Estrutura em forma de U com um furo quadrado sujeita à ação de cargas

Supõe-se uma estrutura em forma de U composta por três placas quadradas com dimen- sões 1 m×1 m×10 mm, com uma delas possuindo um furo quadrado em seu centro com arestas de 0.2 m. As placas possuem o mesmo material e sequência de empilhamento do problema an- terior. Como condições de contorno, cada placa possui uma de suas arestas engastada, enquanto as demais estão livres, conforme ilustrado na Fig. 11.17. O segundo laminado está submetido a um carregamento transversal definido, em termos de variáveis locais, pela seguinte função:

𝑞(𝑥)(kPa) = 0.2𝑥1(m) + 0.1. (11.6)

Figura 11.17: Definição do problema.

A estrutura foi discretizada por meio de 560 elementos de contorno, sendo 40 em cada aresta esterna e 20 nas bordas dos cantos. A estrutura foi também analisada por meio do Abaqus, empregando 59 898 elementos STRI3. Foram escolhidos quatro pontos representati- vos posicionados nas coordenadas (0,500,500) mm, (500,200,1000) mm, (500,800,1000) mm e (1000,500,500) mm. A Tab. 11.7 confronta os valores obtidos por ambos os métodos nos pontos representativos analisados e demonstra, novamente, grande concordância entre os resultados, o que confirma a validade e a precisão da formulação apresentada. Por último, a Fig. 11.18 repre- senta a estrutura deformada com deslocamentos aumentados em 100 vezes.

Tabela 11.7: Resultados de deslocamentos e momentos fletores em pontos representativos.

𝑢0 𝑣0 𝑤 𝑀𝑥′ 𝑀_𝑦′ 𝑀_𝑥′_𝑦′

𝑃1

MEC -2.7078e-2 6.8584e-5 -4.4376e-5 -4.9594e-1 -1.4752e-1 -2.8529e-1 MEF -2.7082e-2 6.8593e-5 -4.4480e-5 -4.9631e-1 -1.4725e-1 -2.8534e-1 𝑃2

MEC -1.0032e-4 -6.1766e-5 -9.2121e-2 6.8260 8.2015e-1 9.8681e-1 MEF -1.0003e-4 -6.1870e-5 -9.2126e-2 6.8258 8.1967e-1 9.8631e-1 𝑃3

MEC -2.5420e-5 -1.3026e-4 -1.7906e-2 9.6247e-1 -1.9651 -2.1529e-1 MEF -2.5413e-5 -1.3025e-4 -1.7908e-2 9.6022e-1 -1.9666 -2.1584e-1 𝑃4

MEC 3.3868e-2 9.9681e-5 -1.8010e-4 -4.3774e-1 5.6976e-1 1.9602e-1 MEF 3.3865e-2 9.9641e-5 -1.8027e-4 -4.3779e-1 5.6943e-1 1.9589e-1

Unidades: 𝑢0, 𝑣0, 𝑤 (mm), 𝑀𝑥′, 𝑀_𝑦′, 𝑀_𝑥′_𝑦′ (N mm/mm).

11.3 Otimização da sequência de empilhamento

Na fase final deste trabalho, os códigos desenvolvidos anteriormente foram convertidos em funções cujos dados de entrada são apenas as orientações angulares das lâminas e a saída é o menor valor obtido para o fator de segurança em pontos representativos uniformemente dis- tribuídos. Para que a entrada pudesse ser tão reduzida, as demais informações correspondentes ao problema analisado foram incorporadas ao código.

Dado que o fator de segurança depende das tensões, é necessário levar em consideração o fato dessas variarem ao longo da espessura conforme a seguinte expressão:

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑘 = 𝜎𝑘 = Q*𝑘𝜀 = Q * 𝑘(𝜀0+ 𝑧𝜅) = Q*𝑘𝜀0+ 𝑧Q*𝑘𝜅. (11.7)

Como Q*_𝑘varia de uma lâmina para outra, são esperadas descontinuidades nos valores de tensão para um ponto na interface entre duas lâminas. Além disso, como 𝜀0, 𝜅 e Q*𝑘são constantes em

uma lâmina 𝑘, é possível perceber que ao longo da espessura dessa camada as tensões apresen- tarão variação linear e contínua. Os valores críticos das tensões nessa lâmina devem, portanto, estar em seus limites superior e inferior. Por essas razões, para cada ponto representativo do modelo bidimensional de placa, seja esse um nó de contorno ou um ponto interno, são analisa- das as tensões nas posições correspondentes às superfícies inferior e superior de cada lâmina. A Fig. 11.19 demonstra a variação de uma componente de tensão 𝜎𝑖𝑗 ao longo da espessura de

um laminado composto por quatro lâminas. São representados ainda, na referida figura, as oito posições onde as tensões são verificadas e o fator de segurança é calculado.

Figura 11.19: Tensão ao longo da espessura de um laminado e pontos de análise.

Não faz parte do escopo deste trabalho o estudo aprofundado de métodos de otimização global com variáveis inteiras. Nas análises presentes neste capítulo, foi simplesmente utilizado o algoritmo genético embutido no pacote Global Optimization Toolbox do MATLAB. Como esse algoritmo é projetado exclusivamente para encontrar mínimos locais e deseja-se, no en- tanto, maximizar o fator de segurança crítico, basta utilizar o oposto desse fator como a função

objetivo 𝑓 do problema, ou seja, 𝑓 (𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑛) = −𝑆𝑐(𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑛), como pode ser visto

nas Figs. 11.20a, 11.20a e 11.20c. Os ângulos admissíveis foram restritos a 0∘, ±45∘e 90∘.

11.3.1 Otimização de placas laminadas sujeitas à ação de cargas no plano

No trabalho de Kim et al. (1997), é realizada a otimização da sequência de empilhamento de placas laminadas simétricas utilizando o critério de falha de Tsai-Wu como função obje- tivo. O referido autor tomou as orientações angulares de cada lâmina como valores contínuos e formulou um processo de otimização envolvendo análise de sensibilidade em cada iteração. Dessa forma, foram obtidas tanto a disposição ótima das camadas do laminado quanto aquela mais desfavorável. O presente trabalho, por outro lado, propõe encontrar a sequência de empi- lhamento que maximize o fator de segurança associado ao referido critério de falha dentre um conjunto muito restrito de orientações angulares admissíveis.

A fim de comparar os resultados obtidos com as soluções apresentadas na referida publicação, supõe-se um problema envolvendo um laminado quadrado com dimensões de 1 m×1 m×10 mm, feito de material com as seguintes propriedades mecânicas: 𝐸1 = 181 GPa,

𝐸2 = 10.3 GPa, 𝐺12= 7.17 GPa, 𝜈12 = 0.28, 𝑋𝑡= −𝑋𝑐 = 1500 MPa, 𝑌𝑡= −𝑌𝑐 = 43.8 MPa

e 𝑆 = 86.9 MPa. O laminado é assumido sob ação de carregamentos biaxiais 𝑁𝑥e 𝑁𝑦. A tabela

a seguir demonstra os resultados obtidos neste trabalho e aqueles encontrados na literatura. Tabela 11.8: Sequências de empilhamento ótimas e valores críticos do fator de segurança.

Lâminas (𝑁𝑥,𝑁𝑦) Caso ótimo (1) Pior caso (1) Calculado

2 (100,0) [0]𝑠, 𝑆 𝑐_{= 150 [90]} 𝑠, 𝑆𝑐= 4.38 [0]𝑠, 𝑆𝑐= 150 4 [0/0]𝑠, 𝑆𝑐 = 150 [90/90]𝑠, 𝑆𝑐= 4.38 [0/0]𝑠, 𝑆𝑐 = 150 2 (100,200) [90]𝑠, 𝑆 𝑐_{= 4.506 [0]} 𝑠, 𝑆𝑐= 2.206 [90]𝑠, 𝑆𝑐= 4.506 4 [±53.7]𝑠, 𝑆𝑐 = 29.911 [0/0]𝑠, 𝑆𝑐= 2.206 [90/0]𝑠, 𝑆𝑐 = 20.016 2 (100,400) [90]𝑠, 𝑆 𝑐_{= 4.625 [0]} 𝑠, 𝑆𝑐= 1.099 [90]𝑠, 𝑆𝑐= 4.625 4 [±62.6]𝑠, 𝑆𝑐 = 24.486 [0/0]𝑠, 𝑆𝑐= 1.099 [0/90]𝑠, 𝑆𝑐 = 10.169

(1) Kim et al. (1997). Unidades: 𝑁𝑥e 𝑁𝑦 (N/mm).

É possível perceber que as soluções calculadas são idênticas ou inferiores àquelas encon- tradas em Kim et al. (1997), ainda que o referido autor tenha restringido a otimização ao caso de laminados simétricos. Isso pode ser explicado pela diminuta quantidade de ângulos discretos levados em consideração e pelas próprias características dos problemas analisados, que permi- tem encontrar excelentes opções dentre as possibilidades de laminados simétricos. Contudo, o processo de otimização empregado neste trabalho também proporcionou soluções boas e com o diferencial de fornecer ângulos de fácil produção, ao contrário da otimização com variáveis contínuas, que obteve valores como 62.6∘e 53.7∘. Além das quatro orientações adotadas, outras podem ser incluídas conforme a precisão do processo empregado na fabricação dos laminados. Por fim, as figuras a seguir demonstram a convergência do algoritmo genético ao longo das quarenta iterações realizadas para cada um dos três casos de laminados com quatro camadas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 Iteração -150 -100 -50 0 V alor da função obje tiv o Melhor valor Valor médio (a) (𝑁𝑥,𝑁𝑦) = (100,0) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Iteração -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 V alor da função ob je tiv o Melhor valor Valor médio (b) (𝑁𝑥,𝑁𝑦) = (100,200) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Iteração -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 V alor da função obje tiv o Melhor valor Valor médio (c) (𝑁𝑥,𝑁𝑦) = (100,400)

12

Conclusões

12.1 Considerações finais

Ao longo desta dissertação, ficam evidentes duas grandes vantagens da formulação para placas laminadas finas gerais em relação às anteriores. Uma é a capacidade de lidar simultanea- mente com os efeitos no plano e fora do plano, estando esses acoplados ou não, proporcionando resultados em todas as direções cartesianas. A outra vantagem é que, ao contrário das formu- lações convencionais, que abrangem apenas laminados simétricos, não são impostas limitações quanto à sequência das lâminas que compõem o laminado. Portanto, esse pode ser simétrico ou assimétrico, conforme as demandas e limitações do projeto estrutural.

Este trabalho apresentou duas contribuições principais à aplicação do método dos ele- mentos de contorno na análise do comportamento mecânico de placas laminadas com alonga- mento e flexão acoplados. A primeira foi a obtenção de expressões integrais de contorno para o cálculo dos termos relacionados com forças distribuídas na superfície da placa, recuperando a importante característica do MEC de requerer a discretização apenas do contorno. A varia- ção assumida para as cargas no domínio é especialmente vantajosa, pois abrange uma grande quantidade de problemas, como os que possuem carregamento constante, linear ou afim, bem como aqueles em que as cargas são interpoladas bilinearmente a partir de valores conhecidos. O segundo avanço importante realizado neste trabalho foi a extensão da formulação de placas laminadas individuais para estruturas tridimensionais formadas por associação de placas não coplanares. Contribuições menores, mas dignas de nota, são as expressões analíticas apresenta- das para o cálculo dos coeficientes de influência não singulares no caso de ponto fonte presente no elemento integrado e a formulação de problemas visando a otimização do fator de segurança crítico da estrutura, relacionado com o critério de falha de Tsai-Wu, por meio do ajuste das orientações angulares de cada uma das lâminas.

Os resultados proporcionados pelos códigos desenvolvidos foram confrontados com so- luções analíticas e numéricas encontradas na literatura ou, na ausência dessas, com o programa comercial de elementos finitos Abaqus. Em todos os casos estudados, esses códigos foram bem sucedidos em aproximar com exatidão as respostas esperadas, validando as formulações apre- sentadas e demonstrando o potencial do MEC na resolução de problemas envolvendo placas laminadas finas gerais.

Por fim, as soluções dos problemas de otimização formulados demonstram a importância da orientação angular das fibras de cada uma das lâminas na determinação da capacidade de carga do laminado, que nos problemas analisados chega a variar mais de vinte e duas vezes da situação ótima para a mais desfavorável. Cabe ressaltar que, apesar da decisão final da sequência de empilhamento que deverá ser adotada para uma determinada placa laminada depender de diversos outros fatores, o estudo e a otimização do fator de segurança crítico são importantes para o projeto, pois previnem o laminado da possibilidade de ocorrência de falhas.

12.2 Sugestões para trabalhos futuros

Apesar das soluções fundamentais e equações integrais de contorno terem sido derivadas para placas laminadas com contornos gerais, a formulação do MEC empregada neste trabalho restringe-se ao caso de elementos com geometria linear. Por esse motivo, fica como sugestão o estudo da utilização de elementos curvos na discretização do problema.

Visto que uma das principais vantagens da formulação acoplada em relação às demais é evitar limitações quanto à disposição das lâminas em relação ao plano médio, estudos mais aprofundados acerca da otimização de laminados podem ser realizados, por exemplo, incluindo as espessuras de cada uma das camadas como variáveis de projeto.

Por último, como a aplicação do MEC em problemas de placas laminadas com alon- gamento e flexão acoplados ainda é muito recente e tem demonstrado ser promissora, é in- teressante a elaboração de formulações do método para a análise de estabilidade estática em laminados assimétricos.

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