ; y >q 0 (3.68) x1−q+ 1 ≥ y1−q ; x ≥q 0 ou y ≥q 0
TABELA 3.2 – Restri¸c˜oes sobre as igualdades. (Extra´ıdo e modificado de (BORGES, 2004)) Interestelar (ESQUIVEL; LAZARIAN, 2010), Sistemas Hadrˆonicos (MARQUES et al., 2013), Mapa Padr˜ao (TIMAKLI; BORGES, 2016).
4 Modelo Generalizado e Resultados
Nesta disserta¸c˜ao, usamos a κ-exponencial e a q-exponencial juntamente com o m´etodo de maximiza¸c˜ao das entropias dos formalismos generalizados, Sκ e Sq, para todos os
cromossomos humanos, afim de estudar as distribui¸c˜oes de tamanho para a parte n˜ao codificante do DNA, mais especificamente, os ´ıntrons. Podemos destacar tamb´em, que a utiliza¸c˜ao da entropia nesse trabalho est´a intimamente ligada `a Teoria de Informa¸c˜ao e n˜ao est´a vinculada ao conceito termodinˆamico.
Tomamos como referˆencia um artigo muito interessante (OIKONOMOU et al., 2008) que mostra a q-distribui¸c˜ao de tamanho para todos os cromossomos humanos da parte n˜ao codificante (´ıntrons e regi˜ao intergˆenica) com valores de q variando entre 2 ≤ q ≤ 2.3 com exce¸c˜ao dos cromossomos X e Y. Um dos aspectos interessantes que levaram e ainda h´a pesquisas como esta, ´e a descoberta de correla¸c˜oes de longo alcance em sequˆencias genˆomicas (PROVATA; OIKONOMOU, 2007), caracter´ıstico do DNA n˜ao codificante.
O m´etodo inicial foi separar as sequˆencias de DNA codificante e n˜ao codificante em cada cromossomo, em que usamos uma ferramenta da bioestat´ıstica, do projeto Biocon- ductor (BIOCONDUCTOR, 2003–2018), juntamente com o programa de an´alise estat´ıstica R (R Core Team, 2016), consideramos ent˜ao, a distribui¸c˜ao de tamanho para a parte n˜ao codificante como uma fun¸c˜ao do tamanho da sequˆencia, que ´e dado por l, que ´e referente ao n´umero de pares de bases (bps) na sequˆencia. Os dados para an´alise foram retirados do banco de dados Ensembl6 (ENSEMBL, 1999–2017).