Estimação por máxima verosimilhança

A estimação por máxima verossimilhança é o método mais utilizado no ajuste de modelos de equações estruturais (RAY, 2001; HAIR et al., 2009). Este método busca estimar os parâmetros do modelo, por meio da maximização de uma função de verossimilhança, que é especificada para a totalidade do modelo, considerando um conjunto de restrições que, a priori, devem ser atendidas. Deste modo, busca-se encontrar os parâmetros teóricos, dos quais depende a função de distribuição de probabilidade das variáveis observáveis e para os quais a amostra coletada tem a probabilidade de máxima de ocorrência. É apresentada a seguir, função de discrepância de máxima verossimilhança que o algoritmo interativo trabalha para minimizar, sendo dada por (JORESKOG e SORBON, 1996):

𝑆 , ∑ = log |∑ | + tr (S. ∑ − ) – log |S| - (p+q) (5.2)

onde, p é q são, respectivamente, os números de indicadores para as variáveis latentes endógenas e exógenas. Em circunstâncias, em que a modelagem formulada contempla a estimação das médias das variáveis, a função de discrepância deve incluir o termo (JORESKOG e SORBON, 1996, ARBUCLE, 2008):

[𝑥̅ − ( ̂)]′ ∑( ̂)− [𝑥̅ − ( ̂)] (5.3)

onde 𝑥̅ representa o vetor das médias das variáveis manifestas e ( ̂) representa o vetor das médias estimadas pelo modelo.

5.5.2 Estimação por mínimos quadrados não ponderados (ULS)

O procedimento de estimação por mínimos quadrados não ponderados é um método iterativo

que estima os parâmetros do modelo que minimiza a soma dos quadrados do erros de cada elememnto da resíduos (S-E), atribuindo o mesmo peso a todo os elementos da matriz. A função de dsicrepância a ser minimizada é (BOLLEN, 1989):

145 onde [ − 𝛴 ] representa o traço da matriz simétrica de ordem (p+q).

Neste caso é minimizada a soma dos quadrados de cada elemento na matriz de resíduos (S - ), ponderando implicitamente, todos os elementos desta matriz como tendo as mesmas variâncias e covariâncias com outros elementos. O método ULS não tem exigências, é consistente, porém não é assintoticamente eficiente, em decorrência do fato de que. a variância das estimativas não reduz com o crescimento do tamanho da amostra. Este método de estimação é de pouco uso, porém muitas vezes pode ser utilizado para fornecer os valores de partida para outros métodos de estimação.

5.5.3 Estimação por mínimos quadrados generalizados (GLS)

Tal como o método de estimativa de máxima verosimilhnça, este método fornece estimadores eficientes e imparciais dos parâmetros modelo, produzindo estimativas com distribuição normal assintótica (BOLLEN, 1989). O GLS também requer que os dados sejam normalmente distribuídos, embora exija suposições menos restritivas que o método de verosimilhnça. A forma geral da função de discrepãncia é escrita como (BOLLEN, 1989):

𝑆 = [( − − 𝛴 ) ] (5.5)

O ajustamento a ser obtido é equivalente a minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, ponderados pela inversa da matriz de variâncias/covariâncias da amostra, em contraponto com o método de estimação anterior, onde se buscava minimizar apenas a soma dos quadrados dos resíduos. Neste, serão ponderados esses resíduos, atribuindo um maior peso aos elementos de (S– 𝛴), relativamente aos quais se observa uma menor variância/covariância na amostra.

5.5.4. Estimação por mínimos quadrados ponderados (WLS)

Quando a condição de normalidade não é satisfeita, uma das possibilidades para a estimativa de parâmetros é a utilização de métodos alternativos como o de Mínimos Quadrados Ponderados, para a qual aplicação não é exige essa condição. No software AMOS, o método de

146 estimação está sob a nomenclatura Distribuição Assintoticamente Livre (Asymptotic Distibution

Free, ADF). Uma vantagem deste método é que ele permite a análise de variáveis ordinais, de

variáveis dicotômicas e de variáveis contínuas, que não satisfazem os critérios de normalidade. A função a minimizar neste método, segue o caso geral das funções a minimizar dos métodos anteriormente mencionados, os métodos ML, GLS e ULS, que podem ser vistos como casos especiais deste método de estimação. Este método minimiza a seguinte função de discrepância (JORESKOG e SORBON, 1996):

𝐴𝐷𝐹 = [ − 𝛴 𝛺 ]′ ′[ − 𝛴 𝛺 ] (5.6)

Essa função oferece vantagens e desvantagens. Entre as vantagens, pode-se destacar que são mínimas as suposições sobre a distribuição da amostra das variáveis observados e sua função de discrepância fornece estimativas eficientes dos parâmetros. A limitação deste método decorre do fato de que a matriz de peso aumenta rapidamente com o aumento do número de variáveis indicadoras. A principal desvantagem é que para obter a distribuição assintótoca livre requer a inversão matriz W, tornamdo-se uma tarefa complicada como o aumento do número de variáveis observadas. Além disso, outro problema que merece observar é que esta abordagem requer que o tamanho da amostra seja suficientemente grande para que a função de ajuste possa convergir e fornecer uma solução ideal, não podendo, ser utilizado se a amostra empregada for excessivamente pequena.

Comparativamente ao método de máxima verossimilhança, este método, exige amostras, muito maiores para obter estimativas consistentes e eficientes. De outro modo, se variáveis observadas não estão muito longe da distribuição normal, é recomendável a utilização do método de verossimilhança, abordado anteriormente.

5.6 Avaliação da qualidade do ajustamento do modelo

A utilidade de um modelo é determinada pela sua capacidade para explicar a realidade observada. Esta capacidade deve ser avaliada tanto para o conjunto do modelo, como para cada uma das relações expressas no mesmo. A avaliação da qualidade do ajustamento do modelo tem o propósito a verificar o grau de fidedignidade com o que modelo teórico é capaz de reproduzir a

147 estutura correlacional das variáveis observadas na amostra em estudo e tem sido objeto de muitas pesquisas, que ensejaram diversas estratégias e recomendações para a análise sobre o tema (BOLLEN e LONG, 1993, SCHERMELLEH-ENGEL et al.,2003, MULAIK, 2007). Um modelo é considerado ajustado aos dados observados, na medida em que a matriz de covariância implícita do modelo é equivalente à matriz covariância empírica.

O ajuste do modelo determina o grau em que o modelo de equações estruturais se ajusta aos dados amostrais. Embora não existam orientações bem estabelecidas sobre as condições mínimas para constituir um ajuste adequado, uma consideração geral é que o modelo identificado converge o procedimento de estimativa iterativa, no qual todas as estimativas de parâmetros estão dentro do intervalo de valores permitidos e que o padrão erros das estimativas dos parâmetros tem tamanho razoável (MARSH e GRAYSON, 1995).

Em geral, pode-se dizer que existem três níveis de avaliação da qualidade do ajustamento do modelo aos dados, nomeados por Kline (2011) como: primeiro em nível do modelo no seu conjunto, segundo, em nível do modelo de medida e, por último, em nível do modelo estrututral. Estas avaliações devem ser realizadas depois de ser assegurado que as estimativas são aceitáveis, ou seja, não existem estimativas infratoras ao modelo proposto.