II. ANTECEDENTES
2.2 Estimação de parâmetros populacionais e individuais
2.2.3 Estimação Bayesiana
Na inferência clássica, os parâmetros do modelo de regressão são vistos como quantidades fixas, mesmo que desconhecidas. Na inferência Bayesiana, o conhecimento que se tem sobre os parâmetros do modelo pode ser quantificado através de uma distribuição de probabilidade. Esta distribuição do parâmetro é denominada por a priori, e reflete a informação observacional dos parâmetros FC-FD e a distribuição populacional dos mesmos. As inferências para os parâmetros do modelo de regressão são obtidas pela distribuição a posteriori de cada parâmetro [64, 81, 83]. Ou seja, esta estimação resulta na seguinte relação [66]:
§MK¨O¨RPR•O•I O §KJSIMRKMR ∝ PRTIPRℎKK• × §MK¨O¨RPR•O•I O §MRKMR
Teorema de Bayes
Thomas Bayes (1702-1761) foi um padre presbiterano que estudou Lógica e Teologia na Universidade de Edimburgo que se tornou famoso pela sua genialidade na matemática. Em 1742 foi eleito membro da prestigiada Royal Society, mas o trabalho que o imortalizou, “An essay toward solving a problema in the doctrine of chances”, só foi publicado postumamente, nas “Philosiphical Transactions of the Royal Society”.
Mas para explicar o teorema de Bayes é primeiro necessário definir probabilidade condicionada.
A probabilidade condicionada é dada por:
H(ª|« =H(« ∩ ªH(«
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II. Antecedentes – Modelação FC-FD
Sabemos que a probabilidade marginal de um evento A é dada pela soma das probabilidades das partes disjuntas. Como « = (« ∩ ª ∪ (« ∩ ª® , e claramente (« ∩ ª e (« ∩ ª® são disjuntos (Figura 8),
H(« = H(« ∩ ª + H(« ∩ ª® .
Figura 8: Diagrama de Venn ilustrativo das intersecções do conjunto A com os conjuntos B e
complementar de B (¯°). A soma dos conjuntos resultantes das duas intersecções é o conjunto A
Substituindo na definição de probabilidade condicionada, obtém-se: H(ª|« =H(« ∩ ª + H(« ∩ ª®H(« ∩ ª
Usando a equação 17, substituímos na equação 19 cada uma das probabilidades disjuntas e obtemos o teorema de Bayes para um evento simples:
H(ª|« = H(«|ª × H(ª + H(«|ª® × H(ª®H(«|ª × H(ª
Portanto, o teorema de Bayes é uma outra forma de escrever a probabilidade condicionada, onde:
• A probabilidade A é calculada pela soma das probabilidades das suas partes disjuntas, (« ∩ ª e (« ∩ ª® ;
• Cada uma das probabilidades conjuntas é calculada usando a regra da multiplicação, a partir da expressão de probabilidade condicionada. É de notar que ª e ª® são conjuntos disjuntos e a sua união é o universo todo, U. Diz-se que ª e ª® são partições do universo.
Na maior parte dos casos práticos de modelação, não temos apenas dois acontecimentos que fazem a partição do Universo. No desenvolvimento do projeto da
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II. Antecedentes – Modelação FC-FD
tese, serão considerados tantos acontecimentos B, quantas as amostras utilizadas para análise.
Acontecimentos múltiplos
Supondo que se tem “ acontecimentos ªp,…,ª› tais que:• A união dos “ acontecimentos é o universo, ou seja, ªp∪ ªt∪ … ∪ ª› = ± ;
• Todos os pares distintos dos acontecimentos são disjuntos, ou seja, ª‘ ∩ ª• = ∅, para R = 1, … , “, ‚ = 1, … , “ , e R ≠ j (Figura 9).
Figura 9 a) ¯´ dividem o conjunto A e constituem as partições do Universo U. São acontecimentos disjuntos e a sua união é o Universo; b) A soma das intersecções das partições ¯´ com o conjunto A é o próprio conjunto A. Retirado de [84].
Assim, diz-se que os acontecimentos ªp,…,ª› são partições do universo. Um acontecimento A observado será dividido em partes pelas partições, ou seja, « = (« ∩ ªp ∪ (« ∩ ªt ∪ … ∪ (« ∩ ª› (Figura 8b). Mais uma vez, (« ∩ ª‘ e
Ž« ∩ ª•• são disjuntos, porque ª‘ e ª• são disjuntos. Sabendo que a probabilidade de um evento A é a soma das probabilidades das partes disjuntas, temos:
H(« = z H(« ∩ ª• ›
•}p
Usando a regra da multiplicação em cada probabilidade conjunta, obtemos a seguinte expressão: H(« = z H(«|ª•) × H(ª• › •}p ) ( 21 ) ( 22 )
II. Antecedentes – Modelação FC-FD
A probabilidade condicionada H(ª‘|«), com R = 1, … , “, é dada pela divisão de cada probabilidade conjunta pela probabilidade do acontecimento A, ou seja,
H(ª‘|«) =H(« ∩ ªH(«) =‘) ∑ H(«|ªH(«|ª‘) × H(ª‘) •) × H(ª• ›
•}p ) , R = 1, … , “
Este resultado é conhecido como o teorema de Bayes, publicado em 1763 depois da morte do seu autor, o reverendo Thomas Bayes [85].
Aplicação na modelação FC-FD
Dado um conjunto discreto de amostras que depende de um parâmetro, o teorema Bayesiano realiza uma inferência estatística com o objetivo de determinar esse parâmetro.
Considera-se uma variável aleatória ¢, que nunca foi observada, cujos valores possíveis são ˆp, … , ˆ¶. Seja „ uma variável aleatória que depende de um parâmetro e tem valores •p, … , •·. No caso da modelação FC-FD que é proposta, à variável aleatória ¢ correspondem as concentrações plasmáticas de fármaco que queremos estimar e à variável aleatória „ as concentrações observadas a partir dos doentes.
A inferência será feita sobre o parâmetro da variável aleatória ¢ dado o valor observado „ = •• usando o teorema de Bayes (Equação 23).
O universo Bayesiano consiste nos pares ordenados (ˆ‘, ••), para R = 1, … , ` e ‚ = 1, … , ¸. Os acontecimentos (¢ = ˆp), … , (¢ = ˆ¶) são as partições do universo e
nunca foram observadas. Os acontecimentos „ = ••, ‚ = 1, … , ¸, são observados [86]. O universo bayesiano tem duas dimensões, a horizontal que é observável e que corresponde à variável aleatória „ e a vertical que não é observável e que é representada pela variável aleatória ¢. O universo bayesiano para variáveis discretas está representado na figura seguinte [86]:
Figura 10: Universo Bayesiano. Retirado de [84]
As probabilidades são definidas para todos os pontos do universo Bayesiano.
II. Antecedentes – Modelação FC-FD
O teorema de Bayes para variáveis discretas, que nos permite calcular a função de probabilidade a posteriori de ¢ dado „ = •‘, tem a seguinte expressão [86]:
UŽˆ‘¹••• =∑ U(ˆU(ˆ‘ × •(••|ˆ‘) ‘) × •(••|ˆ‘) ›º
‘}p , R = 1, … , `
onde •(∙) representa a distribuição de probabilidade que contém a variável aleatória observável, „, e U(∙) denota a distribuição de probabilidade que apenas contém o parâmetro não observado da variável aleatória ¢. A distribuição marginal é obtida pela soma das colunas do universo Bayesiano.
Função objetivo
Quando os parâmetros seguem uma distribuição aproximadamente normal, a aplicação do teorema de Bayes realiza-se mediante a minimização da função objetivo, expressada pela seguinte equação [66]:
»ª¸¼½¾ = z ¿bÀ‘− bj ‘ ‘ Á t + z ¿H…•‹− H• • Á t › •}p  ‘}p
onde b‘ é a concentrações plasmática observada, bÀ‘ a concentração estimada, j‘ o desvio padrão das concentrações plasmáticas, N o número de observações, H• e ‹• representam, respetivamente, a média e o desvio padrão do ‚-ésimo parâmetro do modelo da população de referência, H…• a estimação do parâmetro ‚ para um dado doente e “ o número de parâmetros farmacocinéticos.
O primeiro termo refere-se aos dados individuais do doente (concentração plasmática) e o segundo expressa as diferenças entre os parâmetros farmacocinéticos típicos da população a que o doente pertence e os previstos no processo de ajuste ao modelo [73]. Quando não possuímos dados individuais, o primeiro termo não faz sentido e não será calculado. O objetivo é, perante os dados gerados pela estimação Bayesiana, minimizar a função objetivo para determinar as concentrações ótimas para cada indivíduo.
Se a variância da concentração do indivíduo não for conhecida, a função objetivo pode ser estimada usando a seguinte equação:
»ª¸¼½¾ = zŽbÀ‘ − b‘• t Ñ + z ln Ñ  ‘}p  ‘}p + z ¿H…•‹− H• • Á t › •}p
onde a variância é modelada por Ñ = Ãs∙ U(bÀ‘), em que Ãs é a variância residual (estimada pelo programa) e U( ∙) é uma função específica de cada usuário, por
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II. Antecedentes – Modelação FC-FD
exemplo, UŽbÀ‘• = ŽbÀ‘•t para um coeficiente de variação (CV) constante. A função U( ∙ pode conter também parâmetros desconhecidos que serão introduzidos no programa [66].