4.3 Comparação com Outros Trabalhos
4.3.1 Exemplo 1
A minimização do custo da seção transversal de momento máximo de uma viga de concreto armado biapoiada foi estudada por CHAKRABARTY (1992) e por COELLO et al. (1997), sendo que o primeiro utilizou como ferramenta de otimização a programação geométrica e o segundo o Algoritmo Genético.
O problema estudado consiste em uma viga biapoiada com 10 metros de vão sujeita a um carregamento permanente de 15 kN/m e um carregamento variável de 20 kN/m. As variáveis consideradas na otimização (altura, largura da seção transversal e a área de armadura positiva) foram tratadas de forma contínua pelos autores e o momento fletor foi o único esforço considerado no dimensionamento.
Para realizar a comparação, foram adotados os mesmos valores para os custos dos materiais ( = 0,72 $/kg, = 64,5 $/m³, = 2,155 $/m²), resistências ( = 30 MPa, 5 = 300 MPa ), fatores de majoração da carga (8C = 1,4, 8 = 1,7), fatores de minoração da resistência (8 = 1,11, 8 = 1,11) e massa específica (< = 2323 kg/m³, < = 7850 kg/m³).
Tendo em vista que o estado limite de serviço não é verificado no estudo original, os parâmetros referentes à abertura de fissura e flecha máxima foram relaxados para evitar a penalização da solução por estes motivos. Também foi necessário atribuir um valor ao cobrimento (5,0 cm), pois o dimensionamento realizado pelos autores considerou como variável a altura do centro de gravidade da armadura tracionada até a fibra mais comprimida da seção e uma taxa de cobrimento de 0,1.
Para a comparação ser justa, a economia gerada pelo escalonamento das barras da armadura positiva foi eliminada impondo um comprimento múltiplo de 10,50 m para
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as mesmas. A largura da viga (30 cm) foi escolhida de modo a coincidir com a solução ótima apresentada pelos autores.
Ao definir o espaço de busca das variáveis (Tabela 4.4), considerou-se que no problema original o mesmo é contínuo. Desta forma, necessitou-se de uma discretização pequena do espaço de busca para fins de comparação. As bitolas das barras foram escolhidas não com base nos diâmetros comercializados no Brasil, mas com base nos diâmetros comercializados na Alemanha segundo LEONHARDT e MÖNNIG (1978), pois apresentam uma discretização maior das bitolas. Como a resistência do concreto é fixa, foi atribuído somente um valor para a mesma. Como a viga analisada é uma viga biapoiada, o valor do momento negativo será nulo para toda a viga, o que justifica a adoção de apenas uma bitola negativa para o espaço de busca, tendo em vista que não será utilizada.
Tabela 4.4 - Espaço de busca das variáveis para a otimização do problema proposto por CHAKRABARTY (1992). fck (MPa) 30 Bit. Est. (mm) 5 6 8 10 12 14 Bit. Neg. (mm) 5 Bit. Pos. (mm) 6 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28 Altura (cm) 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 θ Biela (°) 30 33 35 38 40 43 45
Com o espaço de busca definido na Tabela 4.4, tem-se 7.392 combinações possíveis para o indivíduo que será codificado com 16 bits. A quantidade de indivíduos analisados será fixada em 300, pois adotar 0,5% do espaço de busca conduzirá a aproximadamente 40 indivíduos analisados, que é uma quantidade muito pequena e não permitiria que a razão entre a quantidade de gerações e o tamanho da população inicial ficasse próxima de 20. Logo, adotou-se para o Algoritmo Genético uma população inicial de 4 indivíduos ao longo de 75 gerações com probabilidade de crossover e mutação de 80% e 12,5% respectivamente e fator de escalonamento de 1,6.
Na primeira análise não foram considerados os custos relativos à armadura transversal, construtiva e de pele, pois somente a área de armadura positiva foi analisada no problema original. Os custos relacionados à perda de aço no processo de corte também foram desprezados.
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Ao comparar os resultados obtidos pelos autores e os fornecidos pelo programa piloto (Tabela 4.5), nota-se que os resultados dos autores são muito próximos e que o fornecido pelo programa tem um custo 2,7% superior na média. A maior diferença entre as soluções está na altura da viga e consequentemente no custo de concreto e forma. Isto se deve ao fato da altura do CG da armadura ser aproximadamente 41% maior para a solução fornecida pelo programa. Tal fato explica em partes o motivo de apesar da altura fornecida pelo programa ser maior, a área de aço também é maior, enquanto o esperado seria uma área de aço menor. Os outros fatores determinantes para esta diferença estão relacionados ao fato da área de aço ser fornecida com base nas bitolas disponíveis e do programa não permitir a utilização de bitolas diferentes para a armadura positiva de uma determinada seção.
Tabela 4.5 - Resultados obtidos por CHAKRABARTY (1992), COELLO et al. (1997) e pelo programa com espessura de cobrimento de 5,0 cm.
Chak rabarty Coe llo et. al.
Programa (1ª anális e ) Altura da viga (cm) 94,67 95,13 99,00 Área de aço (cm²) 37,69 37,52 38,01 Altura do CG da armadura (cm) 8,61 8,65 12,18 Custo de concreto ($/m) 18,32 18,41 19,15 Custo de forma ($/m) 4,73 4,74 4,91 Custo de aço ($/m) 21,30 21,21 21,49 Custo da seção ($/m) 44,35 44,36 45,55
Na segunda análise, comparam-se os resultados considerando um valor de cobrimento de 2,5 cm (Tabela 4.6), as alturas de CG ficam próximas assim como a altura total da viga, a área de aço e o custo final, que tem um valor 0,17% superior na média. Tais resultados demonstram o bom desempenho do programa na otimização. Para verificar se o resultado obtido pelo programa foi o ótimo, fez-se uma nova rodada aumentando o tamanho da população para 10 e o número de gerações para 150. Os resultados obtidos foram os mesmos, indicando o bom desempenho dos parâmetros adotados.
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Tabela 4.6 - Resultados obtidos por CHAKRABARTY (1992), COELLO et al. (1997) e pelo programa com espessura de cobrimento de 2,5 cm.
Chakrabarty Coe llo et. al.
Programa (2ª anális e ) Altura da viga (cm) 94,67 95,13 95,00 Área de aço (cm²) 37,69 37,52 37,69 Altura do CG da armadura (cm) 8,61 8,65 8,30 Custo de concreto ($/m) 18,32 18,41 18,38 Custo de forma ($/m) 4,73 4,74 4,74 Custo de aço ($/m) 21,30 21,21 21,31 Custo da seção ($/m) 44,35 44,36 44,43
Tendo em vista que a solução proposta pelos autores está no espaço contínuo, é necessário arredondar os valores obtidos a fim de se obter uma solução factível. A solução proposta pelos dois autores é a mesma e está representada na Figura 4.18 (a), enquanto que a solução fornecida pelo programa piloto está representada na Figura
4.18 (b). A única diferença entre as duas soluções é na forma de armar, pois os autores
utilizam duas bitolas diferentes enquanto que o programa utiliza somente uma. Entretanto, a área de aço fornecida pelas duas soluções é idêntica, pois 4 barras de 30 mm equivalem a 9 barras de 20 mm. Desta forma, o custo da solução final proposta pelos autores e da fornecida pelo programa são iguais.
(a)Detalhamento proposto por Chakrabarty e Coello et. al.
(b)Detalhamento proposto pelo programa piloto. 95 cm
Figura 4.18 - Detalhes sugeridos por CHAKRABARTY (1992) e COELLO et al. (1997) e pelo programa piloto
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Eliminando a restrição do comprimento das barras da armadura positiva e impondo um valor múltiplo de 1 cm para as mesmas (3ª análise), a solução passa a considerar o escalonamento da armadura. Comparando o resultado obtido com o da 2ª análise (Tabela 4.7), observa-se que as características da seção não se modificam. Logo, a economia de 7,13% se deve, exclusivamente, ao escalonamento das barras.
Tabela 4.7 - Comparação entre os resultados da análises considerando ou não o escalonamento da armadura. Dife re nça 2ª análise 3ª anális e % Altura da viga (cm) 95,00 95,00 0,00% Custo de concreto ($/m) 18,38 18,38 0,00% Custo de forma ($/m) 4,74 4,74 0,00% Custo de aço ($/m) 21,31 18,14 -14,88% Custo da seção ($/m) 44,43 41,26 -7,13% Programa-piloto
Na Tabela 4.8, comparam-se os resultados obtidos considerando os custos relativos à armadura transversal, construtiva e de pele na otimização ao se manter a altura fixa em 95 cm (4ª análise) e permitindo a altura da seção variar (5ª análise). As possíveis bitolas consideradas para os estribos estão indicadas na Tabela 4.4. Nota-se que neste caso, a altura da seção ótima difere da obtida ao se considerar somente o custo da armadura positiva, gerando uma economia de 1,04%. Apesar da diferença de custo não ser expressiva, a modificação na altura da seção ótima evidencia que o resultado obtido considerando somente ao custo da armadura positiva difere do ótimo, ou seja, é importante considerar os custos das demais armaduras, pois tais custos podem influenciar a geometria da seção ótima.
Tabela 4.8 - Comparação dos resultados considerando ou não os custos relativos à armadura transversal, construtiva e de pele.
Dife re nça 4ª análise 5ª anális e % Altura da viga (cm) 95,00 87,00 -8,42% Custo de concreto ($/m) 18,38 16,64 -9,47% Custo de forma ($/m) 4,74 4,35 -8,23% Custo de aço ($/m) 25,69 27,31 6,31% Custo da seção ($/m) 48,81 48,30 -1,04% Programa-piloto
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