Estudo via estatística de Kaniadakis da distribuição dos tamanhos dos cromossomos humanos

(1)

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE F´ISICA TE ´

ORICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUA ¸

C ˜

AO EM F´ISICA

Estudo Via Estat´ıstica de Kaniadakis da Distribui¸

c˜

ao dos

Tamanhos dos Cromossomos Humanos

Polyanna do Vale Guedes

Natal - RN

Maio de 2018

(2)

Estudo via Estat´ıstica de Kaniadakis da Distribui¸

c˜

ao

dos Tamanhos dos Cromossomos Humanos

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸cão em F´ısica do Departamento de F´ısica Teórica e Expe-rimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito para a obten¸cão do grau de Mestra em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Dory H´elio Aires de Lima Anselmo Coorientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Junior

Natal - RN

Maio de 2018

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Cataloga¸c˜ao de Publica¸c˜ao na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Guedes, Polyanna do Vale.

Estudo via estat´ıstica de Kaniadakis da distribui¸c˜ao dos tamanhos dos cromossomos humanos / Polyanna do Vale Guedes. -2018.

90 f. : il.

Disserta¸cão (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós -Gradua¸cão em F´ısica. Natal, RN, 2018.

Orientador: Prof. Dr. Dory H´elio Aires de Lima Anselmo Coorientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Junior

1. Mecânica estat´ıstica - Disserta¸cão. 2. Entropias generalizadas - Disserta¸cão. 3. DNA - Disserta¸cão. I. Anselmo, Dory Hélio Aires de Lima. II. Silva Junior, Raimundo. III. T´ıtulo.

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Agradecimentos

O meu mais genu´ıno agradecimento a todos que fizeram parte desse crescimento pessoal e acadˆemico, em especial:

`

A Deus, pela f´e, for¸ca e desejo de superar os obst´aculos.

Ao Prof. Dory Hélio Aires de Lima Anselmo pela orienta¸cão nesta pesquisa. Agrade¸co por todos os ensinamentos e toda paciência durante esses anos de trabalho, e também pelas palavras de motiva¸cão.

Ao Prof. Raimundo Silva Junior por todas as ideias, colabora¸cão e apoio na realiza¸cão desta disserta¸cão.

`

A minha fam´ılia pelo sentimento de amor, afeto, pela compreensão e pelos ensina-mento, em especial à minha mãe Francisca do Vale Silva e minha tia Ana Duarte Silva, pela educa¸cão, amparo, dedica¸cão, e pelo exemplo de perseveran¸ca que tomo como exem-plo diário de vida. Agrade¸co a Deus por tê-las em minha vida. Obrigada por tudo!

Ao colega Marcone Oliveira da Costa pela paciência, por todas as discussões que abriram possibilidades para seguir nesse trabalho, pelos feitos no meio computacional que foram de extrema importância.

Aos professores do DFTE que contribu´ıram imensamente na minha forma¸c˜ao acadˆ e-mica.

Aos colegas de pós-gradua¸cão pelas conversas, incentivos e horas de estudos. Aos funcionários do DFTE pelo trabalho bem realizado.

Ao CNPQ pelo apoio financeiro concedido, pois a pesquisa necessita de investimento para ser efetivamente realizada.

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Resumo

Nesta disserta¸cão, investigamos o DNA não codificante dos 24 cromossomos humanos, através das estat´ısticas generalizadas. Esse estudo, realizado com essas recentes gene-raliza¸cões da Teoria Padrão da Mecânica Estat´ıstica, tem como importante ferramenta analisar as propriedades estat´ısticas das sequências genômicas e com isso, obter a informa-¸cão sobre as distribui¸cões de tamanhos. Em trabalhos já realizados sobre o DNA humano não codificante é relatado a utiliza¸cão de distribui¸cões q-exponenciais do formalismo ge-neralizado de Tsallis através da maximiza¸cão da entropia não-extensiva, para estudar a distribui¸cão de tamanho dessas sequências. Nesta disserta¸cão, ampliamos esses estudos, através da utiliza¸cão da κ-estat´ıstica oriunda do formalismo generalizado de Kaniadakis. A saber, é interessante uma sucinta compara¸cão entre as duas análises. Apresentamos o valor do parâmetro de deforma¸cão κ, no formalismo de Kaniadakis, e do ´ındice entrópico q no formalismo de Tsallis, que descrevem as distribui¸cões de tamanho para todos os cromossomos do DNA humano não codificante.

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Abstract

In this dissertation, we investigated the non-coding DNA of the 24 human chromosomes, through the generalized statistics.This study, carried out with the recent generalizations of the Standard Theory of Statistical Mechanics, has been more important and analyzed as the statistical properties of the genetic sequences, in order to obtain information about the size distributions. In works already carried out on non-coding human DNA the use of q-exponential distributions of Tsallis generalized formalism through the maximization of non-extensive entropy is reported to study the size distribution of these sequences. In this dissertation, we broaden these studies through the use of κ-statistics originating from Kaniadakis generalized formalism. Namely, a brief comparison between the two analyzes is interesting. We present the values of the deformation parameters κ, in Kaniadakis formalism, and the entropic index q in the Tsallis formalism, which describe the size distributions for all the chromosomes of the non-coding human DNA.

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Lista de Figuras

FIGURA 2.1 – O nucleot´ıdeo é formado por uma base, um grupo fosfato e um a¸c´ u-car. A estrutura formada por uma base e um a¸cúcar é chamado nucleos´ıdeo, onde o a¸cúcar componente do DNA é uma desoxirri-bose e do RNA é a ribose (Extra´ıdo e modificado de (PRAY, 2008) ). . . 20 FIGURA 2.2 – Estrutura de uma forquilha de replica¸cão de DNA. (Extra´ıdo de

(SANTOS, 2010 - Blog)) . . . 21 FIGURA 2.3 – O dogma central da biologia molecular : DNA, RNA e prote´ına

(Extra´ıdo e modificado de (WIKIBOOKS, 2015)). . . 23 FIGURA 2.4 – O Splicing e a remo¸cão das sequências não codificadoras, os ´ıntrons.

(Extra´ıdo e modificado de (GUTTMACHER; COLLINS, 2002)). . . 24 FIGURA 2.5 – Todos os códons e seus respectivos aminoácidos. O tripleto AUG é

um c´odon de in´ıcio que codifica a Metionina (Extra´ıdo de ( EDUCA-¸

C ˜AO, 2011)). . . 25 FIGURA 2.6 – Estrutura qu´ımica dos marcadores de nucleot´ıdeos. O

dioxinucleo-t´ıdeo e o dideoxinucleodioxinucleo-t´ıdeo são praticamente iguais. A modifica¸cão ocorre no grupo hidroxila no carbono 3’, ausente no dideoxinucleo-t´ıdeo (ddNTP) (Extra´ıdo e modificado de (RYE et al., 2017)). . . 27 FIGURA 3.1 – Gráfico que mostra o comportamento da exp{κ}(x) para diversos

valores de κ. . . 33 FIGURA 3.2 – Gr´afico que mostra o comportamento da exp{κ}(−x) para diversos

valores de κ. . . 33 FIGURA 3.3 – Gr´afico que mostra o comportamento do κ-logaritmo para diversos

valores de κ. Extra´ıdo de (KANIADAKIS, 2013) . . . 34 FIGURA 3.4 – A q-exponencial para alguns valores de q. Extra´ıdo de: (SOUZA, 2016) 41

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FIGURA 4.1 – Distribui¸cão de tamanho para as prote´ınas do Cromossomo 1. (COSTA, 2016) . . . 47 FIGURA 4.2 – Distribui¸cão de tamanho para o DNA não codificante do

Cromos-somo 1. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 51 FIGURA 4.3 – Distribui¸c˜ao de tamanho para o DNA n˜ao codificante do

Cromos-somo 8. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 58 FIGURA 4.10 –Distribui¸c˜ao de tamanho para o DNA n˜ao codificante do

Cromos-somo 11. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 61

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FIGURA 4.13 –Distribui¸cão de tamanho para o DNA não codificante do Cromos-somo 12. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 62 FIGURA 4.14 –Distribui¸cão de tamanho para o DNA não codificante do

Cromos-somo 22. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 72

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FIGURA 4.24 –Distribui¸cão de tamanho para o DNA não codificante do Cromos-somo X. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 73 FIGURA 4.25 –Distribui¸cão de tamanho para o DNA não codificante do

Cromos-somo Y. Os ajustes para a κ-exponencial (vermelho) e para a q-exponencial (azul). . . 74

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Lista de Tabelas

TABELA 3.1 – Entropia SBG e Sq com S1 = SBG (Extra´ıdo e modificado de (

TSAL-LIS, 2009)) . . . 40

TABELA 3.2 – Restri¸c˜oes sobre as igualdades. (Extra´ıdo e modificado de (BORGES, 2004)) . . . 44

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Lista de Abreviaturas e Siglas

ADN Acido Desoxirribonucleico´ DNA Deoxyribonucleic Acid RNA Ribonucleic Acid RNAm RNA mensageiro

KIP Kinetical Interaction Principle ECC Código Corretor de Erro MEP Mecânica Estat´ıstica Padrão BG Boltzmann-Gibbs

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Lista de S´ımbolos

κ Parâmetro deformador de kaniadakis q Índice entrópico de Tsallis

φ Fun¸cão Distribui¸cão de Probabilidade Acumulada kB Constante de Boltzmann SBG Entropia de Boltzmann-Gibbs SS Entropia de Shannon Sq Entropia de Tsallis Sκ Entropia de Kaniadakis e{κ} κ-exponencial ln{κ} κ-logaritmo Γ Fun¸cão Gamma

(15)

Sum´

ario

1 Introdu¸

c˜

ao

. . . 14

2 Uma breve Introdu¸

c˜

ao ao DNA

. . . 17

2.1 DNA : De Friedrich Miescher a Watson e Crick . . . 17

2.2 Principais Mecanismos Gen´eticos . . . 19

2.3 O C´odigo Gen´etico . . . 24

2.4 Projeto Genoma Humano . . . 25

3 Mecˆ

anica Estat´ıstica Generalizada

. . . 29

3.1 Mecˆanica Estat´ıstica Padr˜ao . . . 29

3.2 Estat´ıstica de Kaniadakis . . . 31

3.2.1 Fun¸c˜oes κ-exponencial e κ-logaritmo . . . 32

3.2.2 A κ-entropia . . . 35

3.2.3 A κ-´algebra . . . 37

3.3 Estat´ıstica de Tsallis . . . 39

4 Modelo Generalizado e Resultados

. . . 45

4.1 Fun¸c˜oes distribui¸c˜oes de probabilidades . . . 45

4.1.1 Fun¸c˜ao κ-distribui¸c˜ao de probabilidade . . . 45

4.1.2 Fun¸c˜ao q-distribui¸c˜ao de probabilidade . . . 48

4.1.3 Ajuste estat´ıstico e Resultados . . . 50

5 Conclus˜

oes

. . . 76

(16)

Apˆ

endice A – Solu¸

c˜

ao Anal´ıtica da Integral de

(17)

1 Introdu¸

c˜

ao

Nas últimas décadas do século XX e até hoje, parte da comunidade dos F´ısicos passou a se interessar por uma classe de sistemas, conhecidos como sistema complexos, cujas partes interagem de forma não-linear. Uma das propriedades marcantes de tais sistemas é a presen¸ca de leis de escala ou leis de potência. Estas são observadas em diversos contextos, da biologia até o comportamento de bolsas de valores (GLERIA et al., 2004).

Uma maneira de estudar e compreender as leis que regem esses fenômenos, vários pes-quisadores utilizam um conjunto de informa¸cões arquivadas em bancos de dados de acesso público dispon´ıveis na internet. Para constru¸cão do estudo dessa disserta¸cão, utilizamos a plataforma de dados Ensembl (ENSEMBL, 1999–2017) para ter acesso à sequência do DNA humano.

O estudo acerca da molécula de DNA desenvolveu-se largamente desde sua primeira deteçcão por Friedrich Miescher em 1869, um jovem médico su´ı¸co, que teve contribui¸cões memoráveis ao estudo do DNA. Em 1871, publicou possivelmente um dos primeiros artigos que descrevem o DNA (“nucleina”), juntamente com artigos de Felix Hoppe-Seyler e P. Plósz (DAHM, 2005).

Após suas contribui¸cões, várias pesquisas em diferentes áreas do conhecimento foram desenvolvidas afim de compreender o funcionamento, a estrutura espacial, a composi¸cão qu´ımica e entender mais sobre esta molécula. Podemos citar1 _{as contribui¸c˜}_{oes de Walther}

Flemming, um bi´ologo alem˜ao que foi pioneiro no estudo da mitose2 ₍_PAWELETZ_{, 2001); o}

f´ısico Erwin Schrödinger que publicou o livro intitulado “O que é a vida? O aspecto f´ısico da célula viva”3 (SCHR ÖDINGER, 1997) que aborda a teoria da hereditariedade do ponto de vista de um f´ısico; a qu´ımica f´ısica Rosalind Franklin que contribuiu expressivamente para o descobrimento da estrutura da dupla hélice (ELKIN, 2003); o biof´ısico Francis Crick pela descoberta da estrutura do DNA (LAWRENCE, 2016) e o zoologista James Watson

descobridor tamb´em da estrutura molecular do DNA e autor do livro “DNA: o segredo da vida” (WATSON; BERRY, 2005).

1_{As pesquisas envolveram muito mais cientistas, que n˜}_{ao ser˜}_{ao mencionados aqui, mas que}

contribu´ı-ram excepcionalmente.

2_Divis˜_{ao celular em eucariotos.}

(18)

Todas as pesquisas envolvidas e ainda em curso, afim de elucidar o segredo acerca do DNA, revelam o esfor¸co e a contribui¸cão de renomados cientistas na mais diversas áreas indicando assim o caráter interdisciplinar no estudo do DNA. Há recentes trabalhos que podemos destacar: o método de sequenciamento do DNA usando grafeno (SCHNEIDER et al., 2010), o armazenamento de infoma¸cão digital no DNA (ERLICH; ZIELINSKI, 2017) e a distribui¸cão de tamanho para prote´ınas (COSTA, 2016).

A motiva¸cão para esta disserta¸cão teve como base um artigo intitulado “Nonextensive statistical approach to non-coding human DNA” de autoria do Oikonomou (OIKONOMOU et al., 2008) onde este analisa o DNA não codificante de todos os cromossomos humanos usando a distribui¸cão escort derivada da maximiza¸cão da entropia generalizada de Tsallis. ´

E demonstrado que a distribui¸cão de tamanho não codificante apresenta caracter´ısticas de lei de potência que são caracterizadas pelo mesmo valor do parâmetro não extensivo q ∼ 2.2 (µ ∼ 0.8). Conscientes da importância, fizemos um estudo embasado neste artigo, propondo a utiliza¸cão de outra estat´ıstica generalizada, a de G. Kaniadakis, afim de encontrar a distribui¸cão de tamanho para o DNA não codificante e com isso os valores do parâmetro deformador, conhecido pela letra grega κ, no formalismo de Kaniadakis, para todos os cromossomos humanos.

Em 2001 G. Kaniadakis (KANIADAKIS, 2001b; KANIADAKIS, 2001a) desenvolveu um formalismo que é uma generaliza¸cão da Mecânica Estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs. A teoria é direcionada pelo Princ´ıpio de Intera¸cão Cinética ou KIP4, subjacente a uma dinˆ a-mica não-linear em sistemas de part´ıculas e usada para descrever sua evolu¸cão temporal. Em seus mais diversos artigos, Kaniadakis descreve o arcabou¸co e toda a matemática, estrutura algébrica e estat´ıstica do formalismo generalizado. Podemos citar, como apli-ca¸cões, (KANIADAKIS, 2002;KANIADAKIS, 2005) que mostram a κ-estat´ıstica no contexto da relatividade especial, a teoria matemática gerada pela κ-exponencial deformada ( KA-NIADAKIS, 2013), uma aplica¸cão da κ-distribui¸cão generalizada para uma distribui¸cão de tamanho de renda e riqueza (CLEMENTI et al., 2016) e a solu¸cão da lei de composi¸cão da κ-entropia (KANIADAKIS et al., 2017).

Em 1988 Tsallis formulou a então conhecida q-estat´ıstica, no seu artigo “Possible gene-ralization of Boltzmann-Gibbs statistics” (TSALLIS, 1988), utilizando os fundamentos dos conceitos dos multifractais e sua estrutura. Postulou uma nova forma para a entropia, a q-entropia, que é caracterizada por um parâmetro conhecido como ´ındice entrópico q, sendo portanto uma generaliza¸cão da Mecânica Estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs e retor-nando a esta, quando q → 1. Nos mais variados campos, pesquisadores dedicaram (e dedicam) o olhar ao estudo dessa nova formula¸cão e uma lista considerável de trabalhos foram obtidos. Para exemplificar, citamos alguns trabalhos usando a q-estat´ıstica como, por exemplo, o estudo numérico 2-dimensional, preservando área, do mapa da web (RUIZ

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et al., 2017), uma nova representa¸cão da fun¸cão delta de Dirac em d dimensões (SICURO; TSALLIS, 2017), aplicada a turbulência MHD5 ₍_{GONZ ´}_{ALEZ-CASANOVA et al.}_{, 2018).}

Nesse trabalho, os cap´ıtulos estar˜ao dispostos da seguinte forma:

No cap´ıtulo 2, apresentaremos uma breve introdu¸cão ao DNA, destacando os principais cientistas por trás da descoberta da dupla hélice e do código genético, assim como o grande projeto genoma humano.

No cap´ıtulo 3, apresentaremos as duas estat´ısticas generalizadas, Tsallis e Kaniadakis, enfatizaremos suas principais fun¸cões modificadas e um esbo¸co sutil da q-álgebra e da κ-álgebra.

No cap´ıtulo 4, apresentaremos os resultados da análise estat´ıstica e os cálculos da distribui¸cão de probabilidade acumulada nos formalismos de Tsallis e Kaniadakis.

No cap´ıtulo 5, apresentaremos as conclus˜oes e as poss´ıveis extens˜oes.

(20)

2 Uma breve Introdu¸

c˜

ao ao DNA

2.1 DNA : De Friedrich Miescher a Watson e Crick

Ao longo deste cap´ıtulo, introduzimos um pouco da história cronológica do DNA, como também descrevemos sua composi¸cão, estrutura e fun¸cão. Além disto, abordamos o grande projeto de sequenciamento do código genético, o projeto Genoma Humano.

O Ácido Desoxirribonucleico, ADN (em português) ou deoxyribonucleic acid, DNA (em inglês), é descrito como sendo o segredo da vida, como se refere o também ganhador do prêmio Nobel em 1962 (PRIZE, 1962) pela descoberta da dupla hélice, James Watson, em seu livro “DNA: o segredo da vida” (WATSON; BERRY, 2005). Uma defini¸cão a res-peito do DNA o configura como uma molécula de fita dupla composta por quatro bases nitrogenadas chamadas de: Adenina(A), Timina(T), Citosina(C) e Guanina(G), e que contém o código genético de um organismo, ou seja, possui toda a informa¸cão essencial para constru´ı-lo.

Seguindo uma ordem cronológica (OLIVEIRA et al., 2004), o primeiro ind´ıcio, apro-ximadamente, de DNA foi obtido em 1869, quando Friedrich Miescher, um bioqu´ımico su´ı¸co, isolara, a partir de bandagens que continham pus, uma substância que chamara de “nucle´ına”, porque ele a isolou do núcleo das células. Por volta de 1885 o alemão Walter Flemming e o botânico Eduard Strasburger que estudavam células animais, descobriram um objeto em forma de bastão no núcleo das células, as quais denominaram cromossomo (STURTEVANT; LEWIS, 1965–2001). Avan¸cando um pouco mais no tempo, por volta de 1910, Thomas Hunt Morgan e seus colegas da Universidade de Harvard, estudaram o cruzamento das moscas-das-frutas (Drosophila melanogaster), também conhecida como a menina-dos-olhos dos geneticistas, e após analisarem vários cruzamentos, viram que elas se distinguiam umas das outras pela cor dos olhos, tamanho e forma das asas, por uma espécie de recombina¸cão1 _{dos genes a cada nova gera¸c˜}_{ao. Por exemplo, descobriram que}

a cor dos olhos se referia a uma caracter´ıstica vinculada ao sexo pois as moscas fˆemeas que possuem um par de cromossomos X tinham os olhos vermelhos, j´a os machos que possuem um cromossomo X e outro Y, tinham olhos brancos, correlacionando assim, um

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gene responsável pela cor dos olhos e um cromossomo, o X. Os trabalhos de Morgan e seus alunos foram altamente importantes pois contribu´ıram para o estabelecimento da base da genética moderna o que lhe valeu o Prêmio Nobel de Medicina de 1993 (PRIZE, 1933). Somente na década de 1930 foi descoberto que o DNA era composto pelas quatro bases nitrogenadas: A, T, G e C, quando um cientista russo, Phoebus Aaron Theodor Levene, graduado em medicina, descobre em 1931, estudando a estrutura qu´ımica dos ´

acidos nucleicos, que estes são formados por bases nitrogenadas, a¸cúcar e fosfato, e que são pol´ımeros, ou seja, macromoléculas2 _{formadas por unidades menores e repetidas.}

Se-guindo adiante no tempo, um experimento elucidador e de grande importância foi feito em 1944 por Oswald Avery, no Instituto Rockefeller, baseado no trabalho de Fred Griffith, onde trabalharam com um agente bacteriano, o Pneumococcus. Nesse experimento, foram usadas duas cepas bacterianas, designadas “S” (smooth = lisa e virulenta) e “R” (rough = rugosa e inofensiva) (WATSON; BERRY, 2005). A partir da inje¸cão dessas cepas em ratos, chegaram a 3 conclusões bem intrigantes: a primeira cepa injetada R, podemos dizer, inócua, o rato permaneceu vivo; a segunda cepa S, patogênica, após a inje¸cão o rato veio a óbito. O caso peculiar veio quando injetaram ambas as cepas, com o detalhe da cepa S que é virulenta e foi morta por calor (inofensiva), e o rato também veio a óbito. Algo transformou a bactéria R (inofensiva) numa cepa mortal. A conclusão desse experimento marcou profundamente as pesquisas acerca do DNA, uma mudan¸ca gênica havia ocorrido e que o DNA era o princ´ıpio transformador.

Apesar de muito estudo e trabalho ainda pouco se sabia sobre a estrutura espacial do DNA, sobre genes, hereditariedade e muitos outros mistérios acerca da unidade fun-damental da vida. Um outro jovem célebre que teve destaque no âmbito cient´ıfico, foi o austr´ıaco Erwin Chargaff, do College of Physicians and Surgeons da Universidade de Columbia que em 1949 usando a técnica de cromatografia3 ₍_PORTUGUESA_{, 2008–2013)}

verificou que existe uma rela¸cão de proporcionalidade entre as bases, por exemplo, a quan-tidade da base adenina (A) era proporcional à base timina (T) e da mesma forma para guanina (G) e citosina (C). Os trabalhos seguintes, feitos por diversos cientistas, entre eles, Maurice Wilkins, que apresentou em um congresso imagens de difra¸cão de raios X de uma amostra de DNA, ocasião vista por Watson e que impulsionaria sua curiosidade acerca da estrutura espacial da molécula de DNA; como também as contribui¸cões do re-nomado qu´ımico Linus Pauling, do instituto de tecnologia da Califórnia, com seu modelo da alfa-hélice; uma jovem cientista que teve uma contribui¸cão expressiva, a f´ısico-qu´ımica, Rosalind Franklin, que obteve imagens do DNA através de difra¸cão de raios X, dando uma indica¸cão das dimensões da molécula e apresentou seus resultados numa conferência em 1951, como também apresentou num relatório informa¸cões importantes como o diâmetro

2_Mol´_{eculas de grandes dimens˜}_oes.

3 _T´_{ecnica que visa a identifica¸}_c˜_{ao de substˆ}_{ancias ou a separa¸}_c˜_{ao de mol´}_{eculas ou componentes em}

(22)

da espiral, as distâncias entre as bases dispostas paralelamente ao eixo helicoidal e muitas outras medidas (OLIVEIRA et al., 2004). Então, em fevereiro de 1953, Watson e Crick obtiveram êxito na constru¸cão da estrutura da dupla hélice do DNA, obtendo assim a estrutura qu´ımica da molécula; também provaram as regras de emparelhamento dos pares de bases, A com T, e C com G, previsto por Chargaff, segundo as quais, as fitas da dupla hélice avan¸cariam em dire¸cões opostas. Outro aspecto importante foi a complementari-dade das duas cadeias de nucleot´ıdeos, conhecendo a sequência (ordem) das bases de uma cadeia, sabemos automaticamente a sequencia da outra, como, ATGC da fita 1 e TACG da fita 2.

Todos contribu´ıram excepcionalmente para a descoberta do DNA e o modelo de Wat-son e Crick nos mostrou a ideia de como ocorria uma das principais fun¸cões do DNA, a replica¸cão. As duas fitas se abrem mais ou menos como um z´ıper e cada fita é copiada. Esse é o processo em que as mensagens genéticas são copiadas com extrema exatidão quando há duplica¸cão dos cromossomos antes da divisão celular.

2.2 Principais Mecanismos Gen´

eticos

Após a descoberta da estrutura do DNA por Watson e Crick em 1953, os estudos acerca da molécula de DNA evidenciaram sua capacidade de armazenamento da informa¸cão genética e como ocorre o processo de replica¸cão que abriu um novo mundo de descobertas. O ácido desoxirribonucleico consiste de duas cadeias longas e antiparalelas composta pelo agrupamento de nucleot´ıdeos Fig. (2.1).

Essas cadeias também podem ser chamadas de fita de DNA ou cadeia de DNA. Esses nucleot´ıdeos agrupados ao longo da fita são formados por um ou mais grupos fosfato, a¸cucares com cinco carbonos e uma base (A, T, G ou C) e a liga¸cão que une as duas fitas de DNA são formadas por liga¸cões de hidrogênio entre os pares de base. Os nucleot´ıdeos também formam dois grupos distintos chamados de pirimidinas, formadas pelas bases timina, uracila e citosina, e purinas, formado por guanina e adenina.

Com rela¸cão à estrutura tridimensional do DNA, as bases qu´ımicas das duas fitas de DNA se localizam no interior e são unidas por liga¸cões de hidrogênio. A estrutura principal, formada por a¸cúcar-fosfato, encontra-se na região externa. A forma qu´ımica tem uma grande contribui¸cão, assim como a estrutura das duas cadeias de DNA no formato de dupla hélice. O pareamento das bases acontece de forma não aleatória, ou seja, A sempre vai parear com T, e G com C. Um estudo muito importante feito por pesquisadores brasileiros (BRANDAO et al., 2015) mostra que certas sequências de DNA seguem um padrão. Esse estudo mostrou a rela¸cão matemática entre um código numérico e a sequência de DNA e as conhecidas bases qu´ımicas, adenina (A), citosina (C), guanina (G) e timina

(23)

FIGURA 2.1 – O nucleot´ıdeo é formado por uma base, um grupo fosfato e um a¸cúcar. A estrutura formada por uma base e um a¸cúcar é chamado nucleos´ıdeo, onde o a¸cúcar componente do DNA é uma desoxirribose e do RNA é a ribose (Extra´ıdo e modificado de (PRAY, 2008) ).

(T) seguem uma lógica numérica. O grupo brasileiro usou um código já desenvolvido, chamado código corretor de erro (sigla ECC) que é uma ferramenta computacional e foi utilizada para investigar o código genético. Segundo o estudo, existem semelhan¸cas entre a comunica¸cão digital e a biológica e esses modelos matemáticos que tentam descrever sistemas biológicos fornecem abordagens essenciais para o estudo de muta¸cões.

Uma das fun¸cões mais importantes do DNA está relacionada aos genes, a informa¸cão que especifica as prote´ınas dos organismos. O DNA dos eucariotos, ou seja, células que possuem um núcleo envolvido pela carioteca4, diferentemente das células procariotas que tem uma estrutura mais simples e não possuem núcleo, é dividido em cromossomos, que são estruturas compostas por DNA e prote´ınas. A espécie humana possui 46 cromossomos em 23 pares, 22 pares comuns, cromossomos não sexuais, mais dois cromossomos sexuais, X ou Y, sendo, portanto, do sexo feminino dois cromossomos X e masculino para um cromossomo X e outro Y. Cada cromossomo na célula eucariótica consiste de uma única molécula de DNA altamente enovelado, possuindo assim uma estrutura muito compacta. Os organismos vivos tem uma capacidade incrivelmente precisa de duplicar o seu DNA antes da divisão celular, processo pelo qual a célula-mãe se divide através da meiose ou mitose transferindo a informa¸cão genética à espécie. Esse mecanismo, chamado de repli-ca¸cão, ocorre através de um DNA-molde pelo qual a sequência de nucleot´ıdeos das duas fitas separadas são copiados em sequências complementares de DNA. Como o nucleot´ıdeo

(24)

A forma um par apenas com T e C com G, nesse processo cada fita da dupla hélice serve como molde para a produ¸cão de sua fita complementar através do pareamento das bases. Para iniciar a replica¸cão, a dupla hélice tem que ser aberta. Para que isso ocorra as a¸cões de prote´ınas iniciadoras especiais são realizadas, fazendo com que as liga¸cões que unem as duas fitam se rompam.

Os mecanismos básicos da replica¸cão são fundamentalmente semelhantes entre os or-ganismos procariotos (MARIANS, 1992) e eucariotos (BELL; DUTTA, 2002). Esse processo é altamente complexo pois envolve um número alto de replica¸cões sucessivas e ao mesmo tempo, visto a enorme quantidade de células em um ser humano, por exemplo, envolvem diversas enzimas e “sentido” de replica¸cão. O z´ıper de replica¸cão, ou forquilha, é a forma como é feita a replica¸cão nos organismos. Ele apresenta uma estrutura em forma de Y onde a DNA-polimerase sintetiza o DNA das duas fitas novas Fig. (2.2).

FIGURA 2.2 – Estrutura de uma forquilha de replica¸c˜ao de DNA. (Extra´ıdo de (SANTOS, 2010 - Blog))

A natureza antiparalela do DNA é um empecilho para a replica¸cão simultânea das cadeias, ao passo que, por um caráter universal a extremidade 3’ inicia a replica¸cão de uma das fitas, a chamada fita-l´ıder. A outra fita passa por um processo retardatário, a DNA-polimerase se desloca em dire¸cão oposta à forquilha de replica¸cão. Com isso à medida que a fita molde tardia é exposta, a s´ıntese de DNA é feita em segmentos, iniciada e continuada até alcan¸car a extremidade 5’. Esses fragmentos de DNA recém sintetizados são chamados fragmentos de Okasaki.

Um outro grande mecanismo diz respeito ao reparo do DNA, que serve para corrigir as falhas que eventualmente ocorrem continuamente no DNA. Alguns erros podem ocorrer ao longo da cadeia, por exemplo, durante a replica¸cão, como um pareamento errado. Há pos-sibilidade de reparo através de enzimas restauradoras e até mesmo da DNA-polimerase

(25)

que corrige um erro de pareamento ainda durante a replica¸cão. Notadamente, pesqui-sas sobre muta¸cões (modifica¸cões permanentes) e erros buscam respostas de como isso acontece e de que maneira é desfeito. As células do nosso corpo dependem do bom funci-onamento dos nossos genes, cada gene está exposto a essas muta¸cões ao longo das cadeias e s´ıtios do DNA que modificam as prote´ınas. A técnica de reparo do DNA pode estar relacionada com o surgimento de cânceres (GAO et al., 2013), vários estudos estão cada vez mais realistas e promissores para uma poss´ıvel cura.

O envelhecimento, um processo natural de todo ser vivo, que permanece sem respos-tas e retardamento, possui inúmeras teorias (FRIES; PEREIRA, 2011) sobre qual processo (errôneo) desencadeia-o. Muitas delas mencionam os erros no processo de replica¸cão, o quais são repassados adiante sem sua devida corre¸cão. Porém, vale ressaltar que uma mutabilidade em n´ıveis m´ınimos possuem um papel importante ao longo das gera¸cões, que é através de modifica¸cões que evolu´ımos e a informa¸cão genética é perpetuada.

O mecanismo seguinte, contém o RNA (do inglês ribonucleic acid ), uma molécula importante para a s´ıntese de prote´ınas nas células. O RNA possui uma estrutura helicoidal de fita única, constitu´ıdo de uma pentose, fosfato e difere do DNA nas bases nitrogenadas, onde a base timina (T) do DNA é substitu´ıda por outra base, a uracila (U). A produ¸cão de prote´ınas em quase todos os organismos ocorre através do processo de transcri¸cão e tradu¸cão. Em 1977, dois grandes cientistas mudaram a visão que se tinha sobre como o gene era disposto no DNA. Até então, descrevia-se os genes como cont´ınuos. As pesquisas de Richard J. Roberts e Phillip A. Sharp, de forma independente em diversos artigos (CHOW et al., 1977; BERGET et al., 1997; SHARP, 1981; SCHONDORF et al., 2003), em bactérias e v´ırus bacterianos mostraram que os genes eram descont´ınuos, ou seja, um gene está disposto no DNA em segmentos espa¸cados, com isso, descobriram um mecanismo importante para a expressão gênica, o splicing5_{, levando-os ent˜}_{ao ao Nobel (}_PRIZE_{, 1993)}

de fisiologia em 1993 por suas descobertas. Esse aparato natural ´e, muitas vezes, descrito como dogma central da biologia molecular: DNA, RNA, prote´ına Fig. (2.3).

O conceito antes estabelecido, que possui um mecanismo que abrange mais o escopo bacteriano, é um pouco semelhante ao que ocorre na replica¸cão do DNA, a cópia de uma das fitas do DNA, o RNA mensageiro, catalizadas por enzimas que ligam os nucleot´ıdeos e formam a fita molde, que é o responsável pela produ¸cão de prote´ınas. As enzimas que participam da transcri¸cão são denominadas RNA-polimerase. Os núcleos eucarióticos tem três: RNA-polimerase I, RNA-polimerase II e RNA-polimerase III. Diferentemente das bactérias, os organismos eucarióticos, possuem esse mesmo mecanismo de transcri¸cão e tradu¸cão, que remete a ideia central como sendo a produ¸cão de prote´ınas, mas com uma particularidade que ocorre durante o processamento do RNA mensageiro. O splicing retira os fragmentos muito longos de sequências não codificadoras, ou ´ıntrons, ou seja, são

(26)

separados da parte do gene que tem a fun¸cão de gerar prote´ınas, os chamados éxons, que são peda¸cos com um tamanho relativamente pequeno.

FIGURA 2.3 – O dogma central da biologia molecular : DNA, RNA e prote´ına (Extra´ıdo e modificado de (WIKIBOOKS, 2015)).

Somente após ter ocorrido o splicing é que temos então a fita de RNA mensageiro (RNAm) que posteriormente será efetuada a tradu¸cão, que por meio de um código trans-forma a fita de RNAm em aminoácidos que se ligam uns aos outros, formando a matéria prima para a forma¸cão de prote´ınas. Esse código é chamado de código genético (ALBERTS et al., 2017).

O splicing do RNA remove as sequências de ´ıntrons de pré-RNAs recentemente trans-critos e através do mecanismo de tradu¸cão, há então, a jun¸cão dos éxons para a forma¸cão de prote´ına. Descoberta em 1977 essa caracter´ıstica está presente nos genes dos eucari´ oti-cos diferentemente do que acontece com genes bacterianos que consistem em uma por¸cão cont´ınua de DNA codificador diretamente transcrita em mRNA. Como é visto na Fig. (2.4), um trecho do DNA, o gene, é disposto em diversos fragmentos denominados éxons, intercalados por trechos de DNA não codificante, os ´ıntrons.

Durante o processo de transcri¸cão que transforma DNA em RNA, tanto os éxons quanto os ´ıntrons são transcritos em RNA, ou seja, novamente temos uma fita de frag-mentos composta por éxons intercalados por ´ıntrons. Após a forma¸cão da fita de RNA ocorre então o splicing e cada sequência de ´ıntron é removida formando a fita de mRNA que é formada pela jun¸cão dos éxons que formaram o produto final que são as prote´ınas.

(27)

FIGURA 2.4 – O Splicing e a remo¸cão das sequências não codificadoras, os ´ıntrons. (Extra´ıdo e modificado de (GUTTMACHER; COLLINS, 2002)).

2.3 O C´

odigo Gen´

etico

Esse complexo elaborado por sequências compostas de quatro “letras”, A, T, G, C no DNA e A, U, G, C no RNA, obedece a uma regra (lógica) universal, com poucas exce¸cões, entre os organismos, que é relativamente simples, visto tal complexidade do ser humano, por exemplo. O estudo acerca do código genético remete a grande cientistas como Georg Gamow (GAMOW, 1954), que tentaram estabelecer regras que explicassem tal fenômeno. A regra por trás da constru¸cão da sequência correta das bases é a permuta¸cão das bases em forma de tripletos, pois tinha que estar de acordo com o número de aminoácidos conhecidos. Segundo a regra, a combina¸cão das quatro bases organizadas de três em três, nos daria um valor para 64 combina¸cões, um número mais do que suficiente para abranger os 20 aminoácidos:

43 = 64

Para uma combina¸cão com repeti¸cão para as bases A, C, G e U temos 64 combina¸cões diferentes:

AAA-AAC-AAG-AAU-ACA-ACC-ACG-ACU-AGA-AGC-AGG-AGU-AUA-AUC-AUG-AUU

CAA-CAC-CAG-CAG-CCA-CCC-CCG-CCU-CGA-CGC-CGG-CGU-CUA-CUC-CUG-CUU

GAA-GAC-GAG-GAU-GCA-GCC-GCG-GCU-GGA-GGC-GGG-GGU-GUA-GUC-GUG-GUU

(28)

A partir da descoberta dos tripletos, que são conhecido por códons, o problema a ser resolvido era como a sequência de três bases era definida, ou seja, qual códon iniciava e terminava a sequência de aminoácidos e quais códons descreviam o mesmo aminoácido (propriedade de degenerescência). Para obter uma leitura confiável e a organiza¸cão das bases em tripletos, existe códons espec´ıficos que realizam o processo de in´ıcio e término da tradu¸cão no RNAm Fig. (2.5). Foi descoberto que o códon AUG inicia a tradu¸cão e ele representa a metionina, já os códons de parada são: UAA, UAG e UGA (WATSON et al., 2015).

FIGURA 2.5 – Todos os códons e seus respectivos aminoácidos. O tripleto AUG é um códon de in´ıcio que codifica a Metionina (Extra´ıdo de (EDUCA ¸C ÃO, 2011)).

2.4 Projeto Genoma Humano

A descoberta da sequência completa de DNA do genoma humano em 2004, nos mos-trou em detalhes como os genes estão dispostos nos cromossomos. O cromossomo, por exemplo, se for analisado detalhadamente, retirando-se uma pequena parte da sua estru-tura f´ısica, temos uma visão de uma certa quantidade de genes distribu´ıdo nessa pequena fra¸cão. Se formos mais adiante nessa pequena parte retirada do cromossomo, vemos al-guns poucos genes presentes, bem menos do que o anterior. E seguindo adiante, cada vez mais adentrando a estrutura, chegamos a parte do gene que contém éxons e ´ıntrons. Ao longo do gene tem-se regiões codificadoras de prote´ınas, os éxons, e regiões ligadas aos éxons que não possui, até o momento, uma fun¸cão espec´ıfica, os ´ıntrons. Através da

(29)

expressão gênica, temos a conclusão da fita de RNA que será transformada em prote´ına. O genoma humano possui caracter´ısticas interessantes relacionadas ao tamanho médio dos genes. Uma sequência codificadora de prote´ınas tem aproximadamente 1000 pares de nucleot´ıdeos, já as maiores sequências que existem no DNA são segmentos não codificantes. Vemos então, que o gene é uma sequência que varia em éxons e ´ıntrons ao longo da sua cadeia de DNA. Outro aspecto importante é com rela¸cão às partes que codificam prote´ınas que são muito pequenas.

Além dos segmentos chamados éxon e ´ıntron, também temos localizados no gene as sequências de DNA reguladoras. Essas partes se localizam no in´ıcio e no final das sequˆ en-cias codificadoras. Sua fun¸cão é essencialmente importante para que ocorra o mecanismo de tradu¸cão, fundamental para gerar um prote´ına.

Um dos primeiros relatórios acerca do projeto genoma humano foi em 1998. Ao longo de muitos anos e de grandes colabora¸cões intelectuais e financeiras, o primeiro esbo¸co do genoma foi publicado em 2001 (VENTER et al., 2001). A conclusão do projeto aconteceu em 2003 junto com o aniversário de cinquenta anos da descoberta da estrutura em hélice do DNA por Watson e Crick. O grande estudo destacava dois grandes mapas que seriam usados para a descoberta do genoma (CHAUTARD-FREIRE-MAIA, 1995). Os mapas são processos pelos quais se sabiam a posi¸cão dos genes no cromossomo com a melhor precisão poss´ıvel e o sequenciamento do DNA de cada cromossomo. O mapa genético indica a distância entre os genes através dos marcos gênicos no cromossomos, uma certa distância relativa dos genes e o mapa f´ısico nos dá a informa¸cão da posi¸cão absoluta do gene no cromossomo.

Um projeto cient´ıfico dessa magnitude possui muitas empresas e universidades traba-lhando em conjunto, assim como diferentes pa´ıses envolvidos para um só propósito. O desenvolvimento do projeto genoma humano também trouxe uma forte discussão acerta da ética e questões relacionadas, preocupadas com toda a informa¸cão dispon´ıvel comerci-almente e também dispon´ıvel ao grande público. Um fato curioso, relata a descoberta do junk DNA. Muitos cientistas se recusaram a sequenciar pois não viam propósito algum. A técnica empregada e de fácil obten¸cão dos genes, sem a necessidade do sequenciamento do junk DNA, utiliza a tecnologia da transcriptase reversa.

A ideia de sequenciamento resulta na descoberta das sequências das letras A, T, G e C. É muito importante notar a evolu¸cão e o empenho para o desenvolvimento de técnicas capazes de fornecer o sequenciamento correto. Dentre as mais diversas técnicas utilizadas, mencionaremos a mais importante, o seu desenvolvimento e os cientistas por trás desse método. O primeiro método utilizado no projeto genoma humano foi desenvolvido por Frederick Sanger que recebeu o Nobel de 1958 por seus trabalhos com prote´ınas que culminou na descoberta da composi¸cão da insulina, importante hormônio que regula o

(30)

n´ıvel de a¸cúcar no sangue (PRIZE, 1958). Aproximadamente vinte e dois anos depois ele recebeu novamente o Nobel de Qu´ımica juntamente com Walter Gilbert e Paul Berg por desenvolver um método de sequenciar o genoma humano, conhecido na literatura como sequenciamento Sanger. O método consiste, basicamente, na produ¸cão de várias cópias de uma parte espec´ıfica do DNA. Uma das caracter´ısticas desse método é o uso da enzima que faz o processo de cópia naturalmente no corpo humano, a DNA polimerase. Alem da DNA polimerase os componentes necessários para que o procedimento ocorra são a utiliza¸cão de um primer, que é um peda¸co do DNA de fita simples, e pares de bases “modificados” (ddATP, ddTTP, ddCTP e ddGTP) são algumas bases chamadas “didesoxi”

ou terminadores de cadeia Fig. (2.6).

FIGURA 2.6 – Estrutura qu´ımica dos marcadores de nucleot´ıdeos. O dioxinucleot´ıdeo e o dideoxinucleot´ıdeo s˜ao praticamente iguais. A modifica¸c˜ao ocorre no grupo hidroxila no carbono 3’, ausente no dideoxinucleot´ıdeo (ddNTP) (Extra´ıdo e modificado de (RYE et al., 2017)).

O sequenciamento da fita de DNA ocorre com a mistura de DNA polimerase, nucleot´ı-deos normais e os dideoxinucleot´ınucleot´ı-deos. A fita que está sendo produzida como complemento da fita-molde tem então duas formas de ser produzida, com a adesão de uma base normal T. A DNA polimerase irá adicionar esse nucleot´ıdeo e outros nucleot´ıdeos normais à ca-deia até que seja adicionado um dideóxinucleot´ıdeo. A parte interessante vem da ausência do grupo hidroxila que após um ddTTp adicionado (dideoxinucleot´ıdeo T), por exemplo, nenhum outro nucleot´ıdeo será adicionado à cadeia e há então a conclusão para uma das fitas novas. Esse método, descrito acima, é então repetido muitas e muitas vezes até obter-mos a nova sequência, que é garantido sempre que um dideóxinucleot´ıdeo for adicionado. A medida em que as novas fitas são fabricadas, temos um arranjo de cadeias de tamanhos variáveis com até um didesoxi de comprimento. Essa fita é lida pelas diferentes cores das

(31)

bases no detector.

O Projeto Genoma Humano foi uma extraordinária experiência cient´ıfica que após quase vinte anos de pesquisa conseguiu seu objetivo inicial que era sequenciar, aproxi-madamente, os 3 bilhões de pares de bases do genoma humano. Além de chegar ao objetivo desejado abriu-se um mundo para novas pesquisas genéticas, para o advento da biotecnologia e a curiosa descoberta de que cada ser humano possui seu DNA próprio, completamente individual embora com uma diferen¸ca m´ınima entre os demais. Além de feitos memoráveis do campo da tecnologia no sequenciamento, foi poss´ıvel sequenciar o ge-noma de plantas e animais com maior agilidade, encontrando vest´ıgios da evolu¸cão através de semelhan¸cas e diferen¸cas entre diversos genomas de seres vivos, encontrar causadores de doen¸cas genéticas, ou seja, as muta¸cões, e ainda mais complexo e especial, a cura para tais doen¸cas.

(32)

3 Mecˆ

anica Estat´ıstica Generalizada

A Mecânica Estat´ıstica de Equil´ıbrio, formulada em termos da Estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG), é uma teoria bem estabelecida e que possui uma vasta funcionalidade quando aplicada a problemas de F´ısica, além de outras áreas da Ciência. No cerne da formula¸cão da Termodinâmica, em meados do século XIX, e da Mecânica Estat´ıstica Padrão (MEP), está o conceito fundamental de entropia (WEHRL, 1978).

Podemos considerar a formula¸cão do conceito de entropia como uma das grandes rea-liza¸cões da Ciência. Permitiu formar o corpo teórico da Termodinâmica de Equil´ıbrio e de processos irrevers´ıveis. Constitui a pedra fundamental da Mecânica Estat´ıstica e também exerce papel fundamental na Teoria de Informa¸cão. Infelizmente, para sistemas fora do equil´ıbrio, que apresentam intera¸cão de longo alcance ou correla¸cões temporais de longa dura¸cão, por exemplo, o formalismo de BG é inadequado para tratar tais sistemas. Por esta razão, algumas propostas de generaliza¸cão (NAUDTS, 2011) do conceito de entropia tem surgido nas últimas décadas (FILHO, 2011).

3.1 Mecˆ

anica Estat´ıstica Padr˜

ao

A Termodinâmica é uma teoria fenomenológica que sistematiza as leis emp´ıricas sobre o comportamento térmico dos corpos macroscópicos. Já a visão da Mecânica Estat´ıstica, tem como objetivo tentar explicar as leis e os resultados da termodinâmica através da in-forma¸cão microscópica, ou seja, levando em considera¸cão o comportamento de um número imenso de part´ıculas que constituem os corpos macroscópicos (SALINAS, 2008).

A Segunda Lei da Termodinˆamica que enuncia o conceito de entropia, foi introduzida em meados de 1865 por Rudolf Clausius (BASSALO et al., 1999; FILHO, 2011):

4S ≥ 0 (3.1)

onde o sinal de igualdade indica processos revers´ıveis e a desigualdade processos irrever-s´ıveis.

(33)

processos f´ısicos. Tomemos como exemplo, um sistema que vai de um estado inicial I a um estado final F, enquanto troca matéria e energia com a vizinhan¸ca. Para processos revers´ıveis o modo inverso (F → I) pode ocorrer, mas o mesmo não ocorre para processos irrevers´ıveis e, caso ocorra, as quantidades de matéria, calor e trabalho não se compensarão (BORGES, 1999).

Em 1870, aproximadamente, o f´ısico austr´ıaco Ludwig Boltzmann (BOLTZMANN, 1872;

BOLTZMANN, 1970) introduziu formalmente o racioc´ınio probabil´ıstico, já então esbo¸cado pelo matemático e f´ısico James Clerk Maxwell1_{, para a Segunda Lei da Termodinˆ}_amica.

Nesse modelo, Boltzmann relaciona uma propriedade macroscópica com uma informa¸cão microscópica para um sistema com energia, volume e número de part´ıculas constantes. Se o espa¸co de fase deste sistema macroscópico for constitu´ıdo por W poss´ıveis estados microscópicos, sua entropia é definida por

S = k ln(W ) (3.2)

onde k é uma constante positiva. Esta rela¸cão é muitas vezes interpretada como sendo uma medida da desordem do sistema.

Em 1902, o f´ısico norte americano Josiah Williard Gibbs (GIBBS, 1948) apresentou uma nova abordagem que ficou conhecida como teoria dos ensembles, na qual Gibbs lan¸cou a base da mecˆanica estat´ıstica usual e a forma mais geral da entropia de Boltzmann-Gibbs ´e: SBG = −k W X i=1 piln pi (3.3)

onde pi ´e a probabilidade do sistema estar no microestado i. Na teoria estat´ıstica de

Boltzmann-Gibbs o importante é que as propriedades macroscópicas são médias das pro-priedades microscópicas ponderadas pelas probabilidades pi. Em particular, sua

otimiza-¸cão sob restri¸cões apropriadas para um sistema em equil´ıbrio térmico e temperatura T, o célebre fator de BG, é dado por

pi = e−βEi ZBG (3.4) com β ≡ 1/kT (3.5)

(34)

e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, ZBG≡ W X j e−βEj_. _(3.6)

Podemos explanar também, no contexto da Teoria de Informa¸cão, a entropia de Shan-non, aqui descrita por SS, também conhecida como uma medida da informa¸cão, proposta

em meados de 1949. Em uma mensagem, a média da falta de informa¸cão é (WEHRL, 1991)

SS = −

X

piln pi (3.7)

com pi ≥ 0 e P pi = 1.

Ao longo deste cap´ıtulo vamos abordar duas estat´ısticas generalizadas, em particu-lar, Tsallis e Kaniadakis, explicitando as expressões modificadas nos dois formalismos, que variam através de parâmetros, comumente chamados de parâmetros deformadores, que podem variar dentro de um determinado intervalo, enfatizando mais a estat´ıstica de Kaniadakis. Essas estat´ısticas generalizadas potencialmente descrevem problemas envol-vendo intera¸cões de longo alcance, fractalidade e efeitos relativ´ısticos.

3.2 Estat´ıstica de Kaniadakis

Em 2001, Giorgio Kaniadakis apresentou uma nova proposta à Mecânica Estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann-Gibbs (KANIADAKIS, 2001b), em que uma generaliza¸cão é expressa através da varia¸cão de um parâmetro deformador, κ. A estat´ıstica generalizada de ka-niadakis obedece ao Princ´ıpio de Intera¸cão Cinética ou Kinetical Interaction Principle (KIP ), subjacente à cinética não-linear em sistemas de part´ıculas, independentemente da abordagem utilizada para descrever sua evolu¸cão temporal. Este princ´ıpio impõe tam-bém a forma da entropia generalizada associada ao sistema e permite obter a distribui¸cão estat´ıstica dessas part´ıculas2 (KANIADAKIS, 2001a). Em seu artigo de 2002, “Statistical mechanics in the context of special relativity” (KANIADAKIS, 2002), Kaniadakis apresentou

de forma breve e consistente os fundamentos da κ-álgebra. A estat´ıstica κ-deformada pode ser usada para explicar uma classe grande de fenômenos observados que sejam descritos por fun¸cões distribui¸cões que apresentem caudas de leis de potência.

2_N˜_{ao abordaremos este princ´ıpio nesta disserta¸}_c˜_{ao. Para maiores detalhes, consultar referˆ}_{encias (}

(35)

3.2.1 Fun¸

c˜

oes κ-exponencial e κ-logaritmo

Para introduzir as bases da estat´ıstica de Kaniadakis, consideremos a exponencial deformada, indicada por exp{κ}(x) e que obedece a seguinte rela¸c˜ao de simetria:

exp{κ}(x)exp{κ}(−x) = 1 (3.8)

em que a fun¸c˜ao exponencial deformada pode ser escrita, dependendo do parˆametro de-formador κ, como segue:

exp{κ}(x) = [

p

1 + gκ(x)2+ gκ(x)]1/κ (3.9)

Na Eq. (3.9), o gerador gκ(x) da exponencial deformada é uma fun¸cão arbitrária

dependente do parˆametro κ e que obedece as seguintes condi¸c˜oes:

1. gκ(x) ∈ R; 2. gκ(−x) = −gκ(x); 3. dgκ(x) dx > 0; 4. gκ(±∞) = ±∞; 5. gκ(x) ≈ x, quando x → 0.

Podemos, agora, definir a exponencial deformada simplesmente como κ-exponencial e de (3.9), se definirmos o gerador gκ = κx, vemos que

exp{κ}(x) =

√

1 + κ2_x2_{+ κx}1/κ _(3.10)

ou, equivalentemente, por

exp{κ}(x) = exp

1

κarcsinh(κx)

(3.11)

Nas Figs. (3.1) e (3.2), temos o gr´afico da exp{κ}(x) para os valores de κ = 1, κ = 0.70

e κ = 0 e exp{κ}(−x) para v´arios valores de κ, respectivamente. ´E visto que, quando

κ → 0 retomamos a exponencial no formalismo padr˜ao, ou seja, lim

κ→0 exp{κ}(x) = exp(x)

e que ∀x ∈ R isto resulta exp{κ}(x) ∈ R+. Podemos mostrar ainda que, exp{κ}(0) = 1 e

se verifica uma simetria em rela¸cão ao parâmetro de deforma¸cão exp{−κ}(x) = exp{κ}(x),

considerando simplesmente que κ ∈ R+, temos também que a κ-exponencial é uma fun¸cão crescente d[exp{κ}(x)]/dx > 0, ∀κ ∈ R.

(36)

FIGURA 3.1 – Gr´afico que mostra o comportamento da exp{κ}(x) para diversos valores

de κ.

FIGURA 3.2 – Gr´afico que mostra o comportamento da exp{κ}(−x) para diversos valores

(37)

Uma propriedade relevante da exp{κ}(x) ´e que, ∀a ∈ R,

exp{κ}(ax) = [exp{aκ}(x)]a (3.12)

Outra propriedade de interesse da κ-exponencial, é o comportamento assintótico tipo lei de potência, como é visto

exp{κ}(x) ∼

x→±∞(2|κx|) ±1/|κ|

. (3.13)

Vamos definir agora uma fun¸cão também muito importante nesse formalismo, que é a inversa da κ-exponencial, o logaritmo deformado, ou melhor, o κ-logaritmo. Podemos defini-lo em fun¸cão do gerador gκ como:

ln{κ}(x) = gκ−1

xκ_{− x}−κ

2

(3.14) onde g_κ−1 ´e a inversa de gκ. Assim, o κ-logaritmo pode ser melhor definido por

ln{κ}(x) =

xκ_{− x}−κ

2κ

. (3.15)

A Fig. (3.3) mostra o ln{κ}(x) para κ = 1, κ = 0.65 e κ = 0.

FIGURA 3.3 – Gr´afico que mostra o comportamento do κ-logaritmo para diversos valores de κ. Extra´ıdo de (KANIADAKIS, 2013)

(38)

Podemos admitir ent˜ao, a partir de (3.15) a seguinte propriedade:

ln{κ}(xy) = ln{κ}(x) κ

⊕ ln{κ}(y) (3.16)

Al´em disso, quando κ → 0, lim

κ→0 ln{κ}(x) = ln(x), recuperando o logaritmo natural.

Outras propriedade relevantes, como:

1. ln{κ}(xm) = m ln{mx}(x);

2. ln{−κ}(x) = ln{κ}(x) ;

3. ln{κ}(1) = 0.

O κ-logaritmo possui um comportamento assint´otico como segue abaixo:

ln{κ}(x) ∼ x→+∞|2κ| −1 x|κ| → +∞ (3.17) e ln{κ}(x) ∼ x→0+ −|κ| −1 x−|κ| → −∞. (3.18)

3.2.2 A κ-entropia

Nesta se¸cão, vamos abordar uma nova distribui¸cão estat´ıstica, vinda da formula¸cão de Kaniadakis, reformulada através do KIP. Vamos considerar a densidade de entropia:

σ{κ}(f ) =

Z

df ln{κ}(αf ) (3.19)

onde α é uma constante real positiva, f é a fun¸cão de distribui¸cão e o ln{κ}é o κ-logaritimo

definido na Eq. (3.15). Na Eq. (3.19), para κ → 0, retomamos a densidade de entropia padrão de Boltzmann-Gibbs-Shannon com α = 1. A conexão com o KIP é realizada através de ln κ(f ) = ln{κ}(αf ) (SOUZA, 2016). Pela defini¸cão de um funcional entrópico3,

a entropia da κ-estat´ıstica deformada ´e definida como:

Sκ =

Z

dnvσ{κ}(f ) (3.20)

e assume a forma(KANIADAKIS, 2001b),

Sκ = −1 2κ Z dnv ακ 1 + κp 1+κ₋ α −κ 1 − κp 1−κ (3.21)

3_{O funcional aqui mencionado, est´}_{a definido em (}

(39)

e reduz-se a entropia padrão de Boltzmann-Gibbs-Shannon se o parâmetro de deforma¸cão se aproximar de zero. Vamos analisar o valor da constante α.

Primeira escolha de α: Vamos discutir o caso para α = 1. A distribui¸cão estat´ıstica estacionária correspondente a entropia Sκ é obtida maximizando o funcional H4:

H = S − β(E − µN ) (3.22) em que E ´e a energia total do sistema, assim,

δ Sκ+ Z dnv(βµf − βU f ) = 0 (3.23) Portanto, f = 1 αexp{κ}(−); = β(U − µ) (3.24) que para κ → 0, temos a distribui¸c˜ao estat´ıstica cl´assica.

Segunda escolha de α: Podemos tomar α = Z e então a distribui¸cão estat´ıstica é dada por

f = 1

Zexp{κ}(−βU ) (3.25) com Z =R dnvexp{κ}(−βU ).

Na express˜ao de f, a Eq. (3.25), depende do potencial U e, para o caso em que U = mv2_{/2, temos a distribui¸c˜}_{ao estat´ıstica para part´ıculas Brownianas,}

f = βm|κ| π n/2 1 + 1 2n|κ| Γ(1/2|κ| + n/4) Γ(1/2|κ| − n/4)exp{κ} −β 2mv 2 , (3.26) onde n = 1, 2, 3 é a dimensão do espa¸co de velocidades e |κ| < 2/n. A distribui¸cão (3.26) se reduz à Maxwell-Boltzmann padrão

f = (βm/2π)n/2exp(−βmv2/2) (3.27) se o parˆametro deformador κ se aproximar de zero.

(40)

3.2.3 A κ-´

algebra

Vamos introduzir uma classe de estruturas deformadas pelo parˆametro κ e algumas propriedades matem´aticas (KANIADAKIS, 2002).

Para uma fun¸cão real x{κ} de uma variável real x que depende de um parâmetro real κ

definida em termos do gerador gκ(x), indicado na se¸c˜ao (3.2.1), temos a seguinte defini¸c˜ao:

x{κ}=

1

κarcsinh[gκ(x)] (3.28) A fun¸c˜ao definida acima, possui propriedades que descendem diretamente do gerador gκ, 1. x{κ} ∈ R; 2. (−x){κ} = −x{κ}; 3. dx{κ}/dx > 0; 4. (±∞){κ} = ±∞; 5. x{κ} ≈ x, para x → 0 e 0{κ}= 0; 6. x{κ} ≈ x, para κ → 0 e x0 = x; 7. x{−κ} = x{κ}.

Podemos definir tamb´em a inversa de (3.28),

x{κ} = 1 κg

−1

(sinh κx). (3.29)

1. ´Algebra deformada

Proposi¸cão 1. A lei de composi¸cão ⊕ definido através deκ

(x⊕ y) = xκ {κ}+ y{κ} (3.30)

que reduz-se à soma ordinária quando κ → 0, x⊕ y = x + y.0 Proposi¸cão 2. A lei de composi¸cão ⊗ definido através deκ

(x⊗ y) = xκ {κ}· y{κ} (3.31)

(41)

Proposi¸c˜ao 3. A soma deformada ⊕ e o produtoκ ⊗ obedecem uma lei distributivaκ

z⊗ (xκ ⊕ y) = (zκ ⊗ x)κ ⊕ (zκ ⊗ y)κ (3.32) e a estrutura alg´_{ebrica (R,}⊕,κ ⊗) formam um grupo Abelianoκ 5_.

Proposi¸c˜ao 4. A fun¸c˜ao x{κ} tem as duas propriedade a seguir:

x{κ}⊕ yκ {κ} = (x + y){κ} (3.33)

x{κ}⊗ yκ {κ}= (xy){κ} (3.34) Proposi¸c˜ao 5. A lei de pseudo-distribui¸c˜ao

z · (x⊕ y) = (z · x)κ κ z⊕ (z · y) (3.35) 2. Soma e produto de fun¸c˜oes

Vamos considerar um conjunto de fun¸cões reais não-negativas D = {f, h, w...}. Proposi¸cão 6. A lei de composi¸cão ⊗

κ definida atrav´es de

f ⊗

κ

h = exp{κ}(ln{κ}f + ln{κ}h), (3.36)

que reduz-se ao produto ordin´ario quando κ → 0, f ⊗

0

h = f · h. Proposi¸c˜ao 7. A estrutura alg´ebrica (D, ⊗

κ) formam um mon´oide Abeliano.

Prova. De fato, o elemento 0 n˜ao admite um elemento inverso.

Al´em disso, assim como no caso do produto ordin´ario, ele resulta em f ⊗

κ 0 = 0 ⊗κf = 0.

Proposi¸c˜ao 8. A lei de composi¸c˜ao ⊗

κ definida atrav´es de

f ⊗

κ

h = exp{κ}{ln[exp(ln{κ}f ) + exp(ln{κ}h)]}, (3.37)

que reduz-se `a soma ordin´aria quando κ → 0, f ⊕

0

h = f + h.

Afim de exemplificar a utiliza¸cão da κ-estat´ıstica no âmbito da pesquisa, destacamos diversos trabalhos relacionados a esta estat´ıstica generalizada. Podemos citar: Distri-bui¸cões de Renda (CLEMENTI et al., 2008), Entropias Generalizadas (KANIADAKIS et al., 2004), Distribui¸cões de Redes (MACEDO-FLIHO et al., 2013) e DNA (SOUZA et al., 2014).

5_Tamb´_{em chamado de grupo Comutativo. Para mais detalhes ver (}

(42)

3.3 Estat´ıstica de Tsallis

Outra generaliza¸cão da Mecânica Estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs foi desenvolvida por Constantino Tsallis, em 1988, inspirada na descri¸cão probabil´ıstica de geometrias multifractais (TSALLIS, 1988), em que propôs uma nova fórmula para a entropia na qual tem-se a entropia de BG como um caso particular.

Em seu livro (TSALLIS, 2009), Tsallis deduziu de uma forma alternativa6 (Metáfora) a generaliza¸cão da exponencial e do logaritmo descritos no formalismo padrão de BG, através da solu¸cão da equa¸cão diferencial não-linear com a adi¸cão de um expoente q, ou seja,

dy dx = y

q _(3.38)

para q ∈ R e a condi¸c˜ao de contorno y(0) = 1.

Com isso, a solu¸cão da Eq. (3.38) nos dá uma expressão muito importante, a expo-nencial generalizada no formalismo de Tsallis,

y = (1 + (1 − q)x)1−q1 ≡ ex

q (3.39)

desde que tenhamos [1 + (1 − q)x] > 0 e para qualquer outro valor expq(x) = 0. Podemos

definir, ent˜ao, a sua inversa como:

y0 = x

1−q_{− 1}

1 − q ≡ lnqx (3.40) definida como o logaritmo generalizado e para q → 1 temos ln1(x) = ln(x), ou seja, o

logaritmo natural padr˜ao, assim como exp1(x) = exp(x), a exponencial padr˜ao.

A “entropia de Tsallis”, como é conhecida, é usada em casos onde há fortes correla¸cões entre os diferentes microestados em um sistema ou ainda em sistemas fora do equil´ıbrio. A expressão da entropia, que é obtida através da Eq. (3.40), tem a forma:

Sq = kB q − 1 " 1 − W X i pq_i # (3.41) onde kBé a constante de Boltzmann, W é o número de microestados, pi as probabilidades

associadas, al´em dessa express˜ao ser normalizada, PW

i pi = 1. A express˜ao para Sq est´a

caracterizada por um parâmetro q, onde q é uma medida de quão forte são as correla¸cões (CARTWRIGHT, 2014). Para obtermos a entropia padrão de (BG), tomamos o limite q → 1 de Sq.

(43)

Uma outra maneira de escrever a Eq. (3.41), ´e em termos do q-logaritmo, assim como outras formas poss´ıveis podem ser vistas na tabela (3.1).

Sq = −kB W

X

i

pq_ilnq(pi) (3.42)

Entropia Probabilidades iguais Probabilidades gen´ericas

SBG k ln W −k PW i piln2−q(pi) = k PW i piln(1/pi) Sq k lnqW _q−1k h 1 −PW i p q i i = kPW i pilnq(1/pi) = −k PW i p q i lnq(pi) −kPW i piln2−qpi

TABELA 3.1 – Entropia SBG e Sq com S1 = SBG (Extra´ıdo e modificado de (TSALLIS,

2009))

A teoria proposta por Tsallis viola o princ´ıpio da aditividade estabelecida no Terceiro postulado da Termodinâmica, onde a entropia é uma fun¸cão cont´ınua, diferenciável e monotonicamente crescente da energia e é aditiva sobre os sub-sistemas de um dado sistema composto (SALINAS, 2008). Por exemplo (TSALLIS et al., 2002), se considerarmos um sistema composto com dois sub-sistemas A e B probabilisticamente independentes, ou seja, P_ijA+B = P_iAP_jB, a entropia no formalismo de Tsallis, Sq, é expressa como:

Sq(A + B) = Sq(A) + Sq(B) + (1 − q)Sq(A)Sq(B) (3.43)

a n˜ao-aditividade ´e evidenciada no termo cruzado, (1 − q)Sq(A)Sq(B). Para os casos em

que q > 1, q < 1 e q = 1 temos que a entropia torna-se, respectivamente, subextensiva, superextensiva e extensiva para o formalismo de BG. A n˜ao-aditividade da entropia de Tsallis expressa uma dificuldade em separar completamente (isolar) sistemas interagentes (BORGES, 1999).

A partir da propriedade da não-aditividade, temos o rompimento de um conceito fundamental, o conceito de sistema isolado. Em Termodinâmica, um sistema isolado é aquele que não troca energia, matéria e informa¸cão com a vizinhan¸ca. É visto que, na Eq. (3.43), cada sub-sistema do sistema composto, contribui para a aditividade com um termo, ou seja, Sq(A)[1 +1₂(1 − q)Sq(B)] e Sq(B)[1 +1₂(1 − q)Sq(A)]. Esse comportamento

indica que antes da jun¸cão um sistema já sentia a presen¸ca do outro, indicando assim, que o sistema não era isolado. A Fig. (3.4) mostra o comportamento da ex

q, Eq. (3.39),

para diversos valores e q.

Para um melhor entendimento sobre o formalismo generalizado de Tsallis, menci-onamos a seguir, algumas rela¸cões matemáticas advindas deste formalismo, conhecido como q-álgebra (BORGES, 2004), como por exemplo, as propriedades fundamentais, como

(44)

FIGURA 3.4 – A q-exponencial para alguns valores de q. Extra´ıdo de: (SOUZA, 2016) adi¸cão e multiplica¸cão, como também algumas rela¸cões entre a fun¸cão q-logaritmo e a q-exponencial.

Temos que o q-logaritmo de x e y, ´e dado por:

lnq(xy) = lnqx + lnqy + (1 − q) lnqx lnqy (3.44)

assim como, a q-exponencial,

eq(x)eq(y) = eq(x + y + (1 − q)xy) (3.45)

que ´e v´alido se eq(x) e eq(y) forem diferentes de zero e +∞.

Através dessas propriedades mencionadas acima, temos a generaliza¸cão da opera¸cão soma entre dois números x e y:

x ⊕qy ≡ x + y + (1 − q)xy. (3.46)

A q-soma tem as seguintes propriedades:

1. Comutativa

x ⊕qy = y ⊕qx (3.47)

2. Associativa

(45)

3. Não distributiva (em rela¸cão à multiplica¸cão usual)

(a(x ⊕qy) 6= (ax ⊕qay)) (3.49)

4. Elemento Neutro

x ⊕q0 = x (3.50)

5. Oposto de x (aditiva inversa) qx ≡

−x

1 + (1 − q)x (x 6= 1/(q − 1)). (3.51) Podemos definir agora a q-diferen¸ca:

x qy ≡ x ⊕q( qy) =

x − y

1 + (1 − q)y (y 6= 1/(q − 1)) (3.52) que possui tamb´em as seguintes propriedades:

1. Comutativa

x qy = qy ⊕qx (3.53)

2. Associativa

(x q(y qz)) = ((x qy) ⊕qz) (3.54)

3. Não distributiva (em rela¸cão à multiplica¸cão usual)

(a(x qy) 6= (ax qay)) (3.55)

O q-produto entre dois n´umeros:

x ⊗qy ≡ [x1−q+ y1−q− 1] 1/(1−q)

+ (x, y > 0) (3.56)

que podemos estender para o q-logaritmo e a q-exponencial:

lnq(x ⊗qy) = lnqx + lnqy (3.57)

eq(x) ⊗qeq(y) = eq(x + y) (3.58)

e que possui tamb´em as seguintes propriedades: 1. Comutativo

(46)

2. Associativo

(x ⊗q(y ⊗qz)) = ((x ⊗qy) ⊗qz) (3.60)

3. Elemento Neutro

x ⊗q0 = x (3.61)

e temos tamb´em, a q-divis˜ao definida como:

x qy ≡ [x1−q+ y1−q + 1] 1/(1−q)

+ (x, y > 0). (3.62)

e possui as seguintes propriedades:

1. Comutativa

x qy = 1 q(y qx) , x1−q ≤ 1 + y1−q (3.63)

2. Associativa

(x q(y qz) = (x qy) ⊗qz) = (x ⊗qz) qy, (3.64)

z1−q− 1 ≤ y1−q ≤ x1−q+ 1.

Algumas propriedades importantes, envolvendo o q-logaritmo e a q-exponencial, po-dem ser extra´ıdas de forma mais compacta:

lnq(xy) = lnqx ⊕qlnqy , eq(x)eq(y) = eq(x ⊕qy), (3.65)

lnq(x ⊗qy) = lnqx + lnqy , eq(x) ⊗qeq(y) = eq(x + y), (3.66)

lnq(x/y) = lnqx ql ln qy , eq(x)/eq(y) = eq(x qy), (3.67)

lnq(x qy) = lnqx − lnqy , eq(x) qeq(y) = eq(x − y). (3.68)

Estas igualdades obedecem a certas restri¸cões que são importantes mencionar. Todas as restri¸cões estão na tabela (3.2). A nota¸cão x ≥q 0 significa 1 + (1 − q)x ≥ 0.

A Estat´ıstica não-aditiva de Tsallis é amplamente usada pelas mais diversas áreas de pesquisa e vem se consolidando cada vez mais no âmbito acadêmico como poss´ıvel generaliza¸cão da Estat´ıstica Padrão de BG. Como exemplo de estudos feitos através da estat´ıstica de Tsallis, destacamos algumas pequisas: DNA (BOGACHEV et al., 2014),

(47)

Equa¸c˜oes Restri¸c˜oes (3.65) x > 0, y > 0 ; x ≥q 0 ou y ≥q 0 (3.66) x1−q_{+ y}1−q _{≥ 1 ; x ≥} q 0 e y ≥q0 (3.67) x > 0, y > 0 ; y >q 0 (3.68) x1−q+ 1 ≥ y1−q ; x ≥q 0 ou y ≥q 0

TABELA 3.2 – Restri¸cões sobre as igualdades. (Extra´ıdo e modificado de (BORGES, 2004)) Interestelar (ESQUIVEL; LAZARIAN, 2010), Sistemas Hadrônicos (MARQUES et al., 2013), Mapa Padrão (TIMAKLI; BORGES, 2016).

(48)

4 Modelo Generalizado e Resultados

Nesta disserta¸cão, usamos a κ-exponencial e a q-exponencial juntamente com o método de maximiza¸cão das entropias dos formalismos generalizados, Sκ e Sq, para todos os

cromossomos humanos, afim de estudar as distribui¸cões de tamanho para a parte não codificante do DNA, mais especificamente, os ´ıntrons. Podemos destacar também, que a utiliza¸cão da entropia nesse trabalho está intimamente ligada à Teoria de Informa¸cão e não está vinculada ao conceito termodinâmico.

Tomamos como referência um artigo muito interessante (OIKONOMOU et al., 2008) que mostra a q-distribui¸cão de tamanho para todos os cromossomos humanos da parte não codificante (´ıntrons e região intergênica) com valores de q variando entre 2 ≤ q ≤ 2.3 com exce¸cão dos cromossomos X e Y. Um dos aspectos interessantes que levaram e ainda há pesquisas como esta, é a descoberta de correla¸cões de longo alcance em sequências genômicas (PROVATA; OIKONOMOU, 2007), caracter´ıstico do DNA não codificante.

O método inicial foi separar as sequências de DNA codificante e não codificante em cada cromossomo, em que usamos uma ferramenta da bioestat´ıstica, do projeto Biocon-ductor (BIOCONDUCTOR, 2003–2018), juntamente com o programa de análise estat´ıstica R (R Core Team, 2016), consideramos então, a distribui¸cão de tamanho para a parte não codificante como uma fun¸cão do tamanho da sequência, que é dado por l, que é referente ao número de pares de bases (bps) na sequência. Os dados para análise foram retirados do banco de dados Ensembl6 ₍_ENSEMBL_{, 1999–2017).}

4.1 Fun¸

c˜

oes distribui¸

c˜

oes de probabilidades

4.1.1 Fun¸

c˜

ao κ-distribui¸

c˜

ao de probabilidade

O método que utilizamos para obtermos as duas distribui¸cões de probabilidade ge-neralizadas, partiram do princ´ıpio de maximiza¸cão da entropia. O princ´ıpio de máxima entropia é um método para conseguirmos a fun¸cão de distribui¸cão mais provável a partir de sistemas estat´ısticos, maximizando a entropia sob restri¸cões (HANEL et al., 2014).