Estimac~ao de Par^ametros

Para reduzir a polarizac~ao causada pelo rudo foram adicionados termos de media movel do rudo a cada submodelo de (3.19). Em seguida, o metodo estendido de mnimos quadrados, mostrado no Ap^endice B, foi aplicado de forma independente a cada uma das equac~oes. Assim, a estrutura do modelo usada durante a estimac~ao de par^ametros foi:

x k =a X 1 x k ;1 +a X 2 x k ;2 +  b X 1 u 1k ;d +b X 2 u 2k ;d +d X 1  cos( k ;1 )+ 10 X i=1 c X i e x (k;i) y k =a Y 1 y k ;1 +a Y 2 y k ;2 +  b Y 1 u 1k ;d +b Y 2 u 2k ;d +d Y 1  sen( k ;1 )+ 10 X i=1 c Y i e y (k;i)  k =a  1  k ;1 +a  2  k ;2 +b  1 u 1k ;d +b  2 u 2k ;d +d  1 + 10 X i=1 c  i e  (k;i) : (4.1) Os par^ametrosd

1 foram adicionados por que se mostraram uteis durante

o processo de estimac~ao. Estes par^ametros servem para \absorver" a media do rudo presente no sinal e assim como os 10 termos MA evitar polarizac~ao.

Por isso, eles ser~ao ignorados apos a estimac~ao de par^ametros e todos as simulac~oes mostradas neste trabalho s~ao obtidas a partir de estruturas se- melhantes a (3.19). O numero de termos MA foi escolhido empiricamente de forma a obter o melhor modelo possvel sem alterar o restante da estrutura. Para o tempo morto estimado e perodo de amostragem escolhido, v^e-se que

d= 8.

Apos 10 iterac~oes do algoritmo estendido de mnimos quadrados nos dados mostrados na Figura 4.9, o seguinte modelo foi obtido:

x k =1;6824x k;1 ;0;6824x k;2 +[0;0441u 1k;8 +0;0403u 2k;8 ]cos ( k;1 ) y k =1;7150y k;1 ;0;7152y k;2 +[0;0336u 1k;8 +0;0318u 2k;8 ]sen( k;1 )  k =1;5640 k;1 ;0;5640 k;2 ;0;0063u 1k;8 +0;0065u 2k;8 : (4.2)

Analises dos resduos do modelo (4.2) revelaram que os erros de predic~ao de um passo a frente s~ao linearmente brancos. Em outras palavras, n~ao ha correlac~ao estatisticamente signicante nos resduos, o que sugere que os par^ametros n~ao est~ao polarizados. As FACs para os resduos do modelo s~ao mostradas na Figura 4.10.

Apesar do modelo ter sido obtido com a aproximadamente 2200 con- juntos de pontos de entrada e sada, aplicando-se o metodo recursivo de mnimos quadrados aos mesmos dados, v^e-se que n~ao s~ao necessarios todos estes pontos para obtenc~ao dos mesmos par^ametros. A Figura 4.11 mostra a vari^ancia normalizada, calculada a cada passo do algoritmo recursivo, de

um dos par^ametros do modelo de x (par^ametro que mais varia). Esta gu-

ra indica que depois de 800 pontos n~ao existe praticamente mais nenhuma variac~ao no par^ametro, indicando que este numero e suciente para a sua estimac~ao. Para gerac~ao desta gura foi utilizado o metodo estendido de mnimos quadrados recursivo (EMQR) com fator de esquecimento igual a 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Função de autocorrelação do resíduo de x

atrasos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Função de autocorrelação do resíduo de y

atrasos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Função de autocorrelação do resíduo de θ

atrasos

Figura 4.10: Func~oes de autocorrelac~ao dos resduos. As linhas tracejadas delimitam o intervalo de conanca de 95%.

Note que apesar do metodo recursivo ser em geral utilizado em tempo real,

neste caso ele foi utilizado em dados coletados a priori. Na proxima sec~ao

e mostrado um resultado de predic~ao do modelo onde o algoritmo recursivo foi aplicado em tempo real.

Como proposto pela Equac~ao (3.21) o modelo anterior pode ser escrito como: X = 0 ;0441U X 1 z ;7 (z;1)(z;0;6824) + 0;0403U X 2 z ;7 (z;1)(z;0;6824) Y = 0 ;0336U Y 1 z ;7 (z;1)(z;0;7152) + 0;0318U Y 2 z ;7 (z;1)(z;0;7152) (4.3)  = ;0;0063U 1 z ;7 (z;1)(z;0;5640) + 0;0065U 2 z ;7 (z;1)(z;0;5640) ;

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 pontos

Figura 4.11: Vari^ancia de um dos par^ametros do modelo em func~ao do numero de pontos utilizados na estimac~ao, obtida atraves da aplicac~ao do metodo recursivo estendido de mnimos quadrados.

que e uma representac~ao no domnioZ para o modelo do sistema. Note que

ha uma pequena diferenca entre os ganhos das func~oes de transfer^encia de cada sada, indicando que existe diferenca entre os motores do rob^o. Devi- do as caractersticas de simetria do rob^o, era esperado que houvesse grande

similaridade entre os modelos para X eY. Entretanto, principalmente devi-

do a diferenca de resoluc~ao da c^amera nas duas coordenadas estes modelos diferem um pouco, principalmente em relac~ao aos ganhos, ja que os polos

s~ao muito parecidos4. O problema talvez fosse passvel de ser resolvido se a

diferenca de resoluc~ao tivesse sido levado em considerac~ao antes da estimac~ao de par^ametros.

Como era esperado, o modelo encontrado indica que o sistema possui

integrac~ao. Isto pode ser vericado pela presenca de um polo emz = 1. Um

fato interessante observado durante a estimac~ao de par^ametros, e a in u^encia do perodo de amostragem no modelo nal. Se este perodo diminui, os polos das func~oes de transfer^encia tendem para a unidade. Se este perodo aumenta, ocorre o inverso, ou seja, o polo tende a se tornar nulo. N~ao e possvel mostrar o resultado com uma diminuic~ao do perodo de amostragem

devido as restric~oes do sistema mas um modelo para X onde T = 54ms, ou

seja, o dobro do valor original e:

X = 0 ;1895U X 1 z ;7 (z;1)(z;0;1733) + 0;1658U X 2 z ;7 (z;1)(z;0;1733)

Uma possvel explicac~ao para o fato e a seguinte: O sistema (n~ao o mo-

delo) tem dois polos sendo que um esta emz = 1 e o outro e um polo estavel

(z  1). O primeiro e um integrador e, por denic~ao, e o polo dominan-

te. A medida que o tempo de amostragem e aumentado passa-se a perder a informac~ao din^amica de alta frequ^encia (din^amica rapida) e so e possvel

enxergar a din^amica lenta, determinada pelo integrador. Por isso, para T

grande o coeciente dex

k;1 tende a 1 e o outro tende a zero, ou seja, ha uma

converg^encia para um modelo com apenas um polo (um integrador). E claro

que se ha um aumento muito grande deT, pode-se perder toda a informac~ao.

Em oposic~ao, diminuindo-se T passa-se a enxergar a din^amica rapida.

Nesse caso precisa-se de mais um polo e o algoritmo estima valores esta-

tisticamente signicativos para x

k;2. Entretanto, o integrador n~ao sumiu e

precisa ser mantido no modelo. Isso e \garantido" pelo algoritmo fazendo

com que a

1 +

a 2

 1. Com isso tem-se o seguinte resultado: Apesar do

integrador ser o polo dominante no modelo do rob^o, parece que ele sozinho n~ao e suciente para explicar a din^amica observada nos dados. Um segundo polo e necessario.