Controle robusto de quadricópteros por meio de desigualdades matriciais lineares

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Faculdade de Engenharia El´

etrica e de Computa¸

c˜

ao

Marciano Prates Salbego

Controle Robusto de Quadric´

opteros por Meio

de Desigualdades Matriciais Lineares

Campinas

2017

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Controle Robusto de Quadric´

opteros por Meio de

Desigualdades Matriciais Lineares

Disserta¸cão de Mestrado apresentada à Fa-culdade de Engenharia Elétrica e de Compu-ta¸cão da Universidade Estadual de Campi-nas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenha-ria Elétrica, na Área de Automa¸cão.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Cora¸c˜ao de Le˜ao Fontoura de Oliveira

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERS ÃO FI-NAL DA DISSERTA ¸C ÃO DE MESTRADO DEFEN-DIDA PELO ALUNO MARCIANO PRATES SAL-BEGO E ORIENTADA PELO PROF. DR. RICARDO CORA ¸C ÃO DE LE ÃO FONTOURA DE OLIVEIRA.

Campinas

2017

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Salbego, Marciano Prates,

Sa31c SalControle robusto de quadricópteros por meio de desigualdades matriciais lineares / Marciano Prates Salbego. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

SalOrientador: Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira.

SalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

Sal1. Aeronave não tripulada. 2. Desigualdades matriciais lineares. 3. Sistemas não lineares. I. Oliveira, Ricardo Coração de Leão Fontoura de, 1978-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Robust control of quadcopters by means of linear matrix

inequalities

Palavras-chave em inglês:

Quadcopter

Linear matrix inequalities Nonlinear systems

Área de concentração: Automação Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora:

Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira [Orientador] Bruno Augusto Angélico

Matheus Souza

Data de defesa: 01-02-2017

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

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Candidato: Marciano Prates Salbego RA: 160948 Data da Defesa: 01/02/2017

T´ıtulo da Disserta¸c˜ao/Tese: “Controle Robusto de Quadric´opteros por Meio de Desigualdades Matriciais Lineares”

Prof. Dr. Ricardo Cora¸cão de Leão Fontoura de Oliveira (presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Bruno Augusto Angélico (Poli-USP)

Prof. Dr. Matheus Souza (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comiss˜ao Julgadora, encontra-se no processo de vida acadˆemica do aluno.

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Agrade¸co ao Universo, que em sua aparente desordem proporcionou in´umeras oportunidades de amadurecimento e enriquecimento.

Agrade¸co ao professor Pedro Peres, pela leve convivência, inúmeros conselhos e indica¸cões de filmes, músicas, livros. Seu modo de levar a vida com certeza serviu de inspira¸cão durante a realiza¸cão deste trabalho.

Agrade¸co à Funda¸cão de Amparo e Pesquisa do Estado de São Paulo (FA-PESP) - processo 2014/11593-5 - pelo financiamento durante o mestrado.

Agrade¸co aos queridos amigos do LE-16, de todos os espectros, os quais pro-duziram interessantes discuss˜oes na hora do caf´e e de onde surgiram frut´ıferos la¸cos de amizade e companheirismo.

Agrade¸co à minha fam´ılia, especialmente à dona Ivone e ao meu irmão Marcos, pelo suporte incondicional, carinho e afeto dispendidos durante minha vida toda.

Agrade¸co ao professor Ricardo, que dedicou-se integralmente para a realiza-¸cão deste trabalho, sendo fonte de inspirarealiza-¸cão e tendo contribu´ıdo não somente na minha forma¸cão acadêmica, mas também na minha forma¸cão pessoal. Neste sentido, um agrade-cimento especial aos fraternos amigos do Colégio M´ıstico e ao mestre Marcelo Hindi, que foram responsáveis por mostrar-me o real significado da minha existência.

Por fim, agrade¸co à Marcela, por ter me acompanhado nesta caminhada e por ter estado presente nos momentos mais edificantes/desafiadores destes últimos anos. Gratidão por todo o aprendizado.

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O problema de estabiliza¸cão de atitude de um quadricóptero é investigado nesta disser-ta¸cão. A cinemática do sistema mecânico é descrita em termos da parametriza¸cão de Cayley-Rodrigues, a partir da qual é constru´ıdo um modelo quasi-LPV utilizado na s´ın-tese de controladores escalonados por parâmetros variantes no tempo com critérios de desempenho associados. Um conjunto de equa¸cões diferenciais não-lineares descrevendo a dinâmica do corpo r´ıgido é obtido para a valida¸cão da estratégia de controle utilizando o formalismo de Euler-Lagrange, que considera a cinemática descrita por quatérnios. Como contribui¸cão adicional, investiga-se o projeto de controladores adaptativos ℒ1, com vis-tas à futura aplica¸cão de controladores adaptativos no problema de controle de atitude do quadricóptero. A s´ıntese dos controladores e filtros das duas abordagens investigadas é formulada em termos de desigualdades matriciais lineares dependentes de parâmetros. Como método de solu¸cão, emprega-se aproxima¸cões polinomiais (relaxa¸cões) de grau ar-bitrário, resultando em problemas de otimiza¸cão convexos de precisão crescente baseados em desigualdades matriciais lineares, que nesta disserta¸cão são obtidos com o aux´ılio de pacotes computacionais especializados. As vantagens das abordagens propostas são ilus-tradas por meio de compara¸cões numéricas com outras técnicas dispon´ıveis na literatura.

Palavras-chaves: Quadric´optero; Controle LPV; Controle Adaptativo ℒ1; Relaxa¸c˜oes LMIs.

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The problem of attitude stabilization of a quadcopter is investigated in this dissertation. The kinematics of the mechanical system is described in terms of the Cayley-Rodrigues parametrization, from which is constructed a quasi-LPV system that is used in the syn-thesis of gain-scheduled controllers associated to performance criteria. A set of nonlinear differential equations describing the rigid body dynamics is obtained for the validation of the proposed control strategy using the Euler-Lagrange formalism, that considers the kinematics described by quaternions. As additional contribution, it is investigated the de-sign of ℒ1 adaptive controllers, foreseeing future applications of the adaptive controllers in the quadcopter attitude control problem. The synthesis of the controllers and filters in both investigated approaches is formulated in terms of parameter-dependent linear matrix inequalities. As solution method, polynomial approximations (relaxations) of arbitrary de-gree are employed, resulting in convex optimization problems of increasing precision based on linear matrix inequalities, that in this dissertation are obtained with the aid of special-ized computational toolboxes. The advantages of the proposed approaches are illustrated by means of numerical comparisons with other techniques available in the literature. Keywords: Quadcopter; LPV Control; ℒ1 Adaptive Control; LMI Relaxations.

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Figura 1 – Esquema geral do quadricóptero (retirado de (MAHONY et al., 2012). 18 Figura 2 – Referencial inercial 𝐴 e referencial móvel 𝐵 . . . 19 Figura 3 – Estrutura conceitual do simulador desenvolvido. . . 30 Figura 4 – Rastreamento de trajetória senoidal para os três ângulos de Euler. . . . 42 Figura 5 – Reorienta¸cão de grande ângulo. . . 44 Figura 6 – Compara¸cão com o controlador PID (SANTANA; BORGES, 2009). . . 44 Figura 7 – Compara¸cão com o controlador Backstepping (SANTANA; BORGES,

2009). . . 45 Figura 8 – Arquitetura do controlador adaptativo ℒ1(modificado de (HOVAKIMYAN;

CAO, 2010)). . . 50 Figura 9 – Diagrama de blocos da fun¸c˜ao de transferˆencia 𝐻𝑜(𝑠) (modificado de

(LI et al., 2008)). . . 51 Figura 10 – Representa¸cão de estados de cada bloco da fun¸cão de transferência

𝐻𝑜(𝑠). . . 56 Figura 11 – Representa¸cão de estados de cada bloco da fun¸cão de transferência 𝐻(𝑠)(1−

𝐶(𝑠)). . . 57 Figura 12 – Resultado para o exemplo escalar. . . 67

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Lista de Ilustra¸c˜oes . . . 10

Lista de Tabelas . . . 11

Lista de Abrevi¸c˜oes e Siglas . . . 12

Sum´ario . . . 12

1 Introdu¸c˜ao . . . 14

1.1 Projeto de controlador de reorienta¸c˜ao para manobras de grande varia¸c˜ao angular . . . 15

1.2 Projeto de filtros para controladores adaptativos . . . 16

1.3 Organiza¸c˜ao e Nota¸c˜ao . . . 17

2 Controle de Orienta¸c˜ao de Quadric´opteros . . . 18

2.1 Apresenta¸cão . . . 18 2.2 Modelagem Matemática . . . 19 2.2.1 Orienta¸cão e Cinemática . . . 19 2.2.2 Equa¸cão Cinemática . . . 21 2.2.3 Dinâmica Lagrangeana . . . 24 2.2.4 Equa¸cões de Movimento . . . 26 2.3 Simula¸cão Computacional . . . 29 2.4 Projeto do Controlador . . . 31

2.4.1 Dinˆamica Simplificada do Sistema . . . 32

2.4.2 Projeto de Controladores quasi-LPV . . . 37

2.5 Valida¸c˜ao por Simula¸c˜ao . . . 40

2.6 Considera¸c˜oes Finais . . . 43

3 Projeto de filtros para controladores ℒ1 adaptativos usando LMIs . . . 46

3.1 Introdu¸c˜ao . . . 46

3.2 Defini¸c˜ao do Problema . . . 48

3.3 Cˆomputo do Ganho ℒ1 via LMIs . . . 51

3.4 Estabilidade Robusta de Sistemas com Atrasos . . . 55

3.5 Projeto do Filtro . . . 57

3.6 Realiza¸c˜ao do Ganho DC Unit´ario . . . 61

3.7 Projeto Conjunto . . . 64

3.8 Exemplos Num´ericos . . . 65

3.8.1 Relaxa¸c˜oes LMIs . . . 66

3.8.2 Exemplo escalar (LI et al., 2008): . . . 66

3.8.3 Exemplo bidimensional: . . . 67

3.9 Considera¸c˜oes Finais . . . 68

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1 Introdu¸c˜

ao

Quadricópteros são ve´ıculos aéreos do tipo pouso e decolagem vertical (em in-glês, Vertical Taking-off and Landing — VTOL) que vêm ganhando um grande destaque nos últimos anos, principalmente pelo grande potencial de aplica¸cões em diversas áreas como seguran¸ca, agricultura, meio ambiente, filmagem aérea, entre outras. Em parte, o interesse pela utiliza¸cão deste tipo de aeronave deve-se a sua grande capacidade de ma-nobrabilidade e a seu baixo peso, possibilitando a realiza¸cão de missões com restri¸cões espaciais severas, bem como o acesso a lugares que potencialmente ofere¸cam risco para humanos. O rápido desenvolvimento desta tecnologia baseia-se principalmente nos avan-¸cos de dispositivos de sensoriamento e no aumento na capacidade de armazenagem e processamento de dados on-board (MAHONY et al., 2012). Se por um lado estes aspec-tos contribuem para uma constante miniaturiza¸cão dos quadricópteros, tornando-os cada vez mais flex´ıveis e versáteis na execu¸cão de tarefas e também diminuindo os custos de opera¸cão, por outro lado tem-se restri¸cões de desempenho e consequentemente maiores desafios sob o ponto de vista do controle e navega¸cão (BOUABDALLAH et al., 2004; BOUABDALLAH; SIEGWART, 2005).

Ao longo dos anos, inúmeras estratégias de controle foram aplicadas ao quadri-cóptero, sendo estas baseadas tanto em técnicas de projeto lineares como não-lineares. O projeto de controladores pode levar em considera¸cão inúmeros aspectos, tais como capaci-dade de estabiliza¸cão da aeronave em voo planado, seguimento de trajetória, robustez com rela¸cão a distúrbios e parâmetros incertos, etc. O trabalho de Bouabdallah (2007) apre-senta o projeto e compara¸cões entre controladores do tipo PID, LQ e Backstepping para o controle de atitude e posi¸cão, sendo estes controladores validados em uma plataforma experimental denominada OS4. Na mesma linha de investiga¸cão, (SANTANA; BORGES, 2009) compara o desempenho de controladores PID e Backstepping para o controle de posi¸cão e orienta¸cão do ve´ıculo. Em (KUN; HWANG, 2016), uma abordagem baseada em controle adaptativo e desigualdades matriciais lineares é apresentada para o controle de atitude do ve´ıculo sob condi¸cões de rajadas de vento e varia¸cão de massa. Em (MICHINI; HOW, 2009), emprega-se o controle adaptativo ℒ1 com o objetivo de aumentar a robustez do sistema. O trabalho de Rotondo et al. (2015) considera o emprego de técnicas lineares para sistemas quasi-LPV em um cenário de falha de atuadores.

Uma das abordagens mais atraentes e consagradas para análise e controle de sistemas dinâmicos é conhecida na literatura pelo termo LMI 1_{, cuja tradu¸cão significa} Desigualdade Matricial Linear (BOYD et al., 1994; OLIVEIRA; PERES, 2010). O princi-pal atrativo dessa metodologia é que toda restri¸cão do tipo LMI define um cone convexo, e portanto pode ser solucionada por meio de procedimentos de otimiza¸cão convexa (mais

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precisamente, por algoritmos de pontos interiores (NESTEROV; NEMIROVSKII, 1994)) de complexidade polinomial (GAHINET et al., 1995; STURM, 1999). A partir do in´ıcio da década de noventa, inúmeros problemas de análise e controle robusto foram caracte-rizados em termos de LMIs, fornecendo um grande impulso para a populariza¸cão dessa classe de métodos (BOYD et al., 1994; GEROMEL et al., 1991). Ressalta-se que um dos maiores benef´ıcios dos métodos baseados em LMIs é a imediata extensão para o trata-mento de incertezas paramétricas, viabilizando a ado¸cão de modelos mais precisos para a representa¸cão do sistema dinâmico sob investiga¸cão. Muito embora o surgimento das LMIs tenha come¸cado no contexto de sistemas lineares, muitas extensões foram realizadas nos ´

ultimos vinte anos (El Ghaoui; NICULESCU, 2000; TANAKA; WANG, 2001; COSTA et al., 2005; TARBOURIECH; GARCIA, 1997; CHESI et al., 2009; TARBOURIECH et al., 2011; CHESI, 2011), com destaque para o tratamento de diversos tipos de não linearida-des, especialmente por meio da defini¸cão das não-linearidades em termos de parâmetros variantes no tempo confinados em um conjunto convexo, dando origem a chamada re-presenta¸cão “linear com parâmetros variantes” (em inglês, Linear parameter-varying — LPV) (MOHAMMADPOUR; SCHERER, 2012). No entanto, a utiliza¸cão de técnicas de projeto de controladores lineares aplicadas a sistemas dinâmicos não-lineares promove, geralmente, solu¸cões mais conservadoras quando comparadas com técnicas não-lineares, que são usualmente orientadas às particularidades do sistema dinâmico em considera¸cão. Quadricópteros são sistemas dinâmicos inerentemente não lineares e, portanto, proporcionam grandes desafios de controle. A literatura mais atual relacionada ao con-trole dos quadricópteros apresenta inúmeros trabalhos que empregam LMIs para projetar controladores (TAYEBI; MCGILVRAY, 2006; YACEF et al., 2012; SERIROJANAKUL; WONGSAISUWAN, 2012; RYAN; KIM, 2013), mostrando o grande potencial desta abor-dagem. Ao longo deste trabalho, considerou-se dois objetivos distintos: projeto e análise de um controlador de orienta¸cão quasi-LPV considerando a cinemática do ve´ıculo descrita por meio dos parâmetros de Cayley-Rodrigues para a reorienta¸cão de grandes desvios angulares; projeto de controladores adaptativos ℒ1 utilizando LMIs. Na sequência, são apresentados detalhes com respeito às duas contribui¸cões principais desenvolvidas:

1.1 Projeto de controlador de reorienta¸c˜

ao para manobras de grande

varia¸c˜

ao angular

O projeto de controle para o quadricóptero pode ser realizado de maneira desa-coplada, em uma estrutura de cascata com o controlador de posi¸cão fornecendo referências de orienta¸cão para o controle de atitude (orienta¸cão). Desta forma, restringiu-se o projeto de controle para a orienta¸cão do ve´ıculo considerando manobras de grande deslocamento angular. As técnicas usualmente utilizadas na solu¸cão deste problema valem-se de linea-riza¸cões em pontos de equil´ıbrio. Embora válidas para uma pequena faixa de opera¸cão, a

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considera¸cão de grandes desvios angulares do equil´ıbrio acabam por degradar o desempe-nho do controlador. Assim, o objetivo principal desta investiga¸cão consiste na obten¸cão de controladores utilizando técnicas lineares que forne¸cam garantias teóricas de estabiliza-¸cão e desempenho (para o modelo considerado) para manobras de reorientaestabiliza-¸cão de grande ângulo do quadricóptero.

Os trabalhos de Lim (2001) e Hughes e Wu (2008) realizam o projeto de controladores LPV considerando a modelagem da orienta¸cão da aeronave em termos de quatérnios e parâmetros de Cayley-Rodrigues. Este tipo de projeto leva em considera¸cão a dinâmica de orienta¸cão não-linear do ve´ıculo, não sendo necessária a lineariza¸cão da dinâmica para a s´ıntese do controlador. As não-linearidades presentes na matriz dinâmica do sistema são tratadas como parâmetros variantes no tempo com faixa de opera¸cão conhecida. Embora haja introdu¸cão de conservadorismo ao fazer esta considera¸cão, os resultados de valida¸cão mostram que os controladores possuem bom desempenho.

Em compara¸cão ao trabalho de Hughes e Wu (2008), a solu¸cão proposta neste trabalho difere-se devido à utiliza¸cão de relaxa¸cões polinomiais para o projeto do con-trolador. Esta abordagem não utiliza a amostragem (grade) no espa¸co de parâmetros do sistema LPV para a s´ıntese e, como consequência, demanda um menor esfor¸co computa-cional, bem como a possibilidade de certifica¸cão teórica do funcionamento do controlador (a abordagem utilizando amostragem garante o funcionamento do controlador somente para os pontos amostrados). Além disso, os trabalhos de Lim (2001) e Hughes e Wu (2008) consideram uma aeronave genérica equipada com elementos atuadores capazes de produzir torques nos três eixos principais. O trabalho desenvolvido considera a particula-riza¸cão destas técnicas para a dinâmica do quadricóptero (considerando o modelo de seus atuadores), sendo uma contribui¸cão menor deste trabalho.

1.2 Projeto de filtros para controladores adaptativos

Na segunda frente de trabalho, considerou-se a possibilidade da utiliza¸cão do controle adaptativo para o controle do quadricóptero. O trabalho de Michini e How (2009) realizou o projeto de controle utilizando uma estrutura de cascata para o modelo linear identificado do ve´ıculo equipado com um controlador simples de estabiliza¸cão. O sistema identificado foi utilizado como objeto de controle para o projeto adaptativo considerando a técnica de realimenta¸cão de sa´ıda do controlador ℒ1 adaptativo (CAO; HOVAKIMYAN, 2009). A inclusão do controlador adaptativo permite fornecer garantias de robustez e rejei¸cão de distúrbios para o sistema em opera¸cão. No contexto de controladores ℒ1 adap-tativos, a defini¸cão do controlador se dá a partir do projeto do filtro passa-baixa presente na estrutura. O procedimento realizado em (MICHINI; HOW, 2009) para a s´ıntese do filtro passa-baixa utiliza de técnicas heur´ısticas de otimiza¸cão não-linear. Desta forma, reconheceu-se a possibilidade de aplica¸cão de condi¸cões LMIs no projeto de s´ıntese do

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filtro, tendo sido esse o principal objetivo desta frente de trabalho, na qual considerou-se a implementa¸c˜ao do controlador no quadric´optero como uma perspectiva para trabalhos futuros.

Inicialmente, considerou-se o projeto do filtro passa-baixa presente na arquite-tura ℒ1adaptativa com realimenta¸cão de estados. Embora seja um problema mais simples do que aquele abordado em (MICHINI; HOW, 2009), a compreensão dos parâmetros fun-damentais do controlador adaptativo, bem como do projeto do filtro, permite que o caso de realimenta¸cão de sa´ıda, e sua aplica¸cão ao quadricóptero, seja desenvolvido em trabalhos futuros. As condi¸cões LMIs desenvolvidas para o projeto do filtro consideram uma faixa de opera¸cão do parâmetro adaptativo, resultando em um filtro que assegura os limitantes de desempenho previstos pela teoria do controlador adaptativo (HOVAKIMYAN; CAO, 2010). Ainda, as condi¸cões propostas fornecem resultados menos conservadores quando comparadas com métodos presentes na literatura que utilizam uma abordagem similar.

Além do desenvolvimento das técnicas de controle, realizou-se a constru¸cão de um simulador computacional contemplando a modelagem dinâmica do ve´ıculo levando em conta a particulariza¸cão para sua geometria e a dinâmica simplificada dos atuadores rotacionais. Desta forma, os controladores foram validados considerando um modelo mais completo e, por consequência, mais fiel ao comportamento f´ısico real do quadricóptero.

1.3 Organiza¸c˜

ao e Nota¸c˜

ao

Esta disserta¸cão está organizada em três cap´ıtulos, sendo estes apresentados de maneira sintetizada na sequência: O Cap´ıtulo 2 apresenta os resultados do projeto de um controlador utilizando a abordagem quasi-LPV para o controle de atitude do quadricóptero. O controlador foi validado utilizando um simulador baseado na modelagem dinâmica do ve´ıculo por meio do método de Euler-Lagrange; O Cap´ıtulo 3 desenvolve os resultados referentes ao projeto de controladores adaptativos ℒ1 utilizando LMIs para a s´ıntese do filtro passa-baixa presente na estrutura de controle; O Cap´ıtulo 4 apresenta as conclusões finais da disserta¸cão e perspectivas de trabalhos futuros.

Nota¸cão:Letras maiúsculas referem-se a matrizes, enquanto que letras min´ us-culas em negrito representam vetores e letras min´usculas representam quatérnios; 𝑋 < 0 (ou 𝑋 > 0) indica que a matriz 𝑋 é definida negativa (ou definida positiva); 𝑋𝑇 _indica a transposta da matriz 𝑋 e 𝐻𝑒(𝑋) representa uma nota¸cão compacta para 𝑋 + 𝑋𝑇_{; a} matriz identidade de dimensão apropriada é representada por I e ⋆ indica blocos simétri-cos em matrizes definidas por blosimétri-cos; diag(𝑋1, 𝑋2) representa uma matriz bloco-diagonal com elementos 𝑋1 e 𝑋2 na diagonal principal;

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2 Controle de Orienta¸c˜

ao de Quadric´

opteros

2.1 Apresenta¸c˜

ao

O quadricóptero pertence a uma classe mais geral de ve´ıculos aéreos suba-tuados demoninada multirrotor, consistindo de quatro rotores coplanares independentes instalados em uma estrutura r´ıgida (MAHONY et al., 2012). Cada rotor promove uma for¸ca normal de empurrão na dire¸cão positiva do eixo 𝑧, sendo esta modelada usualmente como sendo proporcional ao quadrado da velocidade rotórica desenvolvida. O controle de posi¸cão e orienta¸cão do ve´ıculo é realizado a partir da aplica¸cão de diferentes velocida-des rotóricas a cada par de rotores. A Figura 1 apresenta um esquema conceitual velocida-desta estrutura. O rotor 𝑖 gira em sentido horário para 𝑖 par, e anti-horário para 𝑖 ´ımpar. Essa diferen¸ca no sentido da rota¸cão produz um desbalanceamento nos torques aplicados ao corpo, sugerindo que a orienta¸cão do ve´ıculo pode ser alterada a partir da manipula¸cão destas quantidades. A posi¸cão no eixo 𝑧 é controlada utilizando o empuxo coletivo devido à rota¸cão dos quatro propulsores e o voo planado é caracterizado pelo momento em que os quatro propulsores estão alinhados com o vetor gravitacional e produzindo, cada um, um empuxo de 𝑚𝑔/4. A posi¸cão no eixo 𝑥 − 𝑦, por sua vez, pode ser controlada a partir da varia¸cão dos três ângulos de Euler do ve´ıculo.

Figura 1 – Esquema geral do quadricóptero (retirado de (MAHONY et al., 2012). Este cap´ıtulo apresenta o projeto de um controlador com dependência poli-nomial nos parâmetros para a orienta¸cão do quadricóptero, considerando a modelagem cinemática utilizando os parâmetros de Cayley-Rodrigues. Inicialmente, deriva-se as re-la¸cões cinemáticas de movimento do corpo r´ıgido no R3_{, seguido da constru¸cão de um} conjunto de equa¸cões diferenciais não-lineares da dinâmica do ve´ıculo. Finalmente, o con-trolador polinomial é proposto em termos de condi¸cões LMIs dependente de parâmetros, sendo o decaimento m´ınimo da fun¸cão de Lyapunov a métrica de desempenho escolhida.

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2.2 Modelagem Matem´

atica

Esta se¸cão apresenta a modelagem matemática dos aspectos dinâmicos e ci-nemáticos do quadricóptero. Inicialmente, apresenta-se a obten¸cão da equa¸cão diferencial que rege o comportamento cinemático do corpo r´ıgido em movimento em três dimensões, seguido do desenvolvimento das equa¸cões dinâmicas obtidas por meio do formalismo de Euler-Lagrange.

2.2.1 Orienta¸c˜

ao e Cinem´

atica

Um dos aspectos mais importantes concernente à modelagem do ve´ıculo con-siste no estudo de sua orienta¸cão e de seu comportamento cinemático no espa¸co. Com esse propósito, esta se¸cão aborda o tratamento da orienta¸cão de um corpo r´ıgido movendo-se no espa¸co em rela¸cão a um referencial inercial. Para tanto, considere inicialmente os referenciais 𝐴 e 𝐵 apresentados na Figura 2, sendo estes parametrizados pelas bases orto-normais {a1, a2, a3} e {b1, b2, b3}, respectivamente. O referencial 𝐴 denota um sistema de coordenadas fixo enquanto que o referencial 𝐵 possui orienta¸cão variável ao longo do tempo.

C

B/A

A

B

a

1

a

2 3

a

F2 F1 F3 F4 b1 b3 b2 mg

Figura 2 – Referencial inercial 𝐴 e referencial m´ovel 𝐵 .

A descri¸cão de vetores expressos no referencial 𝐵 na base 𝐴 trata-se de uma opera¸cão fundamental no estabelecimento das rela¸cões cinemáticas do movimento entre os dois referenciais. Esta rela¸cão pode ser encontrada em termos de transforma¸cões lineares que relacionam os vetores expressos em cada base. Considerando o exemplo da Figura 2, a transforma¸cão é dada pelo operador 𝐶𝐵/𝐴_{, ou seja, um operador linear que relaciona} ve-tores nos dois referenciais. A nota¸cão 𝐶 para representar a transforma¸cão que descreve os vetores de 𝐴 na base 𝐵 e 𝐶𝑇 _{para a rela¸cão contrária é utilizada por questão de brevidade.} Desta forma, considerando que o referencial 𝐵 move-se no espa¸co, pode-se quantificar por

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meio da informa¸cão encapsulada nestas transforma¸cões lineares a evolu¸cão da orienta-¸cão do corpo r´ıgido ao longo do tempo. Diversas formas de representar a orientaorienta-¸cão de um corpo podem ser encontradas na literatura, sendo as mais populares as parametriza-¸cões utilizando ângulos de Euler, Matrizes de Dire¸cão dos Cossenos (DCM ) e quatérnios (FRESK; NIKOLAKOPOULOS, 2013). Como descrito em (DIEBEL, 2006), cada para-metriza¸cão possui suas particularidades e vantagens, sendo os aspectos mais relevantes a complexidade computacional de implementa¸cão e a existência de singularidades, ou seja, existência de inconsistências na representa¸cão de certas orienta¸cões.

A utiliza¸cão de ângulos de Euler para representar a orienta¸cão do ve´ıculo requer três parâmetros, nomeadamente os ângulos de rolagem, arfagem e guinada e representa uma forma intuitiva baseada em rota¸cões sucessivas do referencial 𝐵 em rela¸cão ao referen-cial 𝐴. Devido à sua formula¸cão direta, este tipo de representa¸cão encontra aplica¸cão em inúmeros problemas de modelagem de sistemas mecânicos. No entanto, a implementa¸cão computacional envolve o cômputo de fun¸cões trigonométricas, tornando a implementa¸cão prática um desafio devido à complexidade computacional do tratamento de tais fun¸cões, sobretudo quando o sistema considerado possui capacidade computacional reduzida ou a escala de tempo de atua¸cão do controlador é pequena. Além disso, a existência de singu-laridades no espa¸co de parâmetros limita o envelope de opera¸cão do sistema (DIEBEL, 2006).

A parametriza¸cão utilizando a Matriz de Dire¸cão dos Cossenos é uma ma-neira mais direta de expressar a orienta¸cão do corpo r´ıgido, pois consiste, conforme (WIE, 1998), da proje¸cão de cada vetor da base 𝐵 na base 𝐴. Embora seja de utilidade con-ceitual, cada base considerada deve ser ortonormal, de modo que a obten¸cão deste tipo de garantia quando se considera a implementa¸cão prática perfaz um desafio, tornando a implementa¸cão complexa.

Finalmente, a representa¸cão por quatérnios sobressai-se das demais por não possuir singularidades no espa¸co de parâmetros, envolver somente o cálculo de expressões polinomiais e possuir uma interpreta¸cão geométrica direta. Diferentemente dos ângulos de Euler, a defini¸cão da orienta¸cão do ve´ıculo em termos de quatérnios realiza-se por meio de quatro parâmetros. A principal restri¸cão imposta neste tipo de representa¸cão é a de que, para representar uma orienta¸cão, o quatérnio deve possuir norma unitária (DIEBEL, 2006). Esta restri¸cão é comumente utilizada como forma de verificar a acurácia da estimativa da orienta¸cão em sistemas de controle de aeronaves (WIE, 1998), sendo usualmente relaxada na concep¸cão de controladores de orienta¸cão (LIM, 2001).

Frente a estas considera¸cões, optou-se pela utiliza¸cão de quatérnios na mode-lagem cinemática e dinâmica do quadricóptero neste trabalho. A próxima subse¸cão trata da obten¸cão das equa¸cões cinemáticas do movimento do referencial 𝐵 em rela¸cão ao refe-rencial inercial 𝐴. Para maiores detalhes sobre o desenvolvimento das equa¸cões e sobre a matemática dos quatérnios, o leitor é referenciado à (WIE, 1998).

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2.2.2 Equa¸c˜

ao Cinem´

atica

Para a obten¸cão das rela¸cões cinemáticas do movimento tridimensional do corpo r´ıgido, faz-se necessário o conhecimento da velocidade angular do corpo. Como descrito em (MORIN, 2008), o movimento rotacional realiza-se em torno do vetor de velocidade angular, sendo este perpendicular ao movimento de rota¸cão em cada instante de tempo. Desta forma, considera-se que o referencial 𝐵 realiza um movimento de rota¸cão em rela¸cão ao referencial inercial 𝐴 com vetor de velocidade angular Ω associado expresso na base vetorial {b1, b2, b3} como segue:

Ω𝐵 = Ω1b1+ Ω2b2+ Ω3b3.

Como visto anteriormente, um vetor b expresso no referencial 𝐵 relaciona-se ao referencial

𝐴 pela transforma¸c˜ao

a = 𝐶𝑇b. (2.1)

Derivando a equa¸cão (2.1) em rela¸cão ao tempo e observando que todo vetor expresso no referencial inercial 𝐴 possui velocidade nula, obtém-se

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ˙𝐶𝑇b + 𝐶𝑇b.˙

Usando a hip´otese de que o referencial 𝐵 rotaciona-se em rela¸c˜ao ao referencial 𝐴 com velocidade angular Ω𝐵_{, pode-se escrever}

˙

𝐶𝑇b + 𝐶𝑇Ω×b = 0, (2.2)

com Ω× _{definido por}

Ω× = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −Ω3 Ω2 Ω3 0 −Ω1 −Ω2 Ω1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.3)

Desta forma, considerando que o vetor b é não-nulo, verifica-se que a equa¸cão (2.2) é atendida se, e somente se, as seguintes igualdades são verificadas

˙

𝐶𝑇 = 𝐶𝑇Ω×,

˙

𝐶 = −Ω×𝐶. (2.4) As equa¸cões em (2.4) estabelecem a rela¸cão entre a velocidade angular e a varia¸cão da orienta¸cão do referencial 𝐵 ao longo do tempo. Observa-se que, para Ω conhecido para todo o tempo, pode-se integrar a equa¸cão (2.4) para obter a orienta¸cão 𝐶 do corpo r´ıgido. Além disso, como descrito em (WIE, 1998), pode-se verificar que, partindo de uma condi¸cão

(21)

inicial 𝐶(0) representando uma orienta¸cão válida, as trajetórias que solucionam a equa¸cão diferencial (2.4) sempre representarão uma orienta¸cão válida. Desta forma, a utiliza¸cão da equa¸cão cinemática permite a análise da evolu¸cão da orienta¸cão do corpo r´ıgido ao longo do tempo. No entanto, em termos práticos, deve-se considerar que erros numéricos na integra¸cão da equa¸cão (2.4) podem degradar a representa¸cão da orienta¸cão. Além disso, faz-se necessária a utiliza¸cão de um método eficaz de estimativa da velocidade angular Ω a partir das medidas provenientes dos sensores instalados no ve´ıculo. Assim, a equa¸cão cinemática é utilizada geralmente como restri¸cão para a modelagem dinâmica do movimento, sendo a estimativa de orienta¸cão realizada por técnicas mais robustas, como por exemplo, por meio de filtros complementares (MAHONY et al., 2008) ou filtros de Kalman (LEFFERTS et al., 1982).

Reciprocamente, o vetor de velocidade angular Ω pode ser expresso em termos da matriz 𝐶 e de sua derivada. Esta rela¸cão permite obter o vetor Ω a partir do conheci-mento da evolu¸cão da orienta¸cão do corpo r´ıgido ao longo do tempo. Para tanto, observe que a matriz anti-simétrica Ω× ∈ R3 _{é parametrizada por {Ω}

1, Ω2, Ω3}. A matriz 𝐶, por sua vez, é parametrizada por 9 parâmetros 𝐶 = [𝐶]𝑖,𝑗, (𝑖, 𝑗) = (1, . . . , 3) × (1, . . . , 3). Assim, para cada parâmetro de Ω existem duas equa¸cões descritoras, de modo que se pode escrever o seguinte resultado (WIE, 1998) para os parâmetros {Ω1, Ω2, Ω3}

Ω× = − ˙𝐶𝐶𝑇,

Ω1 = ˙𝐶21𝐶31+ ˙𝐶22𝐶32+ ˙𝐶23𝐶33,

Ω2 = ˙𝐶31𝐶11+ ˙𝐶32𝐶12+ ˙𝐶33𝐶13, (2.5) Ω3 = ˙𝐶11𝐶21+ ˙𝐶12𝐶22+ ˙𝐶13𝐶23.

Desta forma, pode-se particularizar as considera¸cões realizadas até o momento para a representa¸cão da orienta¸cão utilizando quatérnios. Inicialmente, introduz-se o con-ceito dos quatérnios e as opera¸cões pertinentes ao cômputo da orienta¸cão. Quatérnios são números hipercomplexos de dimensão 4 divididos em uma componente real e ou-tras três componentes chamadas imaginárias. Assim, seja o quatérnio 𝑞 representado por

𝑞 = [︁q 𝑞4 ]︁𝑇

, sendo que q =[︁𝑞1 𝑞2 𝑞3 ]︁𝑇

é a parte imaginária e 𝑞4 a parte real e o qua-térnio 𝑝 = [︁p 𝑝₄]︁𝑇. As opera¸cões usuais utilizando quatérnios são definidas da seguinte maneira : ∙ Adi¸cão: 𝑞 + 𝑝 =[︁q + p 𝑞4+ 𝑝4 ]︁𝑇 . ∙ Multiplica¸cão: 𝑞 ⊗ 𝑝 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑞4 −𝑞1 −𝑞2 −𝑞3 𝑞1 𝑞4 −𝑞3 −𝑞2 𝑞2 𝑞3 𝑞4 −𝑞1 𝑞3 −𝑞2 𝑞1 𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .

(22)

∙ Conjugado: Conj(𝑞) = 𝑞⋆ ₌[︁_{−q 𝑞} 4 ]︁𝑇 . ∙ Norma: ||𝑞|| =√︁q𝑇_{q + 𝑞}2 4.

Se adotarmos a estrutura particular do quat´ernio 𝑞 dada pela seguinte express˜ao (FRESK; NIKOLAKOPOULOS, 2013) 𝑞1 = 𝑢1 · sin(𝜃/2), 𝑞2 = 𝑢2 · sin(𝜃/2), (2.6) 𝑞3 = 𝑢3 · sin(𝜃/2), 𝑞4 = cos(𝜃/2), em que u = [︁𝑢1 𝑢2 𝑢3 ]︁𝑇

representa o vetor unitário na dire¸cão do eixo de rota¸cão do corpo r´ıgido e 𝜃 o ângulo da rota¸cão, pode-se verificar que a norma ||𝑞|| é unitária. Além disso, o quatérnio 𝑞 representa uma rota¸cão de um ângulo 𝜃 ao longo do eixo u.

A multiplica¸cão de dois quatérnios representa a rota¸cão resultante da aplica¸cão de cada rota¸cão de maneira individual ao corpo r´ıgido. Note que a opera¸cão de multipli-ca¸cão não é comutativa, de onde pode-se concluir que a aplimultipli-ca¸cão de rota¸cões sucessivas deve ser ordenada para que a rota¸cão equivalente obtida por meio da multiplica¸cão dos quatérnios seja consistente. Além disso, como decorrência direta da propriedade de rota-¸cão, verifica-se que a opera¸cão 𝑞 ⊗ 𝑝⋆ _{fornece a diferen¸ca entre as rota¸cões de 𝑞 e 𝑝, sendo} ´

util na deriva¸cão de uma métrica de erro para o sistema de controle. Em outras palavras, pode-se definir um quatérnio de erro

𝑞𝑒𝑟𝑟= 𝑞 ⊗ 𝑞𝑟𝑒𝑓⋆ ,

no qual se deseja como objetivo de controle que 𝑞𝑒𝑟𝑟 convirja para a origem, neste caso representada pela atitude de voo planado, 𝑞𝑒𝑟𝑟 =

[︁

0 0 0 1]︁𝑇, que, por sua vez, significa que o sistema encontra-se na orienta¸c˜ao 𝑞𝑟𝑒𝑓.

Consideremos novamente a situa¸c˜ao mostrada na Figura 2. A transforma¸c˜ao

𝐶𝐵/𝐴 _{que relaciona os vetores expressos na base 𝐴 aos vetores expressos na base 𝐵, ou} seja

b = 𝐶𝐵/𝐴a,

pode ser expressa em termos da parametriza¸cão de quatérnios pela seguinte matriz de transforma¸cão (WIE, 1998) 𝐶𝐵/𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 2(𝑞2 2+ 𝑞32) 2(𝑞1𝑞2+ 𝑞3𝑞4) 2(𝑞1𝑞3− 𝑞2𝑞4) 2(𝑞2𝑞1− 𝑞3𝑞4) 1 − 2(𝑞12+ 𝑞23) 2(𝑞2𝑞3+ 𝑞1𝑞4) 2(𝑞3𝑞1+ 𝑞2𝑞4) 2(𝑞3𝑞2− 𝑞1𝑞4) 1 − 2(𝑞12+ 𝑞22) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.7)

(23)

De maneira compacta, a equa¸c˜ao (2.7) pode ser escrita como

𝐶𝐵/𝐴 = (𝑞₄2− qTq)I + 2qTq − 2𝑞₄𝑄× (2.8) com 𝑄× _{sendo a matriz anti-sim´etrica}

𝑄× = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −𝑞3 𝑞2 𝑞3 0 −𝑞1 −𝑞2 𝑞1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .

Com respeito à matriz 𝐶𝐵/𝐴 _{pode-se tecer algumas observa¸cões. Inicialmente,} devido à restri¸cão de norma do quatérnio, esta se trata de uma matriz ortogonal, de onde se conclui que (𝐶𝐵/𝐴₎−1 _{= 𝐶}𝐴/𝐵 _{= (𝐶}𝐵/𝐴₎𝑇_{. Além disso, | det(𝐶}𝐴/𝐵_{)| = 1. As nota¸cões} simplificadas 𝐶, para representar a matriz 𝐶𝐵/𝐴_{, e 𝐶}𝑇_{, para representar a matriz 𝐶}𝐴/𝐵_, são utilizadas no decorrer deste texto. A próxima se¸cão aborda a obten¸cão das equa¸cões dinâmicas de movimento para o quadricóptero fazendo uso da restri¸cão cinemática (2.4) particularizada para a representa¸cão da orienta¸cão por meio de quatérnios.

2.2.3 Dinˆ

amica Lagrangeana

Esta se¸cão apresenta o desenvolvimento das equa¸cões dinâmicas do ve´ıculo utilizando a representa¸cão de quatérnios. Neste contexto, deseja-se obter um conjunto de equa¸cões diferenciais não-lineares capazes de relacionar os estados do sistema com as entradas representadas pelas velocidades rotóricas impostas aos quatro atuadores. Os estados considerados consistem das três posi¸cões e as quatro variáveis do quatérnio de orienta¸cão 𝜈 = [︁𝑥 𝑦 𝑧 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4

]︁𝑇

. A abordagem escolhida baseia-se na utiliza-¸cão do formalismo de Euler-Lagrange para a obtenutiliza-¸cão das equa¸cões de movimento. Esta abordagem considera o sistema mecânico sob o ponto de vista de sua energia total, sendo as equa¸cões obtidas por meio da aplica¸cão do princ´ıpio de a¸cão m´ınima na equa¸cão de energia (fun¸cão Lagrangeana) (MORIN, 2008). A referência (KATAGIRI, 2016) realiza um desenvolvimento similar ao realizado neste se¸cão.

A formula¸cão de um modelo dinâmico obtido em fun¸cão da energia do sistema mecânico permite a concep¸cão de um modelo mais preciso para a representa¸cão das for¸cas atuantes no ve´ıculo, ao pre¸co de um esfor¸co computacional elevado para a resolu¸cão do sistema. Além disso, como será observado posteriormente, a modelagem permite a inclusão de diferentes efeitos aerodinâmicos, sendo os mais comuns o empuxo lateral e vertical (MAHONY et al., 2012). Como descrito em (MORIN, 2008), inicialmente define-se a fun¸cão Lagrangeana como segue

𝐿 = 𝑇 − 𝑉. (2.9) Neste contexto, 𝑇 representa a energia cinética total do sistema, enquanto que 𝑉 repre-senta a sua energia potencial. A obten¸cão das equa¸cões de movimento segue a partir da

(24)

aplica¸cão da condi¸cão de otimalidade da equa¸cão de Euler-Lagrange. O quadricóptero trata-se de um sistema mecânico dissipativo, sendo que a energia total do sistema não se conserva. Além disso, as variáveis de estado representativas do quatérnio de orienta¸cão 𝑞 não possuem interpreta¸cão f´ısica direta. Neste cenário, faz-se necessária a considera¸cão da condi¸cão de otimalidade com for¸cas e coordenadas generalizadas (ver (MORIN, 2008)), que permite o tratamento destas particularidades do sistema.

A energia cin´etica total pode ser dividida em duas parcelas: uma parcela re-ferente ao movimento translacional e outra rere-ferente ao movimento rotacional. Assim, definindo os vetores p = [︁𝑥 𝑦 𝑧]︁𝑇 ∈ R3 _{e w =}[︁_Ω 1 Ω2 Ω3 ]︁𝑇 ∈ R3_{, pode-se escrever} 𝑇 =𝑇𝑟𝑜𝑡+ 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠, 𝑇𝑟𝑜𝑡 = 1 2w 𝑇_{𝐽 w,} _(2.10) 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑚 2 ˙v 𝑇 _˙v,

com 𝐽 = diag (𝐽𝑥𝑥, 𝐽𝑦𝑦, 𝐽𝑧𝑧) representando a matriz diagonal de inércia do ve´ıculo. A energia potencial, por sua vez, é obtida de maneira trivial como sendo 𝑉 = −𝑚𝑔𝑧 . A equa¸cão Lagrangeana em sua forma completa é dada por

𝐿 = 𝑚

2 ˙v

𝑇 _{˙v +} 1 2w

𝑇_{𝐽 w − 𝑚𝑔𝑧.} _(2.11) A equa¸cão (2.5) permite relacionar a velocidade angular do corpo r´ıgido com a matriz de orienta¸cão 𝐶. Desta forma, considerando a representa¸cão particular de 𝐶 em fun¸cão do quatérnio 𝑞 (Eq. (2.7)) pode-se estabelecer, conforme descrito em (WIE, 1998), a seguinte rela¸cão entre a velocidade angular e o quatérnio de orienta¸cão 𝑞

Ω1 = 2( ˙𝑞1𝑞4 + ˙𝑞2𝑞3− ˙𝑞3𝑞2− ˙𝑞4𝑞1),

Ω2 = 2( ˙𝑞2𝑞4 + ˙𝑞3𝑞1− ˙𝑞1𝑞3− ˙𝑞4𝑞2), (2.12) Ω3 = 2( ˙𝑞3𝑞4 + ˙𝑞1𝑞2− ˙𝑞2𝑞1− ˙𝑞4𝑞3).

Descrevendo a equa¸cão (2.11) explicitamente em fun¸cão do quatérnio 𝑞 obtém-se 𝐿 = 𝑚 2 (︁ ˙𝑥2+ ˙𝑦2+ ˙𝑧2)︁− 𝑚𝑔𝑧 + 2 [︃ 𝐽𝑥𝑥( ˙𝑞1𝑞4+ ˙𝑞2𝑞3− ˙𝑞3𝑞2 − ˙𝑞4𝑞1)2 +𝐽𝑦𝑦( ˙𝑞2𝑞4+ ˙𝑞3𝑞1− ˙𝑞1𝑞3− ˙𝑞4𝑞2)2 + 𝐽𝑧𝑧( ˙𝑞3𝑞4+ ˙𝑞1𝑞2− ˙𝑞2𝑞1− ˙𝑞4𝑞3)2 ]︃ , (2.13)

sendo esta a forma final da fun¸cão Lagrangeana utilizada na modelagem do quadricóptero. A condi¸cão de Euler-Lagrange considerando coordenadas e for¸cas generalizadas pode ser escrita como sendo

𝑑 𝑑𝑡 (︃ 𝜕𝐿 𝜕 ˙𝑞𝑖 )︃ − 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 = 𝑄𝑞𝑖, (2.14)

(25)

sendo 𝑞𝑖a i-ésima coordenada generalizada e 𝑄𝑞𝑖a for¸ca virtual não-conservativa associada à i-ésima coordenada generalizada. A defini¸cão das for¸cas não-conservativas atuantes no sistema é dada por (MORIN, 2008)

𝑄𝑞𝑖 = ∑︁ 𝑗 𝐹𝑗 · (︃ 𝜕rj 𝜕𝑞𝑖 )︃ , (2.15)

sendo que 𝐹𝑗 e 𝑟𝑗 representam a j-ésima for¸ca aplicada e a coordenada do ponto de apli-ca¸cão da for¸ca, respectivamente. Para o caso espec´ıfico do quadricóptero, as coordenadas de aplica¸cão das for¸cas podem ser descritas por meio das expressões

r1 = 𝑥 · a1 + 𝑦 · a2+ 𝑧 · a3+ 𝑙 · b1, r2 = 𝑥 · a1 + 𝑦 · a2+ 𝑧 · a3+ 𝑙 · b2,

r3 = 𝑥 · a1+ 𝑦 · a2+ 𝑧 · a3− 𝑙 · b1, (2.16) r4 = 𝑥 · a1+ 𝑦 · a2+ 𝑧 · a3− 𝑙 · b2.

No contexto das for¸cas atuantes, considera-se que cada propulsor exerce for¸cas no sentido normal e coplanar ao ponto de aplica¸c˜ao, sendo estas for¸cas proporcionais ao quadrado da velocidade rot´orica desenvolvida por cada rotor, podendo ser expressas como segue

𝐹1 = 𝑘𝜔12· b3+ 𝑏𝜔12· b2,

𝐹2 = 𝑘𝜔22· b3+ 𝑏𝜔22· b1,

𝐹3 = 𝑘𝜔32· b3− 𝑏𝜔32· b2, (2.17)

𝐹4 = 𝑘𝜔42· b3− 𝑏𝜔42· b1,

sendo que 𝜔𝑖 representa a velocidade rotórica desenvolvida pelo i-ésimo atuador e 𝑘 e 𝑏 são as constantes de empuxo vertical e lateral, respectivamente, sendo estes parâmetros intr´ınsecos ao propulsor empregado.

2.2.4 Equa¸c˜

oes de Movimento

A obten¸cão das equa¸cões de movimento para a dinâmica do ve´ıculo segue da aplica¸cão da condi¸cão descrita na equa¸cão (2.14) considerando a fun¸cão Lagrangeana (2.13) para cada coordenada. O cômputo das for¸cas generalizadas, tal qual descrito pela equa¸cão (2.15), é realizado para cada grau de liberdade. Desta forma, obtêm-se as seguintes rela¸cões para cada grau de liberdade do sistema

∙ Coordenada 𝑥:

(26)

∙ Coordenada 𝑦: 𝑚¨𝑦 = 𝑄𝑦. (2.19) ∙ Coordenada 𝑧: 𝑚¨𝑧 = 𝑄𝑧− 𝑚𝑔. (2.20) ∙ Coordenada 𝑞1: 4𝐽𝑥𝑥 [︃ − 𝑞4(𝑞1𝑞¨4+ 𝑞2𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨2− 𝑞4𝑞¨1) − (𝑞1𝑞˙4+ 𝑞2𝑞˙3− 𝑞3𝑞˙2) ˙𝑞4− (𝑞1𝑞˙4+ 𝑞2𝑞˙3− 𝑞3𝑞˙2 −𝑞4𝑞˙1) ˙𝑞4 ]︃ + 4𝐽𝑦𝑦 [︃ − 𝑞3(𝑞1𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨1− 𝑞2𝑞¨4 + 𝑞4𝑞¨2) − (𝑞1𝑞˙3− 𝑞2𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙2) ˙𝑞3 −(𝑞1𝑞˙3− 𝑞3𝑞˙1− 𝑞2𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙2) ˙𝑞3 ]︃ + 4𝐽𝑧𝑧 [︃ − 𝑞2(𝑞1𝑞¨2− 𝑞2𝑞¨1+ 𝑞3𝑞¨4− 𝑞4𝑞¨3) −(𝑞1𝑞˙2+ 𝑞3𝑞˙4− 𝑞4𝑞˙3) ˙𝑞2− (𝑞1𝑞˙2− 𝑞2𝑞˙1+ 𝑞3𝑞˙4− 𝑞4𝑞˙3) ˙𝑞2 ]︃ = 𝑄𝑞1. (2.21) ∙ Coordenada 𝑞2: 4𝐽𝑥𝑥 [︃ − 𝑞3(𝑞1𝑞¨4+ 𝑞2𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨2− 𝑞4𝑞¨1) − (𝑞1𝑞˙4+ 𝑞2𝑞˙3− 𝑞4𝑞˙1) ˙𝑞3− (𝑞1𝑞˙4+ 𝑞2𝑞˙3− 𝑞3𝑞˙2 −𝑞4𝑞˙1) ˙𝑞3 ]︃ + 4𝐽𝑦𝑦 [︃ 𝑞4(𝑞1𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨1− 𝑞2𝑞¨4+ 𝑞4𝑞¨2) − ˙𝑞4(𝑞3𝑞˙1− 𝑞1𝑞˙3+ 𝑞2𝑞˙4) + ˙𝑞4(𝑞1𝑞˙3 −𝑞3𝑞˙1− 𝑞2𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙2) ]︃ + 4𝐽𝑧𝑧 [︃ 𝑞1(𝑞1𝑞¨2− 𝑞2𝑞¨1+ 𝑞3𝑞¨4− 𝑞4𝑞¨3) − (𝑞2𝑞˙1− 𝑞3𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙3) ˙𝑞1 +(𝑞1𝑞˙2− 𝑞2𝑞˙1+ 𝑞3𝑞˙4− 𝑞4𝑞˙3) ˙𝑞1 ]︃ = 𝑄𝑞2. (2.22) ∙ Coordenada 𝑞3: 4𝐽𝑥𝑥 [︃ 𝑞2(𝑞1𝑞¨4+ 𝑞2𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨2− 𝑞4𝑞¨1) − ˙𝑞2(𝑞3𝑞˙2− 𝑞1𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙1) + ˙𝑞2(𝑞1𝑞˙4+ 𝑞2𝑞˙3− 𝑞3𝑞˙2 −𝑞4𝑞˙1) ]︃ + 4𝐽𝑦𝑦 [︃ 𝑞1(𝑞1𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨1− 𝑞2𝑞¨4+ 𝑞4𝑞¨2) − (𝑞3𝑞˙1+ 𝑞2𝑞˙4− 𝑞4𝑞˙2) ˙𝑞1 + (𝑞1𝑞˙3 −𝑞3𝑞˙1− 𝑞2𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙2) ˙𝑞1 ]︃ + 4𝐽𝑧𝑧 [︃ − 𝑞4(𝑞1𝑞¨2− 𝑞2𝑞¨1+ 𝑞3𝑞¨4− 𝑞4𝑞¨3) − (𝑞1𝑞˙2− 𝑞2𝑞˙1 +𝑞3𝑞˙4) ˙𝑞4 − (𝑞1𝑞˙2− 𝑞2𝑞˙1+ 𝑞3𝑞˙4− 𝑞4𝑞˙3) ˙𝑞4 ]︃ = 𝑄𝑞3. (2.23)

(27)

∙ Coordenada 𝑞4: 4𝐽𝑥𝑥 [︃ 𝑞1(𝑞1𝑞¨4+ 𝑞2𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨2− 𝑞4𝑞¨1) − ˙𝑞1(𝑞3𝑞˙2− 𝑞2𝑞˙3+ 𝑞4𝑞˙1) + ˙𝑞1(𝑞1𝑞˙4+ 𝑞2𝑞˙3− 𝑞3𝑞˙2 −𝑞4𝑞˙1) ]︃ + 4𝐽𝑦𝑦 [︃ − 𝑞2(𝑞1𝑞¨3− 𝑞3𝑞¨1− 𝑞2𝑞¨4+ 𝑞4𝑞¨2) − (𝑞1𝑞˙3 − 𝑞3𝑞˙1+ 𝑞4𝑞˙2) ˙𝑞2− (𝑞1𝑞˙3 −𝑞3𝑞˙1− 𝑞2𝑞˙4+ 𝑞4𝑞˙2) ˙𝑞2 ]︃ + 4𝐽𝑧𝑧 [︃ 𝑞3(𝑞1𝑞¨2 − 𝑞2𝑞¨1+ 𝑞3𝑞¨4− 𝑞4𝑞¨3) − ˙𝑞3(𝑞2𝑞˙1 − 𝑞1𝑞˙2 +𝑞4𝑞˙3) + ˙𝑞3(𝑞1𝑞˙2− 𝑞2𝑞˙1+ 𝑞3𝑞˙4− 𝑞4𝑞˙3) ]︃ = 𝑄𝑞4. (2.24)

Note que, a partir das equa¸cões de movimento para cada estado, pode-se construir um sistema de equa¸cões diferenciais de ordem dois que, por sua vez, pode ser resolvido com-putacionalmente. Aplicando as expressões para as for¸cas atuantes, equa¸cão (2.17), bem como as equa¸cões referentes ao ponto de aplica¸cão das for¸cas, equa¸cão (2.16), na equa¸cão (2.15) para cada coordenada, obtêm-se as respectivas equa¸cões das for¸cas generalizadas atuantes sobre o corpo:

∙ Coordenada 𝑥: 𝑄𝑥 = 2𝑘(𝜔12+ 𝜔 2 2 + 𝜔 2 3+ 𝜔 2 4)(𝑞2𝑞4+ 𝑞1𝑞3) +𝑏(𝜔2₂− 𝜔2 4)(1 − 2(𝑞 2 2 + 𝑞 2 3)) +2𝑏(𝜔₁2− 𝜔2₃)(𝑞1𝑞2− 𝑞3𝑞4). (2.25) ∙ Coordenada 𝑦: 𝑄𝑦 = 2𝑘(𝜔21+ 𝜔 2 2 + 𝜔 2 3 + 𝜔 2 4)(𝑞3𝑞2− 𝑞1𝑞4) +2𝑏(𝜔₂2− 𝜔2 4)(𝑞3𝑞4+ 𝑞1𝑞2)+ 𝑏(𝜔₁2− 𝜔2₃)(1 − 2(𝑞₁2+ 𝑞₃2)). (2.26) ∙ Coordenada 𝑧: 𝑄𝑧 = 𝑘(𝜔12+ 𝜔 2 2 + 𝜔 2 3+ 𝜔 2 4)(1 − 2(𝑞 2 1 + 𝑞 2 2)) +2𝑏(𝜔₂2− 𝜔2 4)(𝑞3𝑞1− 𝑞2𝑞4) +2𝑏(𝜔2₁− 𝜔₃2)(𝑞1𝑞4+ 𝑞3𝑞2). (2.27) As expressões das for¸cas generalizadas para os estados 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 e 𝑞4 envolvem a transforma¸cão de vetores para o referencial inercial e, por questão de compacta¸cão da nota¸cão, são apresentadas em sua formula¸cão matricial. Definindo os vetores auxiliares f₁𝐵 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏(−𝜔2 1− 𝜔32) 𝑏(𝜔₁2+ 𝜔₃2) 𝑘(𝜔₁2− 𝜔2 3) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , f₂𝐵 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏(𝜔2 2+ 𝜔42) 𝑏(𝜔2₂+ 𝜔₄2) 𝑘(𝜔2₂− 𝜔2 4) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , (2.28)

(28)

∙ Coordenada 𝑞1: 𝑄𝑞1 = 𝑙 (︃ (︁ 𝐶𝑇 f₁𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 2𝑞2 2𝑞3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ +(︁𝐶𝑇 f₂𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2𝑞2 −4𝑞1 2𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ )︃ . (2.29) ∙ Coordenada 𝑞2: 𝑄𝑞2 = 𝑙 (︃ (︁ 𝐶𝑇 f₁𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −4𝑞2 2𝑞1 −2𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ +(︁𝐶𝑇 f₂𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2𝑞1 0 2𝑞3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ )︃ . (2.30) ∙ Coordenada 𝑞3: 𝑄𝑞3 = 𝑙 (︃ (︁ 𝐶𝑇 f₁𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −4𝑞3 2𝑞4 2𝑞1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ +(︁𝐶𝑇 f₂𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2𝑞4 −4𝑞3 2𝑞2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ )︃ . (2.31) ∙ Coordenada 𝑞4: 𝑄𝑞4 = 𝑙 (︃ (︁ 𝐶𝑇 f₁𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 2𝑞3 −2𝑞2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ +(︁𝐶𝑇 f₂𝐵)︁𝑇 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2𝑞3 0 2𝑞1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ )︃ . (2.32)

As equa¸cões dinâmicas (2.18)-(2.24), associadas com as respectivas for¸cas ge-neralizadas dadas pelas equa¸cões (2.25)-(2.32), fornecem um modelo de segunda ordem que rege a dinâmica de movimento linear e rotacional do ve´ıculo. No contexto deste traba-lho, o modelo dinâmico completo é empregado na constru¸cão de um simulador, conforme descrito na próxima se¸cão. Deve-se destacar que as for¸cas atuantes no ve´ıculo, nomeada-mente as for¸cas relacionadas a cada um dos propulsores, foram consideradas como sendo proporcionais ao quadrado da velocidade rotórica de cada rotor. Embora seja uma con-sidera¸cão válida para uma faixa limitada de opera¸cão, pode-se incluir outros efeitos de natureza aerodinâmica, resultando em um sistema de maior complexidade computacional.

2.3 Simula¸c˜

ao Computacional

O desenvolvimento de um simulador baseado na dinâmica não-linear do ve´ıculo permite uma maior compreensão das caracter´ısticas e dos principais desafios do projeto de controle deste tipo de aeronave. Além disso, a utiliza¸cão de um simulador permite a rápida prototipa¸cão de controladores e de estratégias de estima¸cão de estados.

Seguindo estas premissas, construiu-se um simulador considerando a dinâmica não-linear desenvolvida na se¸cão anterior. De maneira conceitual, podemos estruturar o

(29)

software criado por meio da ilustra¸cão apresentada na Figura 3. De maneira sintética, o funcionamento do simulador compreende a resolu¸cão do sistema de equa¸cões diferenciais não-lineares de segunda ordem (representado pelo bloco “Planta não-linear”) a partir das entradas e dos estados no instante atual de simula¸cão. As entradas são as velocidades rotóricas aplicadas aos motores instalados no ve´ıculo. Em um cenário mais realista, a di-nâmica do controle de velocidade dos motores deve ser considerada, visto que a velocidade comandada pelo sistema de controle não pode ser instantaneamente desenvolvida pelo mo-tor devido a sua própria dinâmica. No entanto, para propósitos de valida¸cão do controle de orienta¸cão, desconsiderou-se esta dinâmica, assumindo que a velocidade comandada é instantaneamente refletida na velocidade dos motores.

A estrutura de controle apresentada segue as linhas gerais de (ALEXIS et al., 2011), na qual estrutura-se o controlador do quadricóptero em fun¸cão de dois subsiste-mas com dinâmicas desacopladas, sendo o primeiro, em mais baixo n´ıvel, caracterizado pelo controle de atitude do ve´ıculo e o segundo responsável pelo controle de posi¸cão. O simulador conta com a implementa¸cão somente do controle de atitude, sendo o controle de posi¸cão tópico para desenvolvimentos futuros.

Estrat´egia de Controle ... ... s a c i r o ´ t o RuloVelocidades c l a ´ C r a e n i l -o a ˜ nPlanta τx τy τz ω1 ω2 ω3 ω4 Ref. Controle de Atitude: Estados o: a ˜ c¸ i s o P e d e l o r t n o C

Figura 3 – Estrutura conceitual do simulador desenvolvido.

A estratégia de controle baseia-se no cálculo dos torques que devem ser aplica-dos ao corpo r´ıgido para que um determinado objetivo seja atingido. Considerando o caso do controle de orienta¸cão, o principal objetivo é o rastreamento de referências de atitude para um determinado envelope de voo. A defini¸cão deste envelope está intimamente relaci-onada com a complexidade do controlador empregado, levando em considera¸cão aspectos como realimenta¸cão dos estados, lineariza¸cão, ordem do controlador, etc. De maneira ge-ral, controladores mais complexos tendem a prover uma região de opera¸cão mais ampla.

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2.4 Projeto do Controlador

Como visto na Se¸cão 2.1, o ve´ıculo quadricóptero é subatuado, possuindo qua-tro entradas dispon´ıveis para conqua-trole. Desta forma, o projeto de conqua-trole apresenta-se como um desafio teórico e prático. O objetivo principal desta se¸cão é a concep¸cão de um controlador LPV capaz de estabilizar o ve´ıculo em uma orienta¸cão espec´ıfica, em geral com um desempenho superior a controladores robustos (que não dependem dos parâme-tros). Particularmente, interessa-se pela orienta¸cão de voo planado, na qual as velocidades rotóricas dos motores são iguais e compensam o peso do próprio ve´ıculo. O projeto do con-trolador é realizado em fun¸cão da utiliza¸cão da teoria de Lyapunov para sistemas lineares com parâmetros variantes no tempo (MOHAMMADPOUR; SCHERER, 2012; APKA-RIAN; GAHINET, 1995; APKAAPKA-RIAN; ADAMS, 1998). As condi¸cões para a s´ıntese do controlador são expressas em termos de LMIs dependente de parâmetros, sendo estas re-solvidas computacionalmente por algoritmos eficientes utilizando as chamadas ”relaxa¸cões LMIs”, que podem ser obtidas a partir da imposi¸cão de estruturas polinomiais para as variáveis de decisão do problema.

A utiliza¸cão de técnicas de controle LPV para o controle de sistemas não-lineares constitui uma maneira generalista e elegante de tratamento e vem sendo exten-sivamente utilizada em aplica¸cões de controle, nas quais o desempenho de controladores convencionais (em geral robustos) não é satisfatório. A principal caracter´ıstica que permite o uso desta abordagem em sistemas não-lineares é o fato de as não-linearidades presentes na planta serem modeladas como parâmetros independentes (dos estados), assumindo-se que estes se encontram confinados em um certo conjunto convexo. Desta forma, técnicas consagradas de análise e s´ıntese de sistemas lineares podem ser empregadas no projeto do controlador. Não obstante, o emprego de técnicas LPV perfaz uma metodologia sis-temática de s´ıntese, diferentemente do projeto de controladores não-lineares, que requer um procedimento orientado ao problema espec´ıfico em considera¸cão. No entanto, espera-se resultados mais conespera-servadores do controlador projetado para o modelo linear quando comparado com técnicas não-lineares adotadas especificamente para o projeto de controle de orienta¸cão do quadricóptero.

Esta se¸cão apresenta a deriva¸cão de um modelo não-linear afim capaz de re-presentar a dinâmica rotacional do ve´ıculo para manobras de grande varia¸cão angular. A representa¸cão da orienta¸cão utilizada na s´ıntese do controlador é a dos parâmetros de Cayley-Rodrigues (TSIOTRAS, 1996). Esta representa¸cão relaciona-se diretamente com a formula¸cão utilizando quatérnios e possui algumas vantagens que são exploradas durante o processo de s´ıntese.

No decorrer do desenvolvimento, apresenta-se as equa¸cões dinâmicas utilizadas na s´ıntese do controlador, bem como observa¸cões sobre a particularidade de cada repre-senta¸cão. Por fim, a técnica de s´ıntese do controlador para o sistema LPV e os resultados de simula¸cão são apresentados e discutidos. Assume-se que as velocidades angulares e o

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quatérnio de orienta¸cão da aeronave são parâmetros lidos em tempo real e dispon´ıveis para o cálculo do controlador.

2.4.1 Dinˆ

amica Simplificada do Sistema

Inúmeros trabalhos na literatura abordam o controle da orienta¸cão de ve´ıculos aéreos utilizando a representa¸cão de quatérnios. Dentre estes, destacam-se os trabalhos de Hall et al. (2010), Wie et al. (1989) e Lim (2001). Recentemente, os trabalhos de Kehlenbeck (2014) e Fresk e Nikolakopoulos (2013) abordam o caso espec´ıfico do controle de quadricópteros utilizando quatérnios. No entanto, abordagens que considerem o projeto do controlador de orienta¸cão por meio de procedimentos de s´ıntese utilizando técnicas de projeto baseadas em LMIs não foram exploradas para o caso particular do ve´ıculo quadricóptero. O trabalho de Lim (2001) realiza a s´ıntese de um controlador LPV para a dinâmica dos quatérnios de maneira similar à desenvolvida neste trabalho. A descri¸cão do sistema não-linear segue a partir da defini¸cão de um quatérnio de erro associado a um quatérnio de referência 𝑞𝑟𝑒𝑓, sendo esta a referência para a qual deseja-se que o sistema convirja. Desta forma, o quatérnio de erro pode ser obtido por

𝑞𝑒𝑟𝑟 = 𝑞𝑟𝑒𝑓 ⊗ 𝑞*. (2.33)

Sendo o quat´ernio de erro dado por 𝑞𝑒𝑟𝑟 = [︁

𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 ]︁𝑇

, pretende-se en-contrar uma representa¸cão em espa¸co de estados para a dinâmica do quatérnio 𝑞𝑒𝑟𝑟. Para tanto, considere a equa¸cão (2.12) e a restri¸cão de norma do quatérnio

𝑞₁2+ 𝑞₂2+ 𝑞₃2+ 𝑞2₄ = 1. (2.34)

Derivando esta igualdade em rela¸cão ao tempo obtém-se 0 = 2( ˙𝑞1𝑞1+ ˙𝑞2𝑞2+ ˙𝑞3𝑞3+ ˙𝑞4𝑞4). Incluindo a informa¸cão da equa¸cão (2.12) resulta em

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Ω1 Ω2 Ω3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑞4 𝑞3 −𝑞2 −𝑞1 −𝑞3 𝑞4 𝑞1 −𝑞2 𝑞2 −𝑞1 𝑞4 −𝑞3 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝑞1 ˙ 𝑞2 ˙ 𝑞3 ˙ 𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.35)

Considerando-se a restri¸cão de norma, pode-se concluir que a matriz apresentada na equa-¸cão (2.35) é ortogonal, portanto sua inversa é igual a sua transposta. Desta forma,

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝑞1 ˙ 𝑞2 ˙ 𝑞3 ˙ 𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑞4 −𝑞3 𝑞2 𝑞1 𝑞3 𝑞4 −𝑞1 𝑞2 −𝑞2 𝑞1 𝑞4 𝑞3 −𝑞1 −𝑞2 −𝑞3 𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Ω1 Ω2 Ω3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.36)

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A equa¸c˜ao (2.36) pode ser escrita de maneira compacta como sendo ˙q =1 2𝑄 × Ω + 1 2𝑞4IΩ, (2.37) ˙ 𝑞4 = − 1 2q 𝑇_Ω, com q =[︁𝑞1 𝑞2 𝑞3 ]︁𝑇 . Considerando 𝑞𝑟𝑒𝑓 = [︁

0 0 0 1]︁𝑇, verifica-se que, em uma situa¸cão de voo planado, 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 ≈ 0 e a parte real do quatérnio 𝑞𝑒𝑟𝑟 converge para +1 ou −1, com o sinal indicando a dire¸cão da rota¸cão (WIE et al., 1989).

A dinˆamica angular do ve´ıculo pode ser descrita por meio da equa¸c˜ao de Euler como sendo

𝐽 ˙Ω + Ω×𝐽 Ω = u, (2.38)

com 𝑢 representando a entrada de controle, isto é, a rela¸cão de torque dos quatro propul-sores instalados no ve´ıculo com rela¸cão às for¸cas geradas. Se considerarmos a rela¸cão de como as for¸cas foram definidas na modelagem utilizando o formalismo Lagrangeano, pode-mos concluir as seguintes rela¸cões entre os torques comandados e as velocidades rotóricas dos quatro propulsores

u = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜏𝑥 𝜏𝑦 𝜏𝑧 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑙𝑘(𝜔2 2 − 𝜔42) 𝑙𝑘(𝜔2 1 − 𝜔32) 𝑙𝑏(𝜔2 1 − 𝜔22+ 𝜔23− 𝜔42) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.39)

Para a realiza¸cão do controle do quadricóptero, necessita-se converter os tor-ques atuantes no corpo nas quatro velocidades dos propulsores. O sistema de equa¸cões (2.39) relaciona as quatro velocidades rotóricas com os três torques atuantes. Desta forma, não é poss´ıvel encontrar uma solu¸cão para a rela¸cão desejada. Para contornar este pro-blema introduz-se a equa¸cão do impulso vertical coletivo

𝑈 = 𝑘(𝜔2₁+ 𝜔₂2+ 𝜔₃2+ 𝜔2₄).

Definindo as vari´aveis auxiliares 𝑇𝑥 = 𝜏𝑥/𝑙𝑘, 𝑇𝑦 = 𝜏𝑦/𝑙𝑘, 𝑇𝑧 = 𝜏𝑧/𝑙𝑏e 𝑈𝑇 = 𝑈/𝑘 pode-se reescrever o sistema de equa¸c˜oes como sendo

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑇𝑥 𝑇𝑦 𝑇𝑧 𝑈𝑇 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 −1 1 0 −1 0 1 −1 1 −1 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜔₁2 𝜔₂2 𝜔2 3 𝜔2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , (2.40)

resultando na seguinte solu¸c˜ao para as velocidades rot´oricas ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜔2 1 𝜔2 2 𝜔2 3 𝜔2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 2 1 1 2 0 −1 1 0 −2 1 1 −2 0 −1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑇𝑥 𝑇𝑦 𝑇𝑧 𝑈𝑇 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.41)

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𝜔1 = 1 2 √︁ 2𝑇𝑦+ 𝑇𝑧+ 𝑈𝑇, > 0, 𝜔2 = 1 2 √︁ 2𝑇𝑥− 𝑇𝑧+ 𝑈𝑇, > 0, 𝜔3 = 1 2 √︁ −2𝑇𝑦+ 𝑇𝑧+ 𝑈𝑇, > 0, 𝜔4 = 1 2 √︁ −2𝑇𝑥− 𝑇𝑧+ 𝑈𝑇, > 0.

As equa¸cões (2.37) e (2.38) constituem um sistema dinâmico que pode ser escrito na forma de um sistema de dimensão sete no espa¸co de estados como segue:

˙x = 𝐴(x)x + 𝐵u. (2.42) com 𝐴(x) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −𝐽−1_Ω×_𝐽 _{0 0} 1 2𝑄 × I + 12𝑞4I 0 0 −1 2q 𝑇 _{0 0} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐵 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐽−1 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝑥 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Ω q 𝑞4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (2.43)

A equa¸cão dinâmica dada em (2.42) representa um sistema não-linear afim com parâmetros variantes no tempo. A estratégia de controle utilizando a abordagem LPV con-siste na transforma¸cão dos estados presentes na matriz dinâmica em parâmetros variantes no tempo limitados e desacoplados dos estados. O emprego desta considera¸cão aumenta o conservadorismo do controlador projetado, visto que este não leva em considera¸cão a rela¸cão direta entre os parâmetros e os estados do sistema. Os parâmetros variantes são limitados em dois sentidos: o quatérnio de erro 𝑞 possui a restri¸cão de norma ||𝑞||2 = 1 para que este represente uma rota¸cão; a velocidade angular do corpo r´ıgido usualmente limita-se pela capacidade de leitura dos sensores presentes em uma unidade inercial móvel (LIM, 2001).

Desta forma, é poss´ıvel construir um sistema linear afim com parâmetros va-riantes no tempo a partir dos limites de opera¸cão do sistema. No entanto, o projeto de um controlador utilizando as técnicas LPV para o sistema (2.42) não pode ser realizado devido a algumas caracter´ısticas do sistema. Inicialmente, a restri¸cão de norma não pode ser introduzida na formula¸cão do problema devido à sua caracter´ıstica não linear. Em contrapartida, a referência (LIM, 2001) sugere a relaxa¸cão de tal restri¸cão assumindo-se que os parâmetros do quatérnio 𝑞 encontram-assumindo-se em um hipercubo unitário. Note que tal relaxa¸cão torna o problema demasiadamente conservador, pois a grande maioria dos estados considerados válidos no projeto não atendem a restri¸cão de norma, sendo ina-ting´ıveis do ponto de vista da opera¸cão do ve´ıculo. Além disso, existem parâmetros na