A partir dos algoritmos desenvolvidos, obteve-se uma comparação inicial da eficácia dos métodos em relação aos resultados obtidos por meio do método de Monte Carlo simples que, neste trabalho, foi utilizado como referência para comparação dos resultados.
Calculou-se as diferenças relativas de cada um dos métodos em relação ao método de Monte Carlo simples, e a partir destas foi possível a obtenção de seus
respectivos valores médios, máximos, mínimos e coeficientes de variação, conforme observa-se na Tabela 20.
Tabela 20 – Diferenças dos índices de confiabilidade dos diferentes métodos em relação ao método de Monte Carlo simples
Método Diferença média Coeficiente de
variação
Diferença máxima
Diferença mínima
FOSM 2,593E-01 0,519 5,162E-01 5,024E-05
FORM 2,598E-02 1,109 3,509E-01 2,649E-05
SORM 1,571E-02 1,599 3,272E-01 9,628E-07
Monte Carlo com amostragem por importância no ponto
de projeto
5,702E-03 1,479 1,116E-01 4,307E-07
Fonte: Autoria própria (2019)
Observou-se que o método FOSM apresentou os resultados mais distantes dos obtidos a partir do método de simulação de Monte Carlo, e por meio da Figura 10, pode-se observar que a sua proximidade em relação aos demais métodos tende a ser maior para taxas de carregamento variável entre 40% e 50%, cujos valores delimitam as diferenças positivas e negativas em relação aos demais métodos.
Figura 10 – Índices de confiabilidade médios para diferentes razões de ações variáveis
Fonte: Autoria própria (2019)
Infere-se que o distanciamento nos resultados se deve principalmente à desconsideração dos tipos de distribuição de probabilidade frente às diferentes variáveis do problema, principalmente às variáveis que contemplam distribuições de extremos.
De fato, a partir da Figura 11, observa-se que os coeficientes de sensibilidade obtidos pelo método FOSM diferem dos coeficientes de sensibilidade obtidos a partir do método FORM. No método FORM, percebe-se que o momento característico proveniente de ações variáveis, que possui distribuição do tipo Gumbel, possui maior influência na probabilidade de falha do que no método FOSM.
2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Razão de ações variáveis em relação às totais
Índices de confiabilidade médios para diferentes razões de ações variáveis
Figura 11 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade obtido pelos métodos FOSM e FORM para diferentes proporções de ações variáveis do tipo acidental em vigas de altura h = 40 cm
Fonte: Autoria própria (2019)
Percebe-se que no método FOSM a variável com maior coeficiente de sensibilidade é a de incerteza do modelo de resistência, alternando-se gradualmente com a variável de momento característico devido às ações variáveis à medida que é aumentada a proporção de ações variáveis em relação às totais, que passa a ser a variável com maior importância a partir de proporções de ações variáveis = 0,9.
No método FORM, essa inversão ocorre para proporções muito menores de ações variáveis ( = 0,3), o que evidencia a relevância da consideração dos tipos de distribuição das variáveis.
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 ²
Proporção de ações variáveis em relação às totais
Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade obtidos pelos métodos FOSM e FORM para diferentes proporções de ações variáveis do
tipo acidental
FOSM - Área de aço
FOSM - Tensão de escoamento do aço FOSM - Altura útil
FOSM - Largura da base
FOSM - Resistência característica do concreto à compressão FOSM - Momento característico (ações permanentes)
FOSM - Momento característico (ações variáveis do tipo acidental) FOSM - Incerteza do modelo de resistência
FOSM - Incerteza do modelo de solicitação FORM - Área de aço
FORM - Tensão de escoamento do aço FORM - Altura útil
FORM - Largura da base
FORM - Resistência característica do concreto à compressão FORM - Momento característico (ações permanentes)
FORM - Momento característico (ações variáveis do tipo acidental) FORM - Incerteza do modelo de resistência
O método FORM se diferencia, portanto, pela consideração de distribuições de probabilidade não gaussianas. Tal consideração é evidenciada no modo como a variável participa na probabilidade de falha e, portanto, nos índices de confiabilidade. De maneira geral, o método que mais se aproximou do método de Monte Carlo simples foi o método de Monte Carlo com amostragem por importância, seguido pelo método SORM, cujo ajuste do paraboloide contribuiu de maneira positiva para aproximação da probabilidade de falha, principalmente em valores da proporção de ações variáveis a partir de 50%; e o método FORM, que apresentou resultados satisfatórios para os casos avaliados, em termos de simplicidade de implementação e proximidade nos valores obtidos. Os valores médios das diferenças em módulo podem ser observados na Figura 12.
Figura 12 – Diferenças médias por método em relação ao método de Monte Carlo Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental
Fonte: Autoria própria (2019)
Por meio da Figura 13 pode-se observar as probabilidades de falha em função do número de simulações para o método de Monte Carlo simples e Monte Carlo com
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Di ferenç a
Razão de ações variáveis em relação às totais
Diferenças médias por método em relação ao método de Monte Carlo Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental
amostragem por importância. Observa-se que o último convergiu para a probabilidade de falha mais rapidamente, o que ressalta as vantagens de sua implementação frente à problemática do tempo computacional, principalmente no que se refere a probabilidades de falha muito pequenas, que requerem um número de simulações bastante grande para a sua convergência.
Figura 13 – Convergência dos métodos de Monte Carlo simples e Monte Carlo com amostragem
por importância no ponto de projeto, considerando-se modelo de viga com bw = 14 cm, fck = 25
MPa, h = 40 cm, taxa de aço de 0,60% e 30% de cargas variáveis
Fonte: Autoria própria (2019)
Em casos específicos, abordados nos itens a seguir, o método de busca do ponto de projeto não convergiu para resultados próximos ao Monte Carlo simples, dado o número de simulações e para o critério de parada fixado.