Estudo da fun¸ c˜ ao sinc - O círculo trigonométrico & As propriedades fascinantes de sinc

A fun¸cão sin(x)_x está definida para x ∈ R \ {0} e como já foi visto na seçcão 4.1 que limx→0 sin(x)_x = 1 vai-se definir uma fun¸cão cont´ınua em R, designada por sinc, dada por:

sinc(x) =    sin(x) x , se x 6= 0 1, se x = 0 .

Na verdade, existem dois tipos de fun¸cão sinc: a que acabamos de definir designa-se por fun¸cão sinc não-normalizada e existe a fun¸cão sinc normalizada. Esta última é dada por sin(πx)_πx para x 6= 0 e também toma valor 1 em x = 0. A fun¸cão sinc normalizada tem esse nome porque R_−∞+∞sin(πx)_πx é igual a 1, enquanto que o da fun¸cão sinc não-normalizada é igual a π (ver seçcão 4.4). Na Análise de Sinais, por exemplo, é bastante utilizada a transformada de Fourier da fun¸cão sinc normalizada, designada por fun¸cão retangular (ver referência [8]), que não será tratada aqui. O nosso estudo vai-se incidir apenas na fun¸cão sinc não-normalizada, que será denotada em todo o texto como, simplesmente, fun¸cão sinc.

Nesta seçcão pretende-se apresentar o gráfico da fun¸cão sinc e fazer um estudo desta, nome- adamente determinar os zeros, a paridade, os extremos, a monotonia e a concavidade da fun¸cão.

Zeros, paridade e express˜ao da primeira derivada

Sendo que sinc(0) 6= 0, os zeros da fun¸cão sinc são facilmente determinados através da re- solu¸cão da equa¸cão sin(x) = 0 e conclui-se que eles são os valores de x tais que x = kπ, k ∈ Z.

Quanto `a paridade tem-se que, sendo x 6= 0, sinc(−x) = sin(−x)

−x = − sin(x)

−x = sinc(x),

portanto a fun¸cão é par, ou seja, o gráfico da fun¸cão é simétrico relativamente ao eixo Oy.

Para estudar os extremos e a monotonia vai-se come¸car por determinar a primeira derivada da fun¸c˜ao. Para x 6= 0, sinc0(x) = cos(x)x−sin(x)_x2 e para x = 0, a derivada vai ser determinada

recorrendo à defini¸cão por limite. O cálculo leva a indetermina¸cões do tipo 0₀ que se resolvem usando a regra de L’Hôpital:

lim x→0 sinc(x) − sinc(0) x = limx→0 sin(x) x − 1 x = limx→0 sin(x) − x x2 = lim x→0 cos(x) − 1 2x = limx→0− sin(x) 2 = 0. Fica, assim, determinada a primeira derivada da fun¸c˜ao sinc definida por

sinc0(x) =    cos(x)x−sin(x) x2 , se x 6= 0 0, se x = 0 .

Esta fun¸cão também é cont´ınua em R: para x 6= 0 é evidente que a fun¸cão sinc0 é cont´ınua e, 19

analogamente ao que foi feito acima para o limite, para x = 0, conclui-se que limx→0sinc0(x) = sinc0(0).

Extremos

Determinada a derivada da fun¸c˜ao sinc vai-se procurar os extremos (locais) atrav´es dos zeros da derivada. Para x 6= 0,

sinc0(x) = 0 ⇔ x cos(x) − sin(x) = 0 ⇔ x = sin(x) cos(x)∧ x 6= π 2 + kπ, k ∈ Z ⇔ x = tan(x) ∧ x 6= π 2 + kπ, k ∈ Z.

Na verdade, sinc0 π₂ + kπ 6= 0 e quando x = 0 satisfaz também a equivalência acima então, para qualquer x,

sinc0(x) = 0 ⇔ tan(x) = x.

Figura 4.4: Gr´aficos das fun¸c˜oes tan(x) e x

O objetivo é identificar, de entre os valores de x que satisfazem x = tan(x), os que são ma- ximizantes e os que são minimizantes. Tendo em conta que a fun¸cão sinc é par, vai-se limitar o estudo dos extremos a x ≥ 0. Para x = 0, como sinc(0) = 1 e, para qualquer x ∈ R, sinc(x) ≤ 1, a fun¸cão sinc tem um máximo em x = 0. De facto, sinc(0) é o máximo absoluto da fun¸cão (ver pág.21).

Sendo x > 0, a equa¸cão x = tan(x) é válida se sin(x) e cos(x) tiverem o mesmo sinal, ou seja, x ∈2kπ,π₂ + 2kπ ou x ∈π + 2kπ,3π₂ + 2kπ , k ∈ N0. Para simplificar a escrita, vai-se designar por Iko intervalo2kπ,π₂ + 2kπ e por Jko intervaloπ + 2kπ,3π₂ + 2kπ, com k ∈ N0. Facilmente se vê que a fun¸cão h(x) = tan(x) − x é crescente em cada um dos intervalos Ik e Jk, pois h0(x) = _cos12_(x) − 1 = tan2(x) e h

0_{(x) > 0 nos intervalos I} k e Jk.

Repare-se que quando x > 2kπ e próximo de 2kπ tem-se que h(x) < 0 e quando x < π₂ + 2kπ e próximo de π₂ + 2kπ, h(x) > 0 e como se acabou de mostrar que a fun¸cão h é crescente no intervalo Ik, conclui-se que existe um e um só zero da fun¸cão h, em cada intervalo Ik. Por

argumentos an´alogos, o mesmo se conclui para cada intervalo Jk. Seja α > 0 tal que sinc0(α) = 0, isto ´e, α = tan(α).

Come¸cando pelo caso em que α ∈ Ik: se x ∈ Ik e x < α, ent˜ao por a fun¸c˜ao tan(x) − x ser crescente nesse intervalo, tem-se que tan(x) − x < tan(α) − α = 0 e tan(x) < x. Em Ik, como cos(x) > 0,

sin(x)

cos(x) < x ⇔ sin(x) < cos(x)x ⇔ x cos(x) − sin(x) > 0

portanto sinc0(x) > 0. Se, por outro lado, x > α então, pelos argumentos anteriores, tem-se que tan(x) > x e, consequentemente, que x cos(x) − sin(x) < 0 concluindo-se que sinc0(x) < 0. Portanto, para α ∈ Ik, α é um maximizante da fun¸cão sinc.

No caso em que α ∈ Jk, os argumentos são análogos excetuando que, em Jk, cos(x) < 0 o que altera o sentido da desigualdade em _cos(x)sin(x) < x tendo-se sinc0(x) < 0, no caso em que x < α e em _cos(x)sin(x) > x tendo-se sinc0(x) > 0, no caso em que x > α. Portanto, para α ∈ Jk, α é um minimizante da fun¸cão sinc.

Os extremos locais da fun¸c˜ao sinc s˜ao, para k ∈ N0,

1. os valores da fun¸c˜ao quando x ∈2kπ,π₂ + 2kπ, tal que x = tan(x), sendo estes m´aximos locais;

2. os valores da fun¸c˜ao quando x ∈ π + 2kπ,3π

2 + 2kπ, tal que x = tan(x), sendo estes m´ınimos locais.

Os restantes decorrem pela simetria da fun¸c˜ao, obtendo-se os extremos locais da fun¸c˜ao sinc para x < 0.

Monotonia

Como o dom´ınio da fun¸cão é R (um intervalo) e a fun¸cão sinc0(x) é cont´ınua em R, então esta não muda de sinal entre dois zeros consecutivos. Assim, sinc(x) vai alternando decrescimento (entre um maximizante e o minimizante seguinte) e crescimento (entre um minimizante e o maximizante seguinte).

Estudada a monotonia, pode-se concluir que, na verdade, a fun¸cão sinc atinge um máximo absoluto em x = 0 e é único, porque entre zero, que é o primeiro maximizante, e o primeiro minimizante, pertencente aπ,3π₂ , a fun¸cão é estritamente decrescente e para x > 1,

sin(x) x < 1. Concavidade

Para estudar a concavidade, vai-se come¸car por determinar a segunda derivada da fun¸c˜ao. Para x 6= 0, sinc00(x) = −sinc(x) +2 sin(x)_x3 −

2 cos(x)

x2 , e para x = 0 ´e an´alogo ao que foi feito para

a primeira derivada, concluindo-se que lim x→0 sinc0(x) − sinc(0) x = − 1 3 = sinc 00_(0). 21

Fica, assim, determinada a segunda derivada da fun¸c˜ao sinc definida por sinc00(x) =    −sinc(x) +2 sin(x)_x3 − 2 cos(x) x2 , se x 6= 0 −1₃, se x = 0 .

Note-se que sin00(x) = − sin(x) e cos00(x) = − cos(x) e, como foi visto anteriormente que sinc00(x) = −sinc(x) + 2 sin(x)_x3 −

2 cos(x)

x2 (para x 6= 0), tem-se que, quando |x| → +∞,

sinc00(x) ≈ −sinc(x).

Pela aproxima¸cão acima conclui-se que sinc tem a concavidade voltada para cima aproximadamente quando sinc(x) < 0 e voltada para baixo aproximadamente quando sinc(x) > 0. Este facto pode ser confirmado pelo gráfico abaixo onde estão representadas as fun¸cões sinc, −sinc e sinc00 a cor verde, vermelho e azul, respetivamente.

Figura 4.5: Gr´aficos das fun¸c˜oes sinc, −sinc e sinc00

Terminado o estudo da fun¸cão sinc, apresenta-se abaixo a representa¸cão gráfica da fun¸cão.

Figura 4.6: Gr´afico da fun¸c˜ao sinc

No documento O círculo trigonométrico & As propriedades fascinantes de sinc (páginas 33-37)