O círculo trigonométrico & As propriedades fascinantes de sinc

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O círculo

trigo

nométrico

&

As propriedades

fascinantes

de

sinc

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Rela tó ri o d e e stá g io a p rese n ta d o à Fa cu lda d e d e Ci ê n cias d a Univ e rsi d a d e d o P o rto e m E n sino d e M a te m á tica n o 3 º Ci clo d o E n sino B á sico e n o S e cu n d á ri o

2020

O círculo trigonométrico & As propriedades fascinantes de sinc Flávia Carolina Ribeiro Vasconcelos

MSc

FCUP A NO 2020 2.º CICL O

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O círculo

trigonométrico &

As propriedades

fascinantes de

sinc

Flávia Carolina Ribeiro Vasconcelos

Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino

Básico e no Secundário

Departamento de Matemática Ano 2020

Orientador

Ana Oliveira, Professora Auxiliar, Faculdade Ciências da Universidade do Porto

Coorientador

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Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas.

O Presidente do Júri,

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Agradecimentos

Estou extremamente agradecida à minha colega de estágio, Patr´ıcia Oliveira, que foi a pessoa que mais esteve presente em toda esta experiência (não é que tivesse muita hipótese). Agrade¸co todo o companheirismo, todo o apoio e toda a energia contagiante que tem dentro dela.

Um sincero agradecimento à Professora Ana Oliveira por toda a disponibilidade e dedica¸cão prestada na elabora¸cão deste Relatório de Estágio como também agrade¸co todo o apoio e preo-cupa¸cão no decorrer do mesmo.

Agrade¸co ao Professor Vladimiro Machado pela constante aprendizagem que me proporci-onou, pelas discussões saudáveis sobre a atualidade e toda a bagagem que levo comigo para a minha prática profissional futura.

Agrade¸co a todos os professores e auxiliares da Escola Secund´aria de Valongo por me terem recebido de bra¸cos abertos e com uma incr´ıvel simpatia.

Agrade¸co aos pupilos do 10oCT2 e 12oCT1 que entenderam que era tanto como eles, alguém que também está em aprendizagem, e me fizeram sentir, mesmo assim, uma professora. A todos eles desejo o melhor deste mundo.

Agrade¸co ao Ivo Ribeiro por todas as horas de apoio inform´atico, nas quais aprendi muito. Sem ti, o site n˜ao tinha passado de uma ideia.

Agrade¸co ao Micael Sampaio também pelo apoio informático (sem ti, não era poss´ıvel o upload dos v´ıdeos no site), pela ajuda na estética e todo o apoio constante dado ao longo da elabora¸cão do relatório.

Agrade¸co aos meus amigos por me terem tirado de casa para apanhar ar fresco e me darem todo o suporte emocional e motiva¸c˜ao nesta experiˆencia.

Agrade¸co todas as mensagens de apoio recebidas ao longo deste ano letivo, principalmente, nesta reta final que se tornou bastante esgotante. Sinto-me agradecida por a minha vida estar preenchida de pessoas que sentem orgulho em mim e fazem quest˜ao que o saiba.

Agrade¸co à minha irmã por ter mantido a minha sanidade mental, principalmente, neste per´ıodo de enclausuramento, obrigando-me a ver séries e a cantarolar pela casa. Thanks for the abstract.

Deixo o melhor para o fim, n˜ao havendo palavras que cheguem para tamanho agradecimento, aos meus pais que tornaram tudo isto poss´ıvel: a concretiza¸c˜ao de um sonho.

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Resumo

Este presente relatório de estágio divide-se em três grandes partes: a análise cr´ıtica do estágio, uma parte didática e uma parte cient´ıfica.

A análise cr´ıtica do estágio concede ao leitor uma visão global do que constituiu o mesmo, descrevendo e analisando detalhes relevantes que impulsionaram momentos de aprendizagem e de crescimento pessoal e que gra¸cas a estes foi poss´ıvel construir uma bagagem diversificada para a minha prática profissional futura.

Para a segunda parte do presente relatório baseei-me no contacto frequente com alunos do ensino secundário. Este mostrou-me que os alunos tendem a não fazer uso do c´ırculo trigo-nométrico, apresentando bastantes dificuldades na sua compreensão e o não aproveitamento das suas potencialidades. Portanto, nesta parte didática, apresento o site que desenvolvi, intitulado de C´ırculo Trigonométrico, dirigido a alunos do 11o ano e a todos os interessados por esse tema. Inspirada no facto dos alunos do 12oano de escolaridade estudarem o limite notável limx→0sin(x)_x para determinar as derivadas das fun¸cões seno e cosseno, a parte cient´ıfica, apresenta três al-ternativas diferentes para determinar o valor desse limite notável e uma alternativa para deter-minar essas derivadas usando integrais das fun¸cões seno e cosseno e propriedades dos mesmos. Definindo uma nova fun¸cão, designada por fun¸cão sinc, será feito o seu estudo e analisadas propriedades fascinantes da mesma.

Palavras-Chave: C´ırculo trigonométrico; Potencialidades; limx→0 sin(x)_x ; Fun¸cão sinc; De-rivada; Propriedades; Fórmula de Viète

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Abstract

This present internship report is divided into three big parts: the critical analysis of the internship, a didactic component and a scientific component.

The critical analysis of the internship provides the reader with a global vision of what formed it, by describing and analysing relevant details, that promoted learning and personal growth mo-ments. It was thanks to those that it was possible to build diversified baggage to my future professional practice.

The second part of this report is based on the regular contact I had with the high school stu-dents. This experience revealed to me that students usually do not use the trigonometric circle since they have many difficulties in understanding it, which results in not taking advantage of its potential. As a way of overcoming this challenge, I developed a website for this didactic part called ”Trigonometric circle”, dedicated to the 11th-grade students and all people interested in this subject.

The scientific section was inspired by the fact that 12th-grade students learn the notable limit limx→0 sin(x)_x to determinate the derivatives of the functions of the sine and cosine. This section presents three different alternatives to calculate the value of this notable limit and an alternative to determinate the derivatives using integrals of the sine and cosine functions and their properties. This section will also define a new function, called the sinc function, and examine all of its fascinating properties.

Keywords: Trigonometric circle; Potential; limx→0 sin(x)_x ; Sinc Function; Derivatives; Pro-perties; Vi`ete Formula

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Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Reflex˜ao do Est´agio 3

3 Parte Did´atica 9

4 Parte Cient´ıfica 11

4.1 Trˆes formas diferentes de determinar limx→0 sin(x)_x . . . 11

4.2 As derivadas de sin(x) e cos(x) . . . 15

4.3 Estudo da fun¸c˜ao sinc . . . 19

4.4 Integrais e Igualdades . . . 23

5 Considera¸c˜oes Finais 29

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Lista de Figuras

3.1 Menu do site . . . 9

3.2 Os trˆes n´ıveis de Aprendendo . . . 10

4.1 Circunferˆencia trigonom´etrica e os pontos O, A, B e C . . . 11

4.2 Pol´ıgono inscrito na circunferˆencia trigonom´etrica . . . 12

4.3 Triˆangulo is´osceles . . . 13

4.4 Gr´aficos das fun¸c˜oes tan(x) e x . . . 20

4.5 Gr´aficos das fun¸c˜oes sinc, −sinc e sinc00 . . . 22

4.6 Gr´afico da fun¸c˜ao sinc . . . 23

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Este presente relatório de estágio é realizado no âmbito do Mestrado em Ensino de Ma-temática no 3ociclo do Ensino Básico e no Secundário. Este é a integra¸cão de conhecimentos teóricos, adquiridos ao longo do mestrado, na prática educativa, que conduziu a um processo de reflexão e aperfei¸coamento constante sobre estas mesmas práticas.

O relatório divide-se em três grandes partes: a análise cr´ıtica do estágio, uma parte didática e uma parte cient´ıfica.

A primeira correspondente à análise cr´ıtica do estágio descreve globalmente a prática edu-cativa, analisando com detalhe alguns aspetos que considero relevantes para a minha prática profissional futura.

Para a parte didática, foi desenvolvido um site intitulado de C´ırculo Trigonométrico, que é dirigido a alunos do 11o _{ano e a todos os interessados por esse tema. Neste relat´}_{orio, ´}_{e explicado} como está organizado o site e a sua importância educativa.

Na última parte, a parte cient´ıfica, apresenta três alternativas diferentes para determinar o valor desse limite notável e uma alternativa para determinar essas derivadas usando integrais das fun¸cões seno e cosseno e propriedades dos mesmos. Definindo uma nova fun¸cão, designada por fun¸cão sinc, será feito o seu estudo e analisadas propriedades fascinantes da mesma.

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Cap´ıtulo 2

Reflex˜

ao do Est´

agio

Esta análise cr´ıtica é sobre a minha prática pedagógica que decorreu na Escola Secundária de Valongo, situada no distrito de Porto, desde Setembro de 2019 até Maio de 2020. Eu e a minha colega Patr´ıcia Oliveira formamos o núcleo de estágio, orientado pelo Professor Vladimiro Machado. Esta prática apenas abrangeu o ensino Secundário, tendo possibilidade de trabalhar com a turma CT2 de 10o ano e com a turma CT1 de 12oano. Ambas as turmas eram bastante heterogéneas.

As turmas

A turma de 10oano era constitu´ıda, inicialmente, por 28 alunos, 21 dos quais eram raparigas e 7 rapazes. Como um aluno, no final do 1o per´ıodo, decidiu mudar de biologia para geometria descritiva, a turma ficou apenas com 27 alunos. Todos eles, no in´ıcio do ano, apresentavam elevadas expectativas para o seu futuro, tendo a maior parte afirmado querer seguir o ensino superior, após o término do secundário. Porém, o comportamento e o aproveitamento, em geral, no primeiro per´ıodo, não foram muito satisfatórios. O facto de os alunos estarem a frequentar o 10oano pela primeira vez, que corresponde à passagem do ensino básico para o ensino secundário, exige ao professor uma empatia para com esta adapta¸cão, distinta em cada aluno, ao novo ciclo que se inicia.

Já a turma de 12oano era constitu´ıda por 28 alunos, dos quais 15 raparigas e 13 rapazes, estando todos eles a frequentar o 12oano pela primeira vez. Esta turma resultou de uma fusão de duas turmas distintas, o que foi notório no que concerne à pontualidade e comportamento. Uma parte da turma era bastante brincalhona e um pouco imatura, chegando, por vezes, a perturbar a funcionalidade da aula.

As reuni˜oes

Para além do horário relativo às aulas, o núcleo de estágio reunia-se uma hora semanalmente com o professor cooperante, onde nos era dado feedback sobre as regências, elogiando os nossos pontos fortes e identificando pontos a serem melhorados, como também nos aconselhava e escla-recia aquando a prepara¸cão de uma regência.

Inicialmente, nas reuniões, foi analisado o perfil dos alunos à sa´ıda da escolaridade obri-gatória, como as aprendizagens essenciais, o programa de matemática do ensino secundário e os cadernos de apoio. Com o decorrer do estágio, foram discutidos alguns temas sobre a prática pedagógica e foi-nos dado a conhecer dois novos dispositivos reguladores da aprendizagem, os

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testes em duas fases e as tarefas de n´ıvel. Um teste em duas fazes é um teste que ocorre em dois momentos distintos, permitindo ao aluno, através do feedback escrito dado pelo professor na primeira fase, confrontar-se com os erros cometidos, dando-lhe oportunidade de refletir sobre eles e tentar ultrapassá-los. Enquanto que uma tarefa de n´ıvel corresponde a uma questão que vai sendo alterada aumentando o seu n´ıvel de dificuldade. Todos os alunos iniciam no n´ıvel um e só passam ao próximo n´ıvel se acertarem toda a questão, caso não aconte¸ca, voltam a repetir o n´ıvel. Estas tarefas são indicadas para refor¸car procedimentos, por exemplo: regras das potências, resolu¸cão de equa¸cões, ...

Quanto às reuniões de concelho de turma, estas foram um meio de maior aproxima¸cão com os restantes professores, nas quais me senti completamente integrada. No in´ıcio do ano, decorreu uma reunião de cada turma para dar as boas vindas ao novo ano letivo. Em cada per´ıodo e em cada turma, houve sempre uma reunião intercalar com a presen¸ca dos professores da turma, os representantes dos encarregados de educa¸cão, o delegado e subdelegado da turma, que servia para discutir o aproveitamento dos alunos e o seu envolvimento e interesse em sala de aula. E, também, uma reunião no término do per´ıodo, para a discussão das notas e decidir que medidas tomar para um melhor funcionamento do próximo per´ıodo.

As aulas

Nas aulas do professor cooperante, o estágio cingiu-se à observa¸cão das aulas e ao esclareci-mento de dúvidas nas aulas de resolu¸cão de exerc´ıcios. Fiz um registo dessas aulas num caderno diário e resolvi todas as fichas de trabalho dadas pelo professor cooperante, de forma a sentir-me preparada para eventuais questões feitas pelos alunos, sempre ciente que poderiam haver outras formas de resolu¸cão.

Quanto às minhas regências, ao todo foram 30 aulas de 45 minutos: no primeiro per´ıodo foram dadas 6 aulas a cada turma; no segundo per´ıodo foram dadas 6 aulas no 10oano e 10 aulas no 12oano; e, por fim, no terceiro per´ıodo foram dadas apenas 2 aulas ao 10oano. Tendo em conta que auxiliei em 3 aulas à distância no 10o ano na resolu¸cão de exerc´ıcios ou corre¸cão dos trabalhos de casa.

Os aspetos mais importantes das aulas

As minhas regências iniciaram com o 12oano, na unidade de limites do tema das fun¸cões reais de variáveis reais. Os objetivos delineados para estas aulas eram rever o conceito de limite de uma sucessão e determinar esses limites e lecionar os teoremas de compara¸cão e teorema das sucessões enquadradas.

Os alunos, na primeira aula, demonstraram grandes dificuldades em entender o conceito de limite e, consequentemente, dificuldades na determina¸cão dos mesmos. Eu não conhecia as di-ficuldades dos alunos nesta unidade e, portanto, tinha criado um plano de aula completamente inadequado para a situa¸cão dos alunos. Senti-me completamente perdida e acabei não saber fazer uma boa gestão da aula, focando-me no individual, em vez num todo.

Após este desastre de aula, preparei uma aula apenas de revisões para que os alunos se sentissem mais confiantes a trabalhar com limites. Senti-me muito mais segura no papel que me estava a ser confiado, chamando alunos ao quadro para a resolu¸cão de exerc´ıcios. Comecei a ter uma pequena no¸cão do todo, criando momentos de turma quando era uma dúvida comum.

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Durante um mês tive oportunidade de refletir sobre as minhas atitudes em sala de aula e, portanto, aquando dadas as aulas ao 10oano, senti-me muito mais bem preparada. Os objetivos destas aulas eram lecionar os conceitos de distância entre dois pontos no espa¸co, coordenadas do ponto médio de um segmento de reta no espa¸co, plano mediador de um segmento de reta, superf´ıcie esférica e esfera.

O programa de Matemática A dá especial relevância à aplica¸cão da matemática ao mundo real, portanto iniciei a minha primeira aula com um problema desse tipo, com o objetivo de me libertar da necessidade do contexto para obter algo mais abstrato. Ao intercalar a exposi¸cão de matéria com a resolu¸cão de exerc´ıcios e aliando o facto de ir circulando pela sala de aula, olhando para os cadernos dos alunos, percebendo se estavam a conseguir resolver ou de que forma estavam a resolver, dando dicas, identificando erros e encorajando durante o processo de resolu¸cão, as aulas tornaram-se muito mais dinâmicas.

Ser professor não é só lidar com os conhecimentos, mas também lidar com comportamentos e atitudes. Nas aulas, havia um grupo de alunos na turma que estava sempre distra´ıdo, não se em-penhava na resolu¸cão dos exerc´ıcios e aquando a minha exposi¸cão mantinha conversas paralelas. Portanto, numa das aulas, fiz uma pausa para mencionar sobre o respeito mútuo. Expressei o meu desagrado quanto às suas atitudes e expliquei que apenas conseguimos obter o respeito dos outros, quando somos capazes de os respeitar. Para que o clima não ficasse demasiado pesado, manifestei o meu agrado pela turma, indiquei algumas das suas qualidades e mencionei que não era o meu desejo apontar o desrespeito como uma caracter´ıstica do 10oCT2.

No segundo per´ıodo, comecei a lecionar novamente em finais de Janeiro, come¸cando com o 12oano. Os temas das aulas foram as fórmulas da adi¸cão e subtra¸cão de ângulos e de duplica¸cão de ângulos para o seno e cosseno, a resolu¸cão de equa¸cões trigonométricas, o limite notável de limx→0 sin(x)_x e derivadas de fun¸cões trigonométricas.

Neste conjunto de aulas aprendi muito sobre o prepósito. Apercebi-me que os alunos sentem-se mais motivados para algo que tenha um prepósito. Um exemplo disso foi a aula que preparei para introduzir o limite notável. No livro adotado tinha uma seçcão dedicada a este limite, sem qualquer seguimento, sem qualquer explica¸cão, sem qualquer intuito. Eu decidi que os alunos mereciam essa explica¸cão. Iniciei a aula a interrogar os alunos como seria a derivada, por exem-plo, da fun¸cão seno. Para isso, come¸caram por determinar a derivada do seno por defini¸cão de limite, sendo que se existir limh→0 sin(x+h)−sin(x)_h , o valor do limite é a derivada da fun¸cão seno. Ao determinar esse limite, os alunos depararam-se com dois limites, um deles é, pois, o limite notável que eu queria trabalhar naquela aula.

Em finais de Fevereiro voltei a dar aulas ao 10oano. As aulas tinham como objetivo estudar a fam´ılia de fun¸cões g(x) = af (x − b) + c, sendo a, b, c ∈ R \ {0}. Tinha decidido abordar este tema através de um ensino exploratório. O professor cooperante indicou-me o texto Forma¸cão de pro-fessores dos primeiros anos em articula¸cão com o contexto de prática de ensino de matemática de João Ponte, Joana Pereira, Marisa Quaresma e Isabel Velez, que destaca a importância de um ensino exploratório, tendo por base tarefas desafiantes e momentos de discussão coletiva.

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Portanto, na primeira aula, decidi organizar a turma em grupos para trabalharem numa tarefa exploratória sobre as fam´ılias de fun¸cões f (x) + c e f (x − c), onde c ∈ R \ {0}, que consistia na observa¸cão das fun¸cões através da calculadora gráfica e retirar conclusões.

Esta aula não correu muito bem e passo a explicar o porquê: em primeiro lugar, maior parte dos alunos não tinham trazido calculadora gráfica, haviam ao todo umas 7 calculadoras e a minha ideia inicial era agrupar a turma em grupos de pequena dimensão (2 ou 3 elementos), portanto passaram a ser grupos de maiores dimensões (4 ou 5 elementos); e, em segundo lugar, deixei que eles formassem os seus próprios grupos, o que resultou em grupos que trabalhavam muito bem juntos ou em grupos que não trabalhavam sequer, portanto a gestão de sala de aula passou a ser mais complicada. Como tinha decidido no plano de aula organizar apresenta¸cões sobre a tarefa, para contornar esta situa¸cão imprevista, informei os alunos que, na aula seguinte, teriam de apresentar aos colegas as conclusões que tinham retirado ao longo da tarefa, dando, assim, oportunidade aos grupos que pouco tinham trabalhado em contexto de sala de aula para trabalhar em casa.

Acredito que a Escola é a principal responsável por promover valores como a coopera¸cão, o respeito e solidariedade e, portanto, esta aula impulsionou-me a descobrir mais sobre grupos de trabalho, de forma a melhorar numa próxima aula deste tipo. Os grupos de trabalho promovem uma aprendizagem cooperativa, garantindo o desenvolvimento de competências sociais dos alu-nos, sendo estas fundamentais para serem capazes de viver em sociedade. É, também, essencial que o professor conhe¸ca os alunos da turma para poder definir bem os grupos de trabalho, for-mando grupos heterogéneos, para que os alunos possam interagir e comunicar diversificadamente. Quanto às apresenta¸cões, aprendi que os alunos devem ser incentivados a expor os seus pen-samentos e ideias para que possam gradualmente melhorar a sua comunica¸cão. O comentar as afirma¸cões dos seus colegas ou, até, complementar promove a interajuda e cria ambientes de solidariedade, em contexto de sala de aula. Ainda, aliando um bom questionamento oral pelo professor, favorece o reconhecimento por parte dos alunos dos seus erros e, consequentemente, aumenta a possibilidade de aprendizagem efetiva. Para o professor, é um bom meio para regu-lar as aprendizagens dos seus alunos e, também, aumentar o seu conhecimento acerca dos seus próprios alunos.

O uso da calculadora, nesta tarefa, acompanhado de uma análise cr´ıtica das experiências feitas nela é um meio incentivador do esp´ırito de pesquisa. A calculadora foi usada para uma abordagem mais experimental do estudo de fun¸cões, onde os alunos tiveram hipótese de explorar as suas potencialidades: pedir os zeros da fun¸cão, ajustar a janela ao dom´ınio e contradom´ınio da fun¸cão. Para as restantes transforma¸cões recorri às potencialidades do GeoGebra, sendo os alunos a dar exemplos de fun¸cões e a prever os resultados, que também se revelou interessante.

Para estas aulas sobre transforma¸cões de gráficos de fun¸cões, desafiei-me a criar um quiz que usei como um promotor de feedback para os alunos. Com acesso à internet da escola, os alunos puderam usar o telemóvel para participar no quiz e foram incentivados à obten¸cão da melhor pontua¸cão da turma. Com a concretiza¸cão desta atividade, concluo que é necessário criar am-bientes estimulantes para aumentar o interesse e a motiva¸cão dos alunos pela matemática.

Falando em ambientes estimulantes, o professor cooperante iniciou o ano letivo, em ambas as 6

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turmas, com uma aula dedicada a jogos e desafios matemáticos que estimulavam a capacidade de identificar rela¸cões entre números ou padrões e que desenvolviam a lógica e o racioc´ınio. Para além de desenvolver certas capacidades, gerou-se interesse e motiva¸cão nos alunos para partici-par nos jogos ou resolver os desafios.

Aulas `a distˆancia

Já em regime de aulas à distância, tive oportunidade de lecionar uma aula, que foi assistida pela orientadora cient´ıfica. Os objetivos da aula eram apresentar uma nova fun¸cão, a fun¸cão módulo, e estudar a fam´ılia de fun¸cões do tipo f (x) = a|x − b| + c, onde a, b, c ∈ R \ {0}. Para esta aula tive acesso a um quadro branco e, portanto, o computador projetava-o no ecrã. Apoiada no quadro branco, o ambiente criado era parecido ao de sala de aula, apesar de cada um de nós estar em sua casa. Alternei o uso do quadro com o recurso ao GeoGebra para que fossem facilmente identificadas as transforma¸cões que ocorriam nos gráficos quando se alteravam os parâmetros.

Nas aulas à distância, verifiquei que os alunos tendiam a participar pouco e, inclusive, al-guns mantinham as câmaras desligadas e/ou microfones desligados. Estas aulas exigiram muito mais ao professor e ao aluno. Em algumas das aulas, o professor consegue desanimar um pouco quando sente que ninguém está a ouvir e torna-se desgastante chamar constantemente a partici-par. Porém, reconhe¸co que é necessário ser-se perseverante, mantendo essa atitude de estimular os alunos a participar, porque só assim conseguimos um feedback sobre as suas aprendizagens. Manter um questionamento oral frequente, de maneira a chegar a todos, é importante para que sintamos os alunos presentes na aula.

Os trabalhos de casa e o questionamento oral foram os principais regulares da aprendizagem, nestas aulas à distância. Uma quantidade razoável de trabalhos de casa foram uma forma de os alunos acompanharem as aulas e, ainda, o professor entender se realmente os alunos estão a aprender ou quais as suas dificuldades.

Atividades da Semana Aberta

Quanto às atividades extracurriculares, decorreram as atividades da Semana Aberta que são uma oportunidade de os próprios alunos conhecerem a oferta formativa que a sua escola proporciona assim como de participar numa série de atividades. Neste caso, a semana aberta correspondeu a dois dias de atividades de diversas áreas, desenvolvidas pelos alunos para a comunidade escolar. As atividades envolviam desde o 7o ano até ao 12o ano de escolaridade. Decorreram exposi¸cões, palestras, jogos educativos, torneios de diferentes desportos, olimp´ıadas, entre outros.

No âmbito da matemática, ocorreram as Olimp´ıadas da Matemática, que contaram com a participa¸cão de 6 alunos de cada uma das nossas turmas. As olimp´ıadas consistiam em 3 problemas e funcionava da seguinte forma: apenas era entregue o próximo problema quando terminavam o que estavam a fazer e os tempos que demoravam a resolver cada um deles era contabilizado. Nesta atividade, ajudei a vigiar os alunos, a auxiliar na distribui¸cão de material para as provas e a apontar os tempos.

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Atividade do Dia Nacional da Matem´atica

O núcleo de estágio desenvolveu uma atividade para o Dia Nacional da Matemática que consistia em palpites. Existiam 3 recipientes de diferentes formatos e cada um continha objetos diferentes, por exemplo: uma garrafa com grãos de arroz. O objetivo era investigar quantos grãos de arroz estariam na garrafa. O palpite teria de vir acompanhado de uma justifica¸cão válida. Com esta atividade, pretendia-se que os alunos trabalhassem com volumes de objetos para conseguirem um bom palpite. Esta não chegou a decorrer, porque a escola acabou por encerrar no dia que iria decorrer a mesma devido ao covid-19.

Aula ao Ensino Profissional

O nosso núcleo de estágio foi convidado por um professor de matemática a dar uma aula a um curso profissional de 10oano. O núcleo abra¸cou esta experiência, que se tornou bastante positiva neste ano cheio de aprendizagens. A turma era constitu´ıda apenas por rapazes, que de um modo geral se mostraram interessados e participadores. Havia apenas um aluno que estava completamente desinteressado, a jogar no telemóvel (já era habitual deixarem jogar para não destabilizar a aula). A aula lecionada era sobre geometria no espa¸co (escrever coordenadas de pontos no espa¸co e definir os planos xOz, xOy e yOz), pelo que me pareceu ter corrido bem, porque os alunos facilmente resolveram a ficha de trabalho. O professor mais tarde deu-nos o feedback: os alunos adoraram e queriam saber quando voltávamos a dar outra aula.

Esta prática de ensino supervisionada foi a componente mais importante para o meu processo de forma¸cão como professora. Permitiu-me ter contacto com estratégias de ensino diversifica-das e ao experimentá-las identificar que tipo de professora quero ser. Na minha prática, tenho consciência de que: trazer para a sala de aula atividades estimulantes, os alunos sentem-se mais motivados para aprender matemática; a exposi¸cão de ideias pelos alunos deve ser incentivada e aproveitada para que eles mesmos possam retirar as suas próprias conclusões, de forma a au-mentar a confian¸ca nas suas capacidades; o trabalho colaborativo deve ser algo frequente em contexto sala de aula porque é necessário que os alunos desenvolvam capacidades sociais, que aprendam a respeitar a opinião do outro, que aprendam a aceitar e melhorar a sua capacidade de se expressar e comunicar com os outros, entre muitas outras coisas a ter em conta.

Termino, assim, este ano letivo ciente que uma coisa n˜ao termina: a aprendizagem. De tudo o que aprendi, neste ano, o que mais achei fascinante em ser-se professor ´e sentir a necessidade de conhecer cada particularidade dos seus alunos para os ajudar e guiar da melhor forma poss´ıvel.

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Cap´ıtulo 3

Parte Did´

atica

Foi desenvolvido um site intitulado de C´ırculo Trigonométrico que pode ser consultado cli-cando no seu nome. É dirigido a alunos do 11o ano de escolaridade e todos os interessados por este tema. Foi pensado como um meio auxiliar que refor¸ca a compreensão das potencialidades do c´ırculo trigonométrico para identificar propriedades das razões trigonométricas e estudar fun¸cões trigonométricas.

Pretende-se que, com este recurso, os alunos adquiram novos hábitos, dispensando o criar formulários com todas as rela¸cões existentes entre ângulos ou o criar de mnemônicas, passando a existir uma reflexão sobre o todo o processo que se fez que levou a afirmar essas rela¸cões. Portanto, espera-se que os alunos fa¸cam um melhor aproveitamento do c´ırculo trigonométrico e que o vejam como uma ferramenta útil no âmbito da Trigonometria.

O site encontra-se organizado da seguinte forma:

Figura 3.1: Menu do site

A página inicial, designada de C´ırculo Trigonométrico, contém um botão Vamos come¸car? que reencaminha o visitante do site para a página Aprendendo. Esta, subdividida em três n´ıveis, é onde está concentrada toda a informa¸cão sobre o c´ırculo trigonométrico. As restantes duas páginas só podem ser acedidas quando clicado no menu: a página Propostas é apenas uma com-pila¸cão de todas as propostas que se encontram no site e a página Forúm de dúvidas, tal como o nome indica, é o local onde os visitantes podem deixar as suas questões ou dúvidas acerca de toda a informa¸cão disponibilizada.

Como foi dito, a página Aprendendo é a mais importante de todo o site. Esta encontra-se subdividida em três n´ıveis:

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Figura 3.2: Os trˆes n´ıveis de Aprendendo

O primeiro n´ıvel foca-se na facilidade de obter as coordenadas de qualquer ponto numa circun-ferência trigonométrica, ou seja, dado um ponto P qualquer, na circunferência trigonométrica, as coordenadas desse ponto são (cos(α), sin(α)), sendo α o ângulo formado pelo semieixo posi-tivo Ox e pelo segmento de reta OP . Os visitantes são incentivados a resolver uma proposta (Proposta 1 ) que tem como objetivo determinar as coordenadas de um ponto na circunferência trigonométrica, pertencente ao 1o quadrante, e esta ideia é generalizada no v´ıdeo após a re-solu¸cão da proposta.

Já no segundo n´ıvel, antes de se partir para a descoberta dessas rela¸cões, é necessário identi-ficar a tangente no c´ırculo trigonométrico para que se possam ser retiradas conclusões acerca das rela¸cões existentes entre as tangentes dos ângulos. Portanto, os primeiros dois v´ıdeos focam-se neste aspeto, tendo a Proposta 2 como apoio. Feita esta identifica¸cão da tangente, seguem-se propostas que incentivam a descoberta das rela¸cões que dão t´ıtulo a este n´ıvel e v´ıdeos que apoiam a sua resolu¸cão.

Através do destaque visual feito nos v´ıdeos, mostra-se facilmente as rela¸cões existentes entre as razões trigonométricas dos ângulos, que é refor¸cada com o uso da geometria (critérios de congruência de triângulos) ou uso da álgebra (fórmulas trigonométricas).

Finalmente, o terceiro n´ıvel, tal como o nome indica, dedica-se ao estudo das três fun¸cões tri-gonométricas apenas com o recurso ao c´ırculo trigonométrico. Para cada fun¸cão é determinado o seu dom´ınio, contradom´ınio, per´ıodo fundamental, zeros, extremos e extremantes, paridade, sinal e monotonia. O primeiro v´ıdeo estuda a fun¸cão cosseno como exemplo, esperando que os alunos sejam capazes de, posteriormente, fazer o estudo das outras duas fun¸cões.

Neste último n´ıvel, o c´ırculo trigonométrico adquire grande relevância, ao ser a única ferra-menta necessária para o estudo de fun¸cões trigonométricas. Através de imagens elucidativas e de anima¸cões criadas em GeoGebra, consegue-se rapidamente retirar conclusões acerca dos tópicos mencionados acima para o estudo das fun¸cões, prevendo o gráfico destas sem uso da calculadora gráfica ou outro recurso.

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Cap´ıtulo 4

Parte Cient´ıfica

O facto dos alunos do 12o_{ano de escolaridade estudarem o limite not´}_{avel lim}

x→0 sin(x)_x para determinar as derivadas das fun¸c˜oes seno e cosseno inspirou-me nesta parte cient´ıfica.

Este cap´ıtulo divide-se em quatro seçcões: numa primeira seçcão serão apresentadas três alternativas diferentes para determinar o valor desse limite notável; na segunda seçcão, abordar-se-á uma alternativa para determinar as derivadas das fun¸cões seno e cosseno usando integrais das mesmas e propriedades desses integrais; numa terceira seçcão será definida uma nova fun¸cão, designada por fun¸cão sinc, que é bastante conhecida na Análise de Sinais, e será feito o seu estudo; e, por fim, numa quarta seçcão, serão provadas algumas das fascinantes propriedades da fun¸cão sinc, incluindo a dedu¸cão da fórmula de Viète, um resultado que expressa o número π de uma forma bastante interessante.

4.1 Trˆ

es formas diferentes de determinar lim

x→0

sin(x) x

Nesta seçcão vão ser apresentadas 3 formas diferentes que provam que o valor de limx→0sin(x)_x é igual a 1, geometricamente. A primeira é a mais conhecida que recorre ao Teorema das Fun¸cões Enquadradas (TFE), a segunda e a terceira recorrem à área e ao per´ımetro, respetivamente, de um pol´ıgono inscrito numa circunferência.

Apresenta-se de seguida a primeira prova do valor do limite. Seja x ∈ 0,π₂. Considere-se uma circunferência trigonométrica (a circunferência centrada na origem do referencial e raio igual a 1) e nela os pontos O, A, B e C tais que a amplitude em radianos de < BOA seja x.

Figura 4.1: Circunferˆencia trigonom´etrica e os pontos O, A, B e C 11

(26)

Como se pode observar na figura acima, ´

Area 4 OBA ≤ Área ₂ OBA ≤ Área 4 OCA isto é, sin(x) 2 ≤ x 2 ≤ tan(x) 2 = 1 2 sin(x) cos(x) e, como sin(x), cos(x) > 0,

1 ≤ x sin(x) ≤ 1 cos(x) e cos(x) ≤ sin(x) x ≤ 1.

Se −π₂ < x < 0, ent˜ao 0 < −x < π₂, pelo que

cos(−x) ≤ sin(−x) −x ≤ 1 e

cos(x) ≤ sin(x) x ≤ 1.

Assim, as desigualdades s˜ao v´alidas para qualquer x ∈−π₂,π₂, com x 6= 0 e, como limx→0cos(x) = 1, pelo TFE conclui-se que limx→0 sin(x)_x = 1.

Terminada a primeira prova, sucedem-se as duas provas que consideram uma circunferência trigonométrica e nela um pol´ıgono inscrito decomposto em n triângulos isósceles com um vértice no centro da circunferência e ângulo correspondente α e um triângulo isósceles com um vértice no centro da circunferência e ângulo correspondente β onde 0 ≤ β ≤ α ≤ π, como se pode observar na figura seguinte. Note-se que nα + β = 2π.

Figura 4.2: Pol´ıgono inscrito na circunferˆencia trigonom´etrica

Seja θ ∈]0, π[. Facilmente se vê que num triângulo isósceles em que os lados iguais medem 1 e cujo ângulo diferente mede θ, a base mede 2 sin θ₂ e altura mede cos θ

2. 12

(27)

Figura 4.3: Triˆangulo is´osceles

Como foi dito consegue-se provar o limite usando a ´area do pol´ıgono, que ´e dada por Apol´ıgono= nA(4α) + A(4β).

Como A(4θ) = sin θ 2 cos θ 2 = 1 2sin(θ) e β = 2π − nα, conclui-se que Apol´ıgono= n 1 2sin(α) + 1 2sin(β) = 2π − β 2 × sin(α) α + 1 2sin(β).

Repare-se que, quando α → 0+, a ´area do pol´ıgono tende para a ´area do c´ırculo, portanto tem-se que lim_α→0+A_pol´ıgono= π. Como

lim α→0+Apol´ıgono= π ⇔ 2π − 0 2 × limα→0+ sin(α) α + 0 = π ⇔ lim α→0+ sin(α) α = 1, ent˜ao limα→0+ sin(α)_α = 1, o que conclui a prova.

Considerando a situa¸cão anterior, vai-se olhar agora para o per´ımetro do pol´ıgono inscrito na circunferência. Este é dado por

Ppol´ıgono= n × base(4α) + base(4β) = n × 2 sin α 2 + 2 sin β 2 = 2π − β α × 2 sin α 2 + 2 sin β 2 = (2π − β)sin α 2 α 2 + 2 sin β 2 .

Novamente, quando α → 0+, o per´ımetro do pol´ıgono tende para o per´ımetro do c´ırculo, portanto 13

(28)

tem-se que lim_α→0+P_pol´ıgono = 2π. Como lim α→0+Ppol´ıgono= 2π ⇔ (2π − 0) × lim α→0+ sin α₂ α 2 + 0 = 2π ⇔ lim α→0+ sin α₂ α 2 = 1,

ent˜ao, fazendo a mudan¸ca de vari´avel x = α₂, prova-se que lim_x→0+ sin(x)_x = 1.

(29)

4.2 As derivadas de sin(x) e cos(x)

A derivada das fun¸cões seno e cosseno são usualmente obtidas recorrendo à defini¸cão da derivada por limite, que depende do limx→0 sin(x)_x , tal como é lecionado no ensino secundário. Nesta seçcão apresento uma alternativa, que me parece bastante original, para a determina¸cão dessas derivadas recorrendo aos integrais das fun¸cões seno e cosseno, estabelecendo algumas propriedades e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Come¸camos por apresentar sucintamente a primeira abordagem, assumindo a continuidade das fun¸c˜oes trigonom´etricas.

De limx→0sin(x)_x = 1 decorre que lim x→0

sin(x) − sin(0)

x = 1

e portanto a fun¸cão sin(x) é derivável em 0 e sin0(0) = 1. Seja x ∈−π₂,π₂ com x 6= 0. Note-se que

cos(x) − cos(0) x − 0 = cos(x) − 1 x = (cos(x) − 1)(cos(x) + 1) x(cos(x) + 1) = cos2(x) − 1 x(cos(x) + 1) = − sin 2_(x) x(cos(x) + 1) = sin(x) x × − sin(x) cos(x) + 1

Como limx→0sin(x)_x = 1 e limx→0−_cos(x)+1sin(x) = 0, ent˜ao

lim x→0

cos(x) − cos(0) x − 0 = 0 donde a fun¸cão cos(x) é derivável em 0 e cos0(0) = 0.

Usando os limites envolvidos nas derivadas de sin0(0) e cos0(0), deduz-se o seguinte:

Proposi¸cão 4.2.1. As fun¸cões sin(x) e cos(x) são deriváveis em R, sendo, para qualquer x ∈ R, sin0(x) = cos(x) e cos0(x) = − sin(x).

Demonstra¸c˜ao. Tem-se que

sin(x + h) − sin(x)

h =

cos(x) sin(h) + sin(x) cos(h) − sin(x) h

= cos(x) ×sin(h)

h + sin(x) ×

cos(h) − 1 h Como limh→0cos(h)−1_h = 0 e limh→0 sin(h)_h = 1, ent˜ao

lim h→0

sin(x + h) − sin(x)

h = cos(x)

e conclui-se que sin0(x) = cos(x). Analogamente se prova que cos0(x) = − sin(x). 15

(30)

Como alternativa ao apresentado anteriormente, vai-se obter as derivadas das fun¸cões sin(x) e cos(x) através de integrais das mesmas, usando o facto de as fun¸cões seno e cosseno serem cont´ınuas e assumindo as propriedades da integra¸cão, especialmente a linearidade.

Definem-se as seguintes fun¸c˜oes em R: S(x) = Z x 0 cos(t) dt e C(x) = Z x 0 sin(x) dt Do TFC decorre que, para qualquer x ∈ R,

S0(x) = cos(x) e C0(x) = sin(x).

A ideia da prova é escrever as fun¸cões seno e cosseno em fun¸cão de S(x) e C(x) e da´ı obter as suas derivadas. Para isso, vai-se usar as seguintes propriedades:

Proposi¸c˜ao 4.2.2. Para qualquer x, y ∈ R,

1. S(x + y) = cos(x)[S(y) + S(x)] − sin(x)[C(y) − C(x)] 2. S(π) = 0

3. S(π + x) = −S(x) Demonstra¸c˜ao.

1. Fazendo duas mudan¸cas de variável, obtém-se: S(x + y) = Z x+y 0 cos(t) dt = Z y −x cos(t + x)dt = Z 0 −x cos(t + x) dt + Z y 0 cos(t + x) dt = Z x 0 − cos(−t + x) dt + Z y 0 cos(t + x) dt = Z x 0 cos(t − x) dt + Z y 0 cos(t + x) dt e, usando fórmulas trigonométricas, tem-se S(x + y) = Z x 0 cos(t − x) dt + Z y 0 cos(t + x) dt = Z x 0

[cos(t) cos(x) + sin(t) sin(x)] dt + Z y

0

[cos(t) cos(x) − sin(t) sin(x)] dt = cos(x) Z x 0 cos(t) dt + sin(x) Z x 0 sin(t) dt + cos(x) Z y 0 cos(t) dt − sin(x) Z y 0 sin(t) dt = cos(x)S(x) + sin(x)C(x) + cos(x)S(y) − sin(x)C(y)

= cos(x)[S(y) + S(x)] − sin(x)[C(y) − C(x)] 2. Usando o facto de que π = π₂ +π₂ e a Prop 4.2.2.1, tem-se:

S(π) = cosπ 2 h Sπ 2 + Sπ 2 i − sinπ 2 h Cπ 2 − Cπ 2 i = 0 3. Fazendo uso da Prop 4.2.2.1, conclui-se:

S(π + x) = cos(π)[S(x) + S(π)] − sin(π)[C(x) − C(π)] = cos(π)S(x) = −S(x) 16

(31)

Estando estabelecidas as propriedades, retoma-se a ideia de compor uma express˜ao para seno e cosseno fazendo uso das fun¸c˜oes C(x) e S(x).

Proposi¸c˜ao 4.2.3.

S(x) = sin(x)C(π)

2 (4.2.1)

C(x) = (1 − cos(x))C(π)

2 (4.2.2)

Demonstra¸c˜ao. Note-se que S(x) pode ser escrita como S(x + 0) e, usando a Prop 4.2.2.1 e o facto de S(0) = C(0) = 0, obt´em-se:

S(x) = cos(x)[S(0) + S(x)] − sin(x)[C(0) − C(x)] = cos(x)S(x) + sin(x)C(x) e

(1 − cos(x))S(x) = sin(x)C(x). (a)

Por outro lado, usando a Prop 4.2.2, tem-se que:

−S(x) = cos(x)[S(π) + S(x)] − sin(x)[C(π) − C(x)] ⇔ −S(x) = cos(x)S(x) − sin(x)[C(π) − C(x)] e

(1 + cos(x))S(x) = sin(x)[C(π) − C(x)]. (b)

Sumando (a) e (b), retira-se que 2S(x) = sin(x)C(π), ou seja, S(x) = sin(x)C(π)

2 . (c)

Substituindo em (a), S(x), pela express˜ao obtida em (c), obt´em-se: (1 − cos(x))C(π)

2 sin(x) = sin(x)C(x) e para x 6= kπ, k ∈ Z, C(x) = (1 − cos(x))C(π)2 .

Como C(x) e cos(x) s˜ao cont´ınuas, ent˜ao C(kπ) = lim x→kπC(x) = limx→kπ(1 − cos(x)) C(π) 2 = (1 − cos(kπ)) C(π) 2 . Concluindo-se que, para qualquer x ∈ R,

C(x) = (1 − cos(x))C(π) 2 .

(32)

O objetivo era escrever as fun¸c˜oes seno e cosseno em fun¸c˜ao de S(x) e C(x), portanto, usando as igualdades (4.2.1) e (4.2.2), retira-se que:

sin(x) = 2 × S(x)

C(π) e cos(x) = 1 − 2C(x)

C(π) Recorrendo ao TFC e derivando em ordem a x:

sin0(x) = 2S(x) C(π) 0 = 2 C(π)cos(x) cos0(x) = 1 −2C(x) C(π) 0 = −2 sin(x) C(π) , onde C(π) = Z π 0 sin(t) dt

Para finalizar, falta determinar C(π). Sabe-se que a circunferência trigonométrica é parametri-zada pelas fun¸cões x(t) = cos(t) e y(t) = sin(t) para 0 ≤ t ≤ 2π, portanto:

2π = Z 2π 0 p (y0_(t))2_{+ (x}0_(t))2_{dt =} Z 2π 0 s 2 C(π)cos(t) 2 + − 2 C(π)sin(t) 2 dt = Z 2π 0 2 C(π) q sin2(t) + cos2_{(t) dt =} Z 2π 0 2 C(π) dt = 2 C(π) 2π

Portanto, obt´em-se a igualdade 2π = 2 C(π)

2π, onde se conclui que C(π) = 2, porque a fun¸c˜ao seno em ]0, π[ ´e positiva. Prova-se, assim, que sin0(x) = cos(x) e cos0(x) = − sin(x).

(33)

4.3 Estudo da fun¸

c˜

ao sinc

A fun¸cão sin(x)_x está definida para x ∈ R \ {0} e como já foi visto na seçcão 4.1 que limx→0 sin(x)_x = 1 vai-se definir uma fun¸cão cont´ınua em R, designada por sinc, dada por:

sinc(x) =    sin(x) x , se x 6= 0 1, se x = 0 .

Na verdade, existem dois tipos de fun¸cão sinc: a que acabamos de definir designa-se por fun¸cão sinc não-normalizada e existe a fun¸cão sinc normalizada. Esta última é dada por sin(πx)_πx para x 6= 0 e também toma valor 1 em x = 0. A fun¸cão sinc normalizada tem esse nome por-que R_−∞+∞sin(πx)_πx é igual a 1, enquanto que o da fun¸cão sinc não-normalizada é igual a π (ver seçcão 4.4). Na Análise de Sinais, por exemplo, é bastante utilizada a transformada de Fourier da fun¸cão sinc normalizada, designada por fun¸cão retangular (ver referência [8]), que não será tratada aqui. O nosso estudo vai-se incidir apenas na fun¸cão sinc não-normalizada, que será denotada em todo o texto como, simplesmente, fun¸cão sinc.

Nesta seçcão pretende-se apresentar o gráfico da fun¸cão sinc e fazer um estudo desta, nome-adamente determinar os zeros, a paridade, os extremos, a monotonia e a concavidade da fun¸cão.

Zeros, paridade e express˜ao da primeira derivada

Sendo que sinc(0) 6= 0, os zeros da fun¸cão sinc são facilmente determinados através da re-solu¸cão da equa¸cão sin(x) = 0 e conclui-se que eles são os valores de x tais que x = kπ, k ∈ Z.

Quanto `a paridade tem-se que, sendo x 6= 0, sinc(−x) = sin(−x)

−x = − sin(x)

−x = sinc(x),

portanto a fun¸cão é par, ou seja, o gráfico da fun¸cão é simétrico relativamente ao eixo Oy.

Para estudar os extremos e a monotonia vai-se come¸car por determinar a primeira derivada da fun¸c˜ao. Para x 6= 0, sinc0(x) = cos(x)x−sin(x)_x2 e para x = 0, a derivada vai ser determinada

recorrendo à defini¸cão por limite. O cálculo leva a indetermina¸cões do tipo 0₀ que se resolvem usando a regra de L’Hôpital:

lim x→0 sinc(x) − sinc(0) x = limx→0 sin(x) x − 1 x = limx→0 sin(x) − x x2 = lim x→0 cos(x) − 1 2x = limx→0− sin(x) 2 = 0. Fica, assim, determinada a primeira derivada da fun¸c˜ao sinc definida por

sinc0(x) =    cos(x)x−sin(x) x2 , se x 6= 0 0, se x = 0 .

Esta fun¸cão também é cont´ınua em R: para x 6= 0 é evidente que a fun¸cão sinc0 é cont´ınua e, 19

(34)

analogamente ao que foi feito acima para o limite, para x = 0, conclui-se que limx→0sinc0(x) = sinc0(0).

Extremos

Determinada a derivada da fun¸c˜ao sinc vai-se procurar os extremos (locais) atrav´es dos zeros da derivada. Para x 6= 0,

sinc0(x) = 0 ⇔ x cos(x) − sin(x) = 0 ⇔ x = sin(x) cos(x)∧ x 6= π 2 + kπ, k ∈ Z ⇔ x = tan(x) ∧ x 6= π 2 + kπ, k ∈ Z.

Na verdade, sinc0 π₂ + kπ 6= 0 e quando x = 0 satisfaz também a equivalência acima então, para qualquer x,

sinc0(x) = 0 ⇔ tan(x) = x.

Figura 4.4: Gr´aficos das fun¸c˜oes tan(x) e x

O objetivo é identificar, de entre os valores de x que satisfazem x = tan(x), os que são ma-ximizantes e os que são minimizantes. Tendo em conta que a fun¸cão sinc é par, vai-se limitar o estudo dos extremos a x ≥ 0. Para x = 0, como sinc(0) = 1 e, para qualquer x ∈ R, sinc(x) ≤ 1, a fun¸cão sinc tem um máximo em x = 0. De facto, sinc(0) é o máximo absoluto da fun¸cão (ver pág.21).

Sendo x > 0, a equa¸cão x = tan(x) é válida se sin(x) e cos(x) tiverem o mesmo sinal, ou seja, x ∈2kπ,π₂ + 2kπ ou x ∈π + 2kπ,3π₂ + 2kπ , k ∈ N0. Para simplificar a escrita, vai-se designar por Iko intervalo2kπ,π₂ + 2kπ e por Jko intervaloπ + 2kπ,3π₂ + 2kπ, com k ∈ N0. Facilmente se vê que a fun¸cão h(x) = tan(x) − x é crescente em cada um dos intervalos Ik e Jk, pois h0(x) = _cos12_(x) − 1 = tan2(x) e h

0_{(x) > 0 nos intervalos I} k e Jk.

Repare-se que quando x > 2kπ e próximo de 2kπ tem-se que h(x) < 0 e quando x < π₂ + 2kπ e próximo de π₂ + 2kπ, h(x) > 0 e como se acabou de mostrar que a fun¸cão h é crescente no intervalo Ik, conclui-se que existe um e um só zero da fun¸cão h, em cada intervalo Ik. Por

(35)

argumentos an´alogos, o mesmo se conclui para cada intervalo Jk. Seja α > 0 tal que sinc0(α) = 0, isto ´e, α = tan(α).

Come¸cando pelo caso em que α ∈ Ik: se x ∈ Ik e x < α, ent˜ao por a fun¸c˜ao tan(x) − x ser crescente nesse intervalo, tem-se que tan(x) − x < tan(α) − α = 0 e tan(x) < x. Em Ik, como cos(x) > 0,

sin(x)

cos(x) < x ⇔ sin(x) < cos(x)x ⇔ x cos(x) − sin(x) > 0

portanto sinc0(x) > 0. Se, por outro lado, x > α então, pelos argumentos anteriores, tem-se que tan(x) > x e, consequentemente, que x cos(x) − sin(x) < 0 concluindo-se que sinc0(x) < 0. Portanto, para α ∈ Ik, α é um maximizante da fun¸cão sinc.

No caso em que α ∈ Jk, os argumentos são análogos excetuando que, em Jk, cos(x) < 0 o que altera o sentido da desigualdade em _cos(x)sin(x) < x tendo-se sinc0(x) < 0, no caso em que x < α e em _cos(x)sin(x) > x tendo-se sinc0(x) > 0, no caso em que x > α. Portanto, para α ∈ Jk, α é um minimizante da fun¸cão sinc.

Os extremos locais da fun¸c˜ao sinc s˜ao, para k ∈ N0,

1. os valores da fun¸c˜ao quando x ∈2kπ,π₂ + 2kπ, tal que x = tan(x), sendo estes m´aximos locais;

2. os valores da fun¸c˜ao quando x ∈ π + 2kπ,3π

2 + 2kπ, tal que x = tan(x), sendo estes m´ınimos locais.

Os restantes decorrem pela simetria da fun¸c˜ao, obtendo-se os extremos locais da fun¸c˜ao sinc para x < 0.

Monotonia

Como o dom´ınio da fun¸cão é R (um intervalo) e a fun¸cão sinc0(x) é cont´ınua em R, então esta não muda de sinal entre dois zeros consecutivos. Assim, sinc(x) vai alternando decrescimento (entre um maximizante e o minimizante seguinte) e crescimento (entre um minimizante e o maximizante seguinte).

Estudada a monotonia, pode-se concluir que, na verdade, a fun¸cão sinc atinge um máximo absoluto em x = 0 e é único, porque entre zero, que é o primeiro maximizante, e o primeiro minimizante, pertencente aπ,3π₂ , a fun¸cão é estritamente decrescente e para x > 1,

sin(x) x < 1. Concavidade

Para estudar a concavidade, vai-se come¸car por determinar a segunda derivada da fun¸c˜ao. Para x 6= 0, sinc00(x) = −sinc(x) +2 sin(x)_x3 −

2 cos(x)

x2 , e para x = 0 ´e an´alogo ao que foi feito para

a primeira derivada, concluindo-se que lim x→0 sinc0(x) − sinc(0) x = − 1 3 = sinc 00_(0). 21

(36)

Fica, assim, determinada a segunda derivada da fun¸c˜ao sinc definida por sinc00(x) =    −sinc(x) +2 sin(x)_x3 − 2 cos(x) x2 , se x 6= 0 −1₃, se x = 0 .

Note-se que sin00(x) = − sin(x) e cos00(x) = − cos(x) e, como foi visto anteriormente que sinc00(x) = −sinc(x) + 2 sin(x)_x3 −

2 cos(x)

x2 (para x 6= 0), tem-se que, quando |x| → +∞,

sinc00(x) ≈ −sinc(x).

Pela aproxima¸cão acima conclui-se que sinc tem a concavidade voltada para cima aproximada-mente quando sinc(x) < 0 e voltada para baixo aproximadaaproximada-mente quando sinc(x) > 0. Este facto pode ser confirmado pelo gráfico abaixo onde estão representadas as fun¸cões sinc, −sinc e sinc00 a cor verde, vermelho e azul, respetivamente.

Figura 4.5: Gr´aficos das fun¸c˜oes sinc, −sinc e sinc00

Terminado o estudo da fun¸cão sinc, apresenta-se abaixo a representa¸cão gráfica da fun¸cão.

(37)

Figura 4.6: Gr´afico da fun¸c˜ao sinc

4.4 Integrais e Igualdades

A fun¸cão sinc tem propriedades bastante interessantes que vão ser foco desta nova seçcão.

Valor de R+∞

−∞ sinc(x) dx

A primeira propriedade que se destaca ´e o integral impr´oprio R+∞

−∞ sinc(x) dx designado por integral de Dirichlet, ao qual vai ser dada alguma aten¸c˜ao determinando o seu valor.

Como a fun¸c˜ao sinc ´e par, vamos come¸car apenas por estudar R+∞

0 sinc(x) dx. Note-se que não se pode exprimir uma primitiva de sin(x)_x através das fun¸cões elementares do Cálculo nossas conhecidas e por isso não se pode usar o TFC para estudar o integral. Antes de se calcular o valor deR₀+∞sinc(x) dx, vai-se provar que este integral converge e alguns resultados auxiliares.

Proposi¸c˜ao 4.4.1. Z +∞

0

sinc(x) dx converge.

Demonstra¸cão. Como a fun¸cão sinc é cont´ınua em R (portanto cont´ınua em [0, 1]), tem-se que, para y > 1, Z y 0 sinc(x) dx = Z 1 0 sinc(x) dx + Z y 1 sinc(x) dx.

Assim, basta considerar a convergˆencia deR+∞ 1

sin(x) x dx.

Considerando inicialmenteR sin(x)_x dx e integrando por partes onde f (x) = − cos(x) e g(x) = _x1, tem-se que Z _sin(x) x dx = − cos(x) x − Z _cos(x) x2 dx. 23

(38)

Ent˜ao, Z y 1 sin(x) x dx = −cos(x) x − Z _cos(x) x2 dx y 1 = −cos(x) x y 1 − Z y 1 cos(x) x2 dx. Portanto, Z +∞ 1 sin(x) x dx = limy→+∞ Z y 1 sin(x) x dx = limy→+∞ −cos(x) x y 1 − Z y 1 cos(x) x2 dx = lim y→+∞ −cos(y) y + cos(1) − Z y 1 cos(x) x2 dx .

Como cos(x) ´e limitada, ent˜ao limy→+∞ cos(y)_y = 0 e, conclui-se que Z +∞

1

sin(x)

x dx = cos(1) − limy→+∞ Z y

1

cos(x) x2 dx. Para x ≥ 1, tem-se que 0 ≤

cos(x) x2 ≤ 1 x2, portanto, para y > 1, 0 ≤ Ry 1 cos(x) x2 dx ≤ Ry 1 1 x2dx. ComoR+∞ 1 1 x2 dx converge, ent˜ao R+∞ 1 cos(x)

x2 dx converge absolutamente, logo converge,

concluindo-se que R+∞ 1 sin(x) x dx converge. Resultados auxiliares 1. . 1. Z +∞ 0 e−xtdt = 1 x 2. Z +∞ 0 sin(x)e−xtdx = 1 1 + t2 Demonstra¸c˜ao. . 1. Z +∞ 0 e−xtdt = lim y→+∞ Z y 0 e−xtdt = lim y→+∞ −e −xt x y 0 = lim y→+∞ −e −xy x + 1 x = 1 x.

2. Usando duas vezes a integra¸c˜ao por partes onde f (x) = −e−xt_t e g(x) = sin(x), tem-se que Z sin(x)e−xtdx = −e −xt t sin(x) − e−xt t2 cos(x) − 1 t2 Z e−xtsin(x) dx.

Resolvendo a equa¸c˜ao em ordem a R sin(x)e−xtdx obt´em-se 1 + 1 t2 Z sin(x)e−xtdx = −e −xt t sin(x) +cos(x) t 24

(39)

e 1 + 1 t2 Z sin(x)e−xtdx = −e −xt t sin(x) +cos(x) t ⇔ Z sin(x)e−xtdx = − e−xt t (sin(x) + cos(x) t ) 1+t2 t2 ⇔ Z sin(x)e−xtdx = −e −xt_{(sin(x)t + cos(x))} 1 + t2 . Portanto, Z +∞ 0 sin(x)e−xtdx = lim y→+∞ Z y 0 sin(x)e−xtdx = lim y→+∞ −e −xt_{(sin(x)t + cos(x))} 1 + t2 y 0 = lim y→+∞ −e

−yt_{(sin(y)t + cos(y))} 1 + t2 + 1 1 + t2 = 1 1 + t2.

Usando os resultados auxiliares anteriores, pode-se escrever Z +∞ 0 sinc(x) dx = Z +∞ 0 sin(x) x dx = Z +∞ 0 sin(x) ×1 xdx = Z +∞ 0 sin(x) Z +∞ 0 e−xtdt dx = Z +∞ 0 Z +∞ 0 sin(x)e−xtdt dx.

Como o integral não é absolutamente convergente não há um resultado geral que o afirme, mas prova-se diretamente (ver referência [9]) que se pode trocar a ordem de integra¸cão sem alterar o resultado. Tem-se que

Z +∞ 0 sinc(x) dx = Z +∞ 0 Z +∞ 0 sin(x)e−xtdt dx = Z +∞ 0 Z +∞ 0 sin(x)e−xtdx dt = Z +∞ 0 1 1 + t2dt = lim_z→+∞ Z z 0 1 1 + t2 dt = lim z→+∞(arctan(z) − arctan(0)) = π 2.

Pela simetria da fun¸c˜ao sinc tem-se que R_−∞+∞sinc(x) dx = 2R₀+∞sinc(x) dx, ent˜ao conclui-se o seguinte:

Proposi¸c˜ao 4.4.2. Z +∞

−∞

sinc(x) dx = π.

Foi mencionada em 4.3 a diferen¸ca entre a fun¸cão sinc normalizada e a não-normalizada, que recai sobre o valor do integral impróprio destas duas fun¸cões. A prova de que

R+∞ −∞

sin(πx)

πx dx = 1 é análoga à que se fez para R+∞

−∞ sinc(x) dx = π, pelo que n˜ao ser´a aqui apresentada.

(40)

Valor de R+∞

−∞ sinc

2_{(x) dx}

Remetendo para o que foi dito no in´ıcio desta seçcão, a fun¸cão sinc admite propriedades bastante interessantes. A segunda que se destaca é a seguinte:

Proposi¸c˜ao 4.4.3. Z +∞ −∞ sinc(x) dx = Z +∞ −∞ sinc2(x) dx.

Vai-se provar, portanto, que R_−∞+∞sinc2(x) dx = π.

Considere-se inicialmenteR sinc2_{(x) dx, para x > 0. Tem-se que} Z

sinc2(x) dx =

Z _sin2_(x) x2 dx e integrando por partes onde f (x) = −_x1 e g(x) = sin2(x), obt´em-se

Z sin2(x) x2 dx = − 1 xsin 2_{(x) −} Z −1 x × 2 sin(x) cos(x) dx e Z sin2(x) x2 dx = − sin2(x) x + Z sin(2x) x dx = −sinc(x) sin(x) + Z _sin(2x) x dx. Por sinc2 ser par, vamos estudar primeiroR+∞

0 sinc 2_{(x) dx.} Z +∞ 0 sinc2(x) dx = lim y→+∞ Z y 0 sinc2(x) dx = lim

y→+∞[−sinc(x) sin(x)] y 0 + lim_y→+∞ Z y 0 sin(2x) x dx. Fazendo a mudan¸ca de vari´avel t = 2x emR sin(2x)

x dx, tem-se que Z +∞

0

sinc2(x) dx = lim

y→+∞[−sinc(x) sin(x)] y 0+ lim_y→+∞ Z 2y 0 sin(t) t dt = lim

y→+∞(−sinc(y) sin(y) + sinc(0) × sin(0)) + Z +∞

0

sinc(t) dt e, como j´a foi visto que R+∞

0 sinc(t) dt = π 2, obt´em-se Z +∞ 0 sinc2(x) dx = lim

y→+∞−sinc(y) sin(y) + π 2.

Como limy→+∞sinc(y) = 0 e sin(y) ´e limitada ent˜ao limy→+∞−sinc(y) sin(y) = 0. Assim, Z +∞

0

sinc2(x) dx = π 2 e, pela simetria da fun¸c˜ao sinc2, tem-se que R+∞

−∞ sinc2(x) dx = 2 R+∞ 0 sinc 2_{(x) dx, conclui-se,} assim, que R+∞ −∞ sinc2(x) dx = π. 26

(41)

Valor de P+∞

n=1sinc(n) e de

P+∞

n=1sinc 2_(n)

Mais impressionante ainda s˜ao as seguintes igualdades:

Proposi¸c˜ao 4.4.4. Z +∞ −∞ sinc(x) dx = Z +∞ −∞ sinc2(x) dx = +∞ X −∞ sinc(n) = +∞ X −∞ sinc2(n).

Seja an uma s´erie convergente. Definimos P+∞−∞an como +∞ X −∞ an= −1 X n=−∞ an+ a0+ +∞ X n=1 an.

Como a fun¸cão sinc é par, então +∞ X −∞ sinc(n) = 2 × +∞ X n=1 sinc(n) + sinc(0).

Sabe-se pela referˆencia [6] que +∞ X n=1 sinc(n) = +∞ X n=1 sinc2(n) = π 2 − 1 2 portanto, +∞ X −∞ sinc(n) = 2 × π 2 − 1 2 + 1 = π.

Como se sabe queP+∞

−∞sinc(n) = P+∞

−∞sinc2(n), conclui-se, assim, que P+∞

n=1sinc(n) = P+∞

n=1sinc2(n) = π.

F´ormula de Vi`ete

O último resultado que apresentamos neste texto, publicado em 1593, deve-se a Fran¸cois Viète, um matemático francês. Este resultado, designado por Fórmula de Viète, expressa o número π pela primeira vez como um produto infinito.

Proposi¸c˜ao 4.4.5. 2 π = √ 2 2 p 2 +√2 2 q 2 +p2 +√2 2 ...

Vamos provar esta igualdade. Tem-se que sin(x) = 2 sinx 2 cosx 2

e, por sua vez,

sinx 2 = 2 sinx 4 cosx 4 , 27

(42)

portanto sin(x) pode ser escrito sin(x) = 4 sinx 4 cosx 4 cosx 2 .

Atrav´es de um argumento indutivo, tem-se que sin(x) = 2nsin x 2n cosx 2n cos x 2n−1 ... cosx 2 .

Sendo x 6= 0, multiplicando e dividindo o segundo termo da igualdade por x, tem-se: sin(x) = x ×sin x 2n x 2n cos x 2n cos x 2n−1 ... cosx 2 e sin(x) = x × sincx 2n cosx 2n cos x 2n−1 ... cosx 2 .

Como, a partir de uma certa ordem n, se tem que 2n> |x|, ent˜ao sinc ₂xn a partir dessa ordem

n˜ao se anula, e pode-se escrever sin(x) x × 1 sinc ₂xn = cos x 2n cos x 2n−1 ... cosx 2 , isto ´e, sinc(x) sinc ₂xn = cos x 2n cos x 2n−1 ... cosx 2 . (4.4.1)

Note-se que, quando n → +∞, ₂xn → 0 e limn→+∞sinc ₂xn = 1, garantindo, assim, a

con-vergˆencia do produto. Portanto a igualdade (4.4.1), quando n → +∞, fica: sinc(x) = ∞ Y k=1 cosx 2k . (4.4.2)

Para x = 0, a igualdade (4.4.2) é satisfeita, portanto esta é válida para qualquer x.

Quando x = π₂, tem-se que sinc π₂ = cos π

4 × cos π

8 × cos π 16 .... Seja x ∈ [0,π₂]. Pela f´ormula trigonom´etrica cos x₂ =

q 1+cos(x) 2 = cos x 2, tem-se sinc π 2 = cos π 4 × cosπ 8 × cosπ 16 ... ⇔2 π = √ 2 2 × s 1 + √ 2 2 2 × v u u u t1 + r 1+ √ 2 2 2 2 × ... ⇔2 π = √ 2 2 × s 2 +√2 4 × s 2 +p2 +√2 4 × ... ⇔2 π = √ 2 2 × p 2 +√2 2 × q 2 +p2 +√2 2 × ... , como quer´ıamos demonstrar.

(43)

Cap´ıtulo 5

Considera¸

c˜

oes Finais

Este ano letivo foi muito gratificante, para mim. Para além de estar todos os dias em con-tacto com os alunos e a realidade escolar, escrever este relatório de estágio proporcionou-me também muitos momentos de aprendizagem.

A parte mais desafiadora, neste relatório foi a parte didática, onde trabalhei com inúmeras coisas de que não percebia. Com todo o apoio recebido, aprendi a criar base de dados, a tornar o meu computador num host e descobri realmente de que era feita a internet. Senti-me uma verdadeira informática. Mas nem é isso que está em questão, é a quantidade de informa¸cão que conseguimos absorver e que conseguimos integrar para sermos criativos.

Ser-se criativo. Um professor precisa de ser criativo. De estar em constante aprendizagem e, por vezes, sair da sua zona de conforto para que consiga adaptar as suas aulas aos interesses dos seus alunos.

Agrace¸co mais uma vez a todos que me acompanharam e que acreditaram em mim.

(44)

(45)

Bibliografia

[1] William B. Gearhart and Harris S. Shultz ”The function sin(x)_x ”The College Mathe-matics Journal,vol.21, no. 2, pp. 90-99, 1990

[2] E.Maor Trigonometric Delights vol. XIV, Princeton University Press, 1998 [3] E.Maor ”A remarkable trigonometric identity”The Mathematics Teacher, vol. 70,

pp. 452-455, 1997

[4] B. A. Cipra ”The derivatives of the sine and cossine functions”The college mathe-matics journal, vol. 18, pp. 139-141, 1987

[5] C. H. Edwards Advanced Calculus of Several Variables Academic Press, 1973 [6] R. J. Bailey ”Solutions to advanced problema”The American Mathematical

Monthly, vol. 87, no. 6, pp. 497-498, 1980

[7] R. Baillie, D. Borwein & J. M. Borwein ”Surprising Sinc Sums and Integrals”The American Mathematical Monthly, vol. 115, no. 10, pp. 888-901, 2008

[8] Wikipedia – fun¸c˜ao retangular - Rectangular function

https://pt.qwe.wiki/wiki/Rectangular_function; ´Ultima visita a 15 de Ju-nho de 2020

[9] S.Maurer, Iterating a Double Improper Integral that Isn’t Absolutely Convergent http://www.swarthmore.edu/NatSci/smaurer1/Math18H/doubleint.pdf;

´

Ultima visita a 15 de Junho de 2020

[10] Manuais escolares do 11o ano - Tema: Trigonometria