Estudo da confiabilidade estrutural no dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples

(1)

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL - GUARAPUAVA

ENGENHARIA CIVIL

ISABELA AMES

ESTUDO DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL NO

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

GUARAPUAVA 2019

(2)

ISABELA AMES

ESTUDO DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL NO

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil, da Coordenação de Engenharia Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Me. Carlos Francisco Pecapedra Souza

Coorientador: Prof. Me. Edson Florentino de Souza

GUARAPUAVA 2019

(3)

ATA DA DEFESA

Realizou-se no dia 06 de dezembro de 2019, às 14 h 00 min, no Câmpus Guarapuava da UTFPR, a defesa do Trabalho de Conclusão de Curso, como requisito parcial para aprovação da aluna Isabela Ames, na disciplina de TCC2 do Curso de Engenharia Civil intitulado: ESTUDO DA CONFIABILIDADE

ESTRUTURAL NO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES.

A Banca foi composta pelo Presidente:

Carlos Francisco Pecapedra Souza (Orientador), e pelos seguintes membros: Edson Florentino de Souza

Dyorgge Alves Silva

Guarapuava, 06 de dezembro de 2019

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Transformação de Hasofer-Lind das variáveis de projeto ... 36

Figura 2 – Algoritmo FOSM ... 43

Figura 3 – Transformação das variáveis de projeto no método FORM ... 44

Figura 4 – Algoritmo FORM ... 49

Figura 5 – Algoritmo SORM ... 52

Figura 6 – Algoritmo de Monte Carlo com amostragem de importância no ponto de projeto ... 58

Figura 7 – Algoritmo PMA ... 63

Figura 8 – Domínios de deformação ... 64

Figura 9 – Equilíbrio na seção transversal ... 68

Figura 10 – Índices de confiabilidade médios para diferentes razões de ações variáveis ... 87

Figura 11 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade obtido pelos métodos FOSM e FORM para diferentes proporções de ações variáveis do tipo acidental em vigas de altura h = 40 cm ... 88

Figura 12 – Diferenças médias por método em relação ao método de Monte Carlo Simples para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental ... 89

Figura 13 – Convergência dos métodos de Monte Carlo simples e Monte Carlo com amostragem por importância no ponto de projeto, considerando-se modelo de viga com bw = 14 cm, fck = 25 MPa, h = 40 cm, taxa de aço de 0,60% e 30% de cargas variáveis ... 90

Figura 14 – Média das componentes i de cada variável ... 91

Figura 15 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade de cada variável 92 Figura 16 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental ... 93

Figura 17 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes taxas de aço ... 95

Figura 18 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes alturas ... 96

Figura 19 – Média do quadrado dos coeficientes de sensibilidade para diferentes resistências características do concreto à compressão ... 98

Figura 20 – Ganho percentual no índice de confiabilidade de acordo com o intervalo entre diferentes razões de ações variáveis ... 99

Figura 21 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes razões de ações variáveis do tipo acidental ... 100

Figura 22 – Índices de confiabilidade médios para diferentes taxas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental ... 101

Figura 23 – Índices de confiabilidade médios para diferentes áreas de aço e razões de ações variáveis do tipo acidental para classe de resistência C20 ... 102

Figura 24 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes taxas de aço ... 103

(5)

Figura 25 – Índices de confiabilidade médios para diferentes alturas e razões de ações variáveis do tipo acidental ... 104 Figura 26 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes alturas . 105 Figura 27 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências

características do concreto à compressão e razões de ações variáveis do tipo

acidental ... 107 Figura 28 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências

características do concreto à compressão e taxas de aço discriminadas por intervalo entre 0,15% e 1,35% ... 108 Figura 29 – Índices de confiabilidade médios para diferentes resistências

características do concreto à compressão e taxas de aço discriminadas por intervalo entre 1,50% e 1,80% ... 109 Figura 30 – Índices de confiabilidade mínimos e máximos para diferentes

resistências características do concreto à compressão ... 110 Figura 31 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 10% ... 120 Figura 32 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 30 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 10% ... 120 Figura 33 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 35 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 10% ... 121 Figura 34 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 20% ... 121 Figura 35 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 30 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 20% ... 122 Figura 36 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 35 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 20% ... 122 Figura 37 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 30% ... 123 Figura 38 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 30 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 30% ... 123 Figura 39 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 35 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 30% ... 124 Figura 40 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 40% ... 124 Figura 41 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 30 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 40% ... 125 Figura 42 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 35 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 40% ... 125 Figura 43 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 50% ... 126 Figura 44 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 30 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 50% ... 126 Figura 45 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 35 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 50% ... 127 Figura 46 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 25 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 60% ... 127

(6)

Figura 47 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 30 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 60% ... 128 Figura 48 – Índices de confiabilidade para diferentes taxas de aço e alturas, com fck = 35 MPa e proporção de ações variáveis em relação às totais de 60% ... 128 Figura 49 – Área de aço de acordo com o momento característico e diferentes

razões de ações acidentais em relação às totais para índice de confiabilidade  = 3,0 (fck = 25,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 30,0 cm) ... 130 Figura 50 – Área de aço de acordo com o momento característico e diferentes

razões de ações acidentais em relação às totais para índice de confiabilidade  = 3,0 (fck = 30,0 MPa, bw = 14,0 cm, h = 80,0 cm) ... 143

(7)

Figura 63 – Área de aço de acordo com o momento característico e diferentes

(8)

Figura 78 – Área de aço de acordo com o momento característico e diferentes

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Concreto comum moldado in loco ... 70

Tabela 2 – Concreto comum moldado in loco ... 70

Tabela 3 – Concreto pré-moldado ... 70

Tabela 4 – Concreto comum moldado in loco de acordo com a realidade brasileira 71 Tabela 5 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento ... 71

Tabela 6 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento para a realidade brasileira ... 72

Tabela 7 – Resistência do aço das armaduras ao escoamento independe do diâmetro ... 72

Tabela 8 – Dimensões externas de vigas de concreto armado ... 73

Tabela 9 – Altura útil de vigas de concreto armado ... 73

Tabela 10 – Cobrimento da armadura em vigas de concreto armado ... 74

Tabela 11 – Área de aço das armaduras longitudinais ... 74

Tabela 12 – Ações permanentes ... 75

Tabela 13 – Ações acidentais ... 76

Tabela 14 – Incertezas de solicitações ... 76

Tabela 15 – Incertezas de resistências ... 77

Tabela 16 – Variáveis aleatórias consideradas na análise ... 80

Tabela 17 – Pesos de frequência de ocorrência de diferentes razões de carregamento acidental ... 82

Tabela 18 – Índices de confiabilidade médios de acordo com o método utilizado .... 84

Tabela 19 – Índices de confiabilidade a partir de média ponderada de acordo com o método utilizado ... 85

Tabela 20 – Diferenças dos índices de confiabilidade dos diferentes métodos em relação ao método de Monte Carlo simples ... 86

Tabela 21 – Grupos de distribuição ... 163

Tabela 22 – Categoria 1 - Xi Normal e Xj pertencente ao Grupo 1 ... 163

Tabela 23 – Categoria 2 - Xi Normal e Xj pertencente ao Grupo 2 ... 163

Tabela 24 – Categoria 2 - Xi e Xj pertencentes ao Grupo 1 ... 164

Tabela 26 – Categoria 4 - Xi pertencente ao grupo 1 e Xj pertencentes ao Grupo 2 ... 165

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(11)

LISTA DE SIGLAS E ACRÔNIMOS

LISTA DE SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

MCS Monte Carlo Simulation (Simulação de Monte Carlo)

MCIS Monte Carlo (Importance Sampling) (Simulação de Monte Carlo com amostragem por importância)

LISTA DE ACRÔNIMOS

FOSM First Order Second Moment Method (Método de primeira ordem e segundo momento)

FORM First Order Reliability Method (Método de confiabilidade de primeira ordem)

SORM Second Order Reliability Method (Método de confiabilidade de segunda ordem)

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LISTA DE SÍMBOLOS

X Variável aleatória

x Valor assumido por uma variável aleatória X Vetor de variáveis aleatórias

x Vetor de valores assumidos por uma variável aleatória  Média de uma variável aleatória

 Desvio padrão de uma variável aleatória

ρXY Coeficiente de correlação das variáveis aleatórias X e Y

pf Probabilidade de falha

R Variável aleatória equivalente à resistência

S Variável aleatória equivalente à solicitação

M Variável aleatória equivalente à margem de segurança  Índice de confiabilidade

T Índice de confiabilidade alvo

 Vetor de cossenos diretores do ponto de projeto

nf Número de falhas

nS Número de simulações c Deformação do concreto s Deformação do aço

 Proporção de ações variáveis em relação às totais

d Altura útil

bw Largura da seção transversal

h Altura total da seção transversal

Rcc Força resultante das tensões de compressão no concreto

fcd Resistência do concreto à compressão em valores de cálculo

Rst Força resultante das tensões de tração no aço

fyd Tensão de escoamento de aço em valores de cálculo

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Dedicado à Sirlei, Ronaldo e Alessandra Ames

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AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais, Sirlei e Ronaldo Ames, pelo apoio e compreensão durante os 5 anos que antecederam a conclusão deste trabalho. Ao professor orientador, Carlos Francisco Pecapedra Souza, e coorientador, Edson Florentino de Souza, pelo conhecimento e experiência compartilhados. À Alessandra Ames, Bruno Oliveira Nascimento e Marcel Cassandri Romero Farinha, por possibilitar a conclusão deste trabalho em tempo hábil. Aos demais professores, pela cooperação no desenvolvimento deste trabalho. Aos meus colegas de trabalho e amigos. Sem a participação de todos, este trabalho não teria sido possível.

(15)

RESUMO

AMES, Isabela. Estudo da confiabilidade estrutural no dimensionamento de

vigas de concreto armado submetidas à flexão simples. 2019. 169 f. Trabalho

de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Civil - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Guarapuava, 2019.

O estudo da confiabilidade estrutural possibilita a consideração das incertezas inerentes aos diversos parâmetros de dimensionamento, de modo a determinar os níveis de segurança aos quais uma estrutura está submetida, por meio da análise de sua probabilidade de falha. Com vistas à identificar a influência das variáveis que caracterizam o dimensionamento no estado limite último de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, este trabalho propõe uma análise do ponto de vista de confiabilidade estrutural de vigas dimensionadas de acordo com a norma brasileira NBR 6118:2014 “Projeto de estruturas de concreto - Procedimento", por meio de métodos de transformação - FOSM (First Order Second Moment Method), FORM (First Order Reliability Method) e SORM (Second Order Reliability Method) - e simulação - Monte Carlo simples e com amostragem por importância no ponto de projeto. Para esta análise, foram variados os parâmetros de altura útil (como função da altura da viga), resistência característica do concreto à compressão, área de aço e proporção de ações variáveis em relação às totais para vigas com base de 14 e 19 cm. Desenvolveu-se ainda a otimização baseada em confiabilidade das vigas de concreto armado, com vistas à obtenção das áreas de aço necessárias para fornecer um índice de confiabilidade alvo pré-estabelecido. Os métodos FORM, SORM e os métodos de simulação apresentaram resultados satisfatórios para os casos avaliados. De maneira geral, observou-se a redução da confiabilidade com o aumento da proporção de ações variáveis e altura útil, e o acréscimo na confiabilidade com o aumento da área de aço. Os resultados também demonstraram que os parâmetros com maior influência na probabilidade de falha foram as variáveis de momento característico devido às ações variáveis, cuja variação provocou variabilidade considerável nos índices de confiabilidade, e de incertezas de modelo. Os parâmetros que menos influenciaram na probabilidade de falha foram os parâmetros de resistência característica do concreto à compressão, altura útil e largura da base da viga. Os resultados demonstram, portanto, as variáveis cuja incerteza deve ser estudada e monitorada com maior atenção, e as variáveis cuja incerteza pode ser desprezada.

(16)

ABSTRACT

AMES, Isabela. Structural reliability design assessment of reinforced concrete

beams subjected to a bending moment. 2019. 169 p. Course Conclusion Work in

Civil Engineering - Federal Technology University - Paraná. Guarapuava, 2019.

The structural reliability study enables the consideration of uncertainties inherent to the various design parameters, in order to determine the security levels on which a certain structure is submitted to, through its failure probability analysis. With the aim of identifying the influence of the variables that characterize the ultimate limit state of reinforced concrete beams subjected to a bending moment, this work proposes a structural reliability analysis of beams designed within Brazilian standards such as NBR 6118:2014 “Design of structural concrete – Procedure", taking in consideration the transformation methods – FOSM (First Order Second Moment Method), FORM (First Order Reliability Method) and SORM (Second Order Reliability Method) – and simulation methods – Monte Carlo simulation and Importance Sampling Monte Carlo simulation. To make this analysis possible, it had been varied the parameters of effective depth (as a function of the beam height), concrete compressive strength, reinforcement steel area and the proportion between live load and total load, on 14-and-19-centimeter-width beams. In addition, it had been developed a reliability-based design optimization, with the aim of obtaining the reinforcement steel area needed to provide the target reliability index predetermined. The FORM and SORM as well as the simulation methods presented satisfactory results. In general, it was observed the reliability index decline with the live load rate and effective depth increase, whereas the steel reinforcement area increase led to a rise in the reliability index. The results also demonstrated that the parameters with higher influence on failure probability were the characteristic bending moment due to live load, whose variation had caused a great range on reliability index results, and model uncertainties in general. The parameters with least influence on the failure probability were the concrete compressive strength, effective depth and beam width. The results demonstrated, therefore, the parameters on which the uncertainty must be taken in consideration and monitored with higher attention, and the parameters on which the uncertainty could be neglected.

(17)

SUMÁRIO 1INTRODUÇÃO ...19 1.1 DELITIMITAÇÃO DO TEMA ...20 1.2 OBJETIVOS ...20 1.2.1 Objetivos Gerais ...21 1.2.2 Objetivos Específicos ...21 1.3 JUSTIFICATIVA ...22 2CONCEITOS DE PROBABILIDADE ...24 2.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ...24

2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADES ...25

2.3 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA ...26

2.4 MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA ...26

2.5 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE PROBABILIDADES ...27

2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL ...28

2.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES ...28

2.8 MÉDIA, COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ...29

3O PROBLEMA FUNDAMENTAL DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL ...30

4MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO ...33

4.1 FOSM – MÉTODO DE TRANSFORMAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E SEGUNDO MOMENTO ...33

4.1.1 Equações de Estado Limite lineares ...38

4.1.2 Equações de Estado limite não-lineares ...39

4.1.3 Coeficientes de Sensibilidade ...40

4.1.4 Notação matricial ...41

4.1.5 Algoritmo de Hasofer, Lind, Rackwitz e Fiessler ...41

4.1.6 Algoritmo FOSM ...42

4.2 FORM – MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM...44

4.2.1 Algoritmo FORM ...48

4.3 SORM – MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE SEGUNDA ORDEM ...50

4.3.1 Algoritmo SORM ...51

5MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO ...53

5.1 GERADOR DE AMOSTRAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ...54

5.1.1 Variáveis Aleatórias Independentes ...54

5.1.2 Variáveis Aleatórias Correlacionadas ...55

5.2 TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA ...55

5.2.1 Amostragem por Importância ...56

5.2.2 Determinação da função de amostragem ...56

5.2.3 Algoritmo de Monte Carlo com Amostragem por Importância no Ponto de Projeto ...57

(18)

6OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE (RBDO) ...59

6.1 FORMULAÇÃO RIA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ...60

6.2 FORMULAÇÃO PMA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ...61

7VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES ...64

7.1 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ...64

7.2 EQUILÍBRIO DA SEÇÃO TRANSVERSAL E EQUACIONAMENTO PARA DOMÍNIOS 2 E 3 ...66

7.3 VARIÁVEIS BÁSICAS PARA O ESTUDO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO ...69

7.3.1 Resistência do Concreto à Compressão ...69

7.3.2 Tensão de Escoamento do Aço das Armaduras ...71

7.3.3 Parâmetros de Geometria ...72

7.3.3.1 Dimensões externas da Viga de Concreto Armado ...73

7.3.3.2 Altura útil da viga de concreto armado ...73

7.3.3.3 Cobrimento das armaduras ...74

7.3.3.4 Área de aço das armaduras longitudinais ...74

7.3.4 Ações ...75

7.3.4.1 Ações permanentes ...75

7.3.4.2 Ações variáveis ...75

7.3.5 Incertezas de Modelo ...76

7.4 ÍNDICE DE CONFIABILIDADE ALVO...77

8MATERIAIS E MÉTODOS ...78

8.1 MATERIAIS ...78

8.2 METODOLOGIA ...78

8.2.1 Análise da Confiabilidade Estrutural no Projeto Estrutural a partir da Norma NBR 6118:2014 ...79

8.2.1.1 Modelos de viga analisados ...79

8.2.1.2 Implementação dos algoritmos de confiabilidade estrutural e definição do problema ...80

8.2.2 Otimização Baseada em Confiabilidade de Vigas de Concreto armado ...83

9RESULTADOS E DISCUSSÃO ...84

9.1 ÍNDICES DE CONFIABILIDADE MÉDIOS ...84

9.2 ESTUDO COMPARATIVO DOS MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO E SIMULAÇÃO ...85

9.3 ESTUDO DOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE ...91

9.3.1 Variação da Taxa de Carregamento Acidental ...93

9.3.2 Variação da Área de Aço ...94

9.3.3 Variação da Altura ...95

9.3.4 Variação da Resistência à Compressão do Concreto ...97

9.4 ESTUDO DAS TENDÊNCIAS OBSERVADAS NA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS ...98

(19)

9.4.2 Variação da Área de Aço ...100

9.4.3 Variação da Altura ...103

9.4.4 Variação da Largura da Base ...105

9.4.5 Variação da Resistência à Compressão do Concreto ...106

9.5 OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE DE ÁREAS DE AÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ...110

10 CONCLUSÃO ...112

REFERÊNCIAS ...114

APÊNDICE A - Índices de confiabilidade obtidos a partir de diferentes configurações de vigas...119

APÊNDICE B - Áreas de aço otimizadas a partir de confiabilidade ...129

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1 INTRODUÇÃO

O projeto de estruturas, de modo geral, consiste em proporcionar aos elementos de uma estrutura os critérios de segurança, serviço e durabilidade sob os efeitos de determinadas solicitações. No entanto, a segurança absoluta de uma estrutura não pode ser garantida, devido a inúmeras incertezas, tais quais a imprevisibilidade dos carregamentos futuros, a inabilidade de se obter a propriedade de materiais in loco, as simplificações acerca do comportamento da estrutura submetida aos carregamentos considerados, a limitação dos métodos numéricos utilizados e fatores humanos. Entretanto, a probabilidade de falha de uma estrutura pode ser limitada a níveis razoáveis (HALDAR; MAHADEVAN, 1995).

A variabilidade das diversas variáveis que caracterizam um problema de engenharia indicam a necessidade de estruturar toda a informação obtida da experiência profissional, de forma a obter uma análise racional de tais experiências (DITLEVSEN; MADSEN, 2007).

Para tratar de forma adequada tais incertezas, é necessário considerar as influências externas, tais quais os carregamentos, e as influências internas, tais quais as resistências dos elementos, sendo necessário o levantamento estatístico de todos os parâmetros que as influenciam (FABER, 2006), conforme trabalhos já desenvolvidos por diversos autores (ELLINGWOOD et al., 1980; MIRZA; MACGREGOR, 1982; SANTIAGO, 2019; SANTIAGO; BECK, 2017).

A partir de dados estatísticos conhecidos, o problema de confiabilidade estrutural se inicia com a escolha dos parâmetros adequados e de sua relação, de modo a descrever uma equação de estado limite que separe os domínios de falha e segurança de uma estrutura (HALDAR; MAHADEVAN, 1995).

Quando existe a violação de tal estado limite, ou seja, de modo que tal estrutura atinja seu domínio de falha, sérias consequências são observadas. O estudo da confiabilidade estrutural está relacionado ao cálculo e predição da probabilidade da violação de um estado limite de uma estrutura em qualquer estágio de sua vida útil (MELCHERS; BECK, 2018).

Segundo Beck (2019), a confiabilidade de um sistema pode ser definida, portanto, como a probabilidade de que esse não falhe em um determinado período de tempo, respeitadas as condições de operação e projeto.

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Diversos métodos de solução de problemas de confiabilidade estrutural têm sido propostos, tais como os métodos de transformação e o método de simulação de Monte Carlo, que consideram os diversos tipos de problema, os parâmetros envolvidos e as incertezas associadas a esses parâmetros. As incertezas são modeladas em termos de valores prováveis (média), da dispersão dos valores em torno da média (variância) e funções de distribuição de probabilidades (HALDAR; MAHADEVAN, 1995).

Com o objetivo de analisar as incertezas envolvidas no projeto de vigas de concreto armado, o presente trabalho possui a sua estrutura subdividida em uma breve introdução à conceitos de probabilidade, seguida de uma revisão a respeito dos diferentes métodos de confiabilidade estrutural e de otimização baseada em confiabilidade, dos parâmetros e equações de estado limite considerados na análise desenvolvida no trabalho e, por fim, da metodologia utilizada e dos resultados obtidos.

1.1 DELITIMITAÇÃO DO TEMA

O tema abordado neste trabalho limita-se à abordagem da temática de confiabilidade estrutural com aplicação em um estudo de caso que consiste na análise do índice de confiabilidade de vigas de concreto armado de diferentes geometrias, propriedades e proporções entre carregamentos permanentes e variáveis, dimensionadas à flexão simples de acordo com a norma ABNT NBR 6118:2014 “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. Como parte final da análise, este trabalho propõe o desenvolvimento de ferramentas gráficas para a identificação das áreas de aço otimizadas a partir de confiabilidade estrutural, para diferentes seções transversais, proporções entre carregamentos e resistências do concreto à compressão.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem objetivos gerais e específicos apresentados nos itens a seguir.

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1.2.1 Objetivos Gerais

Objetiva-se desenvolver um estudo acerca da confiabilidade estrutural de vigas de concreto armado dimensionadas de acordo com a norma NBR 6118:2014, de diferentes geometrias, propriedades e carregamentos, submetidas à flexão simples a partir de métodos de confiabilidade estrutural e de otimização baseada em confiabilidade.

1.2.2 Objetivos Específicos

Para o desenvolvimento das atividades relacionadas a este trabalho, alguns objetivos específicos foram elencados:

• realizar uma revisão bibliográfica a respeito dos métodos de transformação FOSM (First Order Second Moment), FORM (First Order Reliability Method), SORM (Second Order Reliability Method) e método de simulação de Monte Carlo simples e com amostragem por importância;

• implementar computacionalmente os algoritmos associados à cada método;

• delimitar as variáveis a serem consideradas na modelagem do problema de confiabilidade em vigas de concreto armado, bem como de sua equação de estado limite;

• levantar dados presentes na literatura a respeito do comportamento estatístico de cada uma das variáveis aleatórias escolhidas;

• analisar a confiabilidade estrutural de vigas de concreto armado nos diferentes métodos de confiabilidade estrutural, estabelecendo comparação entre a aplicabilidade dos métodos e a influência dos diferentes parâmetros nos índices de confiabilidade;

• encontrar, por meio dos coeficientes de sensibilidade, os parâmetros cuja incerteza mais influencia na probabilidade de falha;

• aplicar o algoritmo de otimização baseado em confiabilidade na otimização da área de aço em vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, para índice de confiabilidade alvo pré-estabelecido;

(23)

• expor, por meio de ferramenta gráfica, as áreas de aço para diferentes geometrias e configurações de carregamentos obtidas a partir de otimização baseada em confiabilidade;

• enfatizar a relevância de se considerar a metodologia de confiabilidade estrutural no dimensionamento de elementos de concreto armado.

1.3 JUSTIFICATIVA

Os métodos tradicionais de medição de segurança, tais como os fatores de segurança, são medições determinísticas, uma vez que as variáveis que descrevem a estrutura, a sua resistência e os carregamentos aplicados são assumidos valores conhecidos, sem nenhuma incerteza associada (MELCHERS; BECK, 2018).

As normas de dimensionamento de estruturas são estabelecidas para que exista uma base simples, segura e economicamente eficiente para o dimensionamento de estruturas. Tradicionalmente, a verificação de confiabilidade proposta pelas referências normativas está associada a uma comparação entre resistências e solicitações. Devido às incertezas, são introduzidos valores de projeto para assegurar que a estrutura esteja com um valor aceitável de confiabilidade (FABER; SØRENSEN, 2002).

A Norma Brasileira ABNT NBR 8681:2003 “Ações e segurança nas estruturas – Procedimento” submeteu-se a melhorias através da migração do método de dimensionamento das tensões admissíveis ao método dos estados limites. No entanto, a calibração dos fatores de segurança de tal norma não foi obtida de maneira consistente, independente das condições e incertezas dos materiais e ações da realidade brasileira, sendo baseada no julgamento da experiência de membros de comitê e em normas estrangeiras correlatas (BECK; SOUZA JR., 2010).

Aproximações como esta podem não ser suficientes quando o projeto for baseado em eventos raros ou com novas tecnologias envolvidas. A adoção de estruturas mais robustas usualmente a torna mais segura, porém aumenta consideravelmente o seu custo. Por outro lado, a estrutura pode culminar em sua falha, em conta de diferentes categorias de performance requeridas para determinada estrutura (DITLEVSEN; MADSEN, 2007; ELLINGWOOD, 2000).

(24)

Em muitos campos da engenharia, principalmente os que envolvem produção em massa de produtos manufaturados, a tecnologia é facilmente controlada e dados podem ser disponibilizados a partir de testes. As melhorias e desenvolvimento dos produtos finais podem ser obtidas por meio da sucessão de tentativas, e as falhas em seus processos são principalmente a inconveniência e as perdas econômicas. Na construção civil, por outro lado, os produtos não são produzidos em massa, tornando difícil a obtenção de dados pela repetição das circunstâncias. As demandas na estrutura devido à ocupação e fenômenos naturais é altamente variável e as consequências de falha são severas (ELLINGWOOD, 2000).

Dentre os materiais estruturais usuais na construção civil, o concreto é um dos que apresenta a maior variabilidade de suas propriedades. Em 2011 e posteriormente, em 2017, Santiago e Beck estudaram a conformidade de concretos produzidos no Brasil e os resultados demonstraram que parte dos concretos não atinge a resistência característica de projeto e que o percentual de amostras não conformes tende a ser superior a 5%. Santiago e Beck (2011), Nowak e Szerszen (2003) e Ellingwood e Galambos (1982) mostraram que é possível ajustar uma distribuição normal de probabilidades ao comportamento dos concretos.

O estudo da confiabilidade estrutural possibilita a mudança de escopo no projeto de uma estrutura anteriormente baseado em critérios estruturais especificados em normas tradicionais para requisitos baseados na performance mais ampla de uma estrutura, tais como as utilizadas em processos de otimização (MELCHERS; BECK, 2018).

Em vista dos aspectos econômicos da adoção de coeficientes de segurança obtidos de forma determinística, bem como da grande variabilidade dos produtos da construção civil e dos diversos fatores extrínsecos e intrínsecos, percebe-se a importância de se observar a confiabilidade acerca dos diversos parâmetros considerados no dimensionamento de uma estrutura.

(25)

2 CONCEITOS DE PROBABILIDADE

A teoria de probabilidade constitui a base da avaliação das probabilidades de ocorrência de eventos incertos e, portanto, caracteriza-se como uma ferramenta fundamental para a avaliação de risco. Apenas quando o tratamento das incertezas e de suas consequências na probabilidade de eventos adversos é feito de maneira consistente, é possível analisar os riscos de uma determinada atividade e o processo decisório gerado a partir dos novos dados conhecidos (FABER, 2006).

O nível de incerteza associado à determinada atividade pode ser expresso em termos quantitativos, que são melhor descritos em termos de números ou porcentagens (FABER, 2006). Nas próximas seções, serão abordados conceitos que auxiliam na quantificação das incertezas de eventos aleatórios, cuja compreensão mostra-se de fundamental importância para a análise da confiabilidade estrutural desenvolvida neste trabalho.

2.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável aleatória é uma ferramenta matemática para a representação de um evento de forma analítica. Ao contrário de uma variável determinística, que assume um valor definido, uma variável aleatória pode assumir um intervalo de valores possíveis. As vantagens de se utilizar dessa ferramenta é a representação dos eventos de forma analítica e de fácil visualização gráfica, onde é possível demonstrar os eventos e as suas respectivas probabilidades (ANG; TANG, 2007).

A performance de um sistema de engenharia pode ser usualmente modelada em termos matemáticos em conjunto com relações empíricas. As variáveis aleatórias de determinado sistema são definidas como os parâmetros que carregam toda a informação de incerteza a ser considerada no modelo (FABER, 2006).

As variáveis aleatórias podem assumir forma discreta, contínua ou mista. Em variáveis discretas, a distribuição das variáveis é tida como pulsos, frações ou partes discretas na linha dos reais, que assumem um número contável de valores. Em variáveis contínuas, o intervalo inclui todos os valores num intervalo de números reais.

(26)

O tipo misto abrange os dois tipos anteriormente mencionados (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

A variável aleatória é usualmente denotada por uma letra maiúscula, enquanto seus valores possíveis são denotados por letras minúsculas. Se X é uma variável aleatória, então X = x, X < x ou X > x representa um evento, onde (a < x < b) é o intervalo de valores possíveis de X (ANG; TANG, 2007).

2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADES

Como os valores ou intervalos de uma variável aleatória representam eventos, esses estão associados com suas respectivas probabilidades. Essas probabilidades podem ser melhor descritas com o auxílio de regras chamadas de distribuições de probabilidade (ANG; TANG, 2007).

Uma importante função que descreve uma distribuição de probabilidades é a função densidade de probabilidades. Com a escolha de uma função densidade adequada, é possível representar a probabilidade de qualquer valor x assumido pela variável aleatória X que, segundo Montgomery e Runger (2002), é definida de acordo com as seguintes premissas:

a) f(x)0 b) f(x)dx 1  − =



c) b a

P(a X b)=



f(x)dx = área abaixo de f(x) de a a b. (1) A partir da função densidade descrita pela Equação (1), é possível calcular a probabilidade assumida por X em um determinado intervalo. É importante ressaltar que a probabilidade dada por P X( =x) é igual a zero, diferentemente da probabilidade de X assumir um valor no intervalo [a, b].

As principais distribuições de probabilidade podem ser encontradas em Montgomery e Runger (2002), e Ang e Tang (2007).

(27)

2.3 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA

Uma maneira de denotar a probabilidade acumulada de determinada variável aleatória X é por meio da área delimitada pela curva de densidade de probabilidades, descrita pela distribuição de probabilidades. Segundo Ang e Tang (2007), tal função é dada pela Equação (2):

x

F(x) P(X x) f(u)du

−

=  =



(2)

Para

−   

x

.

2.4 MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

Dois números são frequentemente utilizados para descrever uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. A média é o valor central da distribuição de probabilidades e a variância é uma medida da dispersão, ou variabilidade, na distribuição. Esses dois parâmetros não são exclusivos para uma única distribuição, sendo passíveis de serem utilizados para descrever duas ou mais diferentes distribuições (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

A média ou valor esperado de uma distribuição de variáveis é descrita pela Equação (3) (ANG; TANG, 2007; MONTGOMERY; RUNGER, 2002):

X

E(x) x f (x)dx

 −

=



(3)

A Equação (3) pode ser generalizada para uma função da variável aleatória X e, nesse caso, pode ser escrita conforme a Equação (4).

X

E [g(x)] g(x)f (x)dx

 −

=

_

(4)

A variância é descrita pela Equação (5), e pode ser interpretada como o valor esperado da função g(x)=(X −)², ou a média ponderada do quadrado da distância ao valor médio da distribuição de probabilidades (ANG; TANG, 2007):

( ) _X _X -Var X (x μ )² f (x)dx   =



− (5)

(28)

Quando a função densidade não é conhecida, pode-se realizar uma expansão em série de Taylor da função g(x). Para tanto, obtém-se as expressões para o valor esperado e variância com aproximação de primeira ordem conforme as Equações (6) e (7), respectivamente. X X X dg E(Y) E[g(X)] g(μ ) (X μ ) g(μ ) dX =  + − = (6)       = − _ _ = _ _     2 2 dg dg

Var(Y) Var[g(X)] Var X Var X

dX dX

X

( ) ( ) (7)

Uma medida bastante utilizada para descrever a dispersão é o desvio padrão, dado pela Equação (8), e o coeficiente de variação, dado pela Equação (9) (ANG; TANG, 2007) . X Var(X)  = (8) X X X    = (9)

O coeficiente de variação correlaciona a dispersão relativa ao valor médio, sendo útil como uma medida adimensional da variabilidade.

2.5 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE PROBABILIDADES

As distribuições conjuntas de probabilidade oferecem destaque quando da consideração de resultados que dependem da ação simultânea de dois ou mais processos, ou de duas ou mais variáveis aleatórias (ANG; TANG, 2007).

Sejam X e Y variáveis aleatórias. A probabilidade conjunta para qualquer par de valores de x e y é dada por uma distribuição conjunta das probabilidades de X e Y, que pode ser interpretada conforme a Equação (10):

X,Y

F (x,y) P(X= x,Y y) (10)

A probabilidade das variáveis aleatórias X e Y assumirem um valor em um determinado intervalo, ou seja, a função de probabilidade acumulada em um domínio qualquer, é também descrita pela Equação (11).

X,Y D

(29)

Convém-se analisar individualmente a probabilidade de cada uma das variáveis aleatórias descritas por uma distribuição conjunta de probabilidades. Tais probabilidades tem sua distribuição conhecida como distribuição marginal de probabilidades, e é dada pelas Equações (12) e (13), quando da análise das variáveis aleatórias X e Y (ANG; TANG, 2007).

X XY f (x) f (x,y)dy  − =



(12) Y XY f (y) f (x,y)dx  − =



(13) 2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL

Em determinadas situações, é necessário conhecer o efeito que uma variável exerce sobre outra, ou seja, a probabilidade de um evento da variável aleatória Y ocorrer, dado que determinado evento da variável aleatória X ocorreu. Para este caso, escreve-se a probabilidade condicional da variável aleatória Y, dado X = x, conforme a Equação (14) (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

XY Y |X X f (x,y) f (y) f (x) = (14)

Essa equação pode ser generalizada para n variáveis aleatórias desde que se obtenha a sua distribuição conjunta e a distribuição marginal da variável a qual se deseja analisar o efeito sobre a distribuição condicional (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

2.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

Em alguns casos, a probabilidade de um evento da variável aleatória X ocorrer não influencia a probabilidade de que um evento da variável aleatória Y ocorra. Em casos como esse, diz-se que as variáveis aleatórias são independentes, e para que ocorra, têm-se que as variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xp são independentes se e somente se (15):

(30)

1 2

1 2 p p

X X ...X 1 2 p X 1 X 2 X p

f (x ,x ,...,x )=f (x )f (x )...f (x ) (15) para qualquer x1, x2, ..., xp (BECK, 2019; MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

Neste caso, a função densidade de probabilidades conjunta é facilmente obtida conhecendo-se as probabilidades marginais, e a definição dada pela Equação (15) é de especial importância.

2.8 MÉDIA, COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

O valor esperado de duas variáveis aleatórias contínuas é dado pela Equação (16).

[ ( , )] ( , ) _XY( , )

D

E g X Y =



g x y f x y dxdy (16) Quando duas ou mais variáveis aleatórias são definidas num espaço de probabilidades, pode ser útil descrever a maneira como elas variam juntas. A covariância (Equação (17)) é uma medida da relação linear entre duas variáveis (MONTGOMERY; RUNGER, 2002).

( , ) [( _X)( _Y)] ( ) _X _Y

Cov X Y =E X − Y − =E XY −  (17)

Se a covariância de (X, Y) é grande e positiva, os valores de X e Y tendem a ser ambos grandes ou ambos pequenos em relação às suas respectivas médias. Se a covariância de (X,Y) é grande e negativa, os valores de X tendem a ser grandes quando os valores de Y tendem a ser pequenos em relação às suas respectivas médias e vice-versa (ANG; TANG, 2007).

Outra medida da relação entre duas variáveis aleatórias é dada pelo coeficiente de correlação (Equação(18)).

( , ) XY X Y Cov X Y    = (18)

(31)

3 O PROBLEMA FUNDAMENTAL DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

De maneira geral, a análise de confiabilidade estrutural pode ser vista como um problema de suprimento e demanda, ou ainda, a determinação da probabilidade de que uma determinada demanda seja maior do que a capacidade de suprimento. É a análise da probabilidade de falha de determinado elemento estrutural (BECK, 2019). Ditlevsen e Bjerager (1986) definem os aspectos do problema de confiabilidade estrutural como: a) a identificação de variáveis físicas relevantes e a formulação matemática de uma equação de estado limite; b) escolha da distribuição de probabilidades conjuntas das variáveis; c) modelagem das incertezas dos modelos em termos probabilísticos; d) cálculo da confiabilidade baseada nos modelos formulados.

Usualmente, em problemas de confiabilidade estrutural típicos, a demanda é interpretada como a solicitação (S) e a capacidade de suprimento é representada pela resistência (R). A probabilidade de falha pode ser entendida como a probabilidade de que a solicitação supere a resistência (Equação (19)) (HASOFER; LIND; ASCE, 1974).

f

p =P(S > R) (19)

A distribuição de probabilidades destas variáveis pode ser avaliada por uma distribuição de probabilidades conjunta fRS(r,s), que possui probabilidade de falha igual à sua integral no domínio de falha (20).

f

f RS

p f (r,s)drds



=



(20)

O domínio de falha  =f {(r,s) | r  é delimitado pela equação r = s, de onde s}

obtém-se o resultado mostrado na Equação (21).

s f RS p f (r,s)drds + − − =

 

(21)

Se as variáveis aleatórias R e S são independentes, e portanto

RS R S

f (r,s)=f (r) f (s) , pode-se afirmar que a probabilidade de falha é descrita também na forma da Equação (22). f S R p f (s)F (r)ds  − =



(22)

(32)

Alternativamente, o problema de confiabilidade pode ser resolvido a partir da variável aleatória margem de segurança (M), escrita em função de R e S (Equação (23)) que configura a equação de estado limite do problema analisado (BECK, 2019).

M= − R S (23)

A probabilidade de falha, calculada em função de M, ocorre quando a resistência se iguala à solicitação, ou seja, M = 0, para a qual se configura a situação limite, que separa o domínio de falha do domínio de sucesso, e pode ser observada na Equação (24). 0 f M M -p P(M 0) f (m)dm = F (0)  =  =



(24)

As variáveis que caracterizam um problema de confiabilidade estrutural são usualmente as mesmas utilizadas para o projeto e análise de estruturas. Pode-se citar como exemplo materiais, carregamentos, resistências, densidades, dimensões, entre outros. É conveniente optar por variáveis que sejam independentes, embora isso nem sempre seja possível. Em casos como esse, convém expressar a dependência entre as variáveis por meio de uma matriz de correlações (MELCHERS; BECK, 2018).

As distribuições de probabilidade para estas variáveis são, geralmente, obtidas por meio de conhecimento prévio ou observações e experimentação em estruturas similares. Quando da insuficiência de dados precisos acerca da distribuição de probabilidades, pode ser assumida para essa uma distribuição normal, sendo conhecidas a média e a variância, numa representação de segundo momento (MELCHERS; BECK, 2018).

Conforme a adoção de novas variáveis para o problema de confiabilidade estrutural, a equação M pode ser generalizada por uma equação de estado limite qualquer dada por g(X), expressa em termos de um vetor X das variáveis aleatórias envolvidas no problema. Seja X = x um ponto qualquer no espaço do conjunto de variáveis aleatórias X, a equação de estado limite g(x) = 0 passa a definir o limite entre o domínio de falha e o domínio de sucesso (MELCHERS; BECK, 2018).

A Equação (24) passa a ser generalizada pela Equação (25). ) f _g( _{) 0} p P[g( 0] ... f ( )d  =  =

 

X X _X x x (25)

Se X é um vetor de variáveis aleatórias independentes, a probabilidade de falha é simplificada por um produtório das funções marginais de probabilidade de cada variável aleatória xi, conforme aEquação (26).

(33)

i 1 2 3

n

X X i X 1 X 2 X 3

i=1

f (x)=



f (x ) f (x ) f (x ) f (x )...=   (26) O problema de confiabilidade envolve a determinação de uma função conjunta de densidade de probabilidades e de seu domínio de integração, que na prática mostra-se de difícil acesso. Para a utilização dos dados existentes na solução do problema são utilizados métodos de transformação e métodos de simulação, tal qual o método de simulação de Monte Carlo, que serão abordados nas seções 4 e 5 (BECK, 2019).

(34)

4 MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO

Os métodos de transformação são assim chamados pois envolvem a transformação linear das variáveis de distribuição conjunta de probabilidades qualquer do espaço de projeto

𝕏

para o espaço normal padrão

𝕐

, onde as variáveis passam a ser adimensionais (BECK, 2019).

O método FOSM (First Order Second Moment) baseia-se na aproximação linear da equação de estado limite, utilizando-se dos momentos de segunda ordem (média e variância) das variáveis aleatórias do problema e assumindo para a distribuição de probabilidades a distribuição normal. O método FORM (First Order

Reliability Method) utiliza dados mais completos para a resolução do problema, tais

como as distribuições de probabilidades originais e os coeficientes de correlação, ainda com uma aproximação linear da equação de estado limite. O método SORM (Second Order Reliability Method) aproxima a equação de estado limite por um paraboloide, baseado em informações obtidas nos outros métodos (BECK, 2019). Todos os três métodos serão abordados a seguir.

4.1 FOSM – MÉTODO DE TRANSFORMAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E SEGUNDO MOMENTO

O método FOSM deve seu nome ao fato de ser baseado em uma aproximação de primeira ordem da probabilidade de falha em série de Taylor e utilizar como parâmetros apenas os segundos momentos estatísticos (média e covariâncias) das variáveis aleatórias (HASOFER; LIND; ASCE, 1974).

O modelo de confiabilidade de segundo momento consiste na análise da probabilidade P(S > R), que por vezes pode ser limitada a um valor pequeno  considerado socialmente aceitável, conforme a Equação (27).

P(S > R) (27)

No entanto, nem sempre a informação a respeito da distribuição de S é conhecida, e a Equação (27) pode ser reescrita apenas em termos de sua média e desvio padrão, conforme Equação (28) (HASOFER; LIND; ASCE, 1974):

S S

(35)

O coeficiente  é conhecido como coeficiente de confiabilidade, e da Equação (28) pode ser compreendido que espera-se que a maior parte da probabilidade da variável aleatória S esteja concentrada a  unidades de desvio padrão da média. A região de segurança, ou não falha, fica definida por uma equação de estado limite, e o critério de confiabilidade propõe que o intervalo [ S - S, S + S] deve estar contido inteiramente na região de segurança (HASOFER; LIND; ASCE, 1974).

A formulação original do método FOSM, descrita por Cornell (1969) apud Haldar e Mahadevan (1995), usa apenas duas variáveis aleatórias e a sua equação de estado limite é dada pela Equação (29):

M= − R S (29)

Como R e S são independentes e com distribuição normal, a distribuição de

M também é normal e a sua média e desvio padrão são dados pelas Equações (30) e

(31), respectivamente (HALDAR; MAHADEVAN, 1995; MELCHERS; BECK, 2018).

M R S

 = − (30)

2 2

M R S

 =  + (31)

Como um fator limitante, no espaço amostral original (espaço de projeto), ao ser tomado um círculo centrado na origem, seriam encontradas regiões de maior ou menor probabilidade ao longo de seu limite, dependendo das distribuições de probabilidade, de forma desigual. Convém, portanto, a utilização de uma transformação linear para a criação de um novo espaço amostral (HASOFER; LIND; ASCE, 1974).

A transformação de Hasofer-Lind consiste na criação de um espaço padrão com uma nova região de segurança, onde o critério de confiabilidade passa a ser o de que o intervalo [-, ] esteja inteiramente contido na região de segurança. Em outras palavras, pode-se dizer que a distância do ponto S à regiãode falha, quando

S é medido em unidades de desvio padrão, deve ser maior que  (HASOFER; LIND;

ASCE, 1974). A variável M pode ser reescrita na forma de uma variável normal padrão

Y, ou seja, de forma adimensional, com média nula (centrada na origem) e desvio

padrão unitário (Equação (32)).

M M M Y   − = (32)

A partir da transformação descrita na Equação (32), pode-se escrever a Equação (24) conforme demonstrado na Equação (33).

(36)

M f M p P Y     = _  − _   (33)

A probabilidade de falha pode, então, ser representada por uma função de distribuição cumulativa normal padrão, dada pela Equação (34).

M f M p      = _− _   (34)

A partir das definições apresentadas, obtém-se uma medida geométrica da probabilidade de falha, dada pela distância entre o ponto m = 0 e a origem, ou média da distribuição de Y (a média é nula, conforme transformação dada na Equação (32) ). Tal medida é descrita pelo índice de confiabilidade de Cornell (CORNELL, 1969a apud MELCHERS; BECK, 2018), e a Equação (34) pode ser reescrita em função desse novo coeficiente, conforme Equação (35).

( ) ( ) ( ) R S f ₂ ₂ S R p        ₋ ₋    = = −  +    (35)

Para problemas multidimensionais, com uma função de estado limite linear

g(X) e variáveis aleatórias normais, o índice de confiabilidade pode ser escrito de

acordo com a Equação (36):

G G E[g( )] Var[g( )]    = = X X (36)

Da Equação (35) têm-se que quanto menor a distância entre as médias das variáveis R e S, maior a probabilidade de falha. De maneira análoga, à medida que os desvios padrão são aumentados, a probabilidade de falha também aumenta (MELCHERS; BECK, 2018).

A interpretação geométrica do índice de confiabilidade  para duas variáveis aleatórias pode ser obtida pela resolução de um problema de otimização dado por: encontrar o ponto y* com coordenadas (y1*, y2*), também conhecido como ponto de projeto, ou ponto de mínima distância da região de falha; que minimiza: d² = y1²+ y2²; e está contido no plano definido por g(y1, y2) = 0. Para problemas multidimensionais, o índice de confiabilidade pode ser interpretado como a norma do vetor que se desloca da origem ao ponto de projeto a ser procurado (37):

min

(37)

A interpretação geométrica é exposta a seguir, e é demonstrada por Beck (2019).

Inicialmente, é necessária a transformação de Hasofer-Lind das variáveis aleatórias R e S nas variáveis Y1 e Y2, obtendo-se uma nova função margem de segurança (Equação (38)).

y

1 2 1 R R 2 S S

m(r,s)= − =r s g(y ,y ) = y + −  − (38) A transformação de Hasofer-Lind pode ser interpretada na Figura 1.

Figura 1 – Transformação de Hasofer-Lind das variáveis de projeto

Fonte: adaptado de Beck (2019)

Iguala-se a Equação (38) à zero para satisfazer a condição limite, e resolve-se para y2, obtendo-se o resultado expresso na Equação (39).

1 R R S 2 S y y     + − = (39)

(38)

A distância de um ponto qualquer (y1, y2) à origem é dado por d² = y1²+ y2². A condição de mínimo consiste em otimizar a função distância, obtendo-se a condição de mínimo quando a derivada em relação a y1 é igual a zero, para a qual encontra-se o resultado expresso pela Equação (40).

2 1 2 1 y 2y 2y 0 y  + =  2 2 R 1 2 S y y  0  + = (40)

A partir da Equação (39), é possível a obtenção da coordenada y1*, dada pela Equação (41): 1 R R R S R 1 2 S y y       + − = 2 2 1 S 1 R R R S y =y + ( − ) 2 2 1 S R R R S y ( + )= ( − ) R R S 1 2 2 S R ( ) y *      − = − (41)

De maneira análoga, derivando-se em relação a y2, obtém-se a coordenada

y2* (Equação (42)). S R S 2 2 2 R S ( ) y *      − = + (42)

A coordenada do ponto sobre m(y1, y2) = 0 mais próxima da origem é obtida pela Equação (43): R S 1 2 2 2 R S R S ( ) (y *,y *)   (  , )   − = − + (43)

Ao substituir-se a Equação (43) em d² = y1² + y2², obtém-se o índice de confiabilidade , ou a menor distância entre equação de estado limite e a origem do espaço padrão

𝕐

, dada pela Equação (44), que é igual ao resultado dado pela Equação (35).      − = = + R S min ₂ ₂ R S d (44)

(39)

No espaço de projeto, o coeficiente de confiabilidade pode ser interpretado como a medida, em unidades de desvio padrão, da menor distância entre um ponto contido em M = 0 ao ponto M (MELCHERS; BECK, 2018).

As coordenadas do ponto de projeto podem ser escritas ainda em função de seus cossenos diretores (Equação (45)).

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 g(y ,y ) 1 g g ( , ) , g(y ,y ) g(y ,y ) y y   =  = _   _   _  _ 1 2 ₂ ₂ R S R S 1 ( , ) ( ,  )   = − + (45)

Utilizando o resultado da Equação (45) e os resultados expressos pelas Equações (43) e (44), reescreve-se a coordenada dos pontos de projeto em função dos cossenos diretores e de , conforme expresso na Equação (46).

1 2 1 2

(y *,y *)= −(  , ) (46)

Para problemas multidimensionais, o ponto de projeto pode ser escrito conforme (47), que representa o ponto sob o domínio de falha com maior probabilidade de ocorrência.



= −

y*  (47)

4.1.1 Equações de Estado Limite lineares

Em uma equação de estado limite linear, os cossenos diretores não mudam conforme a sua posição sobre o hiperplano g(y) = 0, cuja equação é dada por (48) (MELCHERS; BECK, 2018): 1 n i i i g( )   y 0 = = +



= y (48)

Ao aplicar-se a transformação de Hasofer-Lind, chega-se à Equação (49).

i i i n n i i X i i=1 X i=1 X g( )     x 0   = −



+



= x (49)

A Equação (49) pode ser reescrita de acordo com a Equação (50).

i

n

0 i

i=1