3.2 Aplica¸ c˜ ao
4.2.3 Estima¸ c˜ ao da probabilidade de sobrevivˆ encia
Um quest˜ao eminente dos modelos conjuntos ´e a obten¸c˜ao de predi¸c˜oes para os resultados longitudinais e para os de sobrevivˆencia (vide, e.g. Sweeting e Thompson (2011, 2012), Rizo- poulos (2011), Yu et al. (2008) e Proust-Lima e Taylor (2009)). A capacidade de incorporar a traject´oria do biomarcador ao longo do tempo, num modelo de riscos relativos, confere aos modelos conjuntos a possibilidade de servirem de ferramentas de progn´osticos dinˆamicos, que podem orientar a tomada de decis˜ao cl´ınica de forma mais precisa. Por exemplo, a hist´oria completa das contagens de CD4 observadas num paciente com VIH/SIDA pode ser utilizada para prever a probabilidade de sobrevivˆencia nos pr´oximos anos, a partir do tempo da ´ultima visita ou ap´os o indiv´ıduo ser censurado. Se o padr˜ao de CD4 for sugestivo de um aumento do risco de morte, o m´edico pode decidir alterar a terapˆeutica e, assim, retardar a progress˜ao da
4.2 Aplica¸c˜ao
doen¸ca.
Os dados VIH-SIDA para os quais se ajustam um modelos conjuntos, tˆem N pacientes distribu´ıdos por K regi˜oes, resumidos em D = {Dik; i = 1, . . . , nk, k = 1, . . . , K}. Suponha-
se agora que se obt´em, a partir de um novo indiv´ıduo, uma s´erie de medi¸c˜oes longitudinais, juntamente com a informa¸c˜ao de que sobreviveu at´e ao instante s. Os dados para este indiv´ıduo podem ser sumariados em Dnovo = {ynovo, Tnovo = s, δnovo = 0}. As inferˆencias sobre valores
longitudinais futuros desse novo indiv´ıduo podem ser obtidas a partir da distribui¸c˜ao preditiva a posteriori. Assim, a distribui¸c˜ao preditiva a posteriori para uma nova observa¸c˜ao longitudinal deste indiv´ıduo, digamos ˜y, ´e
p(˜y|D, Dnovo) =
Z Z
p(˜y|Dnovo, bnovo, Ω)p(bnovo|Dnovo, Ω)p(Ω|D)dΩdbnovo, (4.45)
onde bnovo representa o novo vector de efeitos aleat´orios e p(bnovo|.) a respectiva distribui¸c˜ao a
posteriori. De forma semelhante, a probabilidade de sobrevivˆencia preditiva a posteriori para o tempo de falha, Tnovo∗ , no instante t, dado que sobreviveu at´e s < t ´e dada por
p(Tnovo∗ > t | D, Tnovo∗ > s, ynovo) =
= Z Z
p(Tnovo∗ > t|Tnovo∗ > s, ynovo, bnovo)p(bnovo|Tnovo∗ > s, ynovo, Ω)p(Ω|D) dΩ dbnovo
= Z Z S
novo(t | ynovo, bnovo)
Snovo(s | ynovo, bnovo)
p(bnovo| Tnovo∗ > s, ynovo, Ω)p(Ω | D) dΩ dbnovo, (4.46)
onde Snovo(.) ´e a fun¸c˜ao de sobrevivˆencia marginal dada por (II-4.37).
Num quadro de amostragem via MCMC, a obten¸c˜ao das distribui¸c˜oes a posteriori para os efeitos aleat´orios individuais ´e simples. Al´em disso, no WinBUGS, existe a possibilidade de recorrermos `a fun¸c˜ao cut, permitindo que os efeitos aleat´orios para um novo indiv´ıduo possam ser estimados sem contribu´ırem para a verosimilhan¸ca. Desta forma as estimativas dos parˆametros do modelo n˜ao s˜ao afectadas pelos dados do novo indiv´ıduo.
No caso de a partilha de informa¸c˜ao entre os dois submodelos n˜ao ser ao n´ıvel do valor do biomarcador longitudinal no instante pretendido, digamos ˜y(t), a equa¸c˜ao (II-4.46) assumir´a a forma:
p(Tnovo∗ ≥ t | D, Tnovo∗ > s, ynovo) =
=
Z S
novo(t | ynovo, ˜y(t))
Snovo(s | ynovo, ˜y(s))
p(˜y(t) | D, Dnovo)p(˜y(s) | D, Dnovo)p(Ω | D)dΩ, (4.47)
4.2.4 Ilustra¸c˜ao
Para modelar a traject´oria longitudinal espec´ıfica de cada indiv´ıduo opt´amos pelo modelo linear de efeitos mistos j´a definido em (II-3.18), ou seja,
yik(tikj) = β11+β12tikj+β13sexoik+β14idade.intik+β15IOPrevik+b1ik+b2iktikj+eikj, (4.48)
onde
yikj|bik, β1, σ2 ∼ N (y∗ik(tikj), σ2)
eik(tikj) ∼ N (0, σ2).
Para os tempos de sobrevivˆencia latentes, T?, consider´amos duas distribui¸c˜oes: Weibull, Tik? ∼ W(ρ, eηik(t)), e Exponencial, T?
ik∼ E(eηik(t)) (i.e. ρ = 1), com
ηik(t) = β20+ β21sexoik+ β22idade.intik+ β23IOPrevik+ γ1b1ik+ γ2b2ik+ Qk, (4.49)
no caso dos modelos B e dos modelos C,
ηik(t) = β20+ β21sexoik+ β22idade.intik+ β23IOPrevik+ γ ˜yik(Tik) + Qk. (4.50)
As fun¸c˜oes S(.), Sp(.) e hp(.) s˜ao as dadas por (II-4.33), (II-4.37) e (II-4.39), respectivamente. As
estimativas dos parˆametros para o modelo conjunto espacial ser˜ao obtidas atrav´es de simula¸c˜oes de MCMC no software WinBUGS. Us´amos distribui¸c˜oes a priori n˜ao informativas para todos os parˆametros, ou seja, 1/σ2 ∼ G(0.01, 0.01), β1 = (β11, β12, β13, β14, β15) ∼ N5(05, 1000I5),
β20 ∼ N (0, 100), β2 = (β21, β22, β23) ∼ N4(04, 1000I4), bik = (b1ik, b2ik)> ∼ N2(0, Σ), Σ−1 ∼
Wish(100I2, ξ), γ1 ∼ N (0, 100), γ2 ∼ N (0, 100), Qk∼ CAR(σQ2), 1/σQ2 ∼ G(0.5, 0.0005).
Na sec¸c˜ao seguinte apresentam-se os resultados dos diferentes modelos ajustados, conside- rando diversas situa¸c˜oes, nomeadamente, a possibilidade de a frac¸c˜ao de cura ser comum a todos os indiv´ıduos (θik= θ) ou existir uma frac¸c˜ao de cura caracter´ıstica e subjacente a cada um dos
27 estados θk6= θl, k 6= l, l = 1, . . . , K.
4.2.5 Resultados
Na tabela 4.1 apresentam-se os resultados de alguns modelos conjuntos com inclus˜ao de uma frac¸c˜ao de cura, indiv´ıduos que n˜ao sofrer˜ao o evento de interesse (morte por VIH/SIDA). Apresenta-se ainda o valor de pD e do DIC, bem como o valor de LPML, usados para a selec¸c˜ao
de modelos.
Os modelos B.I e B.II coincidem com os modelos A.VIII e A.IX (tabela3.1), respectivamente. Estes modelos foram considerados sem frac¸c˜ao de cura, pois sentimos que seria ´util comparar a
4.2 Aplica¸c˜ao
Modelo Fragilidade Frac¸c˜ao T?∼ p
D DIC DIC.L DIC.S LPML LPML.L LPML.S
espacial de cura B.I 0 1 − θ = 0 W(ρ, eηik) 6324.12 112071 109553 2517.67 -21318.18 -24335.55 3039.92 E(eηik) 6326.45 112075 109555 2520.26 -21333.85 -24348.19 3039.87 B.II CAR(σ2 Q) 1 − θ = 0 W(ρ, eηik) 6346.13 110435 109554 881.31 -20487.76 -24368.64 3893.42 E(eηik) 6326.45 112076 109558 2518.41 -21377.01 -24388.31 3040.28 B.III 0 ∀k, θk= θ W(ρ, eηik) 6328.19 112084 109561 2522.91 -21363.54 -24379.72 3038.46 E(eηik) 6330.92 112089 109564 2524.70 -21283.52 -24303.45 3039.02 B.IV CAR(σ2 Q) ∀k, θk= θ W(ρ, eηik) 6327.65 112077 109554 2522.77 -21297.32 -24308.24 3038.56 E(eηik) 6325.23 112079 109554 2525.16 -21316.70 -24336.12 3039.29 B.V CAR(σ2 Q) θk16= θk2 W(ρ, e ηik) 6335.73 112092 109555 2536.45 -21362.39 -24369.59 3034.08 E(eηik) 6338.70 112101 109557 2544.14 -21404.69 -24415.95 3033.62 B.VI N (0, τQ) ∀k, θk= θ W(ρ, eηik) 6333.26 112093 109568 2524.36 -21335.52 -24355.58 3038.19 E(eηik) 6328.40 112079 109555 2523.86 -21335.15 -24352.87 3039.01 B.VII N (0, τQ) θk16= θk2 W(ρ, e ηik) 6340.70 112096 109560 2536.10 -21273.28 -24281.05 3034.14 E(eηik) 6341.40 112109 109558 2551.00 -21410.32 -24431.75 3033.18 B.VIII N (0, τQ) 1 − θ = 0 W(ρ, eηik) 6354.38 110444 109561 882.47 -20547.18 -24426.02 3892.42 E(eηik) 6326.61 112068 109550 2517.77 -21348.00 -24367.65 3040.38
Tabela 4.1: Modelos B - Modelos bayesianos conjuntos pressupondo a partilha dos efeitos aleat´orios S˜ao consi-
deradas v´arias op¸c˜oes: inexistˆencia de indiv´ıduos curados (frac¸c˜ao de cura nula, 1 − θ = 0); frac¸c˜ao de cura comum a todos os indiv´ıduos (θk= θ); frac¸c˜ao de cura comum aos indiv´ıduos de uma mesma regi˜ao (θk6= θl); s˜ao consideradas
duas distribui¸c˜oes para o tempo de sobrevivˆencia latente - Weibull e Exponencial.
sua performance com os restantes modelos envolvendo uma frac¸c˜ao de cura. Base´amos a escolha do melhor modelo no valor LPML e no valor do DIC. Como se sabe, esta ´ultima medida n˜ao ´e invariante para as diferentes parametriza¸c˜oes, pelo que, para os modelos A.VIII e A.IX (agora designados modelo B.I e B.II, respectivamente) serem directamente compar´aveis com o conjunto dos modelos B, foi necess´ario proceder a um novo c´alculo do valor do DIC, utilizando as mesmas parametriza¸c˜oes dos restantes modelos B. Os modelos B.III–B.VII admitem uma frac¸c˜ao de indiv´ıduos da popula¸c˜ao que n˜ao ir´a experimentar o evento de interesse, ou seja 1 − θ 6= 0. O modelo B.III ´e o ´unico que n˜ao apresenta uma componente de fragilidade espacial. Os modelos B.III, B.IV e B.VI admitem que existe uma ´unica probabilidade de cura comum a todos 27 estados brasileiros. Por outro lado, os modelos B.V e B.VII admitem que a frac¸c˜ao de cura varia entre estados. O modelo B.VIII difere do modelo B.II apenas na distribui¸c˜ao suposta para os efeitos aleat´orios espaciais, que neste caso s˜ao n˜ao estruturados com distribui¸c˜ao normal. Alguns dos modelos incorporam um efeito espacial, Qk, ora estruturado, Qk|σ2Q ∼ CAR(σQ2) (modelos
B.II, B.IV e B.V), ora n˜ao estruturado, Qk|τQ i.i.d.∼ N (0, τQ) (modelos B.VI, B.VII e B.VII).
Na tabela 4.2 s˜ao apresentados os modelos C e os respectivos resultados de ajustamento. Diferem dos modelos B, como j´a tivemos oportunidade de referir anteriormente, apenas na forma de liga¸c˜ao do processo longitudinal ao processo de sobrevivˆencia, que neste caso ´e feita atrav´es do valor do CD4 no instante de ocorrˆencia de evento.
Com base nas medidas DIC e LPML, os modelos B.II, B.VIII, C.II e C.VIII s˜ao, essenci- almente, os que providenciam um melhor ajuste aos dados. Tˆem em comum o facto de n˜ao
Modelo Fragilidade Frac¸c˜ao T?∼ p
D DIC DIC.L DIC.S LPML LPML.L LPML.S
espacial de cura C.I 0 1 − θ = 0 W(ρ, eηik) 6310.75 112049 109626 2423.57 -21201.03 -24308.88 3107.99 E(eηik) 6310.79 112045 109615 2429.81 -21197.67 -24287.01 3105.99 C.II CAR(σ2 Q) 1 − θ = 0 W(ρ, eηik) 6301.38 110511 109612 899.33 -20480.47 -24366.65 3883.36 E(eηik) 6309.43 112049 109619 2429.33 -21304.17 -24396.78 3105.85 C.III 0 ∀k, θk= θ W(ρ, eηik) 6324.82 112035 109642 2393.10 -21193.26 -24316.72 3125.35 E(eηik) 6320.66 112029 109600 2428.77 -21203.53 -24294.72 3111.66 C.IV CAR(σ2 Q) ∀k, θk= θ W(ρ, eηik) 6332.94 112025 109632 2393.28 -21270.49 -24377.16 3124.33 E(eηik) 6322.31 112036 109608 2428.27 -21255.71 -24351.39 3111.94 C.V CAR(σ2 Q) θk16= θk2 W(ρ, e ηik) 6330.37 112032 109643 2389.39 -21181.89 -24298.64 3122.78 E(eηik) 6335.49 112033 109602 2431.01 -21254.15 -24346.86 3109.50 C.VI N (0, τQ) ∀k, θk= θ W(ρ, eηik) 6328.63 112021 109625 2396.16 -21230.46 -24347.22 3122.31 E(eηik) 6324.78 112032 109605 2427.20 -21249.67 -24347.85 3111.31 C.VII N (0, τQ) θk16= θk2 W(ρ, e ηik) 6341.19 112010 109620 2390.08 -21192.11 -24317.10 3122.44 E(eηik) 6339.63 112029 109600 2429.21 -21249.19 -24340.27 3109.28 C.VIII N (0, τQ) 1 − θ = 0 W(ρ, eηik) 6307.49 110508 109608 899.78 -20481.95 -24369.39 3882.97 E(eηik) 6320.05 112043 109616 2427.83 -21279.56 -24379.70 3105.25
Tabela 4.2: Modelos C - Modelos bayesianos conjuntos pressupondo a partilha do valor esperado de CD4 no
instante de evento. S˜ao consideradas v´arias op¸c˜oes: inexistˆencia de indiv´ıduos curados (frac¸c˜ao de cura nula, 1−θ = 0); frac¸c˜ao de cura comum a todos os indiv´ıduos (θk= θ); frac¸c˜ao de cura comum aos indiv´ıduos de uma mesma regi˜ao
(θk6= θl); s˜ao consideradas duas distribui¸c˜oes para o tempo de sobrevivˆencia latente - Weibull e Exponencial.
considerarem uma frac¸c˜ao de cura no modelo de sobrevivˆencia. Al´em disso, a utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao de Weibull para o tempo de sobrevivˆencia, face `a Exponencial, melhora bastante o valor daquelas duas medidas. O DIC diminuiu e o LPML aumentou.
Ocorre um fen´omeno interessante com os modelos referidos acima. Os modelos B.II e B.VIII tˆem um valor do DIC mais pequeno que os modelos hom´ologos, C.II e C.VIII. Contudo, estes ´
ultimos possuem um maior poder preditivo, j´a que os valores de LPML s˜ao maiores. Assim, se o nosso interesse recair sobre as estimativas a posteriori dos parˆametros, devemos escolher os modelos B.II ou B.VIII com uma distribui¸c˜ao Weibull para os tempos de sobrevivˆencia latentes. Caso estejamos interessados em realizar predi¸c˜oes, devemos optar pelos modelos C.II ou C.VIII, com a mesma distribui¸c˜ao para os tempos latentes.
Como era de esperar, o valor do DIC para a parte longitudinal (DIC.L) e do LPML tamb´em para a parte longitudinal (LPML.L) ´e, de uma forma geral, o mesmo, uma vez que o modelo longitudinal utilizado ´e coincidente.
A suposi¸c˜ao que fizemos inicialmente, sobre a possibilidade da existˆencia de indiv´ıduos con- siderados sobreviventes de longa dura¸c˜ao, n˜ao se revelou nos resultados obtidos. Os modelos seleccionados foram aqueles que conjugaram efeitos aleat´orios espaciais, com uma distribui¸c˜ao Weibull para o tempo de sobrevivˆencia e n˜ao supuseram frac¸c˜ao de cura.
Relativamente `as quantidades a posteriori dos v´arios parˆametros (vide tabelas 4.3–4.4), nota-se que, para o modelo longitudinal, as diferen¸cas entre os v´arios modelos s˜ao praticamente
4.2 Aplica¸c˜ao
B.II Weibull B.II Exponencial C.II Weibull C.II Exponencial Parˆametro M´edia IC 95% HPD M´edia IC 95% HPD M´edia IC 95% HPD M´edia IC 95% HPD
(β11) 17.37 (17.13, 17.61) 17.45 (17.19, 17.70) 17.35 (17.10, 17.65) 17.36 (17.11, 17.61) (β12) 1.80 (1.71, 1.88) 1.70 (1.61, 1.78) 1.79 (1.71, 1.88) 1.764 (1.68, 1.85) (β13) −0.60 (−0.88, −0.34) −0.64 (−0.94, −0.36) −0.48 (−0.88, −0.3) −0.62 (−0.93, −0.36) (β14) −0.48 (−0.88, −0.021) −0.56 (−1.07, −0.15) −0.50 (−0.91, −0.03) −0.53 (−0.99, −0.08) (β15) −1.97 (−2.26, −1.65) −2.06 (−2.38, −1.74) −1.95 (−2.24, −1.63) −2.00 (−2.28, −1.71) σ2 7.12 (6.95, 7.29) 7.12 (6.95, 7.29) 7.14 (6.97, 7.31) 7.17 (6.99, 7.34) σb 11 26.62 (25.28, 27.80) 26.57 (14.13, 20.77) 26.67 (25.37, 27.94) 26.79 (25.54, 28.05) σb 22 4.52 (4.20, 4.91) 4.43 (1.56, 2.1) 4.39 (4.04, 4.77) 4.24 (3.89, 4.57) cor(b1, b2) −0.42 (−0.49, −0.34) −0.38 (−0.45, −0.32) −0.42 (−0.50, −0.34) −0.41 (−0.33, −0.49) (β20) −1.04 (−1.39, −0.70) −4.92 (−5.26, −4.63) −0.02 (−0.37, 0.43) −0.88 (−1.27, −0.47) (β21) 0.13 (−0.15, 0.38) 0.38 (0.14, 0.65) 0.13 (−0.10, 0.36) 0.31 (0.05, 0.55) (β22) −0.08 (−0.39, 0.21) 0.74 (0.44, 1.04) 0.06 (−0.23, 0.32) 0.66 (0.37, 0.94) (β23) 0.18 (−0.07, 0.44) 1.06 (0.74, 1.21) 0.14 (−0.11, 0.36) 0.72 (0.47, 0.97) γ1 −0.03 (−0.06, −0.001) −0.22 (−0.25, −0.19) −0.06 (−0.08, −0.04) −0.19 (−0.22, −0.17) γ2 0.24 (0.15, 0.32) −0.33 (−0.44, −0.22) σ2 Q 0.005 (0.0001, 0.021) 0.014 (0.00007, 0.05) 0.0016 (0.00008, 0.027) 0.0023 (0.00006, 0.11) ρ 1.46 (1.30, 1.61) 1.31 (1.21, 1.44)
Tabela 4.3: M´edia a posteriori e intervalos de credibilidade 95% HPD dos parˆametros dos modelos conjuntos B.II
e C.II admitindo uma distribui¸c˜ao Weibull e uma distribui¸c˜ao exponencial.
B.VIII Weibull B.VIII Exponencial C.VIII Weibull C.VIII Exponencial Parˆametro M´edia IC 95% HPD M´edia IC 95% HPD M´edia IC 95% HPD M´edia IC 95% HPD (β11) 17.36 (17.12, 17.65) 17.43 (17.16, 17.68) 17.35 (17.12, 17.60) 17.36 (17.09, 17.59) (β12) 1.794 (1.71, 1.89) 1.70 (1.61, 1.79) 1.78 (1.70, 1.88) 1.76 (1.69, 1.85) (β13) −0.61 (−0.88, −0.31) −0.64 (−0.91, −0.33) −0.61 (−0.85, −0.34) −0.61 (−0.95, −0.33) (β14) −0.49 (−0.96, −0.02) −0.57 (−1.00, −0.1) −0.51 (−0.92, −0.07) −0.54 (−0.94, −0.10) (β15) −1.95 (−2.24, −1.64) −2.05 (−2.38, −1.77) −1.95 (−2.29, −1.67) −1.98 (−2.26, −1.70) σ2 7.11 (6.95, 7.29) 7.13 (6.95, 7.30) 7.14 (6.98, 7.33) 7.16 (6.98, 7.35) σb 11 26.64 (25.44, 27.87) 26.58 (25.27, 27.84) 26.67 (25.39, 27.93) 26.80 (25.65, 28.01) σb 22 4.52 (4.14, 4.89) 4.41 (4.06, 4.78) 4.41 (4.05, 4.78) 4.25 (3.88, 4.56) cor(b1, b2) −0.42 (−0.70, −0.50) −0.38 (−0.47, −0.31) −0.42 (−0.50, −0.34) −0.41 (−0.34, −0.49) (β20) −1.03 (−1.34, −0.67) −4.91 (−5.25, −4.60) −0.029 (−0.42, 0.35) −0.90 (−1.25, −0.46) (β21) 0.13 (−0.15, 0.40) 0.38 (0.13, 0.64) 0.12 (−0.13, 0.34) 0.31 (0.06, 0.58) (β22) −0.09 (−0.41, 0.20) 0.75 (0.46, 1.04) 0.066 (−0.22, 0.34) 0.67 (0.37, 0.95) (β23) 0.18 (−0.05, 0.45) 0.97 (0.75, 1.23) 0.15 (−0.08, 0.40) 0.72 (0.48, 0.97) γ1 −0.03 (−0.06, −0.0004) −0.22 (−0.25, −0.19) −0.06 (−0.08, −0.04) −0.20 (−0.22, −0.17) γ2 0.23 (0.14, 0.33) −0.33 (−0.44, −0.21) 0.0012 (0.0001, 0.015) σ2 Q 0.0037 (0.0001, 0.014) 0.003 (0.0001, 0.08) 0.02 (0.00007, 0.095) ρ 1.45 (1.30, 1.61) 1.32 (1.19, 1.43)
Tabela 4.4: M´edia a posteriori e intervalos de credibilidade 95% HPD dos parˆametros dos modelos conjuntos
B.VIII e C.VIII admitindo uma distribui¸c˜ao Weibull e uma distribui¸c˜ao exponencial.
inexistentes. J´a no modelo de sobrevivˆencia sobressaem algumas curiosidades. Com a distri- bui¸c˜ao de Weibull, os 4 modelos conjuntos ajustados indicam, `a primeira vista, que nenhuma das 3 covari´aveis consideradas tem impacto significativo no risco de morte. Contudo, uma vis˜ao mais cuidada, e recorrendo ao c´alculo do menor intervalo HPD que cont´em o zero da distribui¸c˜ao a posteriori do respectivo coeficiente1, leva-nos a concluir que a vari´avel IOPrev parece causar impacto no risco de morte, pelo menos, quando est˜ao em causa os modelos de partilha de efeitos aleat´orios espaciais (B.II e B.VIII), onde a cobertura ´e, respectivamente, de 83% e 84%. Apesar disso, nos outros dois modelos a cobertura n˜ao fica longe dos 80% (vide tabela4.5).
1A literatura especializada, diz-nos que ´e recomend´avel mantermos vari´aveis no modelo para as quais, o menor intervalo
Modelo
B.II C.II B.VIII C.VIII Parˆametro HPD Cob. HPD Cob. HPD Cob. HPD Cob.
β21 ]0, 0.22[ 56% ]0, 0.24[ 66% ]0, 0.24[ 62% ]0, 0.26[ 69%
β22 ] − 0.17, 0[ 39% ]0, 0.15[ 37% ] − 0.15, 0[ 36% ]0, 0.16[ 40%
β23 ]0, 0.36[ 83% ]0, 0.29[ 75% ]0, 0.37[ 84% ]0, 0.29[ 78%
Tabela 4.5: Menor intervalo HPD que cont´em o zero da distribui¸c˜ao a posteriori dos coeficientes β21, β22e β23e
respectiva percentagem de cobertura para os modelos B.II, C.II, B.VIII e C.VIII.
Por outro lado, com a distribui¸c˜ao Exponencial, a idade, o sexo e o facto de j´a ter tido doen¸cas oportunistas pr´evias, parecem influenciar o risco de morte por VIH/SIDA. A variˆancia dos efeitos aleat´orios espaciais ´e muito pequena, confirmando que n˜ao existem diferen¸cas geogr´aficas na sobrevivˆencia destes doentes. Quanto ao parˆametro γ, presente nos modelos C, acontece o esperado. Os seus valores s˜ao negativos, significando que maiores valores de CD4 reduzem o risco de morte. O mesmo se passa com o parˆametro γ1, dos modelos B, que ´e negativo. Maiores
valores iniciais de CD4 reduzem o risco. Com o parˆametro γ2 sucede um fen´omeno interessante.
Os modelos B.II e B.VIII com a distribui¸c˜ao Weibull, produzem uma estimativa positiva para este parˆametro. Na pr´atica isso significa que, um maior declive na traject´oria de CD4 est´a associado a um menor tempo de sobrevivˆencia. Embora n˜ao intuitivo, tal facto pode encontrar uma justifica¸c˜ao na figura 4.9. O paciente com a traject´oria que apresenta o maior declive, ´e simultaneamente aquele que sofre o evento. De um ponto de vista biol´ogico isso ´e aceit´avel, porque os pacientes que tˆem traject´orias mais oscilantes, com altos e baixos n´ıveis de CD4, seguidos de quedas ou subidas abruptas, s˜ao os que est˜ao numa fase mais avan¸cada da doen¸ca. De facto, os pacientes mais saud´aveis v˜ao mantendo uma contagem de CD4 mais uniforme ao longo do tempo.
As figuras4.1a4.8mostram os gr´afico dos efeitos aleat´orios espaciais com base nos modelos B.II, B.VIII, C.II e C.VIII, representando factores regionais n˜ao observados. Para tornar a distribui¸c˜ao espacial dos efeitos aleat´orios vis´ıvel, obtiveram-se, primeiramente, os quintis da distribui¸c˜ao das medianas a posteriori dos riscos relativos espec´ıficos de cada estado, exp{Qk}.
Apesar de os mapas exibirem alguma varia¸c˜ao espacial, ´e de notar que todos os intervalos de credibilidade 95% HPD para o risco relativo de cada um dos estados (tabelas4.6e4.7), indicam n˜ao existir estados com um menor risco relativo do que outros. De qualquer das maneiras, verifica-se que os estados da regi˜ao Sudeste possuem um risco relativo tendencialmente inferior ao dos restantes.
4.2 Aplica¸c˜ao
Modelo
B.II (Weib) B.II (Exp.) B.VIII (Weib.) B.VIII (Exp.) Estado m´edia IC 95% m´edia IC 95% m´edia IC 95% m´edia IC 95% Distrito Federal 1.00 ]0.90, 1.11[ 1.01 ]0.87, 1.17[ 1.01 ]0.90, 1.13[ 1.00 ]0.74, 1.22[ Goi´as 1.01 ]0.87, 1.13[ 1.02 ]0.83, 1.18[ 1.01 ]0.91, 1.15[ 1.04 ]0.80, 1.41[ Minas Gerais 1.00 ]0.89, 1.10[ 1.00 ]0.84, 1.10[ 1.01 ]0.90, 1.14[ 1.02 ]0.76, 1.32[ Tocantins 1.00 ]0.86, 1.16[ 1.01 ]0.75, 1.18[ 1.00 ]0.91, 1.13[ 1.01 ]0.76, 1.28[ Roraima 1.00 ]0.91, 1.09[ 1.00 ]0.88, 1.11[ 1.00 ]0.90, 1.13[ 0.98 ]0.74, 1.17[ Par´a 1.00 ]0.93, 1.06[ 1.00 ]0.93, 1.09[ 0.99 ]0.86, 1.10[ 1.01 ]0.80, 1.24[ Amap´a 0.99 ]0.90, 1.08[ 0.99 ]0.87, 1.08[ 1.00 ]0.89, 1.12[ 0.96 ]0.68, 1.18[ Maranh˜ao 1.00 ]0.94, 1.07[ 1.03 ]0.93, 1.16[ 1.01 ]0.90, 1.15[ 1.13 ]0.90, 1.65[ Amazonas 1.00 ]0.90, 1.10[ 0.99 ]0.87, 1.12[ 1.00 ]0.86, 1.10[ 0.97 ]0.69, 1.17[ Paran´a 1.00 ]0.94, 1.07[ 1.01 ]0.93, 1.11[ 0.99 ]0.87, 1.10[ 1.06 ]0.84, 1.37[ Santa Catarina 1.00 ]0.92, 1.07[ 1.02 ]0.92, 1.15[ 1.00 ]0.89, 1.11[ 1.05 ]0.81, 1.38[ Mato Grosso do Sul 1.00 ]0.92, 1.06[ 1.00 ]0.91, 1.08[ 1.00 ]0.91, 1.12[ 1.03 ]0.86, 1.27[ Acre 1.00 ]0.93, 1.09[ 1.00 ]0.90, 1.11[ 1.00 ]0.88, 1.11[ 0.96 ]0.69, 1.19[ Rondˆonia 1.00 ]0.89, 1.10[ 1.01 ]0.88, 1.16[ 1.00 ]0.87, 1.11[ 1.03 ]0.84, 1.27[ Rio de Janeiro 1.00 ]0.91, 1.08[ 1.00 ]0.89, 1.10[ 1.01 ]0.89, 1.13[ 1.00 ]0.75, 1.23[ Esp´ırito Santo 0.99 ]0.90, 1.08[ 0.99 ]0.87, 1.08[ 1.00 ]0.86, 1.08[ 0.95 ]0.71, 1.08[ Rio Grande do Sul 1.00 ]0.88, 1.14[ 0.99 ]0.83, 1.17[ 1.00 ]0.89, 1.12[ 0.99 ]0.72, 1.21[ Mato Grosso 1.02 ]0.85, 1.20[ 1.00 ]0.82, 1.18[ 1.01 ]0.90, 1.13[ 1.00 ]0.76, 1.21[ Bahia 1.00 ]0.90, 1.13[ 1.00 ]0.86, 1.14[ 1.01 ]0.89, 1.12[ 1.01 ]0.78, 1.30[ Piau´ı 1.00 ]0.89, 1.14[ 1.00 ]0.87, 1.15[ 1.01 ]0.88, 1.12[ 1.02 ]0.75, 1.30[ Pernambuco 1.01 ]0.88, 1.17[ 1.01 ]0.83, 1.18[ 1.01 ]0.89, 1.12[ 1.01 ]0.82, 1.25[ Alagoas 1.00 ]0.89, 1.10[ 0.99 ]0.85, 1.15[ 1.00 ]0.88, 1.11[ 1.00 ]0.70, 1.22[ Sergipe 1.00 ]0.94, 1.07[ 1.00 ]0.91, 1.08[ 1.00 ]0.89, 1.14[ 1.00 ]0.76, 1.27[ S˜ao Paulo 0.99 ]0.89, 1.06[ 1.00 ]0.89, 1.07[ 0.99 ]0.88, 1.07[ 0.99 ]0.83, 1.11[ Para´ıba 1.01 ]0.92, 1.11[ 1.00 ]0.87, 1.11[ 1.01 ]0.89, 1.14[ 1.00 ]0.76, 1.24[ Rio Grande do Norte 1.00 ]0.93, 1.08[ 1.00 ]0.92, 1.11[ 1.00 ]0.90, 1.13[ 1.02 ]0.77, 1.30[ Cear´a 1.00 ]0.90, 1.13[ 1.00 ]0.87, 1.20[ 1.01 ]0.91, 1.15[ 1.04 ]0.76, 1.37[
Tabela 4.6: M´edia a posteriori e intervalos de credibilidade 95% HPD para o risco relativo de cada estado,
exp{Qk}, obtidos a partir dos modelos B.II e B.VIII com distribui¸c˜oes Weibull e Exponencial.
Modelo
C.II (Weib) C.II (Exp.) C.VIII (Weib.) C.VIII (Exp.) Estado m´edia IC 95% m´edia IC 95% m´edia IC 95% m´edia IC 95% Distrito Federal 1,00 ]0.88, 1.11[ 1,01 ]0.81, 1.21[ 1,01 ]0.89, 1.14[ 1,00 ]0.75, 1.27[ Goi´as 1.00 ]0.87, 1.16[ 1.06 ]0.80.1, 40[ 1.00 ]0.89, 1.12[ 1.04 ]0.75, 1.39[ Minas Gerais 1.00 ]0.89, 1.10[ 1.00 ]0.83, 1.19[ 1.01 ]0.90.1, 14[ 1.03 ]0.77, 1.36[ Tocantins 1.01 ]0.87, 1.20[ 1.00 ]0.75, 1.30[ 1.01 ]0.88, 1.12[ 1.01 ]0.73, 1.26[ Roraima 1.00 ]0.90.1, 09[ 1.02 ]0.90.1, 18[ 1.00 ]0.87, 1.09[ 0.99 ]0.71, 1.23[ Par´a 1.00 ]0.92, 1.05[ 1.00 ]0.89, 1.08[ 1.00 ]0.89, 1.11[ 1.00 ]0.75, 1.24[ Amap´a 0.99 ]0.90.1, 10[ 0.97 ]0.76, 1.11[ 1.00 ]0.89, 1.12[ 0.96 ]0.65, 1.16[ Maranh˜ao 1.00 ]0.92, 1.06[ 1.04 ]0.92, 1.29[ 1.00 ]0.88, 1.12[ 1,15 ]0.88, 1.77[ Amazonas 1.00 ]0.89, 1.10[ 0.98 ]0.76, 1.12[ 1.00 ]0.89, 1.12[ 0.97 ]0.67, 1.22[ Paran´a 1.00 ]0.92, 1.06[ 1.03 ]0.92, 1.21[ 1.00 ]0.89, 1.12[ 1.07 ]0.85, 1.51[ Santa Catarina 1.00 ]0.90.1, 07[ 1.03 ]0.90.1, 20[ 1.00 ]0.88, 1.13[ 1.05 ]0.76, 1.43[ Mato Grosso do Sul 0.99 ]0.91, 1.06[ 1.00 ]0.87, 1.11[ 0.99 ]0.88, 1.10[ 1.02 ]0.80.1, 23[ Acre 1.00 ]0.91, 1.07[ 1.00 ]0.87, 1.14[ 1.00 ]0.87, 1.11[ 0.97 ]0.67, 1.15[ Rondˆonia 1.01 ]0.92, 1.13[ 1.02 ]0.89, 1.24[ 1.02 ]0.90.1, 13[ 1.04 ]0.83, 1.32[ Rio de Janeiro 1.00 ]0.92, 1.09[ 0.99 ]0.85, 1.13[ 1.01 ]0.89, 1.13[ 0.99 ]0.73, 1.25[ Esp´ırito Santo 0.99 ]0.88, 1.08[ 0.96 ]0.76, 1.08[ 1.00 ]0.90.1, 10[ 0.93 ]0.72, 1.11[ Rio Grande do Sul 1.01 ]0.85, 1.15[ 0.99 ]0.73, 1.22[ 1.00 ]0.87, 1.09[ 0.98 ]0.70.1, 24[ Mato Grosso 1.04 ]0.84, 1.28[ 0.99 ]0.75, 1.23[ 1.01 ]0.89, 1.12[ 0.98 ]0.69, 1.15[ Bahia 1.01 ]0.88, 1.12[ 1.03 ]0.88, 1.31[ 1.01 ]0.90.1, 16[ 1.01 ]0.73, 1.27[ Piau´ı 1.00 ]0.87, 1.12[ 1.01 ]0.82, 1.23[ 1.01 ]0.89, 1.12[ 1.02 ]0.73, 1.40[ Pernambuco 1.03 ]0.87, 1.22[ 1.01 ]0.82, 1.23[ 1.01 ]0.88, 1.12[ 1.02 ]0.80, 1, 27[ Alagoas 0.99 ]0.85, 1.11[ 1.00 ]0.81, 1.21[ 0.99 ]0.86, 1.10[ 0.99 ]0.74, 1.26[ Sergipe 1.00 ]0.92, 1.05[ 1.00 ]0.87, 1.11[ 1.00 ]0.89, 1.13[ 1.00 ]0.70, 1, 29[ S˜ao Paulo 0.99 ]0.89, 1.06[ 0.99 ]0.87, 1.09[ 0.98 ]0.86, 1.07[ 0.99 ]0.82, 1.11[ Para´ıba 1.01 ]0.91, 1.14[ 0.99 ]0.81, 1.17[ 1.01 ]0.90.1, 15[ 1.00 ]0.70.1, 28[ Rio Grande do Norte 1.00 ]0.91, 1.07[ 1.00 ]0.84, 1.11[ 1.00 ]0.87, 1.10[ 1.02 ]0.70.1, 30[ Cear´a 1.01 ]0.89, 1.13[ 1.00 ]0.82, 1.20[ 1.01 ]0.90.1, 15[ 1.04 ]0.67, 1.34[
Tabela 4.7: M´edia a posteriori e intervalos de credibilidade 95% HPD para o risco relativo de cada estado,
Risco Relativo (Modelo B.II)
0.99 to 1 1 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.02
Figura 4.1: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo B.II com uma distribui¸c˜ao de Wei- bull para os tempos de sobrevivˆencia.
Risco Relativo (Modelo B.II)
0.98 to 1 1 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.02
Figura 4.2: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo B.II com uma distribui¸c˜ao Expo- nencial para os tempos de sobrevivˆencia.
Risco Relativo (Modelo B.II.truevalue)
0.98 to 1 1 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.04
Figura 4.3: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo C.II com uma distribui¸c˜ao de Wei- bull para o tempo de sobrevivˆencia.
Risco Relativo (Modelo B.II.truevalue)
0.96 to 0.99 0.99 to 1 1 to 1 1 to 1.02 1.02 to 1.06
Figura 4.4: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo C.II com uma distribui¸c˜ao de Ex- ponencial para o tempo de sobrevivˆencia.
Risco Relativoweib.model.B.VIII
0.98 to 1 1 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.01
Figura 4.5: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo B.VIII com uma distribui¸c˜ao de Weibull para os tempos de sobrevivˆencia.
Risco Relativo exp.model.B.VIII
0.95 to 0.98 0.98 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.03 1.03 to 1.13
Figura 4.6: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo B.VIII com uma distribui¸c˜ao Ex- ponencial para os tempos de sobrevivˆencia.
4.2 Aplica¸c˜ao
Risco Relativo weib.model.B.VIII.truevalue
0.98 to 1 1 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.02
Figura 4.7: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo C.VIII com uma distribui¸c˜ao de Weibull para o tempo de sobrevivˆencia.
Risco Relativo exp.model.B.VIII.truevalue
0.93 to 0.98 0.98 to 1 1 to 1.01 1.01 to 1.04 1.04 to 1.15
Figura 4.8: Efeitos aleat´orios espaciais - Mapa
do Brasil onde se apresentam as heterogeneidades espa- ciais para o modelo C.VIII com uma distribui¸c˜ao de Exponencial para o tempo de sobrevivˆencia.