Exemplo bidimensional: - Exemplos Num´ericos

3.8 Exemplos Num´ericos

3.8.3 Exemplo bidimensional:

Considere o sistema (3.2) definido por

𝐴𝑚 = ⎡ ⎣ −1 0 1 −1.5 ⎤ ⎦, b = ⎡ ⎣ 0 0.5 ⎤ ⎦,

com −1 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1, 2 e escolhendo a ordem do filtro como 𝑟 = 3. Seja ¯𝛿 = 0.6 a margem de atraso desejada. Note que este exemplo considera que o parâmetro 𝜃 pertence a uma região retangular, que pode ser representada por um politopo de quatro vértices. Como consequência, o filtro sintetizado garante que ||𝐻(𝑠)(1 − 𝐶(𝑠))||ℒ1 é limitada por 𝛾

para todo valor de 𝜃. O grau utilizado nas matrizes polinomiais do Teorema 3.5 ´e 𝑔 = 1, e as constantes definidas por 𝜅1 = 𝜅3 = 1, 𝜅2 = 𝜅4 = 𝜅5 = 0 e 𝜉𝑖 = 1, 𝑖 = 1, . . . , 3. O filtro 𝐶(𝑠) foi sintetizado utilizando o Algoritmo 3.1 e a melhor solu¸c˜ao foi encontrada para 𝜆 = 0.8367, considerando um espa¸co de busca de 𝜆 ∈ (0.1, 3). As seguintes matrizes

𝐴𝑓 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −0.0137 −0.1802 0.0916 5.2680 −1.9357 0.5096 6.4697 −1.6369 −0.7349 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐵𝑓 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐶𝑓 = [︁ −1.4029 0.1172 1.0536]︁,

fornecendo a fun¸c˜ao de transferˆencia

𝐶(𝑠) = 1.054𝑠

2_{+ 1.985𝑠 + 0.9657}

𝑠3_{+ 2.684𝑠}2_{+ 2.65𝑠 + 0.9657}.

O menor limitante superior obtido para ||𝐻(𝑠)(1 − 𝐶(𝑠)||ℒ1 foi 0.3321. Este limitante

satisfaz a restri¸cão de ganho (equa¸cão (10)) considerando a faixa de incerteza do parâmetro adaptativo 𝜃 e admitindo um máximo atraso de 0.6. Para este exemplo particular, a condi¸cão de (LI et al., 2008) não produziu nenhum resultado.

3.9 Considera¸c˜oes Finais

Este cap´ıtulo apresentou novas condi¸cões LMIs para o projeto do filtro passa baixa dos controladores adaptativos ℒ1. Os exemplos numéricos ilustraram que as condi- ¸cões desenvolvidas, embora mais complexas, podem gerar resultados menos conservadores quando comparados com os resultados obtidos pela condi¸cão proposta em (LI et al., 2008). Além disso, o framework robusto para a condi¸cão de margem de atraso permite o projeto de um filtro com garantias de desempenho para toda faixa de opera¸cão dos parâmetros incertos. Como perspectivas futuras, pretende-se considerar a utiliza¸cão de variáveis de folga para tratar o projeto do filtro do arquitetura de controladores adaptativos ℒ1 com realimenta¸cão de sa´ıda (CAO; HOVAKIMYAN, 2009).

Esta disserta¸cão apresentou resultados pertinentes ao controle de ve´ıculos do tipo quadricóptero utilizando como metodologia de projeto técnicas de otimiza¸cão con- vexa na forma de desigualdades matriciais lineares, tendo oferecido contribui¸cões em duas frentes distintas:

∙ O Cap´ıtulo 2 apresentou o desenvolvimento do projeto de um controlador com de- pendência polinomial nos parâmetros com base em um modelo quasi-LPV para a orienta¸cão do ve´ıculo considerando a parametriza¸cão de Cayley-Rodrigues. A particular escolha desta parametriza¸cão permitiu a obten¸cão de um sistema polinomial incerto relativo ao erro de orienta¸cão computado entre a orienta¸cão desejada e a orienta¸cão atual do ve´ıculo, no qual aplicou-se uma técnica de controle por realimenta¸cão de estados baseada na estabilizabilidade quadrática do sistema. Além disso, considerou-se a inclusão de uma métrica simples de desempenho, sendo esta definida por meio da imposi¸cão de um limitante inferior para a taxa de decaimento do sistema em malha fechada.

Observou-se que a inclusão do termo não-linear giroscópico na lei de controle, plau- s´ıvel neste contexto devido à baixa magnitude desta quantidade, promove uma re- presenta¸cão menos complexa do sistema dinâmico variante no tempo utilizado na condi¸cão de s´ıntese, reduzindo o número de parâmetros variantes no tempo de sete para três. Dentre as contribui¸cões realizadas, destaca-se a utiliza¸cão de aproxima- ¸cões polinomiais (relaxa¸cões) na solu¸cão das condi¸cões de projeto do controlador, que possibilita a defini¸cão de garantias teóricas de estabiliza¸cão e desempenho para o sistema em malha fechada para todo o conjunto de parâmetros considerado. Esta certifica¸cão teórica é a principal vantagem do método proposto em rela¸cão a outras abordagens da literatura, que realizam o projeto do controlador baseado na interpo- la¸cão de controladores projetados pontualmente para diversos pontos de opera¸cão do sistema. Finalmente, os resultados de simula¸cão apresentam um desempenho satisfatório quando comparados com outras técnicas de controle dispon´ıveis na literatura.

Como linha de investiga¸cão futura, pretende-se considerar a incorpora¸cão de mé- tricas de desempenho mais elaboradas ao projeto, tais como as normas ℋ2 e ℋ∞, bem como a obten¸cão de modelos discretizados que considerem aspectos relevantes da implementa¸cão prática da lei de controle, como tempo de amostragem e capa- cidade computacional embarcada. Outro aspecto importante a ser investigado é o tratamento da satura¸cão dos atuadores em fase de projeto, levando à obten¸cão de ganhos de controle com maiores garantias de sucesso na implementa¸cão prática. Sob

como a incorpora¸c˜ao de algoritmos de estima¸c˜ao de estados eficientes, tais como o Extended Kalman Filter e o Filtro complementar.

O problema de controle do quadricóptero demonstrou-se como um desafio multidis- ciplinar interessante, possibilitando a considera¸cão de inúmeras técnicas e procedi- mentos. Embora esta disserta¸cão tenha considerado somente o problema de controle de orienta¸cão, diversos tópicos ainda podem ser abordados, tais como o rastreamento de trajetórias, rejei¸cão de distúrbios, robustez à varia¸cões paramétricas da massa e da inércia do ve´ıculo, entre outros.

∙ O Cap´ıtulo 3 desenvolveu condi¸cões de projeto de controladores adaptativos ℒ1 considerando a arquitetura de realimenta¸cão de estados e expressando as condi¸cões de restri¸cão de norma e margem de atraso em termos de LMIs. Embora este cap´ıtulo não tenha tratado diretamente da implementa¸cão prática do controle adaptativo no contexto de quadricópteros, considerou-se o estudo e compreensão dos principais parâmetros de projeto desta técnica com vistas a permitir a realiza¸cão da implementa¸cão prática desta arquitetura de controle em trabalhos futuros. Como apresentado em trabalhos da literatura, pode-se utilizar a estrutura de realimenta¸cão de sa´ıda do controle adaptativo ℒ1 para o controle de posi¸cão do ve´ıculo, com resultados práticos promissores. Embora mais simples, o estabelecimento de condi¸cões de projeto para a realimenta¸cão de estados contribuiu para uma maior compreensão deste tipo de arquitetura de controle. A utiliza¸cão de variáveis de folga para a expressão das condi¸cões de projeto do controlador adaptativo apresentou resultados melhores quando comparados com outras condi¸cões dispon´ıveis na literatura, garantindo li- mitantes superiores menos conservadores para a norma ℒ1 do sistema, bem como um aumento na margem de atraso.

Como perspectivas futuras pretende-se considerar a expressão das condi¸cões de projeto de controladores adaptativos ℒ1 para o caso da realimenta¸cão de sa´ıda e a implementa¸cão prática deste tipo de arquitetura no modelo dinâmico do quadricóp- tero.

4.1 Trabalhos publicados/submetidos durante o per´ıodo de Mes-

trado

∙ M. P. Salbego e R. C. L. F. Oliveira - Projeto de Controladores Polinomiais para a Reorienta¸cão de Quadricópteros Considerando Manobras de Grande Desvio Angular - Em prepara¸cão

Signal Processing, Setembro de 2016 - Em revis˜ao

∙ M. P. Salbego, R. C. L. F. Oliveira e P. L. D. Peres - Controle chaveado de sistemas politópicos: Relaxa¸cões LMIs usando matrizes polinomiais homogêneas. Anais do Simpósio Brasileiro de Automa¸cão Inteligente, Natal, RN, Brasil, Setembro de 2015.

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No documento Controle robusto de quadricópteros por meio de desigualdades matriciais lineares (páginas 66-76)