Caio César Rocha Ramos
Método dos Elementos de Contorno Aplicado
a Estruturas Formadas por Placas Laminadas
Finas com Alongamento e Flexão Acoplados
CAMPINAS 2019
Método dos Elementos de Contorno Aplicado
a Estruturas Formadas por Placas Laminadas
Finas com Alongamento e Flexão Acoplados
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecâ-nica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Me-cânico.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO CAIO CÉSAR ROCHA RAMOS, E ORI-ENTADO PELO PROF. DR. CARLOS HENRIQUE DAROS.
... ASSINATURA DO ORIENTADOR
CAMPINAS 2019
Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Ramos, Caio César Rocha,
R147m RamMétodo dos elementos de contorno aplicado a estruturas formadas por placas laminadas finas com alongamento e flexão acoplados / Caio César Rocha Ramos. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
RamOrientador: Carlos Henrique Daros.
RamDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.
Ram1. Métodos de elementos de contorno. 2. Placas. 3. Materiais laminados. 4. Materiais compostos. I. Daros, Carlos Henrique, 1971-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Boundary element method applied to the coupled
stretching-bending analysis of assembled thin laminated plate structures
Palavras-chave em inglês:
Boundary element method Plates
Laminated materials Composite materials
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica
Banca examinadora:
Carlos Henrique Daros [Orientador] Paulo Sollero
Leandro Palermo Júnior
Data de defesa: 16-08-2019
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-3996-9372 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/6283388899007748
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
Método dos Elementos de Contorno Aplicado
a Estruturas Formadas por Placas Laminadas
Finas com Alongamento e Flexão Acoplados
Autor: Caio César Rocha Ramos
Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:
Prof. Dr. Carlos Henrique Daros FEM/DMC/UNICAMP
Prof. Dr. Paulo Sollero FEM/DMC/UNICAMP
Prof. Dr. Leandro Palermo Júnior FEC/UNICAMP
A ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Dedico este trabalho à minha mãe, Eliete Rocha e Silva, a fantástica professora que me ensinou a gostar das estrelas, do canto dos pássaros e da matemática.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Carlos Henrique Daros, por ter aberto as portas da UNICAMP para mim, me confiado o projeto de pesquisa que deu origem a este trabalho e me ajudado durante todo o mestrado.
Aos membros das bancas de qualificação e defesa, Prof. Dr. Paulo Sollero e Prof. Dr. Leandro Palermo Júnior, pelas correções e discussões que contribuíram para o enriquecimento desta dissertação.
À minha mãe, Eliete Rocha e Silva, por seu esforço e dedicação em me ajudar e motivar, bem como seu carinho e amparo, que foram muito importantes para mim durante o desenvolvimento deste trabalho. Ao meu pai, Marco Aurélio Coelho Ramos, por sempre me incentivar a buscar crescimento pessoal e profissional.
À minha namorada, Krisya, que apesar da distância física esteve sempre presente me apoiando e tornando os meus dias melhores. Aos amigos Amadeus, Carlos, Pedro e José, tanto pela colaboração mútua ao longo do mestrado quanto pelos momentos de diversão que marcaram esses dois anos.
Ao Prof. Calebe Paiva (UFPI), que me apresentou ao MEC ainda na graduação, o que facilitou muito a condução deste trabalho e me inspirou a continuar explorando o método.
Aos professores, colegas e funcionários da Universidade Estadual de Campinas que contribuí-ram com a minha formação.
À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), processo no 2017/12205-7, pelo apoio financeiro que tornou possível a realização deste trabalho.
Ao longo dos dois primeiros meses de execução, o presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.
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Quando a sequência de empilhamento das lâminas não é simétrica em relação ao plano médio da placa laminada, os fenômenos de flexão e alongamento tornam-se inevitavelmente acopla-dos, o que proporciona um considerável aumento da complexidade das equações diferenciais governantes. Portanto, o acoplamento desses efeitos deve ser levado em consideração a fim de estabelecer uma formulação capaz de analisar laminados gerais, sejam esses simétricos ou assimétricos. Recentemente, uma formulação em elementos de contorno para a análise de placas finas laminadas que leva em consideração o referido acoplamento foi desenvolvida. As equações integrais de contorno foram obtidas com o auxílio do teorema da reciprocidade de Betti-Rayleigh e as respectivas soluções fundamentais foram derivadas por meio de um formalismo complexo análogo ao de Stroh. Neste trabalho, essa formulação é estendida, mediante o emprego da técnica de sub-regiões, para a análise de estruturas tridimensionais formadas a partir da associação de placas finas laminadas. Seguindo essa abordagem, cada placa é analisada separadamente e então unida às demais por meio da imposição das condições de equilíbrio e de compatibilidade de deslocamentos ao longo das interfaces. Além disso, as integrais de domínio relacionadas com forças distribuídas na superfície da placa são transformadas em integrais de contorno por meio do método da integração radial. Alguns exemplos são apresentados e os resultados obtidos são comparados com soluções analíticas e numéricas encontradas na literatura técnica ou, na ausência dessas, com valores fornecidos por um software comercial de elementos finitos, o que permite verificar a validade, confiabilidade e precisão da formulação apresentada. Por fim, uma vez que os códigos desenvolvidos são capazes de simular estruturas compostas por laminados com sequências de empilhamento arbitrárias, são formulados alguns problemas de otimização, utilizando o fator de segurança associado com o critério de falha de Tsai-Wu como função objetivo e as orientações angulares das fibras de cada uma das lâminas como variáveis de projeto.
Palavras-chave: Métodos de elementos de contorno, Placas, Materiais laminados, Materiais compostos.
When the laminae stacking sequence is non-symmetrical with respect to the midplane of the laminated plate, the coupling of in-plane and plate bending problems unavoidably arises, increasing the complexity of the governing differential equations. Thus, the coupling effects must be taken into account to establish a formulation able to cover all sorts of symme-tric or unsymmesymme-tric laminates. Recently, a boundary element formulation for the coupled stretching-bending analysis of thin laminated plates has been developed. The related boundary integral equations were obtained with the aid of the Betti-Rayleigh reciprocal theorem and the fundamental solutions were derived through the use of a Stroh-like complex variable formalism. Here, this formulation is extended to cover problems of assembled thin laminated plate structures employing the subregions technique. Following this approach, each plate is considered separately and then joined together by imposing equilibrium conditions and displacement compatibility along interface edges. Furthermore, domain integrals related to distributed loads are transformed into boundary integrals using the radial integration method. Some examples are presented and obtained results are compared with analytical and numerical solutions found in the technical literature or, in the absence of these solutions, with values provided by a finite element software, certifying the validity, reliability, and accuracy of the present formulation. Finally, since the resulting boundary element code can simulate structures composed by laminates with arbitrary stacking sequences, some optimization problems are stated, using the safety factor associated with the Tsai-Wu failure criteria as objective function and fibers orientation angles as design variables.
1.1 Vôo inaugural do segundo protótipo do Aerospatiale SA.340 Gazelle em
Ma-rignane - França, 1968 (Airbus Helicopters). . . 19
1.2 Primeiros aviões civis feitos em material compósito a buscar a certificação da FAA. . . 20
1.3 Emprego de materiais compósitos no Boeing 787 (The Boeing Company). . . . 21
1.4 Porcentagem de materiais compósitos no peso de aviões comerciais conforme o ano do primeiro voo (United States Government Accountability Office - GAO, 2011). . . 22
1.5 Reabilitação das vigas de uma ponte por meio da colagem externa de materiais compósitos reforçados por fibras (Davalos et al., 2012). . . 23
1.6 Arranjos comuns de fibras em lâminas. . . 23
1.7 Laminado com sequência de empilhamento [−45/45/90/0]. . . 24
2.1 Força resultante em um ponto 𝑃 de uma superfície 𝑆 (Lai et al., 2010). . . 30
2.2 Componentes de tensão. . . 30
2.3 Direções materiais de uma lâmina. . . 35
2.4 Ângulo entre os sistemas 𝑥 − 𝑦 e 𝐿 − 𝑇 . . . 36
2.5 Deformação de uma placa de acordo com as hipóteses de Kirchhoff. . . 37
2.6 Seção transversal do laminado (Hwu, 2010a). . . 40
2.7 Forças resultantes, momentos fletores e carregamentos distribuídos. . . 41
3.1 Forças de corpo atuantes em planos perpendiculares à geratriz do corpo cilíndrico. 42 5.1 Laminado infinito sujeito à ação de forças concentradas e momentos em um ponto arbitrário. . . 71
5.2 Corte de ramificação do domínio 𝐷*(Agarwal et al., 2011). . . 72
5.3 Função logarítmica complexa. . . 75
5.4 Àrea superficial, contorno, canto e direções tangenciais e normais de uma placa laminada fina. . . 82
5.5 Direções dos momentos e rotações. . . 83
5.6 Direções normais associadas com o ponto fonte e com o ponto campo. . . 85
5.7 Placa laminada geral. . . 88
6.1 Direções angulares dos nós de canto e dos elementos conectados. . . 94
7.1 Três nós não coincidentes no canto 𝑘. . . 98
7.2 Nós coincidentes no canto 𝑘 e pontos fonte (em vermelho) fora do contorno. . . 100
7.3 Nós coincidentes no canto e variáveis associadas. . . 106
7.4 Sistemas de coordenadas locais e nós utilizados na interpolação de deformações e curvaturas. . . 116
8.1 Nós 𝜉1−, 𝜉1, 𝜉, 𝜉2e 𝜉2+. . . 127
9.3 Associação de placas. . . 138
10.1 Envelope de falha hipotético e multiplicadores 𝜆. . . 145
11.1 Fluxograma da análise de placas laminadas. . . 150
11.2 Condições de contorno e posicionamento dos nós 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷. . . 151
11.3 Geometria discretizada. . . 152
11.4 Placas laminadas simétricas e assimétricas deformadas - deslocamentos aumen-tados em 20 vezes. . . 153
11.5 Deslocamentos ao longo do eixo 𝑦 em uma placa laminada assimétrica. . . 154
11.6 Definição do problema. . . 155
11.7 Geometria discretizada. . . 156
11.8 Placa deformada - deslocamentos aumentados em 200 vezes. . . 157
11.9 Deslocamentos transversais. . . 157
11.10Carregamento transversal distribuído. . . 158
11.11Placa deformada - deslocamentos aumentados em 500 vezes. . . 159
11.12Fluxograma da análise de estruturas compostas por placas laminadas. . . 160
11.13Definição do problema. . . 162
11.14Estrutura deformada - deslocamentos aumentados em 50 vezes. . . 162
11.15Forças e momentos resultantes nas direções locais de cada placa. . . 163
11.16Deformações no plano médio e curvaturas nas direções locais de cada placa. . . 164
11.17Definição do problema. . . 165
11.18Estrutura deformada - deslocamentos aumentados em 100 vezes. . . 166
11.19Tensão ao longo da espessura de um laminado e pontos de análise. . . 167
11.1 Deslocamentos relativos, forças resultantes e momentos fletores. . . 152
11.2 Resultados de deslocamentos em pontos representativos. . . 156
11.3 Resultados de momentos fletores em pontos representativos. . . 156
11.4 Resultados de deslocamentos em pontos representativos. . . 158
11.5 Resultados de momentos fletores em pontos representativos. . . 158
11.6 Resultados de deslocamentos e momentos fletores em pontos representativos. . 161
11.7 Resultados de deslocamentos e momentos fletores em pontos representativos. . 166
Letras latinas
t - Vetor de forças de superfície
n - Vetor normal
x - Ponto campo
𝑒𝑖𝑗 - Tensor lagrangiano de medida de deformação
𝐸𝑖𝑗 - Tensor euleriano de medida de deformação
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 - Tensor de elasticidade
𝑆𝑖𝑗𝑘𝑙 - Tensor de flexibilidade
Q - Matriz de rigidez de uma lâmina
T - Matriz de transformação
𝑁 - Forças resultantes na seção transversal do laminado
𝑀 - Momentos fletores
𝐴 - Matriz de rigidez extensional
𝐵 - Matriz de acoplamento
𝐷 - Matriz de rigidez flexural
A e B - Matrizes de autovetores do material N - Matriz fundamental de elasticidade H, L e S - Tensores de Barnett-Lothe
𝐴 - Região superficial de uma placa 𝑢, 𝑣 e 𝑤 - Deslocamentos em uma placa 𝑢0, 𝑣0 e 𝑤0 - Deslocamentos no plano médio
𝑇𝑥e 𝑇𝑦 - Forças de superfície resultantes
𝑉𝑛 - Força cisalhante transversal efetiva
𝑓𝑖 - Forças de corpo
𝑞𝑥, 𝑞𝑦 e 𝑞 - Forças distribuídas na região superficial da placa
𝑚𝑥e 𝑚𝑦 - Momentos distribuídos na região superficial da placa
𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 - Forças transversais cisalhantes
𝑆𝑐 - Fator de segurança crítico
𝜉 - Ponto fonte
𝜎 - Tensor de tensões
𝛽𝑥 e 𝛽𝑦 - Declividades negativas nas direções 𝑥 e 𝑦
𝜀0𝑥, 𝜀0𝑦 e 𝛾𝑥𝑦0 - Deformações no plano médio 𝜅𝑥, 𝜅𝑦 e 𝜅𝑥𝑦 - Curvaturas
Γ - Contorno
𝜇𝑘 - Autovalores do material
Siglas
MEC - Método dos Elementos de Contorno MEF - Método dos Elementos Finitos
FAA - Administração Federal de Aviação dos Estados Unidos Federal Aviation Administration
GAO - United States Government Accountability Office NASA - Administração Nacional da Aeronáutica e do Espaço
National Aeronautics and Space Administration Outras Notações
SA1 - Aresta simplesmente apoiada - Tipo 1 SA2 - Aresta simplesmente apoiada - Tipo 2
− - Variáveis avaliadas imediatamente antes o canto + - Variáveis avaliadas imediatamente após o canto
1 Introdução 18
1.1 Motivação . . . 19
1.2 Revisão bibliográfica . . . 25
1.3 Objetivos . . . 27
1.4 Estrutura da dissertação . . . 28
2 Equações constitutivas para placas laminadas finas 29 2.1 Teoria da elasticidade linear anisotrópica . . . 29
2.2 Equação constitutiva da lâmina . . . 34
2.3 Teoria clássica de placas laminadas finas . . . 37
3 Formalismos complexos para deformações bidimensionais em materiais elásticos anisotrópicos 42 3.1 Formalismo de Lekhnitskii . . . 42 3.1.1 Solução geral . . . 46 3.2 Formalismo de Stroh . . . 49 3.2.1 Solução geral . . . 50 3.2.2 Autorrelações . . . 54
4 Formalismos complexos para a análise de placas laminadas com alongamento e flexão acoplados 58 4.1 Formalismo de deslocamentos . . . 58
4.2 Formalismo misto . . . 63
4.3 Comparação entre formalismos . . . 67
4.4 Expressões explícitas . . . 68
5 Formulação integral de contorno 70 5.1 Soluções para um laminado infinito . . . 70
5.1.1 Forças concentradas no plano e momentos fora do plano . . . 71
5.1.2 Força concentrada transversal . . . 76
5.1.3 Momento concentrado no plano . . . 77
5.2 Equações integrais de contorno . . . 79
5.2.1 Ponto fonte interno . . . 82
5.2.2 Soluções fundamentais . . . 86
5.2.3 Ponto fonte no contorno . . . 87
6.1 Interpolação das variáveis . . . 90
6.2 Discretização das equações integrais de contorno . . . 91
7 Tratamento dos cantos 97 7.1 Placas laminadas finas com cantos . . . 97
7.2 Pontos fonte fora do contorno . . . 99
7.3 Nós triplos . . . 100
7.3.1 Equações auxiliares para o caso de material isotrópico em estado plano de deformação . . . 106
7.3.2 Equações auxiliares para placas laminadas finas . . . 109
8 Avanços na formulação do MEC para placas laminadas 120 8.1 Integrais singulares . . . 120
8.2 Soluções completas . . . 124
8.2.1 Pontos internos . . . 124
8.2.2 Nós do contorno . . . 126
8.3 Integrais de contorno para o cálculo dos termos relacionados com as cargas distribuídas no domínio . . . 129
9 Estruturas compostas por placas laminadas com alongamento e flexão acoplados 134 9.1 Formulação do método dos elementos de contorno . . . 134
9.2 Associação de placas laminadas . . . 136
10 Critérios de falha e otimização de laminados 139 10.1 Critério de máxima tensão . . . 139
10.2 Critério de Tsai-Hill . . . 140
10.3 Critério de Tsai-Wu . . . 142
10.4 Otimização da sequência de empilhamento das lâminas . . . 147
11 Resultados Numéricos 149 11.1 Placas laminadas . . . 149
11.1.1 Placa laminada submetida a tensão no plano ou momento fletor . . . 150
11.1.2 Placa laminada com furo submetida a carregamento uniforme . . . 155
11.1.3 Placa laminada com furo submetida a carregamento não uniforme . . . 157
11.2 Estruturas compostas por placas laminadas . . . 159
11.2.1 Estrutura em forma de T com um furo quadrado sujeita à ação cargas transversais não uniformes . . . 160
11.2.2 Estrutura em forma de U com um furo quadrado sujeita à ação de cargas transversais não uniformes . . . 165
12 Conclusões 170 12.1 Considerações finais . . . 170 12.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . 171
1
Introdução
Placas são elementos estruturais planos cuja espessura é muito menor que as demais di-mensões e que estão submetidos à ação de carregamentos que provocam flexão. Esse tipo de elemento possui diversas aplicações na engenharia, como em lajes de edifícios, muros de con-tenção, tabuleiros de pontes, aletas de foguetes, decks de navios e aviões, painéis da carroceria de automóveis e plataformas off-shore. Em decorrência de sua reduzida espessura, esses ele-mentos geralmente são modelados como sendo bidimensionais. Entretanto, a união de duas ou mais placas não coplanares em uma mesma borda resulta em um modelo tridimensional que pode ser utilizado, por exemplo, para analisar o núcleo de rigidez de um edifício alto ou vigas com seção aberta ou celular.
Na busca por estruturas cada vez mais leves e resistentes, diversos ramos da engenharia têm utilizado os chamados materiais compósitos, que são formados pela combinação de dois ou mais materiais em escala macroscópica com o intuito de obter propriedades mais adequadas para uma determinada aplicação que aquelas encontradas em materiais convencionais. Dentre as características que podem ser melhoradas por intermédio da produção de materiais compósi-tos destacam-se a rigidez; a resistência à ruptura, corrosão e fadiga; condutividade e isolamento térmico; e a redução do peso. A escolha de quais propriedades devem ser efetivamente melho-radas depende da aplicação a qual o material projetado se destina. A maior parte dos materiais compósitos consistem essencialmente em um material básico, que constitui a chamada matriz do compósito, e um material de reforço, comumente utilizado na forma de fibras.
Dentre a imensa variedade de materiais compósitos disponíveis para a utilização em estru-turas, este trabalho concentra seu interesse naqueles formados pelo empilhamento de lâminas unidirecionalmente reforçadas por fibras, usualmente chamados de compósitos laminados ou apenas laminados. Nesse tipo de material, é permitido que a orientação das fibras varie de uma lâmina para outra. Por essa razão, as propriedades mecânicas de um laminado dependem não só dos materiais que compõem suas lâminas, mas também da sequência de orientações angulares das fibras que reforçam cada uma dessas, chamada de sequência de empilhamento. Essa deve ser escolhida de forma criteriosa a fim de obter elementos estruturais com bom desempenho.
A simulação dos fenômenos físicos relacionados com o comportamento mecânico de es-truturas compostas por placas de material compósito laminado envolve a resolução de equações diferenciais de grande complexidade. Nesse caso, torna-se essencial o emprego de métodos numéricos como o método dos elementos finitos (MEF) ou o método dos elementos de con-torno (MEC). O primeiro é o mais utilizado e serviu como base para o advento de poderosas plataformas computacionais amplamente adotadas no auxílio à elaboração de projetos de en-genharia. O segundo desponta como uma alternativa especialmente vantajosa em relação ao MEF na análise de problemas com concentração de tensões ou que envolvem domínios infini-tos ou semi-infiniinfini-tos. Uma de suas principais características é requerer a discretização apenas do contorno e não do domínio.
1.1 Motivação
O uso de materiais compósitos em estruturas aeroespaciais aumentou drasticamente nas últimas décadas. Para Kassapoglou (2010), esse fato decorre de uma série de propriedades en-contradas nesse tipo de material como, por exemplo: elevada razão entre a rigidez e o peso, reduzida sensibilidade à ação de cargas cíclicas, resistência à corrosão e a possibilidade de ajus-tar a geometria e a sequência de empilhamento das lâminas para condições de carregamento específicas, de forma a otimizar o desempenho da estrutura. Além disso, em decorrência do avanço de métodos automatizados de fabricação, é possível produzir componentes complexos em material compósito com custos competitivos, ou mesmo inferiores, àqueles envolvidos na utilização de materiais metálicos.
A indústria de helicópteros foi uma das primeiras a utilizar materiais compósitos em apli-cações estruturais. As pás do rotor principal e de cauda, com seu comportamento análogo ao de vigas, foram alguns dos principais elementos estruturais construídos com compósitos no final da década de 1960. Um exemplo dessa aplicação é o bem sucedido helicóptero francês Aerospatiale Gazelle (Fig. 1.1).
Figura 1.1: Vôo inaugural do segundo protótipo do Aerospatiale SA.340 Gazelle em Marignane - França, 1968 (Airbus Helicopters).
No início da década de 1980, o Beech Starship I (Fig. 1.2b) foi o primeiro avião civil feito em material compósito a obter a certificação da Administração Federal de Aviação dos Estados Unidos (Federal Aviation Administration - FAA). Os esforços para a construção de um avião desse tipo, contudo, começaram com o LearFan 2100 (Fig. 1.2a), que não conseguiu alcançar a certificação da FAA antes que a empresa fabricante, LearAvia, fosse à falência, impedindo que
o avião entrasse em produção. Apenas três protótipos foram construídos, dos quais um pode ser visto no Civil Aerospace Medical Institute, na cidade de Oklahoma, estado de Oklahoma; e os outros encontram-se expostos em dois museus norte-americanos: o The Museum of Flight, em Seattle, no estado de Washington; e o Frontiers of Flight Museum, em Dallas, no Texas. Antes da idealização do LearFan 2100, só haviam sido construídos em material compósito aviões de pequeno porte para fins recreacionais ou acrobáticos, cujos requisitos estruturais eram relativa-mente fáceis de serem atendidos (Kassapoglou, 2010).
(a) LearFan 2100 (The Museum of Flight)
(b) Beech Starship 1 (The Museum of Flight)
Figura 1.2: Primeiros aviões civis feitos em material compósito a buscar a certificação da FAA. Aplicações significativas de materiais compósitos em aviões de grande porte destinados ao transporte de passageiros podem ser verificadas, ainda na década de 1980, no Boeing 737 e no Airbus A320. Entretanto, o grande salto na utilização desses materiais na aviação comercial foi dado com o desenvolvimento do Boeing 787 na primeira década do milênio atual. Segundo dados da Boeing, materiais compósitos correspondem a aproximadamente 50% do peso desse avião, uma mudança radical para os padrões da época. A Fig. 1.3, disponibilizada pela
fabri-cante em sua página virtual, demonstra as regiões do 787 nas quais foram empregados materiais compósitos. Mais recente, destaca-se ainda o Airbus A350, que tem cerca de 53% de sua estru-tura em material compósito.
(a) Compósito laminado de carbono (em preto)
(b) Compósito sanduíche de carbono (em azul-claro) (c) Outros compósitos (em azul-escuro) Figura 1.3: Emprego de materiais compósitos no Boeing 787 (The Boeing Company).
Em um relatório publicado em 2011, que trata das ações da FAA na supervisão das con-dições de segurança de aviões fabricados em material compósito, o United States Government Accountability Office - GAO, órgão ligado ao congresso norte-americano com função de fis-calizar a aplicação de recursos públicos por parte do governo federal, agrupou dados da FAA, da Boeing, da Administração Nacional da Aeronáutica e do Espaço (National Aeronautics and Space Administration - NASA), e de publicações na área de aviação em um gráfico demons-trando a porcentagem de materiais compósitos no peso total da estrutura de diversos aviões co-merciais conforme o ano do primeiro voo. Esse gráfico, reproduzido em português na Fig. 1.4, evidencia tanto o notável aumento no emprego de materiais compósitos ao longo das últimas décadas, quanto as profundas transformações introduzidas pelos modelos Boeing 787 e Airbus
A350. Na época da elaboração do referido relatório, o A350 ainda estava em fase de desenvol-vimento. Por esse motivo, o GAO utilizou os dados que haviam sido antecipados pela Airbus, condizentes com aqueles encontrados atualmente na página virtual da empresa.
B-747 MD-80B-767 B-757 B-737-300 A300-600 A310 A320 A330 A340 MD-11 MD-90 Boeing 777 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 DC-9
Porcentagem de materiais compósitos no peso total da estrutura
Ano do primeiro voo
Boeing 787 A350 A380 DC-10 L-1011 Antecipado
Figura 1.4: Porcentagem de materiais compósitos no peso de aviões comerciais conforme o ano do primeiro voo (United States Government Accountability Office - GAO, 2011).
Na construção civil, materiais compósitos de matriz polimérica reforçados com fibras de carbono, em virtude de seu baixo peso e alta resistência mecânica e à corrosão, têm sido aplica-dos com a finalidade de restabelecer ou aumentar a capacidade de carga original de estruturas de concreto armado (Fig. 1.5). Esses materiais podem ainda ser protendidos com o intuito de aliviar as tensões de tração no concreto, aumentando a resistência e rigidez da estrutura e retar-dando a formação de fissuras que, quando aparecem, são mais distribuídas e possuem aberturas menores (Garcez et al., 2012).
Uma lâmina de material compósito reforçado por fibras consiste essencialmente em uma grande quantidade de fibras embutidas em uma matriz que pode ser metálica, como as de alu-mínio, ou não-metálica, como as de polímeros termoplásticos. A matriz tem como função unir e proteger as fibras, além de servir como meio para a transmissão de carregamentos (Reddy, 2004; Jones, 1975). Diversos materiais podem ser utilizados na fabricação das fibras como, por exemplo: carbono, boro, vidro ou Kevlar®. Destacam-se ainda as fibras de grafite, que são obtidas a partir das mesmas matérias-primas que as fibras de carbono (poliacrilonitrila, rayon ou piche), porém durante o processo de fabricação são submetidas a temperaturas mais
ele-Figura 1.5: Reabilitação das vigas de uma ponte por meio da colagem externa de materiais compósitos reforçados por fibras (Davalos et al., 2012).
vadas. Apesar de ambos os termos serem frequentemente utilizados para fazer referência ao mesmo material, fibras de grafite possuem módulo de elasticidade superior e contém mais de 99% de carbono em sua composição, enquanto as fibras de carbono possuem entre 93% e 95% (Campbell, 2010). Na confecção de lâminas, podem ser empregadas fibras longas e contínuas ou curtas e descontínuas. Quando contínuas, essas fibras são geralmente arranjadas de forma unidirecional ou entrelaçadas, como ilustrado na Fig. 1.6.
(a) Fibras contínuas unidirecionais (b) Fibras contínuas entrelaçadas (c) Fibras descontínuas aleatoria-mente arranjadas
Figura 1.6: Arranjos comuns de fibras em lâminas.
Laminados são materiais resultantes do empilhamento de lâminas com o intuito de obter a rigidez e a espessura desejadas. No caso de lâminas unidirecionais, a orientação das fibras é definida pelo ângulo 𝜃, medido em graus, entre a direção reforçada e o eixo de referência
ado-tado. Por convenção, ângulos no sentido anti-horário são considerados positivos, de forma que −90∘ < 𝜃 ≤ +90∘. A sequência de empilhamento de um laminado formado por 𝑛 lâminas é
representada por [𝜃1/𝜃2/ . . . /𝜃𝑛], sendo 𝜃𝑖, 𝑖 = 1,2, . . . ,𝑛, as orientações associadas às
sucessi-vas lâminas contadas a partir do topo do laminado, como exemplificado na Fig. 1.7. A repetição da orientação em lâminas consecutivas é representada por meio de um número subscrito que corresponde à quantidade de vezes que a orientação deve ser repetida. Por exemplo: [452] é o
mesmo que [45/45].
Figura 1.7: Laminado com sequência de empilhamento [−45/45/90/0].
Conforme a sequência de empilhamento, os laminados podem receber diversas denomina-ções especiais. Contudo, todas essas classificadenomina-ções podem ser encaixadas em dois casos básicos mutuamente excludentes: laminados simétricos e assimétricos. Os primeiros são aqueles cuja sequência de empilhamento é simétrica, ou seja, o material, espessura e orientação são idênti-cos em cada par de lâminas localizadas simetricamente em relação ao plano médio do laminado. Nesse caso, a sequência de empilhamento pode ser expressa de forma contraída: quando o nú-mero de lâminas é par, escreve-se apenas metade da sequência e utiliza-se o subscrito 𝑠 para indicar a simetria do laminado, e.g. [45/40]𝑠 é o mesmo que [45/40/40/45]; quando ímpar,
escreve-se as orientações da primeira lâmina até a central e utiliza-se, além do referido subs-crito, uma barra horizontal acima do ângulo da lâmina central para indicar que essa não deve ser repetida, e.g. [45/40]𝑠é o mesmo que [45/40/45]. Definidos os laminados simétricos, todos
aqueles que não se encaixam na descrição acima são considerados assimétricos.
Placas constituídas de material compósito laminado são frequentemente referidas na lite-ratura técnica como placas laminadas ou simplesmente como laminados (Jones, 1975; Reddy, 2004). Visto que neste trabalho os laminados são utilizados exclusivamente para compor pla-cas e estruturas compostas por esse tipo de elemento estrutural, todas essas denominações são adequadas e, por esse motivo, serão empregadas como sinônimas deste ponto em diante.
Em decorrência do arranjo de seus componentes, laminados apresentam comportamento elástico anisotrópico. Contudo, assim como nos materiais isotrópicos, problemas de flexão e alongamento em laminados simétricos podem ser analisados de forma independente. O mesmo não ocorre em laminados assimétricos, nos quais os fenômenos de flexão e alongamento são acoplados, ou seja, tanto os esforços no plano quanto fora do plano provocam simultaneamente alongamento, flexão e torção do laminado (Hwu, 2010a). O principal objetivo do presente tra-balho consiste no estudo desses efeitos acoplados com foco na aplicação do MEC em estruturas tridimensionais formadas pela união de placas laminadas assimétricas.
1.2 Revisão bibliográfica
A aplicação do MEC na análise estática de placas finas isotrópicas teve início com os trabalhos de Bezine (1978), Altiero e Sikarskie (1978) e Stern (1979). Desde então, o método tem sido empregado de forma bem sucedida em uma vasta quantidade de trabalhos envolvendo flexão de placas finas como Paiva (1987) e Venturini e Paiva (1993). Shi e Bezine (1988), utilizando as soluções fundamentais propostas por Wu e Altiero (1981), desenvolveram a for-mulação do MEC para a análise de placas finas anisotrópicas. Paiva et al. (2003) apresentaram tratamento analítico para as integrais singulares e hipersingulares presentes nessa formulação. Albuquerque et al. (2006) utilizaram o método da integração radial para transformar as integrais de domínio relacionadas com cargas transversais linearmente ou uniformemente distribuídas na placa em integrais de contorno. Reis et al. (2011) obtiveram soluções para momentos e tensões em pontos internos e no contorno. As formulações anisotrópicas empregadas nesses trabalhos, entretanto, partem da hipótese de que os fenômenos de flexão e alongamento da placa podem ser estudados separadamente, o que não é verdade para o caso de laminados assimétricos.
A formulação empregada no presente trabalho encontra-se fundamentalmente apoiada em formalismos complexos desenvolvidos para a análise de problemas envolvendo materiais elásti-cos anisotrópielásti-cos. O primeiro formalismo desse tipo, desenvolvido para o caso de deformações bidimensionais, foi apresentado por Sergei Georgievich Lekhnitskii em dois livros clássicos pu-blicados originalmente em russo nos anos de 1947 e 1950. As traduções para o inglês dessas obras foram publicadas em 1968 e 1963, respectivamente (Lekhnitskii, 1968, 1963). Um ou-tro formalismo importante para esse tipo de problema teve seu desenvolvimento iniciado por Eshelby et al. (1953). Esse trabalho foi continuado por Alan Neil Stroh (Stroh, 1958, 1962), que estabeleceu as bases para os pesquisadores que o seguiram, motivando a denominação dessa abordagem como formalismo de Stroh. Todavia, como destacado por Hwu (2010a), as maiores contribuições a esse formalismo vieram após a morte prematura de Stroh em 1962, como consequência de um acidente de carro, com os estudos minuciosos de Thomas Chi-Tsai Ting, iniciados na década de 1980 e que resultaram na publicação de um livro (Ting, 1996) vol-tado para o formalismo de Stroh, no qual foram apresentadas diversas identidades e expressões explícitas de grande importância em suas aplicações.
Motivados pelo sucesso da aplicação de formalismos complexos em problemas de de-formação bidimensional, alguns pesquisadores empenharam-se na tentativa de estabelecer um formalismo complexo para placas laminadas com alongamento e flexão acoplados. Lu e Mah-renholtz (1994) desenvolveram um formalismo baseado em deslocamentos e declividades que foi posteriormente modificado por Cheng e Reddy (2002). Entretanto, como a autorrelação as-sociada a esse formalismo não possui a mesma forma daquela presente no formalismo de Stroh, muitas identidades e técnicas desenvolvidas por Ting (1996) não puderam ser transportadas para os problemas de placas laminadas. Posteriormente, Hwu (2003) desenvolveu um forma-lismo misto que utiliza como funções básicas os deslocamentos no plano médio e momentos fletores. Ao utilizar funções básicas mistas, a abordagem desenvolvida por Hwu (2003) se afasta do formalismo de Stroh em sua solução geral, visto que o último é essencialmente baseado em deslocamentos, porém consegue obter uma autorrelação com forma semelhante. Combinando o formalismo baseado em deslocamentos e o misto, Hwu (2004) encontrou soluções explícitas de forma fechada para um laminado infinito sujeito à ação de forças e momentos concentrados em pontos arbitrários.
Desse ponto em diante, o pesquisador Chyanbin Hwu conduz o desenvolvimento da for-mulação do MEC para placas laminadas com alongamento e flexão acoplados, auxiliado poste-riormente por seu aluno de doutorado Han-Wen Chang. Primeiro, com o auxílio do teorema da reciprocidade de Betti-Rayleigh, elaborou as equações integrais de contorno necessárias para o MEC (Hwu, 2010b). As soluções fundamentais empregadas foram obtidas a partir das expres-sões para laminados infinitos apresentadas em Hwu (2004). Posteriormente, em Hwu (2012), essas equações integrais foram modificadas e a primeira formulação em elementos de contorno foi estabelecida. Assumiu-se, nesse trabalho, variação linear da geometria e de todas as variá-veis do problema, exceto da deflexão, que é descrita por um polinômio de terceira ordem com o intuito de garantir a continuidade das declividades. Hwu e Chang (2015a) estudaram quatro diferentes abordagens para tratamento de problemas com cantos e sugeriram a utilização de três nós coincidentes em cada canto juntamente com quatro equações auxiliares derivadas a partir da simetria do tensor de tensão e das equações constitutivas para placas laminadas. Essa ideia teve como inspiração o trabalho de Chaudonnerent (1978), que formulou duas equações adicionais para o problema elastostático isotrópico bidimensional partindo das condições de si-metria do tensor de tensão e da invariância do traço do tensor de deformação. Hwu e Chang (2015b) apresentaram soluções analíticas para todas as integrais singulares. Por fim, Chang e Hwu (2016) obtiveram soluções completas de forças resultantes e momentos fletores na seção transversal, deformações no plano médio, curvaturas da placa e tensões e deformações ao longo da espessura em nós do contorno. Essas respostas, em conjunto com aquelas obtidas nos pontos internos, foram utilizadas na interpolação das soluções em pontos próximos ao contorno.
A referida formulação do MEC apresenta termos relacionados com forças e momentos distribuídos na placa laminada cuja determinação demanda o cálculo de integrais de domínio, o que é inconveniente e retira do método uma de suas vantagens, que é requerer a discretização
apenas do contorno. Dentre outras ferramentas encontradas na literatura técnica, o método da integração radial, apresentado por Gao (2002), é uma poderosa opção para a conversão dessas integrais de domínio a fim de obter um método puro com apenas integrais de contorno.
Os primeiros trabalhos envolvendo a aplicação do MEC em estruturas formadas por asso-ciação de placas finas foram realizados por Tanaka e Miyazaki (1985), que utilizaram simultane-amente duas formulações diretas, uma para os efeitos de flexão e outra para os de alongamento, juntamente com a técnica de sub-regiões, na análise de estruturas de material isotrópico com condições de contorno arbitrárias. Os referidos autores, em um trabalho posterior (Tanaka e Miyazaki, 1988), estudaram ainda a flambagem desse tipo de estrutura. Outro trabalho a uti-lizar a técnica de sub-regiões na análise de estruturas compostas por placas finas isotrópicas foi o de Palermo Jr. (1989), no qual cada uma das placas, além de submetidas aos efeitos de flexão, foram assumidas em estado plano de tensão. Além disso, podem ser vistas no referido trabalho discussões bastante detalhadas acerca da montagem do sistema de equações final e da compatibilização de momentos e rotações. Seguindo a mesma linha, Hoefel (2006) realizou a análise de estruturas formadas por associação de laminados finos simétricos. Paiva e Aliabadi (2000, 2004) apresentaram equações integrais que permitem a análise de placas isotrópicas com zonas de diferentes espessuras como um único elemento estrutural, sem a necessidade de impor condições de equilíbrio e compatibilidade de deslocamento nas interfaces entre essas zonas.
1.3 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo geral a aplicação do método dos elementos de contorno na análise estática de estruturas tridimensionais formadas por associação de placas laminadas finas com alongamento e flexão acoplados.
Almeja-se obter, como produto desta dissertação, uma ferramenta computacional original capaz de simular de forma precisa e confiável o comportamento mecânico de estruturas forma-das por placas laminaforma-das gerais, sejam essas simétricas ou assimétricas. É desejável ainda, a partir das respostas de tensão ao longo da espessura do laminado, a obtenção de valores para o critério de falha de Tsai-Wu e a realização de um estudo inicial das possibilidades de melhoria do desempenho da estrutura por meio do rearranjo da sequência de empilhamento das lâminas.
Os objetivos específicos propostos para o presente trabalho são:
∘ Transformar as integrais de domínio relacionadas com forças distribuídas na placa em integrais de contorno.
∘ Estender a formulação do MEC para a análise de estruturas tridimensionais formadas a partir da associação de placas finas laminadas não coplanares.
∘ Estudar possibilidades de melhoria do fator de segurança crítico de laminados mediante o ajuste da orientação angular das lâminas.
1.4 Estrutura da dissertação
Contando com esta primeira parte, que corresponde à introdução do trabalho, esta dis-sertação encontra-se dividida em doze capítulos. No Capítulo 2, são formuladas as equações constitutivas para placas laminadas finas. O processo de derivação apresentado parte da teoria da elasticidade linear para materiais completamente anisotrópicos, passa pelas equações da lâ-mina e chega, por fim, na teoria clássica de placas lalâ-minadas. O Capítulo 3 faz uma revisão dos dois formalismos complexos clássicos para deformações bidimensionais em materiais elás-ticos anisotrópicos: o formalismo de Lekhnitskii e o de Stroh. Dois formalismos complexos para placas laminadas com alongamento e flexão acoplados são apresentados no Capítulo 4. Ao final dessa parte, esses formalismos são comparados e são apresentadas expressões explí-citas de grande valor para o desenvolvimento deste trabalho. No Capítulo 5, são demonstradas as soluções para um laminado geral infinito submetido à ação de forças e momentos concen-trados em pontos arbitrários, e são formuladas as equações integrais de contorno requeridas pelo MEC. O Capítulo 6 trata de apresentar a formulação do MEC para placas laminadas com alongamento e flexão acoplados. A estratégia empregada para o tratamento de problemas com cantos é detalhada e discutida no Capítulo 7. O Capítulo 8 discute os avanços mais recentes na formulação do MEC para laminados gerais, como o tratamento analítico das integrais singulares e o procedimento para obtenção de soluções completas em nós do contorno. Além disso, são apresentadas nesse capítulo as expressões integrais de contorno elaboradas no presente trabalho para o cálculo dos termos relacionados com as cargas distribuídas na placa. No Capítulo 9, a formulação em elementos de contorno para placas laminadas é estendida para estruturas tridi-mensionais formadas por associação de placas mediante o emprego da técnica de sub-regiões. Na sequência, o Capítulo 10 apresenta os critérios de falha mais populares para laminados e discute aspectos da construção de um problema de otimização da sequência de empilhamento das lâminas baseado nesses critérios. No Capítulo 11, a fim de validar a formulação desenvol-vida e os códigos computacionais elaborados, alguns exemplos são propostos e os resultados obtidos no presente trabalho são comparados com soluções analíticas e numéricas encontradas na literatura ou, na ausência dessas, com valores providos pelo software comercial de elementos finitos Abaqus. Por fim, o Capítulo 12 apresenta as conclusões da dissertação e sugestões para trabalhos futuros.
Com a intenção de tornar mais independente a explicação em cada capítulo e, conse-quentemente, facilitar o trabalho de leitura, algumas equações apresentadas em um capítulo são repetidas em outros. Além disso, como são discutidos quatro formalismos complexos distintos, a notação empregada por seus autores é explicada no início da derivação de cada um desses.
2
Equações constitutivas para placas laminadas finas
Como discutido no Cap. 1, os compósitos laminados estudados neste trabalho são aqueles obtidos por meio da superposição de camadas constituídas de material compósito unidirecio-nalmente reforçado com fibras. Essas camadas, geralmente muito finas para serem utilizadas diretamente na engenharia, são chamadas de lâminas e consistem em fibras paralelas inseridas em uma matriz. As propriedades de uma lâmina dependem de suas componentes, isto é, de suas fibras e de sua matriz. Por outro lado, as propriedades do laminado dependem tanto das caracte-rísticas de suas lâminas quanto da orientação angular das fibras que reforçam cada uma dessas. Este capítulo tem como finalidade apresentar as equações constitutivas que relacionam os esta-dos de tensão e deformação em uma placa de material compósito laminado e, a partir dessas, formular as equações governantes do problema estático associado. O ponto de partida adotado nesta explanação foi a teoria da elasticidade linear para materiais completamente anisotrópicos. Em seguida, essa teoria é simplificada para o caso de lâminas unidirecionalmente reforçadas. Por fim, é apresentada a teoria clássica da laminação, que emprega as hipóteses de Kirchhoff para descrever o comportamento macromecânico de uma placa fina laminada.
2.1 Teoria da elasticidade linear anisotrópica
A estrutura básica da matéria é composta por moléculas que, por sua vez, são constituí-das por átomos e partículas subatômicas. Dessa forma, é possível concluir que a matéria não é, de fato, contínua. Entretanto, conforme ressaltado por Lai et al. (2010), muitos aspectos do comportamento dos materiais em experiências cotidianas, como a deformação de uma estrutura devido à atuação de um carregamento, ou a taxa de descarga de água em um tubo submetido a um gradiente de pressão, podem ser descritos sem levar em consideração a estrutura mole-cular dos materiais. O ramo da mecânica no qual os materiais são assumidos como contínuos é conhecido como Mecânica dos Meios Contínuos ou Mecânica do Contínuo. Essa abordagem trata a matéria como infinitamente divisível, o que possibilita empregar o conceito de volume infinitesimal do material, referido como uma partícula do meio contínuo.
A teoria do contínuo clássica introduz as forças atuantes em um meio por intermédio dos conceitos de forças de corpo e de superfície: as primeiras agem sobre o volume do material em decorrência de uma interação que ocorre à distância com matéria ou cargas, e.g. forças gravitacionais e eletrostáticas; enquanto as últimas agem em uma superfície, seja ela real ou imaginária, que separa partes de um corpo. As forças de superfície atuantes em um ponto, conforme o Princípio de Cauchy, podem ser descritas por meio de um vetor t que não leva em conta a curvatura da superfície no ponto analisado. Esse vetor é definido por:
t = lim
Δ𝐴→0
∆F
onde ∆F é a força resultante em uma pequena área ∆𝐴 de uma superfície 𝑆 (Fig. 2.1).
Figura 2.1: Força resultante em um ponto 𝑃 de uma superfície 𝑆 (Lai et al., 2010). A Fórmula de Cauchy expressa as forças de superfície t em termos do tensor de tensão de Cauchy 𝜎 e do vetor normal à superfície no ponto analisado, denotado como n, por meio da seguinte relação:
t = 𝜎n, (2.2)
que pode ser escrita em notação indicial como:
𝑡𝑖 = 𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗, 𝑖,𝑗 = 1,2,3. (2.3)
Dentre as componentes do tensor de tensão, 𝜎11, 𝜎22e 𝜎33recebem o nome de tensões normais,
enquanto as demais são conhecidas como tensões cisalhantes. A Fig. 2.2 ilustra as componentes 𝜎𝑖𝑗 atuantes em um volume infinitesimal com a forma de um paralelepípedo cujas faces são
paralelas aos eixos cartesianos.
Figura 2.2: Componentes de tensão.
O estado de tensão em um ponto arbitrário de um corpo é completamente caracterizado pelo tensor de tensão de Cauchy. Esse tensor é usualmente simétrico, porém Lai et al. (2010) e Dym e Shames (2013) mencionam casos de assimetria decorrentes da atuação de campos magnéticos ou elétricos em materiais dielétricos. Contudo, para os materiais que constituem o
escopo deste trabalho a simetria é garantida, ou seja, é possível assumir que:
𝜎𝑇 = 𝜎, 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖. (2.4)
Visto que o objetivo deste trabalho consiste na análise de problemas estáticos, as compo-nentes de tensão em todos os pontos do contínuo devem satisfazer às equações diferenciais de equilíbrio:
𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑓𝑖 = 0, 𝑖,𝑗 = 1,2,3, (2.5)
sendo 𝑓𝑖as forças de corpo nas direções dos eixos cartesianos 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3.
Antes de relacionar as tensões atuantes e as deformações em um corpo, é necessário es-tabelecer medidas apropriadas para representar seu alongamento e distorção. Em geral, são utilizados dois métodos para descrever as deformações em um corpo contínuo (Chen e Saleeb, 1994): o lagrangiano e o euleriano. O primeiro emprega as coordenadas de cada partícula na posição de referência (𝑥1,𝑥2,𝑥3) como variáveis independentes, enquanto no segundo método
esse papel é desempenhado pelas coordenadas das partículas no tempo de interesse (𝜉1,𝜉2,𝜉3).
Os tensores de medida de deformação associados a cada uma dessas abordagens são definidos, respectivamente, por: 𝑒𝑖𝑗 = 1 2 (︂ 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 +𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥𝑗 )︂ , 𝐸𝑖𝑗 = 1 2 (︂ 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝜉𝑗 +𝜕𝑢𝑗 𝜕𝜉𝑖 −𝜕𝑢𝑘 𝜕𝜉𝑖 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝜉𝑗 )︂ , (2.6)
onde 𝑢𝑖 são as componentes de deslocamentos em cada uma das direções cartesianas. Se os
deslocamentos e suas derivadas forem pequenos o suficiente para que as derivadas em relação a 𝑥𝑖 e 𝜉𝑖 possam ser tomadas como equivalentes e para que os termos não lineares possam ser
desprezados, os dois tensores apresentados convergem para o tensor de deformação infinitesimal de Cauchy, cuja definição é dada por:
𝜀𝑖𝑗 =
1
2(𝑢𝑖,𝑗+ 𝑢𝑗,𝑖) , 𝑖,𝑗 = 1,2,3. (2.7)
As componentes do tensor de deformação infinitesimal 𝜀11, 𝜀22e 𝜀33são chamadas de
deforma-ções normais e, como visto em Lai et al. (2010), podem ser interpretadas como a variação no comprimento de um elemento inicialmente na direção dos eixos 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3, respectivamente,
por unidade do comprimento original. Assim, para um elemento originalmente na direção 𝑥𝑖 e
com comprimento 𝑑𝑆, tem-se: 𝜀𝑖𝑖=
𝑑𝑠 − 𝑑𝑆
𝑑𝑆 , sem soma em i, (2.8)
com 𝑖 ̸= 𝑗, são chamadas deformações cisalhantes e podem ser entendidas como a metade da redução do ângulo entre dois elementos originalmente nas direções 𝑥𝑖 e 𝑥𝑗.
Uma vez que, para um ponto em um meio contínuo, o estado de tensão pode ser definido pelo tensor de tensão de Cauchy, enquanto o estado de deformação pode ser verificado por meio do tensor de deformação infinitesimal de Cauchy, cabe agora introduzir a equação constitutiva que estabelece a relação entre esses dois estados. Considera-se que o material possa ser ideali-zado como um sólido elástico linear, que tem como características a existência de uma relação linear entre as cargas aplicadas e a medida de deformação empregada; além de deformações que desaparecem após a remoção do carregamento e não dependem da taxa de aplicação do mesmo (Lai et al., 2010). Para esse material, a equação constitutiva é a chamada lei de Hooke generalizada, que pode ser escrita como:
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙, (2.9)
onde 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙é o tensor que caracteriza o comportamento do material idealizado, conhecido como
tensor de elasticidade. Dado que os sólidos analisados neste trabalho são considerados homogê-neos, ou seja, suas propriedades mecânicas não variam de um ponto para outro, as componentes desse tensor são constantes. Como 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 é um tensor de quarta ordem, 81 constantes são
ne-cessárias para a sua definição. Entretanto, nem todas essas são independentes. Uma primeira relação de simetria em 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 pode ser obtida como consequência imediata da simetria de 𝜎𝑖𝑗:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙= 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙. (2.10)
A partir da Eq. (2.10), reduz-se o número de constantes elásticas independentes para 54. Uma segunda relação pode ser estabelecida levando em conta a simetria do tensor de deformação:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙= 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘. (2.11)
Hwu (2010a) alerta que não é correto tentar demonstrar a identidade na Eq. (2.11) partindo de (𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙− 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘) 𝜀𝑘𝑙 = 0 para todo 𝜀𝑘𝑙, pois esse tensor não é, de fato, arbitrário, sendo restrito
pelas condições de simetria assumidas. Assim, a expansão dessa equação pode levar ao seguinte resultado: 𝜀12(𝐶𝑖𝑗12− 𝐶𝑖𝑗21) + 𝜀21(𝐶𝑖𝑗21− 𝐶𝑖𝑗12) = 0, que é automaticamente satisfeito, visto
que 𝜀12 = 𝜀21. O referido autor aponta que a prova correta pode ser encontrada em Sokolnikoff
(1956), que inicia separando 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 em uma parte simétrica e uma antissimétrica em relação aos
índices 𝑘 e 𝑙: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙= 𝐶 ′ 𝑖𝑗𝑘𝑙+ 𝐶 ′′ 𝑖𝑗𝑘𝑙, (2.12) sendo: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙′ = 1 2(𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙+ 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘) , 𝐶 ′′ 𝑖𝑗𝑘𝑙= 1 2(𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙− 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘) . (2.13)
Aplicando a Eq. (2.12) na lei de Hooke, tem-se: 𝜎𝑖𝑗 = 𝐶 ′ 𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙+ 𝐶 ′′ 𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙. (2.14)
Aproveitando as propriedades da notação indicial, os índices repetidos do segundo termo do lado direito da Eq. (2.14) podem ser permutados:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙′′ 𝜀𝑘𝑙= 𝐶
′′
𝑖𝑗𝑙𝑘𝜀𝑙𝑘. (2.15)
Em decorrência da antissimetria de 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙′′ e da simetria de 𝜀𝑘𝑙, tem-se:
𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘′′ 𝜀𝑙𝑘= −𝐶
′′
𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙. (2.16)
As Eqs. (2.15) e (2.16) permitem concluir que: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙′′ 𝜀𝑘𝑙 = −𝐶
′′
𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 =⇒ 𝐶
′′
𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙= 0. (2.17)
Dessa forma, a equação constitutiva reduz-se a: 𝜎𝑖𝑗 = 𝐶
′
𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙. (2.18)
Portanto, é possível redefinir a lei de Hooke em termos de 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙′ , preservando a relação linear e com a vantagem de lidar com um tensor de constantes elásticas simétrico em relação aos índices 𝑘 e 𝑙. Esse processo pode ser entendido de forma simples à luz do raciocínio de Lai et al. (2010): como 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑗𝑖, é possível combinar 𝐶1112𝜀12+ 𝐶1121𝜀21 em um termo (𝐶1112+ 𝐶1121) 𝜀12, de
forma que (𝐶1112+ 𝐶1121) torna-se um único parâmetro independente. Assim, reduz-se para 36
o número de constantes elásticas requeridas.
Por fim, o conceito de elasticidade está associado à existência de uma função densidade de energia de deformação que deve ser independente do caminho de aplicação e retirada do car-regamento. Essa função pode ser avaliada por intermédio da seguinte expressão (Hwu, 2010a):
𝑊 = ∫︁ 𝜀𝑓𝑖𝑗
𝜀0 𝑖𝑗
𝜎𝑖𝑗𝑑𝜀𝑖𝑗. (2.19)
Para que a energia de deformação seja independente do caminho, é necessário que o integrando da Eq. (2.19) seja um diferencial total, ou seja:
𝑑𝑊 = 𝜎𝑖𝑗𝑑𝜀𝑖𝑗. (2.20)
Substituindo a Eq. (2.9) na (2.20), tem-se :
e, consequentemente:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 =
𝜕2𝑊
𝜕𝜀𝑖𝑗𝜕𝜀𝑘𝑙
, (2.22)
ou ainda, trocando a posição dos índices repetidos:
𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗 =
𝜕2𝑊
𝜕𝜀𝑘𝑙𝜕𝜀𝑖𝑗
. (2.23)
Como as derivadas da Eq. (2.22) podem ser permutadas, tem-se:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 =
𝜕2𝑊 𝜕𝜀𝑘𝑙𝜕𝜀𝑖𝑗
. (2.24)
Visto que o lado direito das Eqs. (2.23) e (2.24) são idênticos, conclui-se que:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗 =
𝜕2𝑊 𝜕𝜀𝑘𝑙𝜕𝜀𝑖𝑗
. (2.25)
Verifica-se, assim, um terceiro tipo de simetria no tensor de constantes elásticas que per-mite reduzir para 21 o número de termos independentes. A relação entre tensões e deformações em um sólido elástico linear completamente anisotrópico pode, portanto, ser escrita como:
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜎11 𝜎22 𝜎33 𝜎23 𝜎13 𝜎12 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝐶1111 𝐶1122 𝐶1133 𝐶1123 𝐶1113 𝐶1112 𝐶1122 𝐶2222 𝐶2233 𝐶2223 𝐶2213 𝐶2212 𝐶1133 𝐶2233 𝐶3333 𝐶3323 𝐶3313 𝐶3312 𝐶1123 𝐶2223 𝐶3323 𝐶2323 𝐶2313 𝐶2312 𝐶1113 𝐶2213 𝐶3313 𝐶2313 𝐶1313 𝐶1312 𝐶1112 𝐶2212 𝐶3312 𝐶2312 𝐶1312 𝐶1212 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜀11 𝜀22 𝜀33 2𝜀23 2𝜀13 2𝜀12 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . (2.26)
2.2 Equação constitutiva da lâmina
Conhecidas as equações constitutivas para um sólido elástico linear anisotrópico, o ar-ranjo estrutural das lâminas de material compósito deve ser cuidadosamente estudado a fim de encontrar hipóteses simplificadoras que possam ser empregadas.
A direção paralela às fibras de uma lâmina é chamada de longitudinal, enquanto a perpen-dicular a essas e que está contida no plano da lâmina é chamada de transversal. Essas direções são conhecidas como direções materiais e são representadas, respectivamente, por 𝐿 e 𝑇 . Além disso, denota-se a direção perpendicular à lâmina como 𝑇′. Segundo Hwu (2010a), com exceção de materiais reforçados por fibras de grande diâmetro, como as de boro, as lâminas geralmente possuem várias fibras ao longo de sua espessura. Essas são aleatoriamente distribuídas na seção transversal e podem estar em contato umas com as outras em algumas regiões. Como con-sequência da disposição de seus componentes, uma lâmina apresenta propriedades diferentes
nas direções 𝐿 e 𝑇 , enquanto em sua seção transversal as propriedades são aproximadamente as mesmas em todas as direções. Portanto, esse tipo de material pode ser considerado ortotró-pico, possuindo os seguintes planos de simetria: 𝐿𝑇 , 𝐿𝑇′ e 𝑇 𝑇′; e também transversalmente isotrópico, sendo 𝑇 𝑇′ um plano de isotropia. Com o objetivo de ilustrar as direções materiais, a Fig. 2.3 representa uma lâmina com apenas uma fibra ao longo de sua espessura.
Se os eixos referenciais adotados coincidem com as direções materiais, a lâmina é cha-mada de especialmente ortotrópica e sua equação constitutiva, assumindo a hipótese de estado plano de tensão, é dada por:
𝜎* = Q𝜀*, (2.27) sendo: 𝜎* = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝐿 𝜎𝑇 𝜏𝐿𝑇 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ , ⎡ ⎢ ⎣ 𝑄11 𝑄12 0 𝑄12 𝑄22 0 0 0 𝑄66 ⎤ ⎥ ⎦, 𝜀 * = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜀𝐿 𝜀𝑇 𝛾𝐿𝑇 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ . (2.28)
Nas equações acima, 𝜏𝑖𝑗 representa as tensões de cisalhamento e 𝛾𝑖𝑗 = 2𝜀𝑖𝑗. A matriz Q é
usualmente chamada de matriz de rigidez e contém as constantes elásticas para o caso de estado plano de tensão que, conforme Hwu (2010a), podem ser calculadas por meio das seguintes expressões: 𝑄11= 𝐸1 1 − 𝜈12𝜈21 , 𝑄22= 𝐸2 1 − 𝜈12𝜈21 , 𝑄66 = 𝐺12, 𝑄12= 𝜈12𝐸2 1 − 𝜈12𝜈21 = 𝜈21𝐸1 1 − 𝜈12𝜈21 . (2.29)
Verifica-se, a partir da Eq. (2.29), que são necessárias cinco constantes para definir o comporta-mento de uma lâmina: 𝐸1, 𝐸2, 𝐺12, 𝜈12, 𝜈21. Entretanto, apenas quatro dessas são independentes,
pois: 𝜈12𝐸2 = 𝜈21𝐸1.
Caso os eixos referenciais não coincidam com as direções materiais, tem-se uma lâmina chamada geralmente ortotrópica. Como um laminado é composto por lâminas com diversas direções materiais, faz-se necessário referir as tensões e deformações a um único sistema de referência. Sendo 𝜃 o ângulo entre o sistema global 𝑥 − 𝑦 e o sistema material 𝐿 − 𝑇 , com o sentido anti-horário convencionado como positivo (Fig. 2.4), a equação constitutiva da lâmina em relação aos eixos 𝑥 − 𝑦 pode ser expressa como:
𝜎 = Q*𝜀, (2.30)
sendo 𝜎 e 𝜀 as tensões e deformações referidas ao sistema global:
𝜎 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ , 𝜀 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ , (2.31)
e Q* a matriz de rigidez transformada, dada por:
Q* = T−1QRTR−1 = T−1QT−𝑇, (2.32) onde: T = ⎡ ⎢ ⎣
cos2𝜃 sin2𝜃 2 sin 𝜃 cos 𝜃
sin2𝜃 cos2𝜃 −2 sin 𝜃 cos 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 cos2𝜃 − sin2𝜃
⎤ ⎥ ⎦, R = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ⎤ ⎥ ⎦. (2.33)
2.3 Teoria clássica de placas laminadas finas
A teoria clássica de placas laminadas (Jones, 1975), também conhecida como teoria clás-sica da laminação, é a forma mais popular de descrever as propriedades gerais e o comporta-mento macromecânico de um laminado. Por meio dessa, é possível obter as relações constituti-vas para uma placa laminada fina partindo diretamente das equações associadas às lâminas que a constituem (Seção 2.2). A referida teoria assume as seguintes hipóteses básicas (Jones, 1975; Herakovich, 1998; Reddy, 2004; Hwu, 2010a):
∘ O laminado consiste de lâminas perfeitamente coladas. A ligação entre as lâminas é considerada infinitesimalmente fina e não se deforma devido ao cisalhamento. Portanto, os deslocamentos ao longo do contorno das lâminas são contínuos, de forma que uma lâmina não pode deslizar em relação a outra.
∘ Uma linha originalmente reta e perpendicular ao plano médio do laminado permanece reta e perpendicular a esse plano após a deformação. Essa hipótese é equivalente a desprezar as deformações cisalhantes nos planos perpendiculares ao plano médio, ou seja, 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧= 0, sendo 𝑧 a direção normal ao plano.
∘ Inextensibilidade dos segmentos normais ao plano médio do laminado. Seguindo essa consideração, as deformações na direção perpendicular ao plano médio do laminado são desconsideradas, i.e., 𝜀𝑧 = 0.
Figura 2.5: Deformação de uma placa de acordo com as hipóteses de Kirchhoff.
Jones (1975) enfatiza que, como consequência da primeira hipótese, o laminado age como se fosse composto por uma camada única com propriedades especiais, enquanto as duas últi-mas considerações correspondem às hipóteses de Kirchhoff para placas finas. Partindo dessas conjecturas, as componentes do deslocamento de um ponto arbitrário em uma placa laminada nas direções dos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, denotadas como 𝑢, 𝑣 e 𝑤, respectivamente, podem ser escritas da seguinte forma:
𝑢(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑢0(𝑥,𝑦) + 𝑧𝛽𝑥(𝑥,𝑦),
𝑣(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑣0(𝑥,𝑦) + 𝑧𝛽𝑦(𝑥,𝑦),
Nas expressões acima, 𝛽𝑥 e 𝛽𝑦 representam as declividades negativas nas direções 𝑥 e 𝑦,
res-pectivamente, cujas definições são dadas por:
𝛽𝑥(𝑥,𝑦) = −
𝜕𝑤0(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥 , 𝛽𝑦(𝑥,𝑦) = −
𝜕𝑤0(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦 , (2.35)
enquanto 𝑢0, 𝑣0 e 𝑤0 representam as componentes de deslocamento avaliadas no plano médio
do laminado nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente.
Por intermédio das definições apresentadas na Eq. (2.7), é possível formular as seguintes expressões para as componentes de deformação não nulas:
𝜀𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢0 𝜕𝑥 − 𝑧 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2, 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕𝑣0 𝜕𝑦 − 𝑧 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2, 𝛾𝑥𝑦 = 2𝜀𝑥𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢0 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣0 𝜕𝑥 − 2𝑧 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦, (2.36)
que podem ser escritas como:
𝜀 = 𝜀0+ 𝑧𝜅, (2.37)
sendo 𝜀0 as deformações no plano médio:
𝜀0 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜀0𝑥 𝜀0 𝑦 𝛾0 𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜕𝑢0 𝜕𝑥 𝜕𝑣0 𝜕𝑦 𝜕𝑢0 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣0 𝜕𝑥 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ , (2.38) e 𝜅 as curvaturas: 𝜅 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜅𝑥 𝜅𝑦 𝜅𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 2 𝜕 2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . (2.39)
A substituição da Eq. (2.37) na (2.30) permite que as tensões em uma lâmina 𝑘 sejam expressas em termos das deformações do plano médio, das curvaturas e da coordenada 𝑧:
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑘 = 𝜎𝑘 = Q*𝑘(𝜀0+ 𝑧𝜅) . (2.40)
um sistema equivalente de forças e momentos atuantes na seção transversal, obtido mediante a integração das tensões em cada lâmina:
𝑁 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑁𝑥 𝑁𝑦 𝑁𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑑𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑘 𝑑𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 𝜎𝑘𝑑𝑧, 𝑀 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑧𝑑𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 𝑘 𝑧𝑑𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 𝜎𝑘𝑧𝑑𝑧, (2.41)
sendo 𝑁 e 𝑀 as forças e momentos resultantes na seção transversal do laminado, respectiva-mente, e ℎ𝑘 os valores extremos de 𝑧 em cada lâmina (Fig. 2.6). Substituindo a Eq. (2.40) na
(2.41), tem-se: {︃ 𝑁 𝑀 }︃ = [︃ 𝐴 𝐵 𝐵 𝐷 ]︃ {︃ 𝜀0 𝜅 }︃ . (2.42)
onde 𝐵, 𝐴 e 𝐷 são as matrizes de acoplamento e de rigidez extensional e flexural, respectiva-mente, definidas por:
𝐴 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 Q*𝑘𝑑𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 Q*𝑘(ℎ𝑘− ℎ𝑘−1) , 𝐵 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 Q*𝑘𝑧𝑑𝑧 = 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 Q*𝑘(︀ℎ2 𝑘− ℎ 2 𝑘−1)︀ , 𝐷 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ∫︁ ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 Q*𝑘𝑧2𝑑𝑧 = 1 3 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 Q*𝑘(︀ℎ3𝑘− ℎ3𝑘−1)︀ . (2.43)
A Eq. (2.42) expressa a relação constitutiva de um placa fina laminada. Por meio dessa, é possível verificar que, se 𝐵 for nula, as forças resultantes 𝑁 induzirão apenas deformações no plano médio do laminado, enquanto os momentos resultantes 𝑀 provocarão apenas curvaturas na placa. Entretanto, se 𝐵 não for nula, ocorre o acoplamento entre os fenômenos de alonga-mento e flexão do laminado, independentemente do tipo de carregaalonga-mento aplicado. Partindo da definição da matriz 𝐵, é possível concluir que essa não será nula quando o conjunto de lâminas sobrepostas para formar o laminado não for simétrico em relação ao plano médio.
Com o intuito de formular as equações governantes para a análise estática de placas finas laminadas, introduz-se as equações de equilíbrio em termos das forças e momentos resultantes:
𝜕𝑁𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝑞𝑥 = 0, 𝜕𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁𝑦 𝜕𝑦 + 𝑞𝑦 = 0, 𝜕𝑄𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄𝑦 𝜕𝑦 + 𝑞 = 0, 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑦 = 𝑄𝑥− 𝑚𝑥, 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑀𝑦 𝜕𝑦 = 𝑄𝑦− 𝑚𝑦, (2.44)
Figura 2.6: Seção transversal do laminado (Hwu, 2010a). onde: 𝑞𝑥 = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 𝑓𝑥𝑑𝑧 + 𝜎𝑥𝑧 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ℎ/2 −ℎ/2 , 𝑞𝑦 = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 𝑓𝑦𝑑𝑧 + 𝜎𝑦𝑧 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ℎ/2 −ℎ/2 , 𝑞 = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 𝑓𝑧𝑑𝑧 + 𝜎𝑧 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ℎ/2 −ℎ/2 , 𝑚𝑥 = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 𝑓𝑥𝑧𝑑𝑧 + (𝑧𝜎𝑥𝑧) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ℎ/2 −ℎ/2 , 𝑚𝑦 = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 𝑓𝑦𝑧𝑑𝑧 + (𝑧𝜎𝑦𝑧) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ℎ/2 −ℎ/2 , (2.45)
sendo 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 e 𝑓𝑧 as componentes das forças de corpo nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente.
Portanto, (𝑞𝑥,𝑞𝑦,𝑞) e (𝑚𝑥, 𝑚𝑦) representam os carregamentos e momentos aplicados nas
super-fícies superior e inferior da placa, incluindo as forças e momentos induzidos pelas forças de corpo. Nas equações acima, 𝑄𝑥e 𝑄𝑦 representam as forças transversais cisalhantes, dadas por:
Q = {︃ 𝑄𝑥 𝑄𝑦 }︃ = ∫︁ ℎ/2 −ℎ/2 {︃ 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 }︃ 𝑑𝑧. (2.46)
A fim de expressar as forças e momentos resultantes em termos dos deslocamentos no plano médio, substitui-se as Eqs. (2.38) e (2.39) na Eq. (2.42). Dessa forma, as equações de equilíbrio (2.44), na ausência dos carregamentos 𝑞𝑥, 𝑞𝑦, 𝑚𝑥 e 𝑚𝑦, conduzem ao seguinte conjunto de
equações diferenciais governantes:
𝐴11 𝜕2𝑢 0 𝜕𝑥2 + 2𝐴16 𝜕2𝑢 0 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝐴66 𝜕2𝑢 0 𝜕𝑦2 + 𝐴16 𝜕2𝑣 0 𝜕𝑥2 + (𝐴12+ 𝐴66) 𝜕2𝑣 0 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝐴26 𝜕2𝑣 0 𝜕𝑦2 − 𝐵11 𝜕3𝑤 𝜕𝑥3 − 3𝐵16 𝜕3𝑤 𝜕𝑥2𝜕𝑦 − (𝐵12+ 2𝐵66) 𝜕3𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦2 − 𝐵26 𝜕3𝑤 𝜕𝑦3 = 0, (2.47)
